北京十一学校2018高三数学二模

2018北京市十一学校高三下学期第二次综合测试（2018、5） 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分）

1、已知{31}x A x =<，{B x y ==

，则A B =（ ）

A. [3,0)-

B. [3,0]-

C. (0,)+∞

D. [3,)-+∞ 2、若复数z 满足1zi

z i

=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为（ ） A. 1122i -+ B. 1122

i -- C.

1122i - D. 1122

i + 3、已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.

11

0x y -> B. sin sin 0x y -> C. 11()()02

2

x y -< D. ln ln 0x y +>

4、已知:p 0x ∃>，1x e ax -<成立， :q 函数()(1)x f x a =--是减函数， 则p 是q 的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 5、若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）

A. 21()1x e f x x -=-

B. 2()1

x

e f x x =-

C. 321()1x x f x x ++=-

D. 42

1

()1

x x f x x ++=- 6、四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币 . 若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着 . 那么不存在相邻的两个人站起来的概率为（ ） A.

14 B. 716 C. 12 D. 9

16

7、在平面直角坐标系中，如果我们定义两点11(,)A x y ，22(,)B x y 的距离

1212(,)max{,}d A B x x y y =--，则单位圆（到原点(0,0)O 的距离等于1的所有点的

轨迹）的面积为（ ）

A. π

B. 1

C. 2

D. 4

8、已知点(1,1)A --，若曲线T 上存在两点B ，C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线 . 给定下列三条曲线： ①30x y +-=（03x ≤≤）；

②222x y +=（0x ≤≤）； ③1

(0)y x x

=->.

其中“正三角形”曲线的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 二、填空题（每小题5分，共6题，共30分）

9、已知角α终边经过点(2sin 2,cos 2)P -，则sin α=______ ；

10、过双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E ，

O 为坐标原点，若2OFE EOF ∠=∠，则b =______ ；

11、已知ABC ∆所在平面内有两点P ，Q ，满足0PA PC +=，QA QB QC BC ++=，若4AB =，2AC =，2

3

APQ S ∆=

，则AB AC ⋅的值为______ . 12、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，且对任意的*,p q N ∈，都有

p q p q a a a +=+，则60

()1

n S f n n +=

+（*n N ∈）的最小值为______ .

13、某企业生产甲、乙两种产品均需要A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、

4万元，则该企业每天可获得最大利润为_________ 万元 .

14、已知函数32,,

()ln ,x x x e f x a x x e

⎧-+<=⎨≥⎩，

①若当1a =时，()f x t -有三个零点，则t 的取值范围为___________ ； ②若()f x 的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则a 的取值范围是_________ . 三、解答题（共6题，共80分）

15、（13分）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC += .

（I ）求ACP ∠；

（II ）若APB ∆sin BAP ∠ .

16、（12分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程 . 某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：

（I）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班女生人数和男生人数；

（II）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；

（III）若从抽取的样本中随机选取2人参加“北京2022年冬奥会”宣传活动，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望 .

17、（14分）

如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，1

22

AB AD BC ==

=，E 是BC 的中点，AE

BD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD .

（I ）求证：CD ⊥平面1B DM ； （II ）求二面角1D AB E --的余弦值；

（III ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，若存在，求出1

B P

B C

的值；若不存在，说明理由 .