第三章 2.3应力莫尔圆

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莫尔应力圆[优讲课堂]

( 1 3 )2 2 (1 3 )2
2
2
在στ坐标平面内，粉体单元体的应力状态的轨迹是一个圆，圆心落在σ轴上，与坐标原点的距离为(σ1+ σ3)/2,半径为(σ1- σ3)/2, 该圆就称为莫尔应力圆。
莫尔应力圆圆周上的任意点，都代表着单元粉体中相应面上的应力状态。
课资讲解
7
3.2 莫尔-库仑定律
15
3.2 莫尔-库仑定律
临界流动状态或流动状态时，两个滑移面：S 和S’
滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
课资讲解莫尔圆半径：p*sin16φ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力 1 p (1 sini ) c cot i 最小主应力 3 p (1 sini ) c cot i
zz
粉体主要承受压缩作用，粉体的正应力规定压应力为
正，拉应力为负；切应课力资讲是解逆时针为正，顺为负。 2
二、莫尔应力圆
1、为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？首先由Otto Mohr（1835-1918）提出（一位工程师）
来由—— 一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
状态—称为莫尔－库仑破坏
准则，它是目前判别粉体(粉
体单元)所处状态的最常用或
最基本的准则。
课资讲解
12
莫尔圆与抗剪强度线间的位置关系： 1.莫尔圆位于抗剪强度线的下方； 2.抗剪强度线与莫尔圆在S点相切； 3.抗剪强度线与莫尔圆相割。
τ-σ线为直线a：处于静止状态
τ-σ线为直线b：临界流动状态/流动状态
根据这一准则，当粉体

应力莫尔圆(课堂PPT)

下面寻求：由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2a 2a0 )] R sin( 2a 2a0 )
( R cos 2a0 ) sin 2a ( R cos 2a0 )cos 2a
解： (1)主应力坐标系如图 (2)在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 95
150° 25 3
a0
B(45,25 3)
(3)AB的垂直平分线与sa
轴的交点 C 即是圆心，
a (MPa)
B
以 C 为圆心，以 AC为
半径画圆 ——
s3
O
s2
应力圆
A
2a 0
C
s1
20MPa
s1
sa
(MPa)
§9.3 应力圆（ Stresses Circle ）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？
首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师)
《来由》一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
或者说，
把a看成参数，能否找到 s a与 a的函数关系？
sy
一、斜截面应力
s3 s y
D
2a o s x s1
a0
180 36.86 2
71.57
C
O
s 5、画出主单元体
B
（1）A点对应于右垂面
（2）右垂面逆时针转a o
30
得主单元体的最大
80
s 2 80
s1

应力莫尔圆求主应力

要使用应力莫尔圆来求主应力，我们首先需要理解莫尔圆是什么。

在材料力学中，莫尔圆表示的是在某一点上，应力与应变之间的关系。

对于各向同性的材料，三个主应力和主应变在莫尔圆上都有对应的点。

首先，我们需要知道三个方向的应变：ε1，ε2和ε3。

这些应变可以通过实验测量得到，或者通过其他方式计算。

接下来，我们需要知道三个方向的应力：σ1，σ2和σ3。

这些应力也可以通过实验测量得到，或者通过其他方式计算。

有了这些数据后，我们可以根据胡克定律（Hooke's Law）来建立方程组：
ε1 = α1 * σ1
ε2 = α2 * σ2
ε3 = α3 * σ3
其中，α1，α2和α3是材料的弹性常数。

然后，我们可以使用这三个方程来解出α1，α2和α3。

有了这三个弹性常数后，我们就可以求出主应力了。

具体来说，我们可以使用以下公式来求主应力：
σ1 = α1 * ε1
σ2 = α2 * ε2
σ3 = α3 * ε3
这三个公式可以帮助我们找到三个方向的应力，其中最大的那个就是主应力。

需要注意的是，这个方法只适用于各向同性的材料。

对于各向异性的材料，这个方法可能不适用。

莫尔应力圆(课堂PPT)

滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力
1p (1 sin i) cc o ti
最小主应力
3p (1 sini) cc o ti
x x p R c o s 2 c c o s i p ( 1 s i n i c o s 2 ) c c o ti
切破坏，在破坏面上τf=f(σ)，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑总结出粉体（土）的抗剪强度规律。
库仑定律是莫尔强度理论的特例。此时莫尔破坏包线为一直线。以库仑定律表示莫尔破坏包络线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
▪ 法国军事工程师
▪ 在摩擦、电磁方面奠基性的贡献
▪ 1773年发表土压力方面论文，成为经典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
库仑粉体：符合库Biblioteka 定律的粉体 CC粉体流动和临界流动的充要条件，临界流动条件在（σ，τ）坐标中是直线：IYF
③破坏包络线IYF是摩尔圆Ⅲ的一条割线，这种情况是不存在的，因为该点任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力。
粉体的极限平衡条件
τ
f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律

平面应变状态的应力莫尔圆是

平面应变状态的应力莫尔圆是平面应变是指在平面内的应变状态，即在一个平面内的应变指标。

在二维平面内，应变有两个独立的分量：正应变(εxx)和剪应变(γxy)。

正应变是物体在垂直于某个固定方向上的伸长（或压缩），而剪应变是物体在不平行于该方向的面上的相对滑移。

平面应变状态的应力莫尔圆是一种常用的图解方法，用于表示平面应力态下的应力分布、最大正应力、最小正应力以及剪应力方向和大小等信息。

应力是物体内部的力，它可以分为正应力和剪应力。

正应力是作用在物体的垂直于某个平面上的力，剪应力是作用在物体的平行于某个平面上的力。

应力莫尔圆是用来表示平面内应力状态的一种图解方法。

它建立在应力变量和几何坐标之间的对应关系上，可以将平面内的应力状态用一个圆形来表示。

应力莫尔圆的基本原理是，对于给定的应力分布，可以通过变换坐标系的方式将平面内的应力转化为一个圆形的形式来表示。

这个圆形被称为应力莫尔圆。

应力莫尔圆的圆心代表了平均应力状态，圆的半径代表了剪应力的大小，圆的半径越大，剪应力越大。

圆的直径表示了最大正应力和最小正应力的和。

圆的直径越大，最大正应力和最小正应力的差距越大。

根据应力莫尔圆的特性，可以得出以下几个重要的结论和应用：1.最大剪应力和最小剪应力的方向是沿着应力莫尔圆上的两个切线。

这意味着在给定平面内的任意一个点，剪应力的方向是沿着切线的方向。

2.最大正应力和最小正应力的方向是与应力莫尔圆的径线垂直的方向。

这意味着在给定平面内的任意一个点，正应力的方向是与径线垂直的方向。

3.最大剪应力和最小剪应力的大小可以通过应力莫尔圆的半径来确定。

4.最大正应力和最小正应力的大小可以通过应力莫尔圆的直径来确定。

直径等于最大正应力和最小正应力的和。

5.应力莫尔圆可以用来计算平面内的应力分量，如正应力和剪应力的大小和方向。

应力莫尔圆的应用非常广泛。

它可以用来解决许多与平面应变相关的问题，如结构力学、材料力学、岩石力学和土壤力学等。

应力状态几何描述(莫尔圆)

2
) 2 xy
2
圆心
(
1 + 2
2
1 0 0 0 0 ij 2 0 0 3
, 0)
半径
1 2
2
应力状态的几何描述
圆心半径
(
x + y
2
, 0)
(
x y
2
) 2 xy
2
圆心
(
2 + 3
2
1 0 0 0 0 ij 2 0 0 3
应力状态的几何描述
y
B
圆心
(
x y
2
,0)
x

N
半径
(
x y
2
) 2 xy
2
xy
yx
A
y
x
1 0 0 0 0 ij 2 0 0 3
应力状态的几何描述
圆心半径
(
x + y
2
, 0)
(
x y
2
主方向：
1 1 2 xy tg 2 x y
应力状态的几何描述
1 x y x y xy 2 2 2 2 3 0
2
9
1、已知 3 0
3 1 0
0 0 0
求主应力
1 9 1 9 1 2 2 10 3 = 0 2 2 2 3 0
应力状态的几何描述
1、平面应力状态的分析
x xy 0 0 yx y 0 0 0
则AB方向余弦：

莫尔圆应力分析.

A
σn=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy) cos2θ-τxysin2θ
=1/2(50+(-10))+1/2(50-(-10)) cos2x30°-40sin2x30°
=0.359(kg/cm2) τ=1/2(σx-σy)sin2θ+ τxysin2θ
=1/2(50-(-10)) sin2x30°-40sin2x30°
雙軸應力狀態
正負符號判斷
+
-
雙軸應力—垂直面
最大正交應力 σ1=σx σ2 =σy 最大剪應力 τ=1/2(σx-σy)
雙軸應力分析
破壞面上正交應力 σθ =1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos2θ 破壞面上剪應力 τθ =1/2(σx-σy)sin2θ
雙軸應力---斜截面
最大正交應力 θ=0° σmax=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos0°
1000kg
1000kg
莫尔圆解
σx=1000/(4x5)=50
圆心坐标=1/2(50+0)=25 (σ,τ)=(25,0)
半径 r=1/2(50 - 0)=25
1. σθ=25 (kg/cm2) τθ=25 (kg/cm2)
2. σ1=50(kg/cm2) σ2=0(kg/cm2) τmax=25(kg/cm2)
應力分析
單軸應力雙軸應力平面應力純剪應力
1.在斜面：σ=σxcos2θ，τ=σxsinθcosθ。 2.45°面：σave== τmax=σx/2(平均正交應力等於最大剪應力)
1.σx與σy稱為主應力(principal stress)，其作用面稱為主平面 (pnincipal plane)，主平面上之剪應力為零。

3-1-4 应力分析_应力莫尔圆及应力平衡微分方程

10 3 10
l1=
10 1
m2= 10
最大切应力τmax=500MPa
金属塑性成形原理
解析法验证：
2 3 0
三个不变量： J1 x y z 4
J2
(x y
yz
zx )
2 xy
2 yz
2 zx
21
ij 3
0
6 0(100MPa) 0 0
J3
x
y z
2 xy
yz zx
( x
金属塑性成形原理
练习题1：应用莫尔圆分析单向拉伸时的各横截面上的应力变化状态。
y B（ σy＝40 τyx＝0 ） θ
τ C (0,20)
2θ
A
A
（ σx＝0 τxy＝0 ）
Bσ
(40,0)
x
当2θ＝90°（θ＝45°）时，截面的剪切力达到最大值20MPa
金属塑性成形原理
练习题2：物体中某点为平面应力状态，应力张量为：
试利用莫尔圆图解主应力,主方向和最大切应力
τ
τmax (0,5)
2 3 0
ij 3 6 0(100MPa)
0 0 0
2α2
B(6,3)
σ2 (-3,0) 2β2
A(-2,-3) σ2＝－3
2α1 σ1(7,0)
O(2,0) D
σ
2β1 σ1＝7
OD的长度＝1/2（6+2）＝4；R＝5；
y
B
以应力主轴为坐标轴，作一斜微分面，其方向
余弦为l，m，n，则有 :
金属塑性成形原理
l2 m2 n2 1
S1 1 l S2 2 m S3 3 n S 2 S12 S22 S32 12l 2 22m2 32n2

应力莫尔圆的概念及其意义

应力莫尔圆的概念及其意义应力是物体受到力作用时，内部产生的相互作用力。

应力莫尔圆是一种表示应力和应变之间关系的图形。

本文将从应力的合成与分解、应变协调、材料力学性能和工程应用等方面，阐述应力莫尔圆的概念及其意义。

1.应力的合成与分解应力合成是指将物体上各点的应力按照一定规则组合起来，得到主应力和主应变。

应力分解是将主应力分解为正应力和剪切应力。

平面应力状态下，应力计算公式为：σ=F/A，其中σ为应力，F为作用力，A为受力面积。

合成方法为将各点的应力乘以相应的系数，再相加得到主应力，主应变则通过胡克定律计算。

2.应变协调应变协调是指在整个物体内部，应变是连续变化的，没有突变。

应变和应力之间的关系可以通过胡克定律描述：σ=E*ε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。

通过测量应变可以推导应力和材料的力学性能。

3.材料力学性能材料力学性能是指材料在受到外力作用时，其内部产生的应力和应变之间的关系。

材料的力学性能可以通过实验测定，如拉伸、压缩、弯曲等实验。

这些实验可以得出材料的弹性模量、屈服强度、抗拉强度等指标。

不同材料具有不同的力学性能特点和应用范围。

例如，弹性模量低表明材料容易变形，高弹性模量则表明材料不易变形；金属材料的抗拉强度和屈服强度较高，常用于结构件制造；而塑料材料重量轻、易加工，常用于制品制造。

4.工程应用在工程应用中，应力、应变和材料强度等参数的计算和表示非常重要。

例如，在结构设计时需要考虑材料的极限强度和屈服强度，以防止结构在使用过程中发生破坏或变形。

同时，在制造过程中也需要对材料进行应力测试，以确保其达到所需的强度和稳定性。

在工程应用中还需要注意一些问题。

例如，在复杂结构分析时需要考虑整体和局部之间的相互作用；在高温或低温环境下需要考虑材料的热膨胀系数和收缩率对结构的影响；在腐蚀环境下需要考虑材料的耐腐蚀性对结构寿命的影响等。

总之，应力莫尔圆是描述应力和应变之间关系的有效工具，在材料力学、工程应用等领域具有广泛的应用价值。

应力莫尔圆的相关理论

2
) + τα = (
2 2
σ x −σ y
2
,
)
2
2 +τx
变化时, 当斜截面随方位角 α 变化时其上的应力
在 α
σ
τα
σ - τ 直角坐标系内的轨迹是一个圆 ,圆心位于横坐标轴圆心位于横坐标轴 ( σ 轴 )上,离原点的距离为上离原点的距离为
半径为
σx +σ y
2 或称为莫尔圆。此圆习惯上称为应力圆 , 或称为莫尔圆。
应力莫尔圆的相关理论
一、应力圆的概念
σα =
由
σ x +σ y σ x −σ y
+ 2
τα =
2 σ x −σ y 2
cos2α − τ x sin2α
sin2α + τ x cos2α
削去α得到
(σ α −
σx +σ y
2
) + τα = (
2 2
σ x −σ y
2
)
2
2 +τx
(σ α −
σx +σ y
τ D1
σy τy
σx
o σx B1 σ
σx τx
τy σy
τx
τ
σy τy
(b)
D1
σx τx
τy σy
σx τx
o
B2
B1 σ
σy
D2 σx
量取 OB2=σy , B2D2= τy , 得D2 点
τ 连接D 连接 1D2两点的直线与
(b)
轴相交于C σ 轴相交于点, 以C为为圆心, 圆心 CD1或CD2为半径 o 作圆 σy D2 σx B2 C B1 σ D1

第三章构造研究中的应力分析基础

2．三轴应力状态．
一般利用与三个主应力轴分别平行的三对特殊截面上的应力状态来分析三轴应力状态。实际上是把三轴状态转化为双轴状态。
最大剪应力作用面
2 3 3
1
1
3 2 1 2
三轴应力状态立体图及其二维应力莫尔圆
在三轴应力状态下，最大剪应力仍作用在与最大主应力轴 σ1呈45 °和 135 ° 的截面上。
τ xy = τ yx ,τ xz = τ zx ,τ yz = τ zy
σ 1 σ2 σ3
主应力(principal stress)：无剪切应力切面上的正应力。主应力(principal stress)：无剪切应力切面上的正应力。二维上记做σ1和 σ2（代数值 σ1 >σ2）；三维时则为σ1>σ2 > σ3 主应力的方向称为该点应力主方向(principal stress directions) ：主应力的方向称为该点的应力主方向。的应力主方向。三维情况下，应力主平面(principal planes of stress) ：三维情况下，与主应力方向垂直的切面，或是任意两个应力主方向确定的平面。方向垂直的切面，或是任意两个应力主方向确定的平面。
左图中应力矢量均为压性，即他们的法向分量均为压性。根据习惯，这种矢量均画成向内指向椭圆的中心，右图为张应力状态的应力椭圆。
应力椭圆：二维情况下，平面某点各方向应力矢量形成的椭圆，应力椭圆：二维情况下，平面某点各方向应力矢量形成的椭圆，其长短轴分别为该点的最大和最小应力（主应力）。其长短轴分别为该点的最大和最小应力（主应力）。应力椭球：三维情况下，某点各方向应力矢量形成的椭球，其应力椭球：三维情况下，某点各方向应力矢量形成的椭球，三轴代表该点的主应力。三轴代表该点的主应力。

2.3应力莫尔圆、应力平衡微分方程

yzxzcossinsincoscossincossinxyyxcossincossin主应力主应力1与x轴之间的夹角从某一平面顺逆转的任意斜面上应力在莫尔圆上对应的是从相应的坐标点顺逆时旋对于三向应力状态设变形体中某点的三个主应力为三个圆的半径分别等于三个主切应力三个圆的方程为每一个圆分别表示某方向余弦为零的斜面上的正每一个圆分别表示某方向余弦为零的斜面上的正应力和切应力的变化规律
( x y ) sin cos xy (sin 2 cos 2 ) sin 2 xy cos 2 2 S xl S y m x cos2 y sin 2 2 xy sin cos

x y
ij
10
0
10
ij 4 1
0 0
0 4
1）画出该点的应力单元体； 2）求出该点的应力张量不变量、主应力、主方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张量及应力球张量。 3）画出该点的应力莫尔圆，并将应力单元体的微分面分别标注在应力莫尔圆上。
ij xi 0
应力平衡微分方程
轴对称问题的平衡微分方程
z
dq

dq
rz rz dz dr r rq rq dr r
dr dz
r
q
q r r
q
r
rz
zr
dr
q z
o
y
z
q

z
r
r dr r
q
x
r
应力平衡微分方程
轴对称问题的平衡微分方程
xz xz dx x
xy
xy x dx
y

应力莫尔圆公式推导

应力莫尔圆公式推导应力莫尔圆公式是应用于材料力学领域的一种重要公式，它描述了应力状态下的主应力和主应力方向之间的关系。

应力莫尔圆公式的推导是基于材料的应力变形关系和平衡条件的基础上进行的。

我们需要了解一些基本概念。

在材料力学中，应力是指单位面积上的力。

应力分为正应力和剪应力两种，正应力是垂直于某个截面的力在该截面上的投影与该截面的面积之比，剪应力是相邻两个平行截面上的力之间的比值。

根据应力分析的原理，我们可以得到应力莫尔圆公式。

设某一平面上的正应力为σ，剪应力为τ，该平面的方向与x轴的夹角为θ。

根据三角函数的性质，可以得到该平面上的应力分量为σx = σcos^2θ，σy = σsin^2θ，τxy = σsinθcosθ。

根据平衡条件，我们可以得到该平面上的剪应力方向与主应力方向之间的关系。

设该平面上的剪应力方向与x轴的夹角为α，则有τxy = τcos(α - θ)。

根据三角函数的性质，我们可以得到τxy = (σx - σy)sinαcosθ - τ(cos^2θ - si n^2θ)cosα。

根据应力分量的定义，我们可以得到σx - σy = σ(cos^2θ - sin^2θ)。

将其代入上式，得到τxy = 2σsinαcosθ。

这是应力莫尔圆公式的一般形式。

根据应力莫尔圆公式，我们可以得到一些重要的结论。

首先，当剪应力为零时，应力莫尔圆退化为一个圆心在主应力方向上的圆。

其次，当剪应力不为零时，应力莫尔圆的圆心不在主应力方向上，而是偏离主应力方向一定角度。

最后，当剪应力方向与主应力方向重合时，应力莫尔圆退化为一个直线。

应力莫尔圆公式的推导过程相对简单明了，但其应用却非常广泛。

通过应力莫尔圆公式，我们可以对材料在复杂应力状态下的应力进行准确的分析和计算，进而指导工程实践中的设计和施工。

应力莫尔圆公式是材料力学中的重要工具，它描述了应力状态下的主应力和主应力方向之间的关系。

通过对应力莫尔圆公式的推导和分析，我们可以更好地理解和应用这一公式，为工程实践提供准确的力学分析依据。

应力摩尔圆

应力摩尔圆，应力场，均匀应力场，非均匀应力场，应力莫尔圆，应变，位移，变形，伸长度，均匀变形和非均匀变形，连续变形，不连续变形，应变椭球体，递进变形，弹性，粘性，塑性，脆性，滞弹性，屈服应力，各向异性，岩石的能干性，面理，劈理，劈理域，微劈石域，褶劈理，轴面劈理，劈理折射，线理应力摩尔圆:由上述两式平方和得到：[σ －(σ1+σ2) / 2 ]2 + τ2 = [(σ1-σ2) / 2]2该式表示以σ为横坐标轴和τ为纵坐标的直角坐标系中的一个圆的方程式，这个圆称为应力莫尔圆。

应力场：物体内各点的应力状态在物体内占据的空间的总体均匀应力场：各点应力状态相同的应力场。

非均匀应力场：各点应力状态不相同的应力场。

应变：是物体变形程度的度量，即物体形状和大小的改变量。

位移：变形：当地壳中岩石体受到应力作用后，其内部各质点经受了一系列的位移，从而使岩石体的初始形状、方位或位置发生了改变，这种改变通常称为变形。

伸长度：均匀变形：变形前后物体各部分的变形性质、方向和大小都相同的变形，即为均匀变形。

非均匀变形：变形前后物体各部分的变形性质、方向和大小都有变化的变形，即为非均匀变形。

连续变形：物体内从一点到另一点的应变状态是逐渐改变的，称为连续变形。

不连续变形：物体内从一点到另一点的应变状态是突然改变的，则应变是不连续的，称为不连续变形。

应变椭球体：以椭球体的形态和方位来表示岩石的应变状态，该椭球体称为应变椭球体。

递进变形：物体从初始状态通过一系列无限小应变积累而达到的最终状态。

我们把变形过程中应变状态发生连续变化的这种变形，称为递进变形。

弹性变形：指物体在外力作用下变形，当外力除去后物体能完全恢复原状。

具有这种性能的物体称为弹性体，它的变形称为弹性变形。

0001l ll l l ∆=-=ε非理想弹性体的变形：受力不立即产生全部弹性变形，而是随着时间的延长逐渐增大弹性变形到应有的值；当撤除外力后，也不立即恢复原状，而是随时间延长逐渐恢复原状。

应力莫尔圆

(

1

2
)2

2

(
1
2
)2
2
2
应力莫尔圆的概念与特点(以双轴应力状态为例)
以横坐标代表正应力，纵坐标代表剪应力，建立
－坐标系，一点的应力状态在该坐标系中可以表
示为一个圆的方程
(

1
2
)2

2

(
1
2
)2
2
2
这个圆就是该点的应力莫尔圆，圆上某点的坐标
T A( , )
应力莫尔圆的概念与特点以双轴应力状态为例在双轴应力状态下以材料内部任意考察点为中心体积微小的立方体内法呈夹角的任意截面上所受正应力与剪应力示意图作用的情况下任意截面上同时考虑21消除可以得到应力莫尔圆方程应力莫尔圆的概念与特点以双轴应力状态为例以横坐标代表正应力纵坐标代表剪应力建立坐标系一点的应力状态在该坐标系中可以表示为一个圆的方程平面应力状态的应力莫尔圆这个圆就是该点的应力莫分别代表法线与最大主应力轴呈夹角的那个截面上所受到的正应力与剪应力
T A( , )
等于1＋2；
N
O
（3）最大剪应力作用在与
C2
M
B
最大主应力轴呈45和135
A
的两个截面上。
双轴应力状态的应力莫尔圆
2008年5月12日汶川地震造成的映秀璇口中学校舍墙壁上的X型剪切破裂破裂受制于两组最大剪应力作用面
（据嵇少丞，2009）
安徽省巢湖市平顶山东南侧下三叠统殷坑组泥灰岩中X型剪节理
（，）分别代表法线与最大主应力轴1呈夹角的那个截面上所受到的正
N O
C2
M
B

第三章-2.3应力莫尔圆教学教材

圆心的坐标和半径分别为：
三个圆的半径分别等于三个主切应力
三向应力莫尔圆
三个圆的方程为
每一个圆分别表示某方向余弦为零的斜面上的正应力和切应力的变化规律。
第二章金属塑性变形的力学基础
应力分析
平面应力状态下的应力莫尔圆
➢若已知平面应力状态的三个应力分量 zxzyz0，如何
求任意斜微分面AC上的正应力σ和切应力τ？
AC面的方向余弦
l cos
mcossin
2
ncos 0
2
对于AC面 S xx lx y m xc o sx ys inS yx y ly m x yc o sys in
SxmSyl(xlyxm)m(xylym)l
(x y)sincosxy(si2nco2s)x Nhomakorabeay
2
sin2xyco2s
SxlSymxco2sysin22xysincos
x
2
(1co2s)y
2
(1co2s)xysi
n2
x
y
2
x
y
2
co2sxysi
n2
x 2y 22 x 2y 2x2 y
平面应力状态下的应力莫尔圆
➢主应力
12x
y
2
x
y
2
2
xy2
3 0
➢主应力σ1与x轴之间的夹角
1arctan 2xy
2
x y
➢从某一平面顺（逆）转的任意斜面上应力在
莫尔圆上对应的是从相应的坐标点顺（逆）时旋
转2 处的点的坐标。
三向应力莫尔圆
对于三向应力状态，设变形体中某点的三个主应力为， 1 2 ， 3 且 1 〉 2 〉 3 ，三向应力莫尔圆为：

第三章应力分析基础

或=(1+3)/2 +(1-3)/2×cos2 … (1)
平行于AB面的剪切作用力PT 为 PT =P1 sin － P2 cos
则，剪应力为
=PT/AB =1 cos sin -3 sin sin
或 = (1-3) / 2× sin 2 … …(2) 从(2)式可得：当2 = 90时，为最大。所以，最大剪应力作用面与1 和3轴的夹角为45。
二、外力的作用方式：
根据力作用的方向和相互关系，外力的作用方式，可以简化为五种，即拉伸、挤压、剪切、扳曲和扭转。
三、应力是指单位面积上的附加内力（简称内力）内力均匀时，记作：
（应力）内力 / 面积 P / A
单位：公斤／平方厘米”表示
应力是矢量。当P（外力）不垂直于dＦ（截面）时，产生两个分量：正应力垂直于被作用面dＦ的应力，用表示剪应力平行于被作用面dＦ的应力，用表示
圆孔附近的应力场扰动
在断裂的尖灭端出现应力扰动
谢谢观看
主平面
(B)
第二节、莫尔应力图解-莫尔圆
对于在以1为横坐标、3 为纵坐标的直角坐标系中的任一单位斜截面AB，假设其法线与横坐标1的夹角为，并沿该坐标轴方向受到双向挤压应力1和3的作用，那么，在这个截面上把应力1和3分别转换成平行于坐标轴的作用力P1和P2，则有：
因为AB=1（单位长度）,
为分析一点的应力状态，设想在此点取一个无限微小的正六面体，若应力分布是均匀的且单元体处于平衡状态。
每个面上F都可分解为3部分，一个正（直）应力，2 个剪应力，因此，在立方体各面上共有9个分量，称为应力分量。
该9个应力分量可用矩阵表示：根据剪应力互等定理得知，独立的应力分量只有6个，用一列矩阵表示：