一维非稳态热传导热源反问题研究

一维非稳态热传导热源反问题研究

摘要

本文是关于热传导的正反问题的研究，即利用偏微分方程中典型热传导方程

t时刻温度分布与热源位置。

求解含有内热源的金属细杆

本文从解偏微分方程出发，由已知条件最终得出温度分布函数及热源位置函数并建立了两个数学模型。

模型一：利用偏微分方程及初始温度分布函数建立了一段时间后的温度分布与热源强度、位置之间的数学模型，最终解出一段时间后长杆上的温度分布。

模型二：通过一类抛物型偏微分方程模型，解决已知初始温度分布函数、一段时候后的温度分布函数及热源强度的确定热源位置和中间任意时刻的温度分布函数。

u x t,即t时刻的温度根据模型一建立偏微分方程组，用分离变量法求解(,)

分布函数，并通过Matlab中的PDE(偏微分方程)工具箱求解偏微分方程组，且使解可视化。

u x T,结合抛物型方程，运用根据模型二依然建立偏微分方程组，通过测得(,)

离散正则法，确定热源位置，并通过论证说明问题的唯一性和确定性，给出反问题的数值解法。最后再简单介绍差分法解决热传导在非稳态导热问题中的应用。

最后是结论部分，主要总结本文的结果并提出一些尚待进一步研究的问题，以及研究该反问题的应用前景。

相同t不同x的温度变化曲线相同x不同t的温度变化曲线

一维非稳态热传导热源反问题研究

一、问题的提出

在金属细秆的传热过程中，温度差是导致其发生必要条件，有无热源决定传导效率的高低。从一维非稳态传导问题的数学模型和初始条件出发，经过对有内热源问题的进一步分析，在初始温度分布已知的情况下，对分布函数的处理显得很关键。对热源反问题的处理中，我们的问题是如何寻找某种合理的附件条件，通过已知方程来解决方程右端的热源的具体位置并使其具有唯一性。本文利用微分方程并建立了满足温度分布的数学物理模型，从理论上导出了温度分布函数和热源位置的求解，并借助计算机软件画出了温度分布图。

二、问题的分析

对于热传导问题，为了使函数解决起来更容易，对于细秆的初始温度分布()

g x我们可以设它在区间[0,L]连续，那么()

g x可以展成正弦或余弦级数，对于有内热源的处理，由于细秆边界条件是齐次的，我们采用叠加原理把一根金属细秆的导热问题分解为有热源的具有其次边界条件的稳态导热问题和一个非稳态

其次问题，则原问题的解为

(,)1(,)2() u x t u x t u x

=+。

对于源反问题的解决有如下3个问题:

1、反问题的唯一性:附加条件给得是否合理，也就是说，这个附加条件是否可以唯一确定热源的具体位置。

2、反问题的稳定性:反演所得到的热源的具体位置，该热源是否是连续地依赖于测量数据()

h t?

3、反问题的数值解法:如何用可行的数值方法反演该热源的具体位置。用离散正则法将温度分布离散化，由已知初始温度分布再利用计算机软件得出热源位置

三、模型假设

1、金属细杆边界与外界无热量交换，即与外界绝缘

2、热源强度在整个时间段里始终保持常量。

3、在求解源反问题时，热源分布相对细杆长度来说，可假设为点热源。

四、符号说明

(,)u x t :温度分布函数，即x 处在t 时刻的温度

(,)f x t ：热源强度

a 2：热扩散系数，单位为m 2/s

L ：细杆长度

()g x :初始温度分布函数，即t=0时的杆在x 处温度

其他运算过程中使用符号在步骤中说明，再不赘述。

五、模型的建立与求解

5.1 建立热传导微分方程，并求出温度分布函数(,)u x t

由题意可的模型如下：

222()u u a f x t x

∂∂=+∂∂ 00 （1） (0,)(,)0u t u L t == 0x ≥ （2） (,0)()u x g x = 0x L ≤≤ （3） 根据可以把有内热源的非稳态导热问题分解为有热源的具有齐次边界条件的稳态导热问题和一个非稳态齐次问题，即原方程的解为：

(,)1(,)2()u x t u x t u x =+ （4）

式中，

1(,)u x t 是如下非稳态的解：(方程组A)

22211u u a t x ∂∂=∂∂ （A-1）

1(0,)1(,)0u t u l t == （A-2）

1(,0)()2()()u x g x u x p x =-= （A-3） 2()u x 是如下稳态问题的解：（方程组B ）

2222()0u a f x x

∂+=∂ 0

对方程组A:利用分离变量法，假定偏微分方程的解是两个独立变数的乘积，即设

1(,)()()u x t X x Y t =•

代入微分方程（A-1）中，可得

'2''XY a YX = 或

'''

2X Y X a Y

==-λ(λ)为常数 （A-4）（若为+λ，则推导后所得出的解，其结果将对λ取任何值都不能满足边界条件），再由边值条件，有

u1(0,t)=X(0)Y(t)=0 u1(L,t)=X(L)Y(t)=0

必有(0)()0x x L ==。由（A-4），有

''0X X +λ=；X(0)=X(L)=0 （A-5）；

'20Y a Y +λ= （A-6）；

至此，通过分离变量，我们把微分方程的边值问题转化成为常微分方程的边值问

题。要是(A-5)有非零解，只要取λ=λn =222n L π（n=1，2，3···）对应的非零解为sin n x L

π，类似方程(A-6)的解 2()()exp((

))n n a Y t Y t t L

π==- 于是得到方程组A 的一组线性无关的解： 2(,)sin exp(())n n x n a u x t t L L ππ=⋅- （n=1,2,3···）