第1讲 集合的概念与运算

第1讲集合的概念与运算

一、知识梳理

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R

[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.

2．集合间的基本关系

表示

关系

自然语言符号语言Venn图

子集集合A中所有元素都在集合B中(即

若x∈A，则x∈B)

A⊆B(或B⊇A)

真子集集合A是集合B的子集，且集合B

中至少有一个元素不在集合A中

A B(或

B A)

集合相等集合A，B中元素相同A＝B

集合的并集集合的交集集合的补集

图形语言

符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈}B ∁U A＝{x|x∈U且x∉A}

常用结论|三种集合运用的性质

(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．

(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．

(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．

二、教材衍化

1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则()

A．a∈P B．{a}∈P

C．{a}⊆P D．a∉P

解析：选D．因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D．

2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()

A．3 B．4

C．5 D．6

解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()

(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A．()

(3)若A B，则A⊆B且A≠B．()

(4)N*N Z.()

(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×

二、易错纠偏

常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致错；

(2)集合运算中端点取值致错；

(3)忘记空集的情况导致出错．

1．已知集合U ＝{－1，0，1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝________． 解析：因为A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0，1}，所以∁U A ＝{－1}． 答案：{－1}

2．已知集合A ＝{x |(x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |2

解析：由已知得A ＝{x |1

所以A ∩B ＝{x |22}． 答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)

3．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 解析：易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ， 所以N ⊆M ， 所以N ＝∅或N ＝M ， 所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1

考点一 集合的概念(基础型)

复习指导 | 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．

2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．

核心素养：数学抽象

1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个

D ．无数个

解析：选C ．依题意有A ＝{－2，－1，0，1，2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1，2，5}，故B 中有3个元素．

2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )

A ．1

B ．－1

C ．2

D ．－2

解析：选C ．因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b

a ＝－1，所以a

＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.

3．已知集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜log 2k }，集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为________．

解析：因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k ＞4，所以k ＞24＝16. 答案：(16，＋∞)

4．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－3

2

.

当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－3

2.

答案：－3

2

与集合中元素有关问题的求解策略

考点二 集合间的基本关系(基础型) 复习指导| 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含

义．

核心素养：数学抽象

(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0

⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4