第1讲 集合的概念与运算
第一讲 集合的概念和运算
。
解析：对于新定义题，关键是读懂题目， 弄清概念的含义，准确运用。 ∵n=4, ∴ Sn {1, 2,3, 4}, ，则X可取 ,{1}, {2}, {3},
{4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {2,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}.不是偶子集有{1}，
A B 0,1,2,4,16
则a的值为（ A. 0 答案：D. B. 1
） C. 2 D. 4
a4 解析：抓住并集中的元素，由此知 a 2 16 2
a 4 或 ，∴选D。 a 16
变式题：含有三个实数的集合可表示为{a,b,lg(ab)},也可 表示为{|a|,b,0},则 a 2015 b2015 的值等于 。
7.特别提醒的几点：
①．注意区分几种常见集合
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然 后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注 意弄清其元素表示的意义是什么.
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)＞0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
集合的意义 方程f(x)＝0的解源自 不等式f(x)＞0的解集 函数y＝f(x)的定义域 函数y＝f(x)的值域 函数y＝f(x)图象上的点集
⑶
无序性
。
5.集合中元素和集合、集合与集合的关系： ⑴元素和集合的关系：若元素a 是集合A的元素， A”。 记作：a A ，否则“a
⑵集合与集合的关系：包含和不包含关系。包含关系又 分为真包含和相等关系。符号为“ ”，“＝”， ”，“ “ ”，“ ” .
特别提醒：规定空集是 空集是
第1章 第1节 集合的概念与运算
B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2 或 x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
解析： 依题意得 A＝{x|x<－1 或 x>4}，因为∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的
阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． 答案： D
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[同类练]
1．(2017·天津卷)设集合 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A
∪B)∩C＝( )
A．{2}
B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析： 因为 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以 A∪B＝{1,2,4,6}，又 C＝{x∈R| －1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
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2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再 利用集合元素的特征判断集合关系． (3)数形结合法：利用数轴或 Venn 图．
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考向·分层突破
考向一 集合的基本概念 自主练透型
1．已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个
(2)∵B⊆A，
∴①若 B＝∅，则 2m－1<m＋1，此时 m<2.
②若 B≠∅，则2mm＋－11≥≥－m2＋，1， 2m－1≤5.
注意集合的分类 讨论问题
解得 2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.
答案： (1)D (2)(－∞，3]
1-1_集合的概念与运算课件
补集： 补集：∁UA＝{x|x∈U且x∉A}． ＝ ∈ 且 ∉ ． U为全集，∁UA表示 相对于全集 的补集． 为全集， 表示A相 于全集U的 表示 (2)集合的运算性质 集合的运算性质 集合的运算性 ①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔ A⊆B ∪ ＝ ⇔ ⊆ ， ＝ ⇔ ⊆ ②A∩A＝A，A∩∅＝ ∅ ； ＝ ， ∅ ③A∪A＝A，A∪∅＝A； ∪ ＝ ， ∪ ； ④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. ∁ ＝ ∪ ＝ ， ∁ ＝ ；
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
②若 B≠∅，
m＋1≤2m－1， 则－2≤m＋1， 2m－1≤5.
(2)若 A⊆B，
解得 2≤m≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
2m－5.
∴m 的取值范围是[3,4]．
第 1 讲 集合的概念与运算
1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、 ．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、 集合语言(列举法或描述法 描述不同的具体问题 集合语言 列举法或描述法)描述不同的具体问题，理解集合之间包含与相等 列举法或描述法 描述不同的具体问题， 的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义． 的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义． 2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解 ．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集， 在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集， 在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图 (Venn)表达集合的关系及运算． 表达集合的关系及运算． 表达集合的关系及运算
第1章 第1节 集合的概念与运算
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对点训练
(1)(2014· 深圳模拟)已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝ )
{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则 B 中所含元素的个数为( A．3 B．6 C．8 D．10
(2)已知集合 A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若 A＝∅，则实数 a 的取 值范围为________．
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【解析】 (1)因为 A＝{1,2,3,4,5}，所以集合 A 中的元素都为 正数，若 x－y∈A，则必有 x－y＞0，即 x＞y. 当 y＝1 时，x 可取 2,3,4,5，共有 4 个数； 当 y＝2 时，x 可取 3,4,5，共有 3 个数； 当 y＝3 时，x 可取 4,5，共有 2 个数； 当 y＝4 时，x 只能取 5，共有 1 个数； 当 y＝5 时，x 不能取任何值． 综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为 4＋3＋2＋1＝10，即 集合 B 中的元素共有 10 个，故选 D.
2 所以 a 的取值集合是－1，0，3 . 2 【答案】 (1)D (2)－1，0，3
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抓 住 3 个 基 础 知 识 点
第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合的概念与运算
挖 掘 1 大 技 法
掌 握 3 个 核 心 考 向
课 堂 限 时 检 测
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[考情展望]
1.给定集合，直接考查集合的交、并、补集的
高考数学总复习 第一章 第一节集合的概念与运算课件 理
第十七页，共35页。
考点(kǎo 集合(jíhé)的基本关系及空集的妙用 diǎn)三
【例3】 设集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m －1}，若B⊆A，求实数(shìshù)m的取值范围．
思路点拨：考查集合间的包含、相等关系，关键搞清A，B两 集合谁是谁的子集．若B⊆A，说明B是A的子集，即集合B中元素 都在集合A中，注意B是∅的情况；同样若A⊆B，说明A是B的子集， 此时注意B是不是∅；若A＝B，说明两集合元素完全相同．
A．A＝B B．B＝C C．C＝E D．B＝E
思路点拨：要注意分辨各集合的代表元素是什么，如果性质 相同，但代表元素不同，则它们所表示的集合也是不一样的．因此 对于集合问题(wèntí)，要首先确定它属于哪类集合(数集、点集或某 类图形)．
第十五页，共35页。
解析：集合 A 是用列举法表示，它只含有一个元 素，即函数 y＝x2＋2，集合 B，C，E 中的元素都是数， 即这三个集合都是数集，集合 B 表示的是函数 y＝x2 ＋2 的值域2，＋∞，集合 C 表示的是函数 y＝x2＋2 的 定 义 域 R， 集 合 E 是不 等 式 x － 2≥0 的 解集 2，＋∞，集合 D 的元素则是平面上的点，此集合是 函数 y＝x2＋2 的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选 D.
第七页，共35页。
2．并集． (1)定义： 由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称 为(chēnɡ w集éi)合__(_j_íh_é_)_A_与__集__合__(_j_íh的é)并B集，记作___A__∪__B_____(读作 “A并B”)．即 A∪B＝{ x|x∈A，或x∈B}. (2)性质：
高一第1讲 集合概念与运算(教师)
第1讲 集合概念与运算（教师版）一． 学习目标（1）了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合．（2）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．（3）理解并会求并集、交集、补集；能用Venn 图表达集合的关系与运算.二．重点难点重点：（1）理解集合、子集，空集的概念（2）了解属于、包含、相等关系的意义（3）掌握集合的有关术语和符号（4）理解集合的交、并、补运算的概念及性质（5）会用Venn 图及数轴解有关集合问题难点：子集与真子集、属于与包含关系、交集与并集之间的区别与联系．三．知识梳理1．集合的基本概念:(1)集合的概念： 具有某种公共属性的一类事物的全体形成一个集合。
；(2)集合中元素的三个特性： 确定性，互异性，无序性。
；(3)集合的三种表示方法： 描述法，列举法，图示法。
2．集合的运算(1)子集：若 集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则A ⊆B ；真子集：若A ⊆B ，且 B 中至少有一个元素不在A 中 ，则A ⊂B ；∅是 任何 集合的子集，是 任何非空 集合的真子集．(2)交集：A ∩B ＝{|x x A B ∈∈且x }；(3)并集：A ∪B ＝{|x x A B ∈∈或x }．（4）补集：若U 为全集，A ⊆U ，则u C A ＝{|x x U A ∈∉且x }，3．集合的常用运算性质(1)A ∩φ＝φ；A ∩A ＝A ；(2)A ∪φ＝A ；A ∪A ＝A ；(3) A ∩(u C A )＝ φ ；A ∪(u C A )＝ U ；u C (u C A )＝ A ；(4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝ A ,A ∪B ＝ B ；(5)()u C A B ＝()()u u C A C B ；()u C A B ＝()()u u C A C B ；(6)card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－()card A B四．典例剖析题型一 集合的基本概念例1 考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)2012年度诺贝尔文学奖获得者．思路探索： 紧扣集合的概念，根据集合元素的确定性逐一分析，作出判断．解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)2012年度诺贝尔文学奖获得者是中国作家莫言，是确定的，能构成集合．综上：(1)，(2)不能构成集合；(3)，(4)能构成集合．教师点评：1.判断元素能否构成集合，关键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象，即看这些元素是否具有确定性，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则就不能构成集合．2．注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次．例2 (1) 若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z)的数组成集合A ，判断6-22是不是集合A 中的元素．解：根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2.所以6-2 2是集合A中的元素．（2）已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求实数2 013a的值；思路探索：(1)1∈A，则a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3可以分别为1，但又要注意它们互不相同．(2)从集合元素互异性的特点分析，它们必须具备两两不等．解：(1)当a＋2＝1，即a＝－1时，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1与a＋2相同，∴不符合题意．当(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2时，①a＝0符合要求．②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与(a ＋1)2相同，不符合题意．当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.①当a＝－2时，a2＋3a ＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意．②当a＝－1时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意．综上所述，a＝0.∴2 013a＝1.教师点评：1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示什么数集．(2)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．例3 用适当的方法表示下列集合：(1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；(2)平面直角坐标系中所有第二象限的点．解(1)∵x∈N*，y∈N*，∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1，∴A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．(2){(x，y)|x＜0，y＞0}．教师点评：表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．课堂练习1：(1)下列各组对象可以组成集合的是( )A．数学必修1课本中所有的难题.B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C．直角坐标平面内第一象限的一些点.D.3的近似值的全体解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B中只有两个元素3与－3，是确定的，B 能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．答案 B(2)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *.A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数， ∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2..答案 B(3)（2013年高考江西卷（文））若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=A ．4B ．2C ．0D ．0或4【答案】A 题型二 集合间的基本关系例4（1）（2012年高考大纲文）已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形,{}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则 （ ）A ．A B ⊆B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆解析：B （2）、(2011·新课标全国)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个解析 P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个．*（3）(2011 年高考安徽)设集合 A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足 S ⊆A 且 S ∩B ≠∅的集合 S 的个数为( )（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8【答案】B教师点评：1.写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A 含n 个元素，那么它子集个数为2n ；真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.例5 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．[思路探索] 借助数轴分析，注意B 是否为空集．解 ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得m ≥－1.课堂练习2：(2011·北京高考改编)已知集合P ＝{x|x 2≤1}，M ＝{x|－a ＋2≤x ≤2a －7}， 若P ∪M ＝P ，求实数a 的取值范围．【解析】 由P ∪M ＝P ，知M ⊆P ，(1)若－a ＋2＞2a －7，即a ＜3时，M ＝∅，满足P ∪M ＝P.(2)当a ≥3时，M ≠∅，由M ⊆P ，得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a －7≤1.解之得a ≤3，∴a ＝3. 综合(1)、(2)可知，若P ∪M ＝P ，实数a 的取值范围是a ≤3.,教师点评：在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论． 题型三 集合的基本运算例6 （1）（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2}【答案】A（2）设集合 A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，则 A ∪B ＝( )A ．∅B ．{x |3<x <4}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x >1}【答案】D（3）（2013年高考陕西卷（理））设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为(A) [-1,1] (B) (-1,1) (C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D（4）（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1 【答案】A 例7 设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}．若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围．[思路探索] 由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，由子集的定义建立关于a 的方程或不等式求解． 解 由已知得A ＝{－4,0}，且A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，则B ＝ϕ，{－4}，{0}，{－4,0}．①若B ＝ϕ，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)＜0，得a ＜－1.②若B ＝{－4}，则方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ －42＋2a ＋1·－4＋a 2－1＝0，Δ＝8a ＋1＝0，方程组无解． ③若B ＝{0}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，Δ＝8a ＋1＝0，∴a ＝－1. ④若B ＝{－4,0}，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，Δ＝8a ＋1＞0.解得a ＝1.综上可知，a ＝1或a ≤－1.教师点评：1.在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理．2．当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．课堂练习3：（1）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .，若B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3；若B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥－2，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得：－1≤a ≤2，综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2或a >3}．*（2）（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥, {}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范围为 A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】B 题型四 用韦恩图解题例8 (1) 已知全集 U ＝R ，则正确表示集合 M ＝{－1,0,1}和 N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )答：B ．(2) （2013年上海市春季高考数学试卷）设全集U R =,下列集合运算结果为R 的是( )(A)u Z N ð (B)u N N ð (C)()u u ∅痧 (D){0}u ð【答案】A (3)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5}，求集合A 和B .解：由Venn 图，可知A ＝{2,3}，B ＝{2,4}．教师点评：Venn 图直观形象地反映了元素、集合之间的关系.在解题中将隐性的关系显性化，利用韦恩图易于找到元素与元素、元素与集合、集合与集合之间的联系.例9．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。
第1讲集合的概念和运算
第1讲 集合的概念和运算必记考点1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征： 、 、 ． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集： N ； N *(或N ＋) ； Z ；Q ； R . (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 . 2．集合间的基本关系(1)子集： ，则A ⊆B (或B ⊇A )． (2)真子集： 则A B (或B A )．若集合A 中含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的真子集有2n －1个．(3)空集：空集是 的子集，是 的真子集．即∅⊆A ，∅B (B ≠∅)．(4)集合相等：若 ，则A ＝B . 3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A ∪B ＝ ． (2)交集：A ∩B ＝ ．(3)补集：∁U A ＝ ，U 为全集，∁U A 表示A 相对于全集U 的补集． (4)集合的运算性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； ③A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( )．考向二 集合间的基本关系【例2】已知集合A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}(3)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C．{1,2} D．{3,5}基础演练1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()．A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}4.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁R A)∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 6．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．7．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.第2讲函数及其表示必记考点1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作.2．函数的三要素函数由、、三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：．(2)值域：．(3)两个函数就相同: .3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是()．2．下列各组函数表示相同函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x2C．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x<0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1考向二 求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．(2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(3) 设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，实数a ＝________.考向三 分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )．A.15 B ．3 C.23D.139(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12 B.45 C ．2 D ．9基础演练1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )．A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为________．5．(2013·皖南八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 6.已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式.第3讲 函数的性质必记考点 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若 ，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则区间D 叫做f (x )的单调区间．(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称．考向一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x(2)函数y ＝－x 2＋2x －3(x <0)的单调增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]考向二 函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________. (2) 函数y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .考向三 求函数的最值【例3】函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．考向四 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝(x －1)－ 1＋x1－x.考向五 函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.(2) 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝ ．基础演练1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数2．函数y ＝f (x )在R 上为减函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x ＋14．已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 6.下列函数是偶函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.9．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．第4讲 指数与指数函数必记考点1．指数与指数运算 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫 ，.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．即x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n ＝ .②当n 为奇数时，na n＝ ；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．负分数指数幂a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．(4)幂指数的运算性质a r ·a s ＝ rs aa= (a r )s ＝ (ab )r ＝2．指数函数的图象与性质考向一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－ 3338－π0；(2) 2132a b ·(－31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二 指数函数的性质【例2】(1)方程2x －2＋x ＝0的解的个数是________． (2) 下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，①讨论f (x )的奇偶性；②讨论f (x )的单调性．⎝⎛⎭⎫21412－⎝⎛⎭⎫－350－⎝⎛⎭⎫827－13＝________. 已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．函数y ＝1－3x 的定义域为________。
第01讲-集合(讲义版)
第01讲集合一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[方法技巧]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).二、经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．30规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ）A ．5}|3{x x <≤B ．{|15}x x -≤≤C ．{|1x x <-或3}x >D ．R【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。
第1讲 集合的概念和运算
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念和运算一、选择题1. 已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．答案 C2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有() A．2个B．4个C．6个D．8个解析因为M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，所以P＝M∩N＝{1,3}，所以集合P的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．答案B3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}解析U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U M＝{1,4}．答案 A4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是()．A．2 B．3 C．4 D．5解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．答案 B5．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝±2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案 A6．设A、B是两个集合，定义M*N＝{x|x∈M且x∉N}．若M＝{y|y＝log2(－x2－2x＋3)}，N＝{y|y＝x，x∈【0,9】}，则M*N＝()A．(－∞，0】B．(－∞，0)C．【0,2】D．(－∞，0)∪(2,3】解析y＝log2(－x2－2x＋3)＝log2【－(x＋1)2＋4】∈(－∞，2】，N中，∵x∈【0,9】，∴y ＝x∈【0,3】．结合定义得：M*N＝(－∞，0)．答案B二、填空题7．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．解析A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x|－1<x<3}．∴A∩Z＝{0,1,2}，即0＋1＋2＝3.答案38．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．解析若a＝4，则a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求，若a2＝4，则a＝±2，又－2∉(A ∪B)，∴a＝2.答案 29．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.解析A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案{(0,1)，(－1,2)}10．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝____________________.解析由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[1,3]，∴A*B＝[0,1)∪(3，＋∞)．答案[0,1)∪(3，＋∞)三、解答题11．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.解∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}．∴⎩⎨⎧ －a ＝－1＋3＝2，b ＝(－1)×3＝－3，∴a ＝－2，b ＝－3. 12．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .解 (1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3，经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}，当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．∴a ＝－3.13．已知集合A ＝{x|x2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x|m －2≤x≤m ＋2}．(1)若A∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁RB ，求实数m 的取值范围．解 A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|m －2≤x≤m ＋2}．(1)∵A∩B ＝[1,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁RB ＝{x|x ＜m －2或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁RB ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.14．已知集合A ＝{x ∈R|ax2－3x ＋2＝0，a ∈R}．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；解 集合A 是方程ax2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)A 是空集，即方程ax2－3x ＋2＝0无解，得⎩⎨⎧ a≠0，Δ＝－32－8a<0，∴a>98.即实数a 的取值范围是(98，＋∞)．(2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝23；当a≠0且Δ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43. ∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.。
高中数学高考第1讲 集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语
20
(1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件
A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合 A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为______．
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第一章 集合与常用逻辑用语
24
2．已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合 A 的真子集的个数为
()
A．7
B．8
C．15
D．16
解析：选 A．法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，
{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共 7 个．
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第一章 集合与常用逻辑用语
8
2．设集合 A＝{x|－2≤x≤2}，Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选 C．A 中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共 5 个，所以 A∩Z 中的元
素个数为 5.
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
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2．已知集合 A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则 A∩B＝________，A∪B＝ ________，(∁RA)∪B＝________. 解析：由已知得 A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}， 所以 A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1 或 x>2}． 答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
高中数学 第一讲 集合的概念与运算教案(教师版) 新人教版
第一讲 集合的概念与运算教学目的： 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。
了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能正确进行“集合语言”、“数学语言”“图形语言”的相互转化.教学重点： 交集、并集、补集的定义与运算.教学难点： 交集、并集、补集的定义及集合的应用.【知识概要】新课标教学目标： 1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 知识点1 集合某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
集合中每个对象叫做这个集合的元素 点评：（1）集合是数学中不加定义的基本概念．构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象． （2）集合里元素的特性确定性：集合的元素，必须是确定的．任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素．互异性：集合中任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现． 无序性：集合与组成它的元素顺序无关．如集合{a, b, c}与{c, a, b}是同一集合． （3）元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A （或a ∈A ）．（4）集合的分类集合的种类通常可分为有限集、无限集、空集（用记号φ表示）．有限集：含有有限个元素的集合（单元素集：只有一个元素的集合叫做单元素集。
数学(理)一轮教学案：第一章第1讲 集合的概念及运算 Word版含解析
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念及运算1集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于记为∈，不属于记为∉.(3)常见集合的符号集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R(4)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B或B A空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)注意点元素互异性的应用(1)利用集合元素的互异性找到解题的切入点．(2)在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.1．思维辨析(1){1,2,3}＝{2,3,1}．()(2)空集中只有一个元素0.()(3)集合{x2＋x,0}中实数x可取任意值．()(4)任何集合都至少有两个子集．()(5)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．()(6)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D解析A＝{x∈N|x≤10}＝{0,1,2,3}而a＝22，∴a∉A.3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A＝()A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}答案 C解析由U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,3,5,6}，∴∁U A＝{2,4,7}，故选C.4．已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{x|2<x<3}B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x<6}D．{x|x<－1}答案 C解析由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁B)∩A，因为∁U B＝{x|x≥0}，所以(∁U B)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C. U[考法综述]集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及集合与元素之间的关系及根据集合中元素的特性(特别是集合中元素的互异性)，来确定集合中元素的个数，或求参数的取值范围，属于基础题．命题法1 集合的基本概念典例1 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0D ．0或98 [解析] (1)当x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为1,0，－1；当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为2,1,0；∴B ＝{－2，－1，0,1,2}．∴集合B 中元素的个数是5个．(2)集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解集，且A 中只有一个元素，所以方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根．若a ＝0，则方程为－3x ＋2＝0，解得x ＝23，满足条件；若a ≠0，则二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，即Δ＝(－3)2－8a ＝0，解得a ＝98，所以a ＝0或a ＝98.[答案] (1)C (2)D【解题法】 解决集合概念问题的一般思路研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．命题法2 集合之间的关系典例2已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是(－∞，－1]．[答案](－∞，－1]【解题法】利用集合关系求参数取值范围及集合相等问题(1)根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论．注意点：注意区间端点的取舍．(2)若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解．1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A答案 D解析由真子集的概念知B A，故选D.2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4 B．2C．0 D．0或4答案 A解析ax2＋ax＋1＝0只有一个根，当a＝0时方程无解，当a≠0，Δ＝0时，即a2－4a＝0，a＝4，故选A.3.已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是()A．{－1} B．{1}C．{－1,1} D．{－1,0,1}答案 D解析 B ＝{x |(x ＋1)(x －1)＝0}＝{－1,1}．若A ⊆B ，则有以下情况：当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B ；当a ≠0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝1a ，若A ⊆B ，则A ＝{－1}时，a ＝－1；A ＝{1}时，a ＝1；故当a ＝0，－1,1时满足A ⊆B .4．设集合P ＝{x |x >1}，Q ＝{x |x 2－x >0}，则下列结论正确的是( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．P ＝QD ．P ∪Q ＝R答案 A解析 ∵Q ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}， 又P ＝{x |x >1}，∴P ⊆Q ，故选A. 1 集合的运算及性质 名称 交集 并集 补集 符号 A ∩B A ∪B ∁U A 数学语言 A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A } 图形运算性质A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B ， A ∩∅＝∅B ⊆A ∪B ， A ⊆A ∪B ， A ∪∅＝AA ∪(∁U A )＝U ， A ∩(∁U A )＝∅， ∁U (∁U A )＝A2 集合间运算性质的重要结论 (1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . (2)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . (3)A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B .(4)狄摩根定律：∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )； ∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )． 注意点 空集的特殊性在解题中，若未指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅和A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.1．思维辨析(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()(5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.()(6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁U P＝{2}．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√2．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}答案 A解析A＝{x|(x－2)(x＋1)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又B为整数集，所以A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.3．已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B 有________个．答案8解析由A∪B＝{0,1,2}得B⊆A，所以B是A的子集．由A中有3个元素知B有23＝8个．[考法综述]集合的基本运算是历年高考的热点，常与函数、不等式、方程等知识综合考查，主要以选择题形式出现．命题法求交集、并集和补集典例(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝()A．[－2，－1] B．[－1,1]C．[－1,2) D．[1,2)(2)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析](1)由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x<2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.(2)利用数轴分析求解．∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}．在数轴上表示，如图所示．∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．[答案](1)A(2)D【解题法】解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B ＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}答案 A解析因为B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<1}，A＝{－2，－1,0,1,2}，故A∩B＝{－1,0}．选A.2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)＝()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}答案 A解析由已知得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩(∁U B)＝{2,5}．3．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝()A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]答案 C解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∴∁R P＝{x|0<x<2}，∴(∁R P)∩Q＝(1,2)．4．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B 等于()A．{－1} B．{1}C．{1，－1} D．∅答案 C解析A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.5．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N ＝()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)答案 B解析∵M＝{x|x≥0，x∈R}．N＝{x|x2<1，x∈R}＝{x|－1<x<1，x∈R}．∴M∩N＝{x|0≤x<1}，即M∩N＝[0,1)．故选B.6．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{0,1} B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}答案 C解析M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，M∪N＝{－1,0,1,2}，故选C.7.设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4)答案 C解析 A ＝{x ||x －1|<2}＝{x |－1<x <3}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}＝{y |1≤y ≤4}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <3}∩{y |1≤y ≤4}＝{x |1≤x ＜3}．8．设全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝lg (1－x )}，则∁R A ＝( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)答案 C解析 ∵y ＝lg (1－x )，∴1－x >0，即x <1，∴∁R A ＝{x |x ≥1}．9．已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，则A ∩B ＝( )A ．[－1,3]B ．{－1,3}C ．{－1,1}D ．{－1,1,3}答案 C解析 ∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0＝{x |－1≤x <3}，又集合A 为奇数集，∴A ∩B ＝{－1,1}，故选C.10.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≤2}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2} 答案 C解析 由x 2－2x >0得x >2或x <0，即B ＝{x |x <0，或x >2}，∴A∪B＝{x|x<0，或x>1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0≤x≤1}．11．集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝()A．{0,1,2} B．{0,1,3}C．{0,2,3} D．{1,2,3}答案 D解析因为M∩N＝{1}，所以log3a＝1，即a＝3，所以b＝1，即M＝{2,1}，N＝{3,1}，所以M∪N＝{1,2,3}，故选D.12．已知全集U，集合A⊆B⊆U，则有()A．A∩B＝B B．A∪B＝AC．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U B D．(∁U A)∪(∁U B)＝∁U B答案 C解析∵A⊆B⊆U，∴A∩B＝A，故选项A不正确；A∪B＝B，故选项B不正确；(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝∁U B，故选项C正确；(∁A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)＝∁U A，故选项D不正确．故选C.U13．设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln (1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()扫一扫·听名师解题A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}答案 B解析易知A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y ＝ln (1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁U B＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．创新考向以集合为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，这类问题以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力．其命题形式常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等.创新例题已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77 B．49C．45 D．30答案 C解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD 内及正方形ABCD上的整点．集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．创新练习1.设集合S＝{A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j＝A k，其中k为i＋j被3除的余数，i，j∈{1,2,3}，则使关系式(A i⊕A j)⊕A i＝A0成立的有序数对(i，j)总共有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案 C解析i＝1时，j＝1符合要求，i＝2时，j＝2符合要求；i＝3时，j＝3符合要求，所以使关系式(A i⊕A j)⊕A i＝A0成立的有序数对(i，j)有(1,1)，(2,2)，(3,3)，共3对．2．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．答案 6解析因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上，符合条件的有序数组的个数是6.3．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．答案 7解析 根据题意，S 4的所有奇子集为{1}、{3}、{1,3}，分析可得{1}的容量为1，{3}的容量为3，{1,3}的容量为3，则其容量之和为1＋3＋3＝7.创新指导1.准确转化：解决集合创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于集合创新问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解，同时注意培养学生领悟新信息、运用新信息的能力．已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N }，且A ∩B ＝A ，则a 的所有可能值组成的集合是( )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14，0 [错解][错因分析] 集合A 为方程ax －1＝0的实数解构成的集合，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，A 可以为非空集合，也可以是空集．在解题中，很容易漏掉对A ＝∅的讨论，导致误选C.[正解] 由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .因为B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N }＝{x |2<x ≤4，x ∈N }＝{3,4}，当A ＝∅时，则方程ax －1＝0无实数解，所以a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意．当A ≠∅时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a . 要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或a ＝14.综上所述，a 的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14.故选D. [答案] D [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·武邑中学模拟]已知集合A ＝{0,1}，B ＝{x |x ⊆A }，则下列集合A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A BC ．B AD ．A ∈B答案 D解析 因为x ⊆A ，所以B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A ＝{0,1}是集合B 中的元素，所以A ∈B .故选D.2．[2016·枣强中学一轮检测]已知集合A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{0,1,2,3,5,9}，C ＝{2,4,8,10}，则A 可以是( )A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{4}D ．{2} 答案 D解析 解法一：因为A ⊆B ，A ⊆C ，所以A ⊆(B ∩C )，故集合A 可以是{2}，故选D.解法二：逐项验证，可知当A ＝{1,2}时，不满足A ⊆C ；同理可知当A ＝{2,4}和A ＝{4}时，不满足A ⊆B ，故选D.3．[2016·衡水中学周测]若集合A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 的非空子集的个数是( )A ．4B ．7C ．8D ．15答案 B解析 解法一：因为x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n ，所以B ＝{5,6,7}，故B 的非空子集有{5}，{6}，{7}，{5,6}，{5,7}，{6,7}，{5,6,7}，共7个．解法二：因为x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n ，所以B ＝{5,6,7}，根据公式可得集合B 的非空子集的个数是23－1＝7.4．[2016·冀州中学月考]已知集合A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 B解析 因为A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.故选B.5．[2016·武邑中学周测]设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，从而ba ＝－1，所以有a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2，故选C.6．[2016·衡水中学月考]已知集合A ＝(－2,5]，B ＝[m ＋1,2m －1]．若B ⊆A ，则m 的取值范围是( )A ．(－3,3]B ．[－3,3]C ．(－∞，3]D ．(－∞，3)答案 C解析 当B ＝∅时，m ＋1>2m －1即m <2，B ⊆A . 当B ≠∅时，由题意可画数轴m ≥2且⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－22m －1≤5解得2≤m ≤3.综上可知m ∈(－∞，3]，故选C.7．[2016·枣强中学猜题]设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1答案 C解析 若M ∩N ＝N ，则N ⊆M .结合集合元素的互异性得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝－1，所以a ＝－1.故选C. 8．[2016·衡水中学期中]若集合A ＝{x |1≤3x ≤81}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B ＝( )A ．(2,4]B ．[2,4]C ．(－∞，0)∪(0,4]D ．(－∞，－1)∪[0,4]答案 A解析 因为A ＝{x |1≤3x ≤81}＝{x |30≤3x ≤34}＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}＝{x |x 2－x >2}＝{x |x <－1或x >2}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ≤4}∩{x |x <－1或x >2}＝{x |2<x ≤4}＝(2,4]．9．[2016·武邑中学期中]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)<0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1) 答案 D解析 由题意可知，M ＝(－3,1)，N ＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝(－3，－1)．10．[2016·衡水中学期末]设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x |x 2>2x }，N ＝{x |log 2(x －1)≤0}，则(∁U M )∩N 为( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x <2}答案 C解析 x 2>2x ⇒x >2或x <0.M ＝{x |x >2或x <0}，log 2(x －1)≤0⇒0<x －1≤1,1<x ≤2，N ＝{x |1<x ≤2}，(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}，故选C.11．[2016·冀州中学猜题]已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则下图中阴影部分表示的集合为( )A ．{0,2}B ．{0,1,3}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}答案 C解析 集合A ∪B ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{2}，阴影部分表示的集合为{1,3,4}．12．[2016·武邑中学仿真]已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝( )A ．(1,2)B ．[0,2]C ．∅D ．[1,2]答案 D解析 ∵2x <1，∴x －2x >0，∴x <0或x >2，∴M ＝{x |x <0或x >2}，∴∁R M ＝{x |0≤x ≤2}．∵y ＝x －1＋1，∴y ≥1，∴N ＝{y |y ≥1}，∴N ∩(∁R M )＝[1,2]，故选D.能力组13.[2016·衡水中学模拟]已知集合A ＝{0,1}，则满足条件A ∪B ＝{0,1,2,3}的集合B 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 D解析 由题知B 集合必须含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共四个，故选D.14．[2016·冀州中学期中]已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A ．－32<a ≤－1 B ．a ≤－32 C ．a ≤－1 D ．a >－32 答案 C解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3， 得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②得，a ≤－1.15. [2016·衡水中学仿真]已知集合A ＝{x |2x 2－2x <8}，B ＝{x |x 2＋2mx －4<0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，则实数m 等于________．答案 32解析 由2x 2－2x <8，得x 2－2x <3，解得－1<x <3，所以A ＝{x |－1<x <3}．因为A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，所以B ＝{x |－4<x <1}．由不等式与方程之间的关系可得，－4,1是方程x 2＋2mx－4＝0的两根，所以－4＋1＝－2m，即－2m＝－3，解得m＝32.16．[2016·枣强中学预测]已知集合A＝{y|y＝x2＋2x，－2≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x－3≤0}，在集合A中任意取一个元素a，则a∈B的概率是________．答案2 9解析依题意，函数y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1(－2≤x≤2)的值域是A＝{y|－1≤y≤8}；由x2＋2x－3≤0得－3≤x≤1，即B＝{x|－3≤x≤1}，则A∩B＝{x|－1≤x≤1}，因此所求的概率等于1－(－1) 8－(－1)＝2 9.。
复习课件11集合的概念及其基本运算
变式训练 2 设 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x ＋a2－1＝0}， (1)若 B⊆A，求 a 的值； (2)若 A⊆B，求 a 的值．
解 (1)A＝{0，－4}，
①当 B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)<0，
解得 a<－1；
②当 B 为单元素集时，a＝－1，此时 B＝{0}符合题意；
Hale Waihona Puke 变式训练 3 (2010·重庆)设 U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2 ＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数 m＝__－__3____.
解析 ∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3 是方程 x2＋mx ＝0 的两根，∴m＝－3.
易错警示 1．忽略空集致误
试题：(5 分)已知集合 A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}， 若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值的集合为____． 学生答案展示
正确答案 {－1,0,1}
批阅笔记 本题考查的重点是集合的关系以及集合元素
的特征．在解答本题时，存在两个突出错误．一是极易 忽略集合 B 为∅的情况；二是忽视对 B 中的元素－1a的值 为 1 或－1 的讨论．在解决类似问题时，一定要注意分 类讨论，避免误解．
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性
则实数 a 的取值范围是_a_≤__0__．
题型分类 深度剖析
题型一 集合的基本概念 例 1 定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，
y∈B}，设集合 A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合 A⊙B 的 所有元素之和为________． 思维启迪 集合 A⊙B 的元素：z＝xy(x＋y)．求出 z 的 所有值，再求其和．
2023届高考数学一轮复习讲义：第1讲 集合的概念与运算
第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)真子集 集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中集合 相等集合A ，B 中元素相同A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝A ∩B ＝∁U A ＝➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞ B ．[)1,2 C ．()1,2D ．[]1,22．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－23．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．24．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)[举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1]5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,95．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5B ．6C ．10D ．152.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75 D ．最多人数是80[举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．302．[2021·四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．2103．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M ，N 都是非空集合U 的子集，令集合S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}，下列说法正确的是( )A ．若S ＝N ，则M ＝∅B ．若S ＝∅，则M ＝NC ．若S ⊆M ，则M ⊆ND ．∃M ，N ，使得S ＝(∁U M )∪(∁U N )4．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．235．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .求集合A .第1讲 集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合 相等集合A ，B 中元素相同 A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝ {x |x ∈A 或x∈B }A ∩B ＝ {x |x ∈A 且x ∈B }∁U A ＝ {x |x ∈U 且 x ∉A }➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[解析] (1)将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A ，即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1.故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,3}， 所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6. 综上所述，a 的取值集合为{4}． [答案] (1)A (2){4} [举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】D【解析】因为2A ∉，所以()()2220a a --≥，解得12a ≤≤．故选：D ．2．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．2解析：选BD.因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.4．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】当2x =±时，y ＝1；当1x =±时，y ＝0；当x ＝3时，2log 3y =．故集合B 共有3个元素．故选：B.5．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1. 【答案】 (1)B (2)C [举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题可知{}1,0,1A =-，所有{}0,1A B =，所有其子集分别是{}{}{},1,0,0,1∅，所有共有4个子集，故选：C2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 求解一元二次方程，得A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，易知B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．因为A ⊆C ⊆B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.3．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=【答案】A 【解析】UN 表示集合N 的补集，因为()U M N ⊆，所以M N ⋂=∅．故选：A4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ， 所以N ⊆M ， 所以N ＝∅或N ＝M ， 所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)【解析】 (1)方法一：由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B ，所以2∈A ∪B ，所以2∉∁U (A ∪B )，故排除B ，D ；又0∈A ，所以0∈A ∪B ，所以0∉∁U (A ∪B )，故排除C ，故选A.(2)由x 2－2x －8≤0，得－2≤x ≤4，所以N ＝{x |－2≤x ≤4}，则M ∪N ＝{x |－3≤x ≤4}，A 错误；M ∩N ＝{x |－2≤x <4}，B 正确；由于∁U M ＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C 正确；由于∁U N ＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M ∩(∁U N )＝[－3，－2)，D 错误．故选BC.【答案】 (1)A (2)BC2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D [举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--【答案】D 【解析】因为30311x x x +<⇒-<<-，所以{}2,1,0B =--，而{3,2,1,0,1}A =---， 所以A B ={2,1,0}--，故选：D2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]解析：选C 因为A ∩B ≠∅，所以结合数轴可知实数a 的取值范围是a <3，故选C. 3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.4．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,9【答案】B【解析】由图可知，图中阴影部分表示()R A B ⋂，由214480x x -+≤，得68x ≤≤， 所以{}68B x x =≤≤，所以{R 6B x x =<或}8x >，因为{}1,3,5,6,7,8,9A =， 所以(){}R1,3,5,9AB =，故选：B5．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =.故选：C.6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B. 7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A 【解析】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5 B ．6C ．10D ．15【答案】A 【解析】解：由题意，集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆有{}{}125,1,2,3,4,6A A ==；{}{}121,4,2,3,5,6A A ==；{}{}123,4,1,2,5,6A A ==；{}{}124,5,1,2,3,6A A ==；{}{}124,6,1,2,3,5A A ==，共5种，故选：A.2.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例： 对于解析式y ＝x ＋1，因为A 0＝{x |0<x <1}，所以A 1＝{x |1<x <2}， A 2＝{x |2<x <3}，…，显然符合A n ∩A n －1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y ＝x ＋1. (2)对于①，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |x >1}，A 2＝{x |0<x <1}，…， 依次循环下去，符合A n ∩A n －1＝∅.对于②，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |1<x <2}，A 2＝{x |2<x <5}，A 3＝{x |5<x <26}，…，根据函数y ＝x 2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合A n ∩A n －1＝∅.对于③，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |2<x <3}，A 2＝{x |1<x <2}，A 3＝{x |1<x <2}， 不符合A n ∩A n －1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②. [答案] (1)y ＝x ＋1 (2)①②3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75D ．最多人数是80解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B .设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则0≤x ≤20.设以上两种药都带的人数为y .由图可知，x ＋card(A )＋card(B )－y ＝100.∴x ＋75＋80－y ＝100，∴y ＝55＋x .∵0≤x ≤20，∴55≤y ≤75，故最少人数是55. [举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，中元素的个数为则A BA．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．2．[2021·四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，B k，k∈N*.记b i为集合B i(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋b k＝()A．45 B．105C．150 D．210[答案]B[解析]本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C36＝20个，所以k＝20.在集合B i(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有C22＝1个；最大元素为4的集合有C23＝3个；最大元素为5的集合有C24＝6个；最大元素为6的集合有C25＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋b k＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.3．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案] ABD [解析]本题考查Venn 图．用Venn 图表示，集合S 为如图1中的阴影部分，对于A 选项，若S ＝N ，利用S 的Venn 图观察，则有M ∩N ＝∅，M ＝∅，故A 选项正确；对于B 选项，若S ＝∅，则M ＝N ，故B 选项正确；对于C 选项，反例：如图集合S 为如图2中的阴影部分，N ⊆M ，故C 选项错误；对于D 选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{4}，S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}＝{1,2,3,4}＝U ，而(∁U M )∪(∁U N )＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S ，故D 选项正确，故选ABD.图1 图24．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．23解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A ，B ，C 三个集合，故选D.5．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________． 解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4.若③正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4.若④正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2.所以符合条件的数组共6个． 答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 66．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．。
第1讲集合的概念及运算
因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的 有12人，
所以card(D)=12-2=10. 同理，得card(E)=6-2=4，
card(F)=5-2=3. 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人
数分别为21,17,10. 所以card(A)=21-2-10-4=5，
card(B)=17-2-10-3=2，
card(C)=10-3-2-4=1. 故需预定火车票的张数为 5+2+1+10+4+3+2=27.
解析
（ 1 ） 因 为 z=xy ， x∈{1,2} ， y∈{0,2} ， 故 xy=0,2,4 ， 从 而 A*B={0,2,4} ， 故 集 合A*B的所有元素之和为6.故选D.
（2）该班学生参加竞赛如图所示，集 合A、B、C、D、E、F、F中的任何 两个无公共元素，其中G表示三科都 参加的学生集合，card(G)=2.
分析
求m的取值范围，关键在于做好等价转换.
解析 A∩B≠
x2+mx-y+2=0 x-y+1=0(0≤x≤2)有解
方程x2+(m-1)x+1＝0在［0,2］上有解.
令f(x)=x2+(m-1)x+1,则f(0)=1>0.
(ⅰ)若有一解，则f(2)=3+2m≤0，所以m≤
;
3 2
(ⅱ)若有两解，则 f(2)≥0
点评 本题是属于创新型的概念理解题.
准确理解A*B是解决本题的关键所在，并 且又考查了集合元素的互异性，因此要 准确理解集合的含义，明确题目所要解 决的问题，从而使问题得以解决.
备选题
已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0}, B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2}. 如果A∩B≠ ，求实数m的取值范围.
总复习《第01讲 集合的概念与运算》
设A={1，2}，B={0，2}，则 A B 的 所有元素之和为 .
高中数学总复习
第1讲 集合的概念与运算
浙江省嵊州长乐中学
一.概念的理解
集合符号
A x p ( x)
yx
. .
的理解.
研究对象
对象满足的条件
例题1.已知A={y| 则A∩B= 变式1.若A={(x,y)| 则A∩B= 变式2.若A={ y| y 则A∩B=
}, B={y| y
x
},
y x }, B={(x,y)| y x }, x
二.重视空集的“参与”.
例题3. 作业第10题(2)和第7题.
A= 3,5
B x ax 1 0
问题1. 集合B有几个元素？
问题2. 满足
B A 的集合B有几种情况？
三.集合创新题.
例题4. 定义集合运算：
A B z z xy, x A, y B
}, B={ x| 合符号
A x p ( x)
x y
的理解.
研究对象
对象满足的条件
例题2. 讲义P2例1（2）.
x
y
0
1 1
2 2 1
0
0
1 2
1 0
2 1 0
一.概念的理解
2. 子集、真子集和空集.
(1) A中有n个元素： A的子集有 2n 个； A的真子集有 2n-1 个； A的非空真子集有 2n-2 个； (2) 空集是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集.
高中数学必修一第一章集合知识点总结
高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。
2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。
3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。
集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。
（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。
例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。
4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。
5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。
（2）无限集：含有无限个元素的集合。
（3）空集：不含任何元素的集合。
6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。
在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。
二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。
第1讲 集合的概念与运算学生(新高一培优十六讲系列)
第1讲 集合的概念与运算[玩前必备]1.元素与集合的概念(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合. (2)集合元素的特性：确定性、互异性. 2.元素与集合的关系(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合. ②无限集：含有无限个元素的集合. 4.常用数集的表示符号 把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法. 6.描述法(1)集合的特征性质如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质. (2)特征性质描述法集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为{x ∈I |p(x )}，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x )的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法. 7.集合间的基本关系A B(或B A)8.集合的运算(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；[玩转典例]题型一集合的基本概念例1(大纲全国，1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6例2 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[玩转跟踪]1.(新课标全国，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.102.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.3.(探究与创新)设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1).求证： (1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集.题型二 集合的表示方法例3 下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}. 问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？例4 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .[玩转跟踪]1.已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧m |m ＝x |x |＋y |y |＋⎭⎬⎫xy |xy |为( )A.{0,3}B.{1,3}C.{－1,3}D.{1，－3}2.(探究与创新)已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }： (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.题型三 集合间的基本关系例5 (2013·江苏，4)集合{－1，0，1}共有________个子集.例6 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ，412|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ，421|，则( ) A ．N M =B ．NM C ．MN D ．=N M I例7 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A . 求实数m 的取值范围.[玩转跟踪]1.设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( ) A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个2.(2016·山东北镇中学、莱芜一中、德州一中4月联考)定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B },若集合M ＝{1,2,3,4,5},集合N ＝{x |x ＝2k －1,k ∈Z },则集合M －N 的子集个数为( ) A.2 B.3C.4D.无数个3.已有集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的集合.题型四 集合的基本运算例8 (2016·全国Ⅰ,1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0},B ＝{x |2x －3>0},则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 例9 (2015·四川,1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0},集合B ＝{x |1＜x ＜3},则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 例10 (1)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}(2).(2011·江西，2)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0<x ≤1}∅C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}例11 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.[玩转跟踪]1.(2016·安徽安庆市第二次模拟)若集合P ＝{x ||x |＜3,且x ∈Z },Q ＝{x |x (x －3)≤0,且x ∈N },则P ∩Q 等于( )A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{0,1,2,3}2.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(M ∩P )∩SB.(M ∩P )∪SC.(M ∩P )∩(∁I S )D.(M ∩P )∪(∁I S )3.(探究与创新)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.[玩转练习]1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅D ．M ∪N ＝R3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为() A ．9 B ．8 C ．5 D ．44.(2018·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x |x <2}D ．{x |－2<x ≤1}5．(2018·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －3≤0，则A ∩B 等于( )A ．[0,3)B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}6．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5}7．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)8.满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________.9.设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________. 10.已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________.11.已知全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，若A ＝{b,2}，∁I A ＝{5}，求实数a ，b .12.已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .13.设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x ＜6}，B ＝{x |2＜x ＜9}. (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值构成的集合.14.已知集合A ＝{x |0＜x －a ≤5}，B ＝{x |－a2＜x ≤6}.(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若A∪B＝A，求a的取值范围.。
高考数学总复习第1讲 集合的概念与运算
D．{1,2,3,4,6}
解：因为 A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}， 所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．
ห้องสมุดไป่ตู้
答案：B
4．(2017·北京卷)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x＜
－2 或 x＞2}，则∁UA＝(
)
A．(－2,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
点评：(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表 元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还 是其他类型的集合．
(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的 特征，并注意用互异性进行检验．
(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
【变式探究】
1．(1)若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，
则 a 等于( )
A．4
B．2
C．0
D．0 或 2
(2)已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值
为
.
解：(1)当 a＝0 时，方程化为 1＝0，无解， 集合 A 为空集，不符合题意； 当 a≠0 时，由 Δ＝a2－4a＝0，解得 a＝4.
解：(2)因为 3∈A，所以 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3， 若 m＋2＝3，解得 m＝1，此时 A＝{3,3}与集合中元素的 互异性矛盾，所以 m＝1，不符合题意； 若 2m2＋m＝3，解得 m＝1(舍去)或 m＝－23. 检验知 m＝－32满足题意． 故所求 m 的值为－32.
3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合
非空时，要考虑空集的可能性，如 A⊆B，则有 A＝∅或 A≠∅
两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起 重视．
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第1讲集合的概念与运算一、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈}B ∁U A＝{x|x∈U且x∉A}常用结论|三种集合运用的性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．二、教材衍化1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P解析：选D．因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D．2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A．()(3)若A B，则A⊆B且A≠B．()(4)N*N Z.()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致错；(2)集合运算中端点取值致错；(3)忘记空集的情况导致出错．1．已知集合U ＝{－1，0，1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝________． 解析：因为A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0，1}，所以∁U A ＝{－1}． 答案：{－1}2．已知集合A ＝{x |(x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________.解析：由已知得A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2<x <4}，所以A ∩B ＝{x |2<x <3}，A ∪B ＝{x |1<x <4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}． 答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)3．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 解析：易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ， 所以N ⊆M ， 所以N ＝∅或N ＝M ， 所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1考点一 集合的概念(基础型)复习指导 | 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．核心素养：数学抽象1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个D ．无数个解析：选C ．依题意有A ＝{－2，－1，0，1，2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1，2，5}，故B 中有3个元素．2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C ．因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．已知集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜log 2k }，集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为________．解析：因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k ＞4，所以k ＞24＝16. 答案：(16，＋∞)4．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32与集合中元素有关问题的求解策略考点二 集合间的基本关系(基础型) 复习指导| 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义．核心素养：数学抽象(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为______． 【解析】 (1)由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ． 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎨⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． 【答案】 (1)D (2)(－∞，1][提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：选B ．因为A ＝{x |x >2或x <0}，因此A ∪B ＝{x |x >2或x <0}∪{x |－5<x <5}＝R .故选B ．2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7 B．8C．15 D．16解析：选A．法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．3．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}解析：选D．由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.故选D．考点三集合的基本运算(综合型)复习指导|1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．核心素养：数学运算角度一集合的运算(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝()A．{1，6} B．{1，7}C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}【解析】(1)依题意得∁U A＝{1，6，7}，故B∩∁U A＝{6，7}．故选C．(2)因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|x>－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D．【答案】(1)C(2)D集合基本运算的求解策略角度二利用集合的运算求参数(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4【解析】(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.【答案】(1)D(2)D根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．(2019·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2} B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}解析：选D ．通解：因为A ∩C ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，所以(A ∩C )∪B ＝{1，2，3，4}．故选D ．优解：因为B ＝{2，3，4}，所以(A ∩C )∪B 中一定含有2，3，4三个元素，故排除A ，B ，C ，选D ．2．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1≥0}，则右图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{－1}B ．{0}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}解析：选B ．阴影部分对应的集合为A ∩∁R B ，B ＝{x |x 2－1≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥1}，则∁R B ＝{x |－1<x <1}，则A ∩∁R B ＝{0}，故选B ．3．已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{m }．若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选D ．因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，即m ∈A ，得m 2≥4，解得m ≥2或m ≤－2. 考点四 集合的新定义问题(创新型)复习指导| 以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．核心素养：数学抽象定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝mn，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合BA∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B ．【答案】 B解决集合新定义问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．1．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A ＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．解析：由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．答案：{0，6}2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)[基础题组练]1．设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B ＝()A．{2} B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}解析：选D．由条件可得A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝() A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：选A．因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A．3．(2020·广东湛江测试(二))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为()A．1 B．2C．4 D．8解析：选C．因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．所以集合A∩B的子集个数为22＝4.故选C．4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4解析：选A．法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C13C13＝9，故选A．法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A．5．(2020·太原模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]解析：选C．因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B ＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C．B6．(2020·福建厦门3月质量检查)已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B ⊆A，则实数a的取值范围为()A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]解析：选D．A＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x－a<0}＝{x|x<a}．因为B⊆A，所以a≤1.故选D．7．(多选)(2021·预测)若集合A＝{x|x(x－2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是() A．{－1} B．{0}C．{1} D．{2}解析：选BCD．因为A＝{x|x(x－2)≤0}，所以A＝[0，2]．因为A∪B＝A，所以B⊆A．由选项知有{0}A，{1}A，{2}A．故选BCD．8．已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)＝∅C．M∪N＝U D．M⊆(∁U N)解析：选A．由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<1}，所以M∩N＝N.又∁U N＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁U N)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x<1}＝M，M⃘(∁U N)，故选A．9．(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B＝______，∁U A＝______．解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，所以A∩B＝{3}，则∁U A＝{2，5}．答案：{3}{2，5}10．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．答案：{x|0<x<1}11．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B ＝________．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．答案：[－1，2) (－∞，3]12．已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为________． 解析：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)[综合题组练]1．已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈R }，则下列选项正确的是( ) A ．M ＝N B ．N ⊆M C ．M ＝∁R ND ．∁R N ⃘M解析：选C ．由题意得M ＝{y |y ≤0}，N ＝{y |y >0}，所以∁R N ＝{y |y ≤0}，M ＝∁R N .故C 正确，A ，B ，D 错误．2．(创新型)如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |2x －x 2≥0}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B ＝( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D ．因为A ＝{x |2x －x 2≥0}＝[0，2]，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，由题图知A ⊗B ＝[0，1]∪(2，＋∞)，故选D ．3．(应用型)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ∩B ＝∅，①若当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若当2m ＜1－m ，即m ＜13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，解得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)4．(创新型)定义集合P ＝{p |a ≤p ≤b }的“长度”是b －a ，其中a ，b ∈R .已知集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫m ≤x ≤m ＋12，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫n －35≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．解析：集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫m ≤x ≤m ＋12，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫n －35≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ＋12≤2，可得1≤m ≤32；由⎩⎪⎨⎪⎧n －35≥1，n ≤2，可得85≤n ≤2.易知集合M ∩N 的“长度”的最小值是85－32＝110.答案：110。