§4.2(2) 配方法

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点到直线的距离公式)PPT全文课件

试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法一(几何法)：把圆的方程都化成标准形式,为 C 1:(x 1 )2(y4)225 C 2:(x2 )2(y2 )21 0
C 1 的圆心坐标是 (1, ,半4)径长 r1 5 ;
C 2 的圆心坐标是 ( 2 , 2,半) 径长 r2 1 0 ; 所以圆心距 C 1 C 2( 1 2 )2 T名师课件
练 1.圆x +y -2x=0与x +y +4y=0的位置关系是( C ) 点到直线的距离公式）PPT名师课件
22
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习 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2.
B
点到直线的距离公式）PPT名师课件
三、两相交圆的公共弦所在的直线方程点到直线的距离公式）PPT名师课件
1.若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．当两圆相切时，以上方程表示两圆的公切线方程。 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求出弦长．如图，首先求出圆心 O1 点到相交弦所在直线的距离 d，而 AC＝21l， ∴14l2＝r21－d2，即 l＝2 r21－d2，从而得以解决．
人教版·必修2·第四章《圆与方程》
4.2.2 圆与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y

高中人教B版辽宁数学必修1 第4章 4.2.2 二次函数的性质与图象

4.2.2 二次函数的性质与图象1．二次函数的概念函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，其定义域为R . 2．二次函数的性质与图象思考：由函数y＝ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象？[提示]y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为()A．－7B．1C．17D．25D[因为函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以m8＝－2，即m＝－16，所以y＝4x2＋16x＋5，所以当x＝1时，y＝25.] 2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()A．最小值是8，无最大值B．最大值是－2，无最小值C．最大值是8，无最小值D．最小值是－2，无最大值C[y＝－2(x＋1)2＋8的图象开口向下，所以当x＝－1时取最大值8，无最小值．]3．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图象对应的函数解析式为________．y＝x2－6x＋5[将函数y＝x2－2x的图象平移后，得到的解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－3＝x2－6x＋5.]4．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上________(填“单调递增”或“单调递减”)．单调递增[因为f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以2m＝0，即m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，因为二次函数对应的抛物线开口向下，所以f(x)＝－x2＋3在(－∞，0)上单调递增．]【例1】()A B C D(2)函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.(3)当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？(1)D(2)1[(1)A图，a＜0，c＜0，－b2a＜0，∴b＜0，∴abc＜0，不合题意．B图，a＜0，c＞0，－b2a＞0，∴b＞0，∴abc＜0，不合题意．C图，a＞0，c＜0，－b2a＜0，∴b＞0，∴abc ＜0，不合题意．D 图，a ＞0，c ＜0，－b2a ＞0，∴b ＜0，此时abc ＞0满足题意，故选D. (2)y ＝x 2－1的图象向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2＋1的图象，则m ＝1.](3)解：由二次函数的定义知⎩⎨⎧2－m ≠0，m 2＋m －4＝2，即⎩⎨⎧m ≠2，m 2＋m －6＝0，解得⎩⎨⎧m ≠2，m ＝－3或m ＝2，所以m ＝－3.所以当m ＝－3时，函数y ＝(2－m )xm 2＋m －4＋(m ＋8)x 为二次函数．观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a 的符号，在y 轴上的交点决定c 的符号(值)，对称轴的位置决定－b2a 的符号.另外，还要注意与x 轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.1．在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝－mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )A BC DD [当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 递增，且在y 轴上的截距为正，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 递减，且在y 轴上的截距为负，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向上，对称轴在y 轴左侧．满足上述条件的只有D 选项．]【例a 的取值范围是________．(2)若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝2对称，则b ＝________.(3)已知函数f (x )＝－12x 2－3x －52.①求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； ②已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝158，不计算函数值求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52；③不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154的大小．[思路探究] (1)f (x )的单调性⇒对称轴与区间关系． (2)图象对称⇒对称轴⇒定义域关于对称轴对称．(3)二次函数配方法⇒顶点、对称轴⇒利用对称性求值比较大小． (1)(－∞，－4]∪[1，＋∞) (2)10 [(1)f (x )的对称轴方程为x ＝－(a ＋1)，又因为f (x )在区间[－2,3]上是单调函数，所以－(a ＋1)≤－2或－(a ＋1)≥3. 解得a ≥1或a ≤－4，所以a 的取值范围是(－∞，－4]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知函数对称轴为2，且a ，b 关于x ＝2对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝2，a ＋b ＝2×2，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝10，所以b 的值为10.](3)解：f (x )＝－12x 2－3x －52＝－12(x 2＋6x ＋5) ＝－12(x ＋3)2＋2.①顶点坐标为(－3,2)，对称轴为x ＝－3.②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f (－3.5)＝f (－3－0.5)＝f (－3＋0.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝158. ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94. ∵－14，－94∈[－3，＋∞)，而f (x )在[－3，＋∞)上是减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154.1．利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系．2．比较二次函数函数值的大小的方法(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小． (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大． 3．二次函数图象的对称轴的三种求法(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b 2a . (2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22.(3)若二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )，则对称轴为x ＝a (a 为常数)．2．(1)设函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1.若对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，比较f (1)，f (2)，f (4)的大小．(1)[－5，＋∞) [二次函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f(x1)－f(x2)x1－x2>0恒成立，说明f(x)在[3，＋∞)上为增函数．又f(x)开口向上，所以－a－12≤3，解得a≥－5，所以a的取值范围是[－5，＋∞)．](2)解：函数f(x)对任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，所以二次函数的对称轴为x＝2，又开口向上并且|1－2|<|4－2|，所以f(2)<f(1)<f(4).[探究问题1．如果一个二次函数的对称轴在一个定区间内，如何求其最值？提示：函数在对称轴处取得最值．2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，求f(x)的最大值．提示：∵f(x)＝－x2＋4x＋a开口向下，对称轴x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增，最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(1)＝－1＋4＋a＝1.【例3】已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值．[思路探究]首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴，再看各区间内是否包含对称轴(数值)，从而确定各区间的性质后求其最值．[解]f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∴抛物线的对称轴为x＝1.(1)∵x＝1∈[0,4]，∴当x＝1时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(1)＝1.∵f(0)＝2<f(4)＝10，∴当x＝4时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(4)＝10.(2)∵x＝1∉[2,3]．∴f(x)在[2,3]上是单调增函数．∴当x＝2时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(2)＝2，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (x )max ＝f (3)＝5.(变条件)本题中解析式不变，求“当x ∈[t ，t ＋1]时，f (x )的最小值g (t )”． [解] f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，当t ＋1<1，即t <0时，函数在[t ，t ＋1]上为减函数，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＋1≥1且t <1，即0≤t <1时，g (t )＝f (1)＝1；当t ≥1时，函数在[t ，t ＋1]上为增函数， g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.∴g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1(t <0)，1(0≤t <1)，t 2－2t ＋2(t ≥1).求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[m ，n ]上的最值的步骤： (1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系；(3)求最值.若对称轴在区间[m ，n ]外，则f (x )在[m ，n ]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间[m ，n ]内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m ，n ]端点处取得.1．本节课的重点是二次函数的图象与性质，难点是二次函数性质的应用． 2．本节课要掌握的规律(1)根据函数的解析式确定函数图象． (2)利用函数的性质求参数的范围． (3)求二次函数的最值问题．3．本节课的易混点是当二次函数的对称轴不确定时求函数的区间最值问题.1．思考辨析(1)若函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数，则a ＝c ＝0.( )(2)二次函数y ＝ax 2＋c 在y 轴左侧是减函数，在右侧是增函数．( ) [解析] (1)因为y ＝ax 2＋bx ＋c 是奇函数，对任意的x 都有2ax 2＋2c ＝0，故函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数的条件是a ＝c ＝0.(2)当a ＞0时，函数在y 轴左侧是减函数，在右侧是增函数；当a ＜0时，函数在y 轴左侧是增函数，在右侧是减函数．[答案] (1)√ (2)×2．若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )A B C DC [由y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限可知a ＜0，b ＜0，所以y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下、对称轴方程x ＝－b2a ＜0，结合图选项可知，选C.]3．函数f (x )＝－x 2＋2x －3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－2 B ．－2，－6 C ．－2，－3D ．－3，－6B [∵f (x )＝－(x －1)2－2，∴当x ＝1时有最大值－2，当x ＝3时有最小值－6.]4．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1.(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，不计算函数值求f (0)；(3)不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154的大小． [解] f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23.(1)顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，对称轴是直线x ＝－13.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，所以结合二次函数的对称性可知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1.(3)由f (x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23知二次函数图象开口向上，且对称轴为x ＝－13，所以离对称轴越近，函数值越小．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34－⎝⎛⎭⎪⎫－13<⎪⎪⎪⎪⎪⎪154－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154.。

苏科版九上4.2一元二次方程的解法--配方法(1)课件

1：用配方法解下列方程(检测) (1) x2＋12x =－9
(2) －x2＋4x－3=0
用配方法解一元二次方程 x 2 x 24 0
2
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
1、书P93习题4.2
2
2、《数学补充习题》P41
思考：先用配方法解下列方程：（1） x2－2x－1＝0 （2） x2－2x＋4＝0 （3） x2－2x＋1＝0 然后回答下列问题：（1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？（2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件下才有实数根？
2
X2－4x＋1＝0
变形为
变形为
x2-4x+4=-1+4 （x－2）2=3
这个方程怎样解？

2
a
的形式．（ａ为非负常数）
解一元二次方程的基本思路
二次方程一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。当k≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程。当k<0时，原方程的解又如何？
例1：用配方法解下列方程 (1)x2 － 4x ＋3 =0
(2)x2 ＋ 3x －1=0
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.

4.2 一元二次方程的解法-配方法课件(2) (苏科版九年级上)

2.移项:把常数项移到方程的右边;
2
解 : 3x 8x 3 0.
2
x2
2
4 5 x . 3 3 4 5 x . 3 3 1 x1 , x2 3.
8 4 4 3.配方:方程两边都加上一 2 x x 1 . 3 3 3 次项系数一半的平方; 2 2 4 5 4.变形:方程左边分解因式,右边 x . 3 3 合并同类项;
你能行吗
3x2 +8x –3=0 ;
用配方法解下列方程.
1 这个方程与前4个方程不 (1) -3x=0 ; 一样的是二次项系数不是 4 1,而是3. 基本思想是: (2) x2－6x＋1＝0 如果能转化为前4个方程的形式,则问题即可解决.
x2
你想到了什么办法?
师生合作 1
配方法
例2 解方程 3x2+8x-3=0. 1.化1:把二次项系数化为1;Biblioteka 2、解方程4 x 1 3x
2
开启
智慧
做一做一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2 . 小球何时能达到10m的高度?
解 : 根据题意得
你能行吗
10 15t 5t 2 . 即t 2 3t 2. 2 2 3 3 2 t 3t 2 . 2 2 2 答 : 在1s时, 小球达到10m; 至最高点 3 1 t . 后下落, 在2s时, 其高度又为10m. 2 4
回顾与复习
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.

配方法的公式

配方法的公式
配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

配方法公式：（x+y）²=x²+2xy+y²。

在基本代数中，配方法是一种用来把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和的方法。

这种方法是把以下形式的多项式化为以上表达式中的系数a、b、c、d和e，它们本身也可以是表达式，可以含有除x以外的变量。

配方法通常用来推导出二次方程的求根公式。

用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式;
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数;
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根;如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

4.2 用配方法解一元一次方程

活动二：探索新知
归纳：
上面，我们把方程－4x＋3＝0变形为＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。
那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？
（3）（4）
布置作业：课后习题1
教学反思：
年级科目
九年级数学
课题
4.2用配方法解一元一次方程
主备人
审核人
总课时数
教学
目标
1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程；
2．经历用配方法求解一元二次方程的探究过程，体会转化的数学思想。
重点
难点
重点：利用配方法解一元二次方程
难点：把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式
试一试：对下列各式进行配方：
(1) ；
(2) ；
（3）；
通过练习，使学生探讨配方的关键是
活动三：运用新知解决问题
用配方法解下列方程：
（1）－6x－7＝0；（2）＋3x＋1＝0.
三归纳总结，பைடு நூலகம்力提升
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:
（1）、移项:把常数项移到方程的右边;
（2）、配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
＋2x＝5；（2）－4x＋3＝0.
三、自主学习，合作探究
活动一：自主探究，合作交流
试一试：
解下列方程：＋2x＝5；（2）－4x＋3＝0.
思考 :能否经过适当变形，将它们转化为

新人教版九年级数学上册：《配方法》教案

§2．2 配方法课时安排3课时从容说课配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.本节的重点、难点是配方法．根据课程的特点，以及学生的认知结构特点，本节内容分三课时．在教学时，首先从前面两节课的实例引入求精确解.因为我们已经能解形如(x+a)2=b(b ≥0)的方程，所以想到要求一个一元二次方程的精确解时，是否可把方程转化为已经能解的方程，这时引入了一元二次方程的解法——配方法．配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征．教学方法主要是学生自主探索、发现的方法．第三课时课题§2．2.1 配方法(一)教学目标(一)教学知识点1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．(二)能力训练要求1．会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法．2．体会转化的数学思想方法．3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(三)情感与价值观要求通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力．教学重点利用配方法解一元二次方程教学难点把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式．教学方法讲练结合法教具准备投影片六张：第一张：问题(记作投影片§2．2．1 A)第二张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 B)—第三张：议一议(记作投影片§ 2．2．1 C)第四张：想一想(记作投影片§2．2．1 D)第五张：做一做(记作投影片§2．2．1 E)第六张：例题(记作投影片§2．2．1 F)教学过程Ⅰ．创设现实情景，引入新课[师]前面我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?[生甲]如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。

配方法

配方法高考问题求解中的数学方法一般是指“配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、”等.有时在解决更小范围内的数学问题所使用的的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法、等积法”等.配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ；a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab ＝(a ＋b 2)2＋（32b ）2；a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c)2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2－2(ab －bc －ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）2；x 2＋12x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x)2＋2 ；解析几何中的韦达定理和弦长公式；…… 等等. 练一练： 1若实数a,b,c 满足,9222=++c b a 则()()()222a c c b b a -+-+-的最大值为2方程x 2＋y 2－4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____3 已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为______4 函数y ＝log 12 (－2x 2＋5x ＋3)的单调递增区间是_____5. 已知方程x 2+(a-2)x+a-1=0的两根x 1、x 2，则点P(x 1,x 2)在圆x 2+y 2=4上，则实数a ＝_____ 6 双曲线 12222=-b y a x 的两个焦点F 1，F 2，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，求P 到x 轴的距离.解析：1：如何求最大值，只有对所求值重新整理，凑用题设和配方切入，()()()()()()().27,2793222322222222222222所求最大值为∴≤++-⨯=+++++-++=---++=-+-+-c b a ca bc ab c b a c b a ca bc ab c b a a c c b b a2：配方成圆的标准方程形式(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，解r 2>0即可，k<14或k>1。

配方法ppt课件

（1）；
[答案] ，
（2） .
[答案] ，
能力提升
10.已知， ,求的值.
[答案] 54
中考链接
11.（2022·雅安）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为( ) .
C
A. B.0 C.3 D.9
12.（2020·浙江）比较与的大小.
人教版九年级数学上册课件
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
自主学习
自主导学
1.配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法.即将一元二次方程化成一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，得到_ ____________的形式，开平方即可得方程的解.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）尝试（用“ ”“ ”或“ ”填空）
①当时， _ __ ；
②当时， _ __ ；
③当时， _ __ .
（2）归纳：若取任意实数，与有怎样的大小关系？试说明理由.
[答案] .理由：，
典例分享
例解方程：
（1）；
[答案] 解由，得，即，所以，所以原方程的解为， .
（2） .
[答案] 移项，得 .配方，得，即因为实数的平方不会是负数，所以取任何实数时，都不成立，即原方程无解.
方法感悟配方时，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，前提条件是二次项的系数为1，否则计算时容易出错.
轻松达标
1.将方程的左边配成完全平方形式后，所得方程为( ) .
A
A. B. C. D.以上答案都不对
2.用配方法解一元二次方程，配方后的方程为( ) .

配方法用的知识点

配方法用的知识点配方法作为数学中的一种重要技巧，广泛应用于代数、解析几何、三角学等多个领域。

它通过将复杂的数学表达式转化为更简单的形式，从而帮助我们更容易地解决问题。

本文将详细介绍配方法所涉及的关键知识点，包括二次多项式的配方、配方法的几何意义、配方法在解一元二次方程中的应用以及配方法在求解最值问题中的应用。

一、二次多项式的配方二次多项式的配方是配方法的基础。

对于形如ax²+bx+c（a≠0）的二次多项式，我们可以通过配方将其转化为(x+m)²+n的形式。

具体步骤如下：1. 将二次项和一次项提取出来，即ax²+bx。

2. 为了使这个表达式成为一个完全平方，我们需要加上和减去(b/2a)²，即a(x²+bx/a+(b/2a)²-(b/2a)²)。

3. 这样，我们就可以将前三项写成完全平方的形式，即a[(x+b/2a)²]-(b ²/4a)。

二、配方法的几何意义配方法不仅具有代数意义，还有几何意义。

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图像是一个抛物线。

通过配方，我们可以将这个抛物线平移和伸缩，从而更容易地研究它的性质。

例如，当我们将y=ax²+bx+c配方成y=a(x+m)²+n的形式后，可以直接读出抛物线的顶点坐标为(-m,n)，这对于研究抛物线的开口方向、对称轴等性质非常有帮助。

三、配方法在解一元二次方程中的应用解一元二次方程是配方法的重要应用之一。

对于形如ax²+bx+c=0（a ≠0）的一元二次方程，我们可以通过配方将其转化为(x+m)²=n的形式，从而更容易地求解。

具体步骤如下：1. 将方程移项，使得等式右边为常数，即ax²+bx=-c。

2. 两边同时除以a，得到x²+bx/a=-c/a。

3. 对左边进行配方，得到(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²。

北师大版八年级上册数学第四章教案

北师大版八年级上册数学第四章教案一、教学内容本节课选自北师大版八年级上册数学第四章《一元二次方程》，具体内容包括：4.1 一元二次方程的概念；4.2 一元二次方程的解法；4.3 一元二次方程的应用。

二、教学目标1. 知识与技能：理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能解决实际问题。

2. 过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高逻辑思维能力和运算能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作、探究的学习精神。

三、教学难点与重点重点：一元二次方程的概念和解法。

难点：一元二次方程解法在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

学具：教材、练习本、草稿纸。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个实际问题：一个长方形的长比宽多3厘米，面积是12平方厘米，求长方形的长和宽。

2. 例题讲解讲解4.1节中的一元二次方程的概念，结合实际问题，引导学生列出方程，并解释方程的各个部分。

3. 随堂练习让学生独立完成4.1节后的练习题，巩固一元二次方程的概念。

4. 解法讲解讲解4.2节中的一元二次方程的解法，包括直接开平方法、配方法、公式法等。

5. 应用拓展结合4.3节内容，让学生运用一元二次方程的解法解决实际问题。

七、板书设计1. 一元二次方程的概念2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法八、作业设计1. 作业题目（1）列出教材4.1节后的练习题；（2）解决实际问题：一个正方形的面积比一个长方形的面积多4平方厘米，已知正方形的边长为2厘米，求长方形的长和宽。

2. 答案（1）练习题答案见教材；（2）长方形的长为3厘米，宽为1厘米。

九、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对一元二次方程的概念和解法掌握情况，以及对实际问题的解决能力。

2. 拓展延伸：布置一道难度较大的实际问题，让学生在课后独立完成，提高学生的应用能力。

初中数学《配方法》教案维语

初中数学《配方法》教案维语第一章：配方法的引入1.1 学习目标理解配方法的概念和意义。

学会使用配方法将二次项系数化为1。

1.2 教学内容引入配方法的必要性，通过举例让学生感受到配方法在解决二次方程中的作用。

讲解配方法的步骤和技巧，如何将一般形式的二次方程转化为完全平方形式。

1.3 教学活动通过实际例子，让学生尝试解决二次方程，引导学生发现配方法的必要性。

讲解配方法的步骤，让学生跟随老师一起完成一个配方法的例子。

学生分组练习，老师巡回指导，解答学生的疑问。

1.4 作业布置请学生完成课后练习，选择几个配方法的题目进行练习。

第二章：配方法的应用2.1 学习目标学会使用配方法解决实际问题，如面积、体积计算等。

2.2 教学内容通过实际问题引入配方法的应用，讲解如何将实际问题转化为二次方程。

举例讲解如何使用配方法解决面积和体积计算问题。

2.3 教学活动老师展示一个实际问题，引导学生思考如何使用配方法解决。

讲解配方法在解决实际问题中的应用，引导学生跟随老师一起解决一个实际问题。

学生分组练习，老师巡回指导，解答学生的疑问。

2.4 作业布置请学生完成课后练习，选择几个配方法在实际问题中应用的题目进行练习。

第三章：配方法的拓展3.1 学习目标理解配方法与完全平方公式的关系。

学会使用完全平方公式进行配方法。

3.2 教学内容讲解配方法与完全平方公式的联系，引导学生理解两者的相互转化。

举例讲解如何使用完全平方公式进行配方法。

3.3 教学活动老师通过一个例子，引导学生发现配方法与完全平方公式的关系。

讲解如何使用完全平方公式进行配方法，让学生跟随老师一起完成一个例子。

学生分组练习，老师巡回指导，解答学生的疑问。

3.4 作业布置请学生完成课后练习，选择几个使用完全平方公式进行配方法的题目进行练习。

第四章：配方法的综合应用4.1 学习目标学会综合运用配方法解决复杂问题。

4.2 教学内容通过复杂问题引入综合运用配方法的概念，讲解如何将配方法与其他数学技巧结合使用。

配方法

主备人贺芳用案人授课时间2011年月总第课时课题 4.2 一元二次方程的解法（2）课型新授教学目标1.理解配方法2.会熟练、灵活地运用配方法解数字系数为1的一元二次方程3.通过解题过程的反思，获得解决新问题的经验，体会配方法的解题思想和方法重点用配方法解数字系数为1的方程难点熟练、灵活地用配方法解数字系数为1的一元二次方程教法及教具引导探索合作交流归纳总结教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一情境引入：如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条互相垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得更低的面积为5000米²，道路的宽应为多少？教师出示问题并启发学生找到解决问题的方法；让学生观察思考：如何解方程二自主探究：1、知识铺垫填空：①完全平方式________项式，其中有___ 项是完全平方项，_______ 项是这两个数（式）乘积的2倍.②92++mxx是完全平方式，则m=__________③4axx++122是完全平方式，则a=__________解方程：①3112=x② (x-2)²=52.、探索：如何解方程0462=++xx？学生观察、分析、思考找出解决问题的途径小组合作交流寻找解题思路思考完全平方式的形式，完成所给试题求出m .a的值解方程思考并交流找方程的解法先把常数项移到方程的右边，得 x ²+6x=-4 即x ²+2⨯3x ⨯=-4在方程的两边都加上一次项系数6的一半的平方，即3²后，得x ²+23⨯x ⨯+3²=-4+3² (x+3)²=5解这个方程，得 X+3=±5所以x1=-3+5 x2=-3-5 像这样，先把一个一元二次方程变形为(x+h)²=k 的形式，（其中h 、 k 都是常数）如果k 0≥,再通过直接开平方法求出方程的解这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

4.2.2 圆与圆的位置关系

(0 a) 2 (0 b) 2 r 2 则有 (0 a) 2 (6 b) 2 r 2 a b 0
a 3. 解得 b 3. r 3 2 .
2
( 所以所求圆的方程为： x 3)
( y 3) 2 18 。
20
2
(2)2 41 (3) 16
用Δ判断两所以方程④有两个不相等的实根x1，x2 把x1，x2代入方程③得到y1，y2 圆的位置关
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点系 A(x1,y1),B(x2,y2)
11
例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法二：把圆C1和圆C2的方程化为标准方程：
§4.2.2
圆与圆的位置关系
直线和圆的位置关系
r
d
C
d l
C d l
C l
相交：d
r
相切：d
r
相离：d
r
2
小结：判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法）圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
2
问题探究2
C (5, 5)
A(a, b)
y
C、A、O三点共线
kCO kAO 5 0 b 0 5 0 a 0
ab
| AO | 3 2
A
O C x
B
a 2 b2 3 2
17
• 2.求经过点M(3,-1) ,且与圆 x2 y2 2x 6 y 5 0 • 切于点N(1,2)的圆的方程。

一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法

一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法第1篇第2篇第3篇第4篇第5篇更多顶部第一篇：配方法解一元二次方程的教案第二篇：一元二次方程复习教案(正式)第三篇：4.2.3一元二次方程的解法(教案)第四篇：教案一元二次方程的应用第五篇：一元二次方程根的分布教案更多相关范文第一篇：配方法解一元二次方程的教案配方法解一元二次方程的教案教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。

一、教学目标（一）知识目标1、理解求解一元二次方程的实质。

2、掌握解一元二次方程的配方法。

（二）能力目标1、体会数学的转化思想。

2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。

（三）情感态度及价值观通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。

二、教学重点配方法解一元二次方程的一般步骤三、教学难点具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。

四、知识考点运用配方法解一元二次方程。

五、教学过程（一）复习引入1、复习：解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

2、引入：二次根式的意义：若x2=a(a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a。

实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。

（二）新课探究通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。

通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。

问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。

这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，具体解题步骤：2解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6xdm2列出方程：60x2=1500x2=25x=±5因为x为棱长不能为负值，所以x=5即：正方体的棱长为5dm。

圆与圆的位置关系1

x − 2x − 3 = 0
2
(4)
则 ∆ = (−2) − 4 ×1× (−3) = 16 > 0
2
所以，方程有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根x 所以，方程(4)有两个不相等的实数根 1,x2，分别代入方程(3)，得到y1,y2. 把x1,x2分别代入方程，得到因此圆C 与圆C 因此圆 1与圆 2有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2).
消去y（或x）消去y
圆心到直线的距离d 圆心到直线的距离点到直线距离公式）（点到直线距离公式）
px2 + qx + t = 0
d < r : 相交 d = r : 相切 d > r : 相离
∆ > 0: 相交 ∆ = 0: 相切 ∆ < 0: 相离
直线和圆的位置关系
比较d和比较和r1，r2的大小，大小，下结论
∆ > 0: 相交 ∆ = 0:内切或外切 ∆ < 0: 相离或内含
课后作业
1. 阅读教材P.129到P.130；阅读教材到； 2. 书面作业：书面作业：习题4.2 组（1）必做题）必做题P.132习题 A组 4, 9. 习题习题4.2 组（2）选做题）选做题P.132习题 A组 11 习题
思考题：思考题：若两圆C 若两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 =0相交相交，和 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则其公共弦所在直线的方程是 =0， (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0，那么过交点的圆系方程是什么？交点的圆系方程是什么？