弹性力学—第五章—差分法

n
应力函数的差分解（9）
o
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB) 对于多连体问题，在一条边界上可 以采用以上三个公式，对另一条边 y 界则需要通过位移单值条件求得边 界上一个基点的应力函数及其对应 的偏导值，然后再利用未简化的1-3 式求解。
n
应力函数的差分解（10）
对于边界外一行，利用下面的 差分公式：
x 12 8 4 5 11 3 0 1 7 2 6 h 10 B 9 h A 13
y
可得到：
14
应力函数的差分解（11）
差分法解平面问题的步骤： 1）在边界上任意选定一个结点作 为基点使 。 2）然后由 式计算面力的矩及面 力之和计算边界上各结点的 值及 必需的一些 ， 值。 3）将边界外一行各虚结点的 值 用边界内相应的结点处的 值表示。 4）对边界内各结点建立差分方程， 求解方程并计算应力分量。
y
差分公式的推导（4）
x 12 8 4 5 11 3 0 1 7 2 6 9 h A 13
y
h
10 B
14
应力函数的差分解（1）
x 12 8 4 5 11 3 0 1 7 2 6 9 h A 13
y
h
10 B
14
对于边界内距边界距离大于h的结点可建立如下方程：
应力函数的差分解（2）
对于距边界内一行的结点建立的方 程须用到边界上的结点以及边界外 一行上的结点的应力函数值。因此 首先我们要用边界条件确定边界上 的点的应力函数值。
F
D
4 5 6 1 2 3 C y
x A B
E D
F
4 5 6 1 2 3 C
x A B
q
y
q
h x 12 8 4 5 11 3 0 1 7 2 6 10 B 9 h A 13
y
14
应力函数的差分解（12）
将应力函数在B点周围泰勒展开： 0 B 9
将0，1以及9点的坐标代入上式：
1
差分法实例（1）
问题：正方形的深梁，上边受有均布 向下的铅直载荷q，由下角点处的反力 维持平衡，试求应力分量。 解答：取坐标轴如图所示，并取网 格间距为六分之一边长。利用对称 性，只取左边一半做研究。
A 13
差分法就是把微分用有限差分代替，把导数用有限差商 代替，从而把基本方程和边界条件（一般均为微分方程） 近似地改用差分方程（代数方程）来表示，从而把求解 微分方程的问题转化成求解代数方程的问题。
差分公式的推导（1）
设函数f为弹性体内的某一个连 续函数（可以是应力函数，应 力分量函数，位移函数…）， 将函数f在0点处沿3-0-1这条平 行于x轴的直线展开：
q
18 17 16 J K L M 22 I 3 2 1 23 H 6 5 4 24 G 9 8 7 25 F 12 11 10 26 E ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 14 13 x h
D C B A
21 20 19 y
h
1）取A点为基点，计算P90页表中各值。 2）计算边界外一行各结点处的 值。
差分法实例（2）
3）对边界内各结点可列15个差分方程。
y h x
12
8 4 5 11 3 0 1 9
h A 13
7 2 6
10 B 14
差分公式的推导（2）
网格间距h很小：
x 12 8 4 5 11 3 0 1 9
h
A 13
联立求解：
y h
7 2 6 10 B 14
差分公式的推导（3）
x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 h 10 B 14 h A 13
y A
-dx dy ds
x
s
B (xB, yB)
n
应力函数的差分解（8）
o
-dx dy ds
A s
x
第一式：表示A与B之间的x方向的 面力之和。 y 第二式：表示A与B之间的y方向的 面力之和的负数。 第三式：表示A与B之间的面力对B 点的力矩之和，在如右图的坐标系 中，顺时针为正。
B (xB, yB)
由于： 对应力函数在s上利用分部积分 做积分： o
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB) 联合下式： y
n
得到：
应力函数的差分解（6）
（1）
（2） 代入 y （3） o
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB)
n
得到：
应力函数的差分解（7）
由于在应力函数中加上一个线性函 o 数不影响应力的解，因此我们可以 假想通过在应力函数中加上一个特 殊的线性函数使得应力函数在A点的 值以及对x和y的一阶偏导都为零。 从而使1-3式有如下简化形式：
q
18 17 16 J K L M 22 I 3 2 1 23 H 6 5 4 24 G 9 8 7 25 F 12 11 10 26 E 15 14 13 x h
如对结点1：
4）解方程并计算边界外一行各结点 值。 5）计算应力。
D C B A
21 20 19 y
h
如对结点M：
差分法实例（4）
如果弹性体的形状对称于xz平 面和yz平面，而且面力分布也 对称于这两个面，如右图。为 了减少未知数的个数，我们采 用对称的网格，但是按照通常 方法计算各结点的 值不能保 证其具有对称性。 q q
弹 性 力 学 及 有 限 元
第五章 用差分法和变分法解平面问题
胡 衡
武汉大学土木建筑工程学院
二零零八年四月
差分法简介
x
差分法是微分方程的一种近似数 值解法。它不是去寻求函数式的 解答，而是寻求函数在一些网格 结点上的数值。
y h
12 8 4 5 11 3 0 1 7 2 6 10 B 14 9
h
y h x 12 8 4 5 11 3 0 1 7 2 6 10 B 9 h A 13
14
应力函数的差分解（3）
o
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB) y
n
应力函数的差分解（4）
o
-dx dy ds
A s
x
从基点A到边界上任意点B对s积分
B (xB, yB) y
n
应力函数的差分解（5）
H
E 4 5 6 1 2 3 C A B
F
F
G D
F
x
F
q
y
q
试以C点为基点计算G结点和H结点的应力函数值。
差分法实例（5）
q F
E
q
H
F
x
F
G D
4 5 6 1 2 3 C
A B
F
q F
E
y
q F
分别以A点和C点作为基点计 算下列两种情况的应力函数 及其偏导值，然后再将两种 情况的结果相加就可以利用 对称性仅用6个未知数来求 解该问题了。 q q