弹性力学—第五章—差分法

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弹性力学-05(差分法与变分法)

（5-6）
y
h
说明：以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分方程
应力分量的差分表示 x
12
8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：
2 2 2 x 2 , y 2 , xy xy y x
B A d A x dx A y dy B 2 B 分步积分： x A x 2 dx x x A B B
两边积分，有：
d dx dy x y
s是x 的函数： —s —x 2 dx dx 2 x x x d ds dx ds x dx d 2 ds dx 2 ds x x
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4

4
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
B
O
B y y A Xds B A
A
yB
（ d）
xB
B
– dx
dy ds
B A Y ds x B x A

Y
X

弹性力学有限差分法基本原理47页文档

1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
弹性力学有限差分法基本原理 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
47

弹性力学简明教程第四版第五章：有限差分发和变分法概论

§5－2应力函数的差分解
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的值，就可以求得各结点的应力分量。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程）双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是或的二次函数，所以基本差分公式（5－1）

弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件
目录
• 引言 • 差分法解平面问题 • 变分法解平面问题 • 有限元法的基本原理 • 弹性力学问题的有限元解法实例 • 总结与展望
01
引言
弹性力学简介
01 弹性力学的定义和研究内容
02 弹性力学与其他力学分支的关系
03
弹性力学的发展历程和应用领域
差分法和变分法概述
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
三维弹性力学问题的有限元解法
建立刚度矩阵
根据每个三维单元的物理特性，建立刚度矩阵K，该矩阵包含了材料的弹性常数和
每个节点的位移信息。
A 定义三维离散网格
将连续的弹性体离散化为Biblioteka 限个小的三维单元，每个单元之间通过节
点连接。
B
C
D
求解节点位移
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
建立约束方程
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f ，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
06
总结与展望
差分法和变分法的优缺点比较
直观易懂，易于编程实现
差分法优点
对于稳定问题，解的精度和收敛速度一般较好
差分法和变分法的优缺点比较
差分法的定义和基本原理变分法的定义和基本原理差分法和变分法在弹性力学中的应用
平面问题概述
平面问题的定义和分类
弹性力学中的平面问题及其研究意义
平面问题的基本特点和求解方法
02
差分法解平面问题
差分法的基本原理
01
有限差分法是一种将连续的物理问题离散化为网格上的数学问题的方法。

差分法名词解释

差分法名词解释
差分法（Difference Methods）是一种通过有限差分近似导数，进而求解
微分方程的数值方法。

这种方法的基本思想是将微分用有限差分代替，将导数用有限差商代替，从而将原微分方程近似地改写为差分方程，然后求解这个差分方程以得到原微分方程的近似解。

在数学中，差分法可以用于求解微分方程的近似解，特别是在无法得到精确解的情况下。

例如，在弹性力学中，差分法和变分法常被用于解决平面问题。

此外，差分法还可以用于比较两个分数大小时，当使用“直除法”或“化同法”等其他速算方式难以解决时，差分法可以作为一种有效的速算方式。

以上信息仅供参考，建议查阅数学专业书籍或者咨询专业人士了解更多关于差分法的知识。

弹性力学-05(变分法)

微分提法解法（1）平衡微分方程,=+j i ij X σ（2）几何方程)(21,,i j j i ij u u +=ε（3）物理方程[]ij kk ij ij Eδμσσμε−+=)1(1（4）边界条件ji ij X n =σii u u =定解问题求解方法（1）按位移求解（平衡微分方程（2）按应力求解（（（（（求解联立的微分方程组求解特点：（解析解微小单元平衡变形材料性质§5-4 弹性体的形变势能和外力势能变分提法解法基本思想：所有可能的解求解线性方程组整个弹性系统能量关系变分方程在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题能量法（a ）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。

（b ）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。

（c ）同时以位移、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。

——位移法——力法有限单元法边界元法离散元法数值解法求解方法数值解法基本思想：导数差分求解线性方程组实质：变量离散变分方程区域离散单元可能解求解大型的线性方程组有限单元法边界单元法离散单元法1. 形变势能的一般表达式Px单向拉伸：1形变势能（）U 11l l A P Δ11比能三向应力状态：σσyσzyzτzy τyxτxyτxz τzx τ三向应力状态：σσyσzyzτzy τyxτxyτxz τzx τ次序无关形变比能y y x x εσεσ111++yz yz zx zx τγτγ++1形变势能：2. 形变势能的应变分量表示)(12x y y E μεεμσ+−=)(12y x x E μεεμσ+−=xy xyE γμτ)1(2+=22212122(1)2xy x y xy E U μεεμεεγμ−⎡⎤=+++⎢⎥−⎣⎦2x y x y εεμεε+++⎢111表明：3. 形变势能的位移分量表示222121()()2()2(1)2E u v u v u v U x y x y x y μμμ⎡⎤∂∂∂∂−∂∂=++++⎢⎥−∂∂∂∂∂∂⎣⎦()()2(μ++++⎢外力的虚功：;,,Z Y X ZY X ,,Xu Yv +Xu Yv +由于外力做的功消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹性体的外力势能为：§11-2 位移变分方程1. 泛函与变分的概念（1）泛函的概念xF泛函P1)(xMEIB l x泛函形变势能泛函（2）变分与变分法自变量的增量函数增量微分问题P1)(xMEIBlx)(xy)(xy yδP1)(xMEIB lx ) (xy)(xy yδ自变函数的增量泛函的增量变分问题变分的运算变分与微分运算：)(x f =⎟)(x f =⎟)(x f =⎟⎟变分运算与微分运算互相交换变分与积分运算：变分运算与积分运算互相交换复合函数的变分：y δ+复合函数的变分：y δ+⎢++⎥⎢′+y y y y δδδδ极大值极小值2. 位移变分方程形变势能位移变分qP应力边界S σ满足：平衡方程、几何真实解（1）任给弹性体一微小的位移变化：wv u δδδ,,满足两个条件：（（wv u δδδ,,满足两个条件：（（qP应力边界S σw位移的变分虚位移由于位移的变分，引起的外力功的变分和外力势能的变分为：X u Y δδ+X u Y δδ+微小的为约束所允许（2）考察弹性体的能量变化从而引起形变势能的变分为：()()()y xy u v u δδεδδγδ==+，，由于位移的变分，引起的应变的变分为：设：位移变分方程Lagrange 变分方程WU δδ=X u Y δδ+它表明：在实际平衡状态发生位移的变分时，物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。

弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

分析差分解法的优点和局限性，探讨其在实际应用中的适用范围。
05 弹性力学平面问题的变分法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解各种平面问题和空间问题，如平面应变问题、平面应力问题、弹性地基上的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问题的变分方程。

第五章第一节差分法公式推导xin

l
2 y2
s
m
2 xy
s
fx
m
2 x2
s
l
2 xy
s
fy
l cos(n, x) cos dy
ds
m cos(n, y) sin dx
ds
dy ds
2 y2
s
dx ds
2 xy
s
fx
dx ds
2 x2
s
dy ds
2 xy
s
fy
第五章用差分法和变分法解平面问题
A 0,
x
|A
0,
，
y
|A
0
即可根据面力分量求得边界s上任一点
B,
x
|B ,
y
|B
第五章用差分法和变分法解平面问题
(d)和(e)简化为：
B
y
B
f x ds
A
B
x B
f yds
线性应力函数
A
A到B，x方向面力之和 A到B，y方向面力之和
不影响应力。
第二节应力函数的差分解
B
B
B ( yB y) fxds (x xB ) f yds
要求：理解这些近似解法，而且能够应用该近似解法。
第五章用差分法和变分法解平面问题
第一节差分公式的推导
1 差分法定义
第一节差分公式的推导
差分法是微分方程的一种近似数值解法。它不是去寻求函数的解答，而是去求出函数在一些网格结点上的数值。
差分法就是把微分方程用有限差分代替，把导数用有限差商代替，从而把基本方程和边界条件（一般均为微分方程）改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题变换成为求解代数方程的问题。

弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理

弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理弹性力学是研究物质在外力作用下发生弹性变形的力学学科，其求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。

首先，弹性力学的求解方法主要包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。

材料本构方程是描述材料的力学性质和变形规律的方程。

根据材料的不同性质和变形特点，可以选用不同的本构方程。

常用的本构方程包括胡克定律、庞加莱-克莱葛尔方程等。

通过假设材料是各向同性、线弹性等，可以建立相应的本构方程。

边界条件是指在弹性力学问题中，给定的物体表面上的约束条件。

边界条件的建立是弹性力学问题求解的基础。

一般情况下，边界条件包括位移边界条件和力边界条件。

位移边界条件是指物体表面上的位移限制，力边界条件是指物体表面上的力的作用情况。

通过建立合理的边界条件，可以求解出问题的解。

解方程的方法包括解析方法和数值方法。

解析方法是指通过分析和计算得到方程的解析解，解析解有精确度高、可视化好的优点。

数值方法是指通过数值计算得到方程的数值解，数值解可以通过计算机程序进行求解，适用范围广。

其次，弹性力学的一般性原理是指弹性力学问题的基本原理和公式。

弹性力学的一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。

平衡原理是指物体在外力作用下的平衡条件。

根据平衡原理，可以通过力的平衡方程建立弹性力学问题的公式。

平衡方程可以通过平衡力的矢量和等于零来表示。

相容性原理是指物体在变形过程中的相容性条件。

根据相容性原理，物体在变形过程中，任意两个小变形都相容。

相容性原理可以用于控制弹性力学问题的求解范围。

构造方程是用来描述物体在外力作用下的变形状态的方程。

通过对变形量的定义和方程的建立，可以得到物体的变形状态和应变状况。

综上所述，弹性力学的求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。

求解方法包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。

一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。

弹性力学的求解方法和一般性原理的运用，能够帮助研究者解决复杂的弹性力学问题，进一步推动该学科的发展。

弹性力学概念整理—BY傅国强

弹性力学总结BY 傅国强弹性力学：是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度变化等原因而发生的应力、形变和位移。

弹性力学的研究方法是：在弹性体区域内必须严格地考虑静力学（微分体平衡条件）、几何学（形变和位移之间的几何关系）和物理学（应力和形变之间的关系）三方面的条件，在边界上必须严格地考虑受力条件和约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解。

（不同于材料力学采用了平截面假定简化了几何条件，只适用于杆状构件）外力：是指其他物体对研究对象的作用力，分为体积力和表面力，也分别成为体力（分布在物体体积内的力，N/M3）和面力（分布在物体表面的力，N/M2）。

内力：是物体收到外力作用以后物体内部不同部分之间相互作用的力，内力的平均集度即平均应力，正面和负面：凡外法线沿坐标轴正方向的，称为正面，凡外法线沿坐标轴负方向的，称为负面。

切应力互等性：作用在两个相互垂直的面上并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号一致）。

形变：即形状的改变，可以用其各部分的长度和角度表示。

线应变：单位伸缩或相对伸缩，伸长为正。

切应变：各线段之间的直角改变量，直角变小为正。

位移：即位置的移动，沿坐标轴正方向为正。

弹性力学的基本假定：1)连续性，假定物体介质所填满，不留下任何空隙，是连续的，这表示应力、形变、位移等是连续的，可用坐标的连续函数表示其变化规律；2）完全弹性，假定物体在引起形变的外力去除之后能够完全恢复原形而没有任何残余变形，这表示形变和应力是呈线性关系的；3）均匀性，假定整个物体由同一材料组成的，这表示物体的弹性不随坐标改变而变化；4）各向同性，假定物体的弹性在所有各个方向都相同，这表示物体的弹性常数不随方向而改变；满足以上四个条件的就是理想弹性体5）位移和形变是微小的，假定物体受力后各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，且应变和转角远小于1，主要是为了：1.可以用物体变形前的尺寸来代替变形后的尺寸、2.转角和应变的二阶量可以忽略不计，仅保留一次项、3.几何方程和平衡微分方程可以简化为线性方程，应用叠加原理。

弹性力学简明教程第五章

T 0, （在A中）,
2
(a)
Ts Tb ,
T ( ) s qb , n
（在 S1上）, （在 S 2 上）.
(b) (c)
稳定温度场的基本方程 (a) 是拉普拉
斯方程；在 S1 上的第一类边界条件是已
知边界上的温度值；在 S 2 上的第二类边
界条件是已知热流密度值，其中是导
式(c)称为向前差分公式。
(c )
f 对结点3，f 3 f 0 h( ) 0 , 得： x
f 1 ( ) 0 ( f 0 f 3 ), x h
式(d)称为向后差分公式。
(d )
线性的向前或向后差分公式，主要用于对时间导数的公式中。
例1 稳定温度场中的温度场函数 T(x，y)应满足下列方程和边界条件：
35 30 25
a
b
22
22
20
17
解：对a、b列出方程如下：
4Ta (32 35 22 Tb ) 0, 4Tb (Ta 30 20 22) 0。
解出
（度）. Ta 28.53, Tb 25.13
思考题
1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分
公式的区别。
2. 应用抛物线差分公式 (5-2) ，试导出三

抛物线差分公式
从上两式解出o点的导数公式，
f 1 ( )0 ( f1 f 3 ), x 2h 2 f 1 ( 2 ) 0 2 ( f1 f 3 2 f 0 )。 x h
(b)
式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式。
抛物线差分公式
导数差分公式
导数差分公式的导出：在平面弹性体上划分等间距h 的两组网格，分别∥x 、y 轴。网格交点称为结点，h称为步长。

弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理

弹性⼒学第五章第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理知识点弹性⼒学基本⽅程边界条件位移表⽰的平衡微分⽅程应⼒解法体⼒为常量时的变形协调⽅程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性⼒学基本求解⽅法位移解法位移边界条件变形协调⽅程混合解法应变能定理解的唯⼀性原理圣维南原理⼀、内容介绍通过弹性⼒学课程学习，我们已经推导和确定了弹性⼒学的基本⽅程和常⽤公式。

本章的任务是对弹性⼒学所涉及的基本⽅程作⼀总结，并且讨论具体地求解弹性⼒学问题的⽅法。

弹性⼒学问题的未知量有位移、应⼒和应变分量，共计15个，基本⽅程有平衡微分⽅程、⼏何⽅程和本构⽅程，也是15个。

⾯对这样⼀个庞⼤的⽅程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解⽅法。

根据这⼀要求，本章的主要任务有三个：⼀是综合弹性⼒学的基本⽅程，并按边界条件的性质将问题分类；⼆是根据问题性质，确定基本未知量，建⽴通过基本未知量描述的基本⽅程，得到基本解法。

弹性⼒学问题的基本解法主要是位移解法、应⼒解法和混合解法等。

应该注意的是对于应⼒解法，基本⽅程包括变形协调⽅程。

三是介绍涉及弹性⼒学求解⽅法的⼀些基本原理。

主要包括解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性⼒学问题解建⽴基础。

如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。

⼆、重点1、弹性⼒学的基本⽅程与边界条件分类；2、位移解法与位移表⽰的平衡微分⽅程；3、应⼒解法与应⼒表⽰的变形协调⽅程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性⼒学的基本⽅程及其边值问题学习思路:通过应⼒状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建⽴了⼀系列的弹性⼒学基本⽅程和边界条件。

本节的主要任务是将基本⽅程和边界条件作综合总结，并且对求解⽅法作初步介绍。

弹性⼒学问题具有15个基本未知量，基本⽅程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分⽅程。