第六章---运筹学-整数规划案例
运筹学-整数规划
整数线性规划
篮球队选队员问题
篮球队要选择5名队员上场组成出场阵容参加比赛。
8名篮球队员的身高及擅长
(1) 只能有一个中锋上场；
(2) 至少有一名后卫；
(3) 若1号和4号都上场,则6号不出场；
(4) 2号和8号至少保留一个不出场。
提问：应当选择哪5位上场，才能使出场的五名队员平均身高最高？
分析与求解：
0-1整数规划问题
设0-1变量x i
x i =第名队员未选上第名队员被选上
设第i名队员的身高为a i（i=1,2……,8），则目标函数为：建立模型的限制条件为：
使用MATLAB的intlinprog函数求解0-1规划问题，代码如下：
f=[-0.384 -0.380 -0.376 -0.372 -0.370 -0.366 -0.360 -0.356 ];
A=[1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 -1 -1 -1];
b=[1;1;2;-1]
aeq=ones(1,8)
beq=5
intcon=8
lb = zeros(8,1);
ub = ones(8,1);
x=intlinprog(f,intcon,A,b,aeq,beq,lb,ub)
求解结果：
LP: Optimal objective value is -1.864000.
x =
1
1
1
1
1
即第2、3、4、5、6名队员被选上。
最大平均身高为1.864米。
《运筹学》之整数规划
…
Bn
…
X1n
…
X2n
……
…
Xnn
指派问题：分配要求
分配 B1 B2 … Bn 工作数
A1
X11
X12
… X1n
∑X1j
A2
X21
X22
… X2n
∑X2j
…
…
…
……
…
An 人数 要求
Xn1 ∑Xi1 1
Xn2 ∑Xi2 1
… Xnn … ∑Xin …1
∑Xnj
要求 1 1
… 1
指派问题：模型
n n
X1 1
P1:(1,9/10 X2 2 X2 3 P12: (0,3) Z=9
原问题的最优解（1，2） Z=10。
指派问题
设有n 个人A1, A2, …An,要分派去做n件事B1, B2… Bn,要求每一件事都 必须有一个人去做,而 且不同的事由不同的人去做.已知每个人Ai做每 件事Bj的效率(如劳动工时或成本,或创造的价值 等)为Cij,问应如何进行指派(哪个人做哪件事),才 能使 工作效益最好(如工时最少,或成本最低,或 创造的价值最大)?
乙
19 23 22 18
丙
26 17 16 19
丁
19 21 23 17
指派问题：思考问题
1、人数比工作数多怎么处理？ 2、人数比工作数少，模型会怎
样变化? 3、计算机求解方法？
特殊约束的处理
➢互斥约束 ➢矛盾约束 在建立数学模型时，有时会遇到相 互矛盾的约束，模型只要求其中的 一个约束起作用。
12 8
x5
6 相机
2 4
x6
7 设备
4 10
x7
整数规划解法与实际案例分析
整数规划解法与实际案例分析整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在实际问题中有着广泛的应用。
整数规划问题是指决策变量被限制为整数的线性规划问题，通常用于需要做出离散决策的情况。
在本文中，我们将介绍整数规划的基本概念和解法，并结合一个实际案例进行分析，以帮助读者更好地理解整数规划的应用。
### 整数规划的基本概念整数规划是一种特殊的线性规划问题，其决策变量被限制为整数。
一般来说，整数规划可以分为纯整数规划和混合整数规划两种情况。
纯整数规划要求所有的决策变量都是整数，而混合整数规划则允许部分决策变量为整数，部分为连续变量。
整数规划可以用数学模型来描述，通常形式如下：$$\begin{aligned}\text{Maximize} \quad & c^Tx \\\text{Subject to} \quad & Ax \leq b \\& x \in \mathbb{Z}^n\end{aligned}$$其中，$c$、$x$、$b$ 分别为目标函数系数向量、决策变量向量和约束条件右端常数向量，$A$ 为约束条件系数矩阵，$x \in\mathbb{Z}^n$ 表示 $x$ 是一个整数向量。
### 整数规划的解法整数规划问题的求解相对复杂，因为整数约束使得问题的解空间不再是连续的，而是离散的。
针对整数规划问题，通常有以下几种解法：1. **穷举法**：穷举法是最直接的方法，即枚举所有可能的整数解，然后逐一计算目标函数值，找出最优解。
然而，穷举法在问题规模较大时会变得非常低效。
2. **分支定界法**：分支定界法是一种常用的整数规划求解方法。
它通过不断将整数规划问题分解为子问题，并对子问题进行求解，直到找到最优解为止。
3. **割平面法**：割平面法是一种基于线性规划的整数规划求解方法。
它通过不断添加线性不等式约束（割平面）来逼近整数解，直到找到最优解为止。
4. **分支定价法**：分支定价法是一种高级的整数规划求解方法，通常用于解决混合整数规划问题。
运筹学课件 第六章-整数规划3
物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
设变量xij为第i个物品是否放在第j个包裹中
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
• 保证需求约束
x11 + x21 + x31 = 450 x12 + x22 + x32 = 275 x13 + x23 + x33 = 300 x14 + x24 + x34 = 350
} 项目1 } 项目2 } 项目3 } 项目4
最大供应量 525 450 550
约束条件：
厂家1一旦向某项目供应水泥，其至少供应量为150。 厂家2对单个项目供应量超过200吨的项目数不大于1。总产量=450 厂家3仅接受 200, 400, 和 550 吨这三个规格的货单。
1 中锋 1.93 2 中锋 1.91 3 前锋 1.87 4 前锋 1.86 5 后卫 1.80 6 后卫 1.85
配送计划模型
• 某建筑公司为完成4个工程项目，需要从3个厂家购买水泥，有关成
本如下
厂家1 厂家2 厂家3 需求量(吨)
项目1 $120 $100 $140 450
水泥的吨运费
项目2 $115 $150 $95 275
xi
0, 不携带第i件物品 1, 携带第i件物品 (i
1,2,, m)
m
max z ci xi i 1
m
ai xi
a
st.
i 1 m
bi
管理运筹学案例演示混合整数规划
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 J CPM/PERT
B Integer Programming
1234567
K Inventory Models
C Zero One Programming
1234567
L Queueing Theory
D Goal Programming
12345678
H Decision Theory
Q Game Theory
I Network Models
ESC Exit to Dos
123
总目录
例1.(投资问题 )某厂要制订一个产品宣传计划，可利用的广告渠 道有三种：电视、广播、杂志。市场调研的结果如下表所示。该 厂计划用于广告费用不超过 16万元。此外还要求：（ 1）受到广 告影响的妇女至少要有200千人；（2）电视广告费用不超过10万 元；（3）白昼电视至少要订 3个广告，热门时间至少 2个广告； （4）广播和杂志上的广告数都应在5到10之间。该厂如何制订一 个广告计划使受到影响的总人数最多。
每个广告的费用（千元）
电
白昼时间
8
视
热门时间
15
广杂 播志
63
每个广告影响总人数（千人）
40
90
50 2
每个广告影响妇女数（千人）
30
40
20 1
解：设电视白昼时间的广告个数为 x1、电视热门时间的广告个 数为 x2、广播的广告个数为 x3、杂志的广告个数为 x4。
该广告计划模型为：
max z ? 40x1 ? 90x2 ? 50x3 ? 2x4
金属板吨劳动力人月机器设备台月小号容器中号容器大号容器不考虑固定费用每种容器售出一只所得的利润分别为4万元5万元6万元可使用的金属板有500吨劳动力有300人月机器有100台月此外不管每种容器制造的数量是多少都要支付一笔固定的费用
第六章 整数规划(应用运筹学)
x2≥3
线性规划B6 Z5=6 x1=0 , x2=3
z6
z 6
§3 0—1规划Binary integer programming
当我面临是与非两种选择时，我们可以用决策变量取0或1值来表示 这样的决策，这样，地j个是非决策问题可以表示成
if decision j is yes, 1 如果决策是 xj if decision j is no 0 如果决策是非
x2 3 2 1 2x1+3x2 =6 o 1 2 3 4 x1 2x1+3x2 =14 2x1+3x2 =14.66
得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 由图表可看出，整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为14。
性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目
B0
max z =x1+2x2 s.t. 2x1+5x2 ≤ 15 2x1－2x2 ≤5 x1 , x2≥0
x2为整数的限制条件，得规 划B0对应的最优解与最优 值如下，而 X=(0，0)为A0 3 的可行解 B0 13 3 T 11 X (3 ,1 ) , z 6 14 7 14
2x1＋5x2=15
(1)每求出一次符合整数的解，都要考虑修改下界
函数值最大者为新的下界 (2)修改
z
，选整数解的目标
z
0
z ，找出所有未 分枝问题目标函数值最大者，为新的上界 z 当改变完上、下界 z ，z 后，若 z ＝ z，则所有分枝均已查明，得到 A
的最优解， 若
z＞ z
，则说明仍有分枝未查明，返回到第四步
分枝定界法
分枝定界法步骤
管理运筹学案例演示混合整数规划
? ?
1 1
? ?
y4
?
1
??x1, x2, x3, x4 ? 0, yj ? 0 , j ? 1,2,3,4
用QM软件求解结果如下：
最优方案 :装配线A生产100件,装配线 B生产1400件,装配线 C 生产1000件,装配线D生产1500件;
例3.(固定成本问题)高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属 容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所 需所需的各种资源的数量如下表：
?8x1 ? 15x2 ? 6x3 ? 3x4 ? 160 ??30x1 ? 40x2 ? 20x3 ? x4 ? 200
???8x1x1??315x2 ? 100
? ?
x2
?
2
?5 ? ?5
? ?
x3 x4
? 10 ? 10
?? xj ? 0 , j ? 1,2,3,4 , 整数
用QM软件求解结果如下：
使用计算机软件包求解(附件1)
A Linear Programming
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 J CPM/PERT
B Integer Programming
1234567
K Inventory Models
C Zero One Programming
1234567
L Queueing Theory
每个广告的费用（千元）
电
白昼时间
8
视
热门时间
15
广杂 播志
63
每个广告影响总人数（千人）
40
90
50 2
每个广告影响妇女数（千人）
30
40
20 1
解：设电视白昼时间的广告个数为 x1、电视热门时间的广告个 数为 x2、广播的广告个数为 x3、杂志的广告个数为 x4。
运筹学基础-整数规划(2)
【例 2 】求解 0-1 规划最优解
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 -5x2+3x3 ≤4 (1) 4x1 + x2+3x3 ≥3 (2) x2+x3 ≥1 (3) x1 , x2 , x3 =0或 1
解： 先将问题化为如下的标准问题
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
0 13 aij－列min 6 (0) 0 (0) 5 0 0 1 (0) 7 0 6 9 3 2 0 (0) 0 2 15 10 4 9 14 7 8 13 14 16 11 4 15 13 9
（a）从行开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在列 （b）再从列开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在行
∑ ∑
指派问题的解法－－匈牙利法 指派问题的解法－－匈牙利法 －－
从时间表（效率表）出发构建效率矩阵 效率矩阵。 效率矩阵
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
分配表
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
E x11 x21 x31 x41 1
i
J x12 x22 x32 x42 1
G x13 x23 x33 x43 1
ij x ij
R x14 x24 x34 x44 1
合计
1 1 1 1
运筹学 第六章 整数规划 第一讲 整数规划数学模型与纯整数规划的求解
A B C D E
6 4 2 4 5
10 8 7 6 9
A，B，C，D，E 之间的关系是： ① A、C、E 三项中需且只能选一项； ② B、D 两项中需且只能选一项； ③ 选 C 必须先选 D 。 问题：如何选择投资决策，使总投资期望值最大？
6.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP
① 求解LP : 如果LP无最优解, 则IP无最优解;
设LP的最优解为x , 最优值为z , 则IP的最优值z * 满足 :
z z* z
其中 z 为IP在任何一个可行解处的目标值.
② 检验与分支：
如果x 满足IP的整数要求, 则x为IP的最优解：z* z . 否则 考虑一个不满足整数要求的xr , 将约束
示不安排第i人去做 j工 作。逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。
整数线性规划数学模型的一般形式：
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1 n
要求一部分或全部决策变量取整数值
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
xr xr 和
xr xr 1
分别加入LP形成两个子问题 a] ([
不超过a的最大整数)
6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming
Ch6 整数规划 Integer Programming
n
max
z cj xj
j 1
ij j
不考虑整数条件，由余下的目标函数和 约束条件构成的规划问题称为该整数规 划问题的松弛问题。
运筹学--整数规划 ppt课件
三、投资问题
某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末
回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为4万元，第 二、三、四年不限； 项目B：第三年初需要投资，到第五年未能回收本利128％， 但规定最低投资金额为3万元，最高金额为5万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年未能回收本利140%， 但规定其投资额或为2万元或为4万元或为6万元或为8万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，此项投资金额不限。
= 1.15x1A+ 1.06x2D； 第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D =
1.15x2A+ 1.06x3D； 第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是 x5D =
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以 保证当 yi = 0 时，xi = 0 。
这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 -
200y3
s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
一、投资场所的选择
京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售
门市部，拟议中有10个位置 Aj ( j＝1，2，3，…，10)可供 选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规
运筹学习题答案第六章
运筹学习题答案第六章运筹学习题答案第六章第一节：线性规划线性规划是运筹学中的一种重要方法，它通过建立数学模型来解决实际问题。
在第六章中，我们学习了线性规划的基本概念和求解方法。
本节将针对第六章的习题提供详细的解答。
第1题：某公司生产两种产品，产品A和产品B。
每单位产品A的利润为5万元，每单位产品B的利润为4万元。
产品A每单位需要3个工时，产品B每单位需要2个工时。
公司每天有8个小时的工时可用。
求解公司每天应生产多少单位的产品A和产品B，才能使利润最大化？解答：设产品A的产量为x，产品B的产量为y。
根据题意可得以下线性规划模型：目标函数：Max Z = 5x + 4y约束条件：3x + 2y ≤ 8非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0根据图形法，我们可以绘制出约束条件的图形，并找到最优解。
通过计算，我们得到最优解为x = 2，y = 1。
即公司每天应生产2个单位的产品A和1个单位的产品B，才能使利润最大化。
第2题：某公司有两个生产车间，分别生产产品A和产品B。
车间1每天可生产产品A 4个单位或产品B 2个单位；车间2每天可生产产品A 3个单位或产品B 6个单位。
产品A的利润为3万元，产品B的利润为2万元。
公司每天有8个小时的工时可用。
求解公司每天应生产多少单位的产品A和产品B，才能使利润最大化？解答：设车间1生产的产品A的单位数为x1，车间2生产的产品A的单位数为x2。
设车间1生产的产品B的单位数为y1，车间2生产的产品B的单位数为y2。
根据题意可得以下线性规划模型：目标函数：Max Z = 3x1 + 2x2 + 2y1 + 3y2约束条件：4x1 + 3x2 ≤ 82x1 + 6x2 ≤ 8非负约束：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0，y1 ≥ 0，y2 ≥ 0通过计算，我们得到最优解为x1 = 2，x2 = 0，y1 = 0，y2 = 1。
即公司每天应生产2个单位的产品A和1个单位的产品B，才能使利润最大化。
运筹学实验6整数规划
实验六、用EXCEL 求解整数规划用单纯形法求解线性规划问题，最优解可能是整数，也可能不是整数，但在很多实际问题中，要求全部或部分变量的取值必须是整数，如所求的解是安排上班的人数，按某个方案裁剪钢材的根数，生产设备的台数等等。
对于整数解的线性规划问题，不是用四舍五入或去尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要用整数规划的方法加以解决，如分枝定界法和割平面算法。
这些算法比单纯形法更为复杂，因此，一般的学习者要想掌握整数规划的数学算法有一定的困难。
然而事实上，由于Excel 的[工具][规划求解]可以求解整数规划问题，所以，对于一个真正有志于运用运筹学方法解决生产经营中问题的管理者来说，算法将不是障碍因素。
一、实验目的1、 掌握如何建立整数线性规划模型，特别是0～1逻辑变量在模型中的应用。
2、 掌握用Excel 求解整数线性规划模型的方法。
3、 掌握如何借助于Excel 对整数线性规划模型进行灵敏度分析，以判断各种可能的变化对最优方案产生的影响。
4、 读懂Excel 求解整数线性规划问题输出的运算结果报告和敏感性报告。
二、 实验内容1、 整数规划问题模型该问题来自于《运筹学基础及应用》（第四版）胡运权主编P126习题4.13,题目如下: 需生产2000件某种产品，该种产品可利用A 、B 、C 、D 设备中的任意一种加工，已知每种设备的生产准备结束费用、生产该产品时的单件成本以及每种设备限定的最大加工数量（件）如表1所示，问企业应该如何安排设备生产该产品才能使得总的生产成本最少，试建立该问题的数学模型并求解。
该产品可以利用四种不同的设备加工，由于采用不同的设备加工需要支付不同的准备结束费用，而如果不采用某种设备加工，是不需要支付使用该设备的准备结束费用的，所以必须借助于逻辑变量来鉴定准备结束费用的支付。
再设，种设备加工的产品数量为利用第设;4,3,2,1=j j x j⎪⎩⎪⎨⎧=>=）种设备生产（即，若不使用第）种设备生产（即若使用第000,1j j i x j x j y 4,3,2,1=j则问题的整数规划模型为：43214321281624207008009801000min x x x x y y y y z +++++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≤≤≤≤=+++4,3,2,110,01600120010009002000..443322114321j y x y x y x y x y x x x x x t s j j，或2、 [工具][规划求解]命令求解下面我们用Excel 中的[工具][规划求解]对该问题进行求解。
运筹学课程06-整数规划(胡运权 清华大学)
NEUQ
全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外，系数 和常数也要求取整数（这时引进的松弛变量和剩余变量也必须 是整数）。
混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非负整数， 另一部分可以取非负实数。 0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数。
14
NEUQ
3、IP与LP关系：
设整数规划问题如下
c1n c2n cin b c nn
min Z Z b
min Z Z b
，则X 0也是 min Z的最优解 若X 0是 min Z的最优解
24
NEUQ
指派问题的最优解： 若 C中有n 个位于不同行不同列的零元素，则令这
些零元素对应的变量取1，其余变量取零，即得指派问 题的最优解 匈牙利算法：
B1 B2 L Bn A1 c11 c12 L c1n a1 f1 A2 c21 c22 L c2 n a2 f 2 M M M M M M Am cm1 cm 2 L cmn am f m b1 b2 L bn
6
NEUQ
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m； j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
NEUQ
整数规划 Integer Linear Programming
整数规划的难度远大于一般线性规划
1
NEUQ
本章主要内容
整数规划的模型 0－1 整数规划
指派问题
分支定界法 割平面法
2
NEUQ
一、整数规划的模型
1、案例： 某财团有 B万元的资金，经初期考察选中 n个 投资项目，每个项目只能投资一个。其中第 j 个项目需投资金额为 b j ( j 1, 2,L , n) 万元， 预计5年后获利 c j 万元，问应如何选择项目使 得5年后总收益最大？
第六章---运筹学-整数规划案例
第六章---运筹学-整数规划案例第六章整数规划用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。
1、 max z=3x1+2x2. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥0求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。
3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、 min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋ x6-10 x16≤0x7+ x8＋ x9-20 x17≤0x10+ x11＋ x12-30 x18≤0x13+ x14＋ x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第6章 整数规划
解为：
表 6-1 问题 B1 z1 = 349 x1 = 4.00 x2 = 2.10
问题 B2 z2 = 341 x1 = 5.00 x2 = 1.57
显然没有得到全部变量是整数的解。现存在两个打开节点 B1 和 B2，因 z1 > z2 ，故将 z 改 为 349，那么必存在最优整数解，得到 z* ，并且
3．定界与剪枝：通过不断的分枝和求解各个子问题，分枝定界法不断修正其上下界的 过程称为定界。上界通常由各打开节点中最大的目标函数值确定，下界则由已经找到的最好 的整数解来确定。求解任何一个子问题都有以下三种可能的结果。
(1)子问题无可行解。此时无需继续向下分枝，该节点因不可行而被关闭。因为与父节 点相比，子节点是一个约束得更紧得的问题（比父节点多一个约束）。如果父节点不可行，
z3 = z = z* = 340 问题 B3 得解 x1 = 4.00 ， x2 = 2.00 为最优整数解。
问题 B
x1=4.81 x2=1.82 z0=356
z=0, z=356
x1 4
问题 B1
明显减少搜索的计算量。所有节点的被关闭表明搜索已经完成。如果此时没有找到任何整数
解，则该问题没有整数解；否则搜索过程中得到的最好的整数解就是该问题的最优解。
6.2.2 分枝定界算法
下面结合一具体例子来说明分枝定界法是如何工作的。
例 2 求解 A
max z = 40x1 + 90x2
①
⎧⎪⎪⎨⎪79xx11x++1,27x02xx2≥2≤0≤5760
0 ≤ z* ≤ 349 继续对问题 B1 和 B2 进行分解，因 z1 > z2 ，故先分解 B1 为两支。增加条件 x2 ≤ 2 者，称为问 题 B3 ；增加条件 x2 ≥ 3 者称为问题 B4 。在图 1-4 中再舍去 x2 > 2 与 x3 < 3 之间的可行域，再 进行第二次迭代。解题过程的结果都列在图 1-5 中。可见问题 B3 的解已都是整数，它的目 标函数值 z3 = 340 ，可取为 z ，而它大于 z4 = 327 。所以再分解 B4 已无必要。而问题 B2 的 z2 = 341，所以 z* 可能在 340 ≤ z* ≤ 341 之间有整数解。于是对 B2 分解，得问题 B5 ，既非整 数解，且 z5 = 308 < z3 ，问题 B6 为无可行解。于是可以断定
运筹学整数规划案例
0-1变量的作用
1…方案j被选中 1. xj＝
0…方案j未被选中
n
2. 从n个方案中必须选中一个： x j 1 j 1 n
3. 从n个方案中最多选中m个： x j m j 1
4. 方案i只有在方案j选中时，才可能被选中：
xi x j
5. 方案i与方案j是否选中是同时的： xi x j
解：
令0-1变量为决策变量，即xi＝1表示选中项目i， 否则xi＝0表示项目i未被选中。则模型可以表示为：
max z= 150x1 +210x2 +60x3 +80x4 +180x5
s.t.
210x1 +300x2 +100x3 +130x4 +260x5 ≤600
x1
+x2
+x3
=1
x3
+x4
=1
0y2+70000y3+40000y4
s.t.
x11+x12+x13≤1000y1
x21+x22+x23≤1000y2
x31+x32+x33≤1000y3
x41+x42+x43≤1000y4
x11+x21+x31+x41≥600
x12+x22+x32+x42≥700
x13+x23+x33+x43≥800
y2-y4≤0
y1+y2+y3+y4≤3
y3+y4 ≤ 1
工厂选址运输问题
设有n个需求点，有m个可供选择的厂址， 每个厂址只能建一个工厂，在i处建厂，生产 能力为Di，单位时间的固定成本为ai，需求点 j的需求量为bj，从厂址i到需求点j的单位运费 为Cij，问应如何选择厂址才能获得经济上的总 花费最小的方案。
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第六章整数规划用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。
1、 max z=3x1+2x2. 2x1+3x2≤122x1+x2≤9x1、x2≥0解：2、 min f=10x1+9x2. 5x1+3x2≥45x1≥8x2≤10x1、x2≥0求解下列整数规划问题1、 min f=4x1+3x2+2x3. 2x1-5x2+3x3≤44x1+x2+3x3≥3x2+x3≥1x1、x2、x3=0或1解：最优解（0，0，1），最优值：22、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3. -4x1+x2+x3+x4≥2-2x1+4x2+2x2+4x2≥4x1+x2-x2+x2≥3x1、x2、x3、x3=0或1解：此模型没有可行解。
3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4. 5x1+3x2+3x3+x4≤302x1+5x2-x2+3x2≤20-x1+3x2+5x2+3x2≤403x1-x2+3x2+5x2≤25x1、x2、x3、x3=正整数解：最优解（0，3，4，3），最优值：474、 min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19约束条件x1 + x2+x3≤30x4+ x5＋ x6-10 x16≤0x7+ x8＋ x9-20 x17≤0x10+ x11＋ x12-30 x18≤0x13+ x14＋ x15-40 x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20x i为非负数（i=1,2…..8）x i为非负整数（i=9,10…..15）x i为为0－1变量（i=16,17…..19）解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表：公司办公会决定选择原则如下：（1）B5、B3和B7只能选择一个。
（2）选择了B1或B14就不能选B6。
（3）B2、B6、B1、B12，最多只能选两个。
（4）B5、B7、B10、B8，最少要选两个。
问应选择哪几个点，使总的建店费用为最低解：数学模型：min f＝ x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x8+ x9+3 x10+ x11+ x12+ x13+ x14. x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14=8x3+ x5-2 x7=2x1+ x6=1x6+ x14=1x1+x2+x6+x12≤2x5+x7+x8+x10≥2x i≥0且x i为0－1变量，i＝1，2，3， (14)最优解：（1，1，1，1，1，0，0，0，1，0，0，0，1，1）最优值：。
即：B1，B2，B3，B4,B5,B9,B13,B14选中，建店的最低费用万元。
有四个工人（甲、乙、丙、丁），要分别指派他们完成四项不同的工作（A、B、C、D），请按以下要求求解指派问题。
1、每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何分配工作，才能使总的消耗时间为最少每人完成各项工作的所需时间小时2、每人做各项工作所创的利润如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的创利为最多解：1线性规划数学模型：min f=18x1+16x2+19x3+20x4+16x5+20x6+19x7+18x8+17x9+21x10+12x11+15x12+20x13. x1+x2+x3 =1x4+x5+x6=1x7+x8+x9+x10=1x11+x12+x13=1x1+x7+x11 =1x2+x4+x8 +x12 =1x5+x9+x13 =1x3+x6+x10 =1x i≥0且x i为0－1变量，i＝1，2，3， (13)最优解：（0，1，0，0，1，0，0，0，0，1，1，0，0，），最优值：65。
即：给甲分配工作B，给乙分配工作C，给丙分配工作D，给丁分配工作A，所用最少的时间为65小时。
2、总的创利为最多问题线性规划数学模型：max Z =41+52+73+94+75+5x6+6x7+8x8+3x9+4x10+3x11+5x12+7x13+6x14+8x15+8x16. x1+x2+x3 +x4 =1x5+x6+x7+x8=1x9+x10+x11+x12=1x13+x14+x15+x16=1x1+x5+x9 +x13 =1x2+x6+x10+x14=1x3+x7+x11+x15=1x4+x8+x12+x16=1x i≥0且x i为0－1变量，i＝1，2，3，…，16最优解：（0，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0,1,0），最优值：28。
即：给甲分配工作D，给乙分配工作A，给丙分配工作B，给丁分配工作C，所创最多的利润为28元。
某企业在A1地已有一个工厂，其产品的生产能力为3万箱，为了扩大生产，打算在A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。
已知在A2地建厂的固定成本为万元，在A3地建厂的固定成本为30万元，在A4地建厂的固定成本为万元，在A5地建厂的固定成本为50万元，另外，五个产地建成后的产量、销地的销量以及产地到销地的单位运价（万元/万箱）如下表所示。
（1）问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小；（2）如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂解（1）整数规划数学模型：min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x40+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+ x16+30x17+ x18 +50 x19. x1 + x2+x3≤3x4+ x5＋ x6- x16≤0x7+ x8＋ x9-2x17≤0x10+ x11＋ x12-3x18≤0x13+ x14＋ x15-4x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝3x2 + x5+ x8+x11+ x14＝2x3 + x6+ x9+x12+ x15＝2x i为非负整数(i=1,2…..15)x i为0－1变量(i=16,17…..19)最优解：（3，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，2，2，0，0，0，1）最优值：86。
即：安排A1地到B1地3万箱，A5地到B2，B3地各2万箱，选中A5地。
(2) 我们只要在以上模型上加上一个约束条件：x16+ x17=1，就得到了问题（2）的数学模型：min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x40+7 x11+5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+ x16+30x17+ x18 +50 x19. x1 + x2+x3≤3x4+ x5＋ x6- x16≤0x7+ x8＋ x9-2x17≤0x10+ x11＋ x12-3x18≤0x13+ x14＋ x15-4x19≤0x1 + x4+ x7+x10+ x13＝3x2 + x5+ x8+x11+ x14＝2x3 + x6+ x9+x12+ x15＝2x16+ x17=1x i为非负整数(i=1,2…..15)x i为0－1变量(i=16,17…..19)最优解：（0，1，2，0，1，0，0，0，0，3，0，0，0，0，0，1，0，1，0）最优值：94。
即：安排A1地到B2地1万箱，B3地2万箱A2地到B2地1万箱A4地到B1地3万箱A4地到B1地3万箱选中A2，A4两地。
某航空公司经营兰州、北京、广州三个城市之间的航线，其中兰州—北京飞行时间为2小时；北京—广州飞行时间为3小时；广州—兰州飞行时间为3小时；这些航线每天班机起飞与到达时间如下表：设飞机在机场停留期间的费用与停留时间的平方成正比，又每架飞机从降落到再起飞至少需要2小时的时间准备。
确定一个使总的停留费用损失为最小的方案。
解：现在有两本题需注意的两个问题1、三个城市间的飞行，航班的安排分别是在三个城市中完成的；2、到站的航班必须2小时后才能起飞。
这是一个指派问题，（1）城市兰州效益表：指派结果：（2）城市北京指派结果：（3）城市广州收益表：指派结果：用的最少时间为117 a。
某地区有两个镇，它们每周分别产生700吨和1200吨固体废物。
现拟用三种方式（焚烧、填海、掩埋）分别在三个场地对这些废物进行处理。
两城镇至各处理场所的运输费用、解：混合整数规划问题数学模型：min f=+21x2+21x3+17x4+++3850y1+1150y2+1920y3. x1+x2+x3=700x4+x5+x6=1200x1+x4-1000y1≤0x2+x5-500y2≤0x3+x6-1300y3≤0x i (i=1,2….6) y1、y2、y3=0—1结果：即两城镇处理固体废物的方案城镇1焚烧100吨，掩埋600吨城镇2填海500吨，掩埋700吨总的最小费用：46170元。
某建设公司有四个正在建设的项目，按目前所配给的人力、设备和材料，这四个项目将分别可以在15、20、18和25周内完成，管理部门希望提前完工，决定追加35000元资金分配给这四个项目，并规定追加资金只能以5000元为单位进行分配。
对于各个项目，资金追加后的工期变化情况如下表：解：本问题的0-1整数规划数学型：min f = 15x1+20x2+18x3+25x4+12x5+16x6+15x7+21x8+10x9+13x10+12x11+18x12+8x13+11x14+10x15+16x16+7x17+9x18+9x19+14x20+6x21+8x22+8x23+12x24+5x25+7x26+7x27+11x28+4x29+7x30+6x31+10x32. x1+x5+x9+x13+x17+x21+x25+x29=1x2+x6+x10+x14+x18+x22+x26+x30=1x3+x7+x11+x15+x19+x23+x27+x31=1x4+x8+x12+x16+x20+x24+x28+x32=10x1+1x5+2x9+3x13+4x17+5x21+6x25+7x29+0x2+1x6+2x10+3x14+4x18+5x22+6x26+7x30+0x3+1x7+2x11+3x15+4x19+5x23+6x27+7x31+0x4+1x8+2x12+3x16+4x20+5x24+6x28+7x32≤7x i≥0 (i=......32)用模板求解结果见《第六章习题》求得最小时间为55周，比不追加投资节省了（15+20+18+25）-55=23周。