2020届浙江省宁波市五校(奉化中学、宁波中学、北仑中学等)高三下学期高考适应性考试数学试题(解析版)

9．设函数 ，若曲线 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知存在 ，使 成立，可得 ，若令 ，求出 的值域即可得到 的取值范围.
【详解】
解：由曲线 上存在点 ，使得 ，可得
，所以 ，
即存在 ，使 成立，
所以 ，即 ， ，
令 ，
因为 ，
所以 在 上为增函数，
故选：C.
【点睛】
本题以等比数列为载体，考查了等比数列前 项和，均值不等式，换元法，二次函数的最值，是多个基本知识的综合题，属于中档题.
8．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ，则（ ）
【解析】利用图象得知函数 为奇函数，且在 右边附近函数值为正，逐项分析各选项中函数的奇偶性及其在区间 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
由图象可知函数 为奇函数，且该函数在 右边附近的函数值为正，
对于A选项，函数 的定义域为 ，
，
该函数为偶函数，不合乎题意；
对于B选项，由函数奇偶性的定义可知，函数 为偶函数，不合乎题意；
【详解】
设圆 的标准方程为 ，
，
则切线长为 ，解得 .
则圆 的标准方程为 ，
直线 的方程为 ，
作出直线 ，可得优弧 均在直线 的上方区域.
如图所示：
则优弧 上任意一点满足不等式 ，
则 .
令 ，则 .
表示直线 的 轴截距再加 .
由图知，当直线 与圆相切于第一象限时， 最大.
所以 ，解得 .
由图可知： 的最大值为 .
【详解】
先从标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，选出3张排在第一行，剩余3张排在第二行，
则共有 种不同的排法，
如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小时，
当第一行是：1，2，3时，第二行是4，5，6，则有 种不同的排法，
当第一行是：1，2，4时，第二行是3，5，6，则有 种不同的排法，
【详解】
作出函数 的图象，如图所示： ．
由图可知，函数 在 上单调递减，所以，
，即有 ，解得 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分段函数单调性的应用，以及不等式恒成立问题的解法应用，属于基础题．
5．已知某函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（其中 为自然对数的底）（）
A． B．
C． D．
【答案】C
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，
故答案为 ；
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的最值，属于中档题.
三、填空题
15．若过双曲线焦点且与双曲线实轴线垂直的弦的长等于焦点到渐近线距离的 倍，则此双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】设双曲线的方程为 ，利用点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离,结合题意建立关于a、b的等式，解出a=2b,进而可得该双曲线的离心率.
16．以点 为圆心作圆，过点 作圆 的切线，切线长为 ，直线 （其中 为坐标原点）交圆 于 两点，当点 在优弧 上运动时， 的最大值为_________.
【答案】
【解析】首先根据切线长为 得到圆的标准方程，画出图形可知优弧 均在直线 的上方区域，得到 ，则 ，令 ，再根据 的几何意义结合图形即可得到答案.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，二项式系数的性质，特定项的求法，考查了运算能力，属于中档题.
3．若 ，则“ 且 ”是“ 且 ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】根据不等式性质证明充分性成立，举例说明必要性不成立.
【详解】
因为 且 ，所以根据同向正数不等式相乘得 ，根据同向不等式相加得 ，即 成立，因此充分性成立；
由题 ，故 ，
则
.
【点睛】
本题考查了三角形垂心，外心的向量表达式，建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，建系后确定外心的坐标是解决本题的关键，还考查了学生的分析能力，运算能力，难度较大.
四、解答题
18．已知函数 .
（1）求 的振幅、最小正周期和初相位；
（2）将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，当 时，求 的取值范围.
【详解】
由题中条件知， , 为 的外心，
由 ，
，即 ，同理可证 ，
为 的垂心，以 为 轴， 为 轴，
设 ， ， ，则 ，如图所示：
则由题 ，得 ，
由 为垂心，则 ，
得 ，得 .
由 是外心， 的三条中垂线的交点，则可设 ，
设 的中点为 ，则 ，又由 ，
则 ，
得 ，即 ，即 到 的距离为1，
由题 且 在 上，故 为 的中点，
本题考查复数的模及复数代数形式的乘法运算，属于基础题.
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________.
【答案】
【解析】根据三视图可得几何体是组合体，下面为长方体，长宽高分别为3，2，1；上面是底面半径为1，高为3的圆锥，将数据代入表面积与体积公式求解即可.
2020届浙江省宁波市五校（奉化中学、宁波中学、北仑中学等）高三下学期高考适应性考试数学试题
一、单选题
1．已知全集 ，集合 则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求出集合A，B的交集，再根据全集求其补集即可.
【详解】
,
全集 ,
,
故选：C
【点睛】
本题主要考查了集合的交集，集合的全集、补集，属于容易题.
（2）首先设 ， ，在 中利用正弦定理得到 ，利用余弦定理得到 ，在 中，利用余弦定理得到 ，再求最大值即可.
【详解】
（1）如图所示：
在 中，
即： ，
整理得： ，解得 .
在 中， ，
因为
所以 ， .
（2）如图所示：
设 ， ，
在 中， ，整理得： .，来自在 中， ，因为 ，
所以
.
当 ，即 时， 取得最大值为 .
6．已知非零实数 的绝对值全不相等，那么满足“ ”的 （）
A．仅有一组B．仅有二组C．仅有三组D．有无穷多组
【答案】D
【解析】根据正切恒等式说明即可；
【详解】
解：令 ， ，
因为
当 ， 时，满足
因为 ，所以 ，
所以
所以
所以有无穷多组 满足
故选：D
【点睛】
本题考查正切恒等的应用，考查转化思想，属于中档题.
【答案】72090
【解析】根据排成2行3列，先从标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，选出3张排在第一行，剩余3张排在第二行，再分别全排列即可.如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小，分第一行是：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；五种情况讨论求解，然后再利用分类计数原理求解.
当第一行是：1，2，5时，第二行是3，4，6，则有 种不同的排法，
当第一行是：1，3，4时，第二行是2，5，6，则有 种不同的排法，
当第一行是：1，3，5时，第二行是2，4，6，则有 种不同的排法，
所以每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小时，共有： 种不同的排法，
故答案为：①720；②90
【点睛】
【答案】（1）振幅为 ，最小正周期为 ，初相位为 ；（2） .
【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数 的解析式为 ，进而可求得函数 的振幅、最小正周期和初相位；
（2）利用图象变换求得 ，由 求得 的取值范围，利用余弦函数的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】
（1）
，
因此，函数 的振幅为 ，最小正周期为 ，初相位为 ；
【详解】
由三视图可得该几何体下面是一个长宽高分别为3，2，1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥.
故该圆锥的母线长为 .
所以此几何体的表面积为 ；
体积为 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查的是组合体求体积与表面积问题，需熟记椎体、柱体的体积与表面积公式，属基础题.
13．有标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，要求排成2行3列，则共有_______种不同的排法，如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小，则共有_______种不同的排法.
【详解】
设双曲线的方程为 ，
不妨设 ，一条渐近线为
可得焦点到渐近线的距离为 ，
过双曲线焦点且与实轴垂直的弦的长等于 ，
过双曲线焦点且与双曲线实轴线垂直的弦的长等于焦点到渐近线距离的 倍，
解得
，
，
故答案为：
【点睛】
本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题.
【答案】D
【解析】首先根据题意求出焦点坐标，设设直线 为 ，代入抛物线 得到关于 的二次方程，根据 的面积得到 ，再求出 的中垂线方程，从而得到 的坐标，计算 即可.
【详解】
抛物线 的焦点 ，
设直线 为 ，代入抛物线 得：
，设 ， ，
则 ， .
则
，解得 .
设 的中点为 ， ，代入 得 .
所以 的中垂线方程为： .
令 ， ，即 .
所以
故选：D
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了同角的三角函数，属于中档题.
二、双空题
11．已知复数 (其中 为虚数单位)，那么 ______， ______.