第一章函数极限与连续-精品
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xx0
点连续
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
数列的极限
lim
n
x
n
A
limf(x)A
x
limf(x)A
x
右极限 lim f ( x) A
x x0 0
左极限 lim f ( x) A
x x0 0
1
lim(1 z)z e
z 0
x 1 z
lim
x
1
1 x x
e
sin x lim 1 x0 x
x x 0
x x 0 0 x x 0 0
（ 3 ） l i m f ( x ) A l i m f ( x ) l i m f ( x ) A ；
x
x x
（ 4 ） x l i m x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x l i m x 0 0 f ( x ) x l i x m 0 0 f ( x ) f ( x 0 ) .
t0
x
三、几个充要条件
（ 1 ） ( x x l i m x 0 ) f(x ) A f(x ) A 当 x (x x 0 )时 0 ；
（ 2 ） l i m f ( x ) A l i m f ( x ) l i m f ( x ) A ；
第一章 函 数 、 极 限 与 连 接 (一) 本 章 内 容 小 结 (二) 常见问题分类及解法 (三) 思 考 题 (四) 课 堂 练 习
(一) 本章内容小结
一、本章的主要内容
函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数 与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运 算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷 小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间 上连续函数的性质。
五、表 1-2 列出了函数 y f (x)的点连续与区间连续
的概念
表 1-2
条
件
结论
(1)
如果
limy0
x0
或
lim f (x)
xx0
f (x0)
(2) 如果y f (x) 在(a，b) 内每一点连续
(3) 如果y f (x) 在(a，b) 内连续，
且 lim f(x) f(b)，lim f(x) f(b)
二、几个常用的基本极限
（ 1 ） xl im x0 c=c,(c为 常 数 ） ； （ 2） lxi m x=x0 ； (x )
（ 3） lim1=0 ； x x
（ 4 ） lxi m x 1 = 0 ， ( 为 正 的 常 数 )；
（ 5） lxi mab00xxmn++ab11xxm n--11++LL++banm
解 由已知得 2 4x 3 5，即 5 x 2，
4
故 所 求 函 数 的 定 义 域 为 5x 2 . 4
二、判断两个函数是否相同
一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因
此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要
判断函数表达式是否统一即可。
例3 判断下列各对函数是否相同？ ( 1 )f(x ) c o s 22 x 与 g (x ) 1 2 ( 1 c o sx )； (2)f(x)|x x|与 g(x)1.
四、表 1-1 给出了当 x → ∞和 x → x0时函数的极限
与由此引申出来的有关概念之间的关系
表 1-1
无穷大
lim f ( x)
x x0 (x )
有 倒 f (x) 0 数 关 系
无穷小
1
lim
0
x x0 f ( x )
(x )
f (x) A a 当 x x0 时a 0
(x )
解 利用定义域和对应法则来判断。
(1)因为f(x)cos2 x的定义域是一切实数，而g(x)1(1cosx)
2
2
的定义域也是一切实数，所以f(x)与g(x)具有相同的定义域；又
因为f(x)cos2 x1(1cosx)g(x),即f(x)与g(x)具有相同的对 22
函数的极限 lim f (x) A(常数)
x x0 (x)
右连续
lim
xx0 0
f (x)
f
( x0 )
左连续
lim
xx0 0
f (x)
f (x0)
limf (x) A
x
limf (x) A
xx0
点连续
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
续表
limf (x) A
x
limf (x) A
xb0
xa0
那么yf(x) 在点x0 连续 那么yf(x) 在(a，b) 内连续 那么yf(x) 在[a，b] 上连续
六、本章关键词
函数 极限 连续
(二) 常见问题分类及解法
一、求函数的定义域
函 数 的 定 义 域 就 是 指 使 函 数 有 意 义 的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 . 判 断 函 数 有 意 义 的 方 法 有 以 下 几 种 ：
=0ab,00 ,当 当nn=>mm , 当n<m
(其中a0、a1、 L、am和b0、b1、 L、bn都是常数，且a0 0,b0 0)；
（ 6） limsinx=1 x0 x
；（ 7） limtanx=1 x0 x
；（ 8） lxi m1+1xx =e
；
1
（ 9） lim1+tt =e ； （ 1 0 ） lim q x 0(|q | 1).
(2)若使函数有意义，必须
5x x2
20 7x 10
x 0，解得x
2 5 2,
x
5，
10 x 0
x 10
故 所 求 函 数 的 定 义 域 为 2 x 1 0 且 x 2 ,x 5 . 5
例 2 已知函数 y f (x)的定义域为[2,5]，求函数 y f (4x 3)
的定义域。
①分式的分母不等于零； ②偶次方根式中，被开方式大于等于零； ③含有对数的式子，真数式大于零； ④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1； ⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ⑥若已知 y f (x)的定义域是[a,b]，求 y f [(x)]的定
义域，方法是解不等式组a (x) b .
例1 求下列函数的定义域： (1)y 1 arccos(3x 18)； x23x2 (2)yxl2 n (5 7 xx 2 1 )010x.
解 所求定义域应使函数式中各部分都有意义，即求解不
等式组。wenku.baidu.com(1)若使函数有意义，必须
|x32x31x8|210，解得1x371或 x x 1392，
故 所 求 函 数 定 义 域 为 1 7x 1 9； 33
点连续
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
数列的极限
lim
n
x
n
A
limf(x)A
x
limf(x)A
x
右极限 lim f ( x) A
x x0 0
左极限 lim f ( x) A
x x0 0
1
lim(1 z)z e
z 0
x 1 z
lim
x
1
1 x x
e
sin x lim 1 x0 x
x x 0
x x 0 0 x x 0 0
（ 3 ） l i m f ( x ) A l i m f ( x ) l i m f ( x ) A ；
x
x x
（ 4 ） x l i m x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x l i m x 0 0 f ( x ) x l i x m 0 0 f ( x ) f ( x 0 ) .
t0
x
三、几个充要条件
（ 1 ） ( x x l i m x 0 ) f(x ) A f(x ) A 当 x (x x 0 )时 0 ；
（ 2 ） l i m f ( x ) A l i m f ( x ) l i m f ( x ) A ；
第一章 函 数 、 极 限 与 连 接 (一) 本 章 内 容 小 结 (二) 常见问题分类及解法 (三) 思 考 题 (四) 课 堂 练 习
(一) 本章内容小结
一、本章的主要内容
函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数 与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运 算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷 小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间 上连续函数的性质。
五、表 1-2 列出了函数 y f (x)的点连续与区间连续
的概念
表 1-2
条
件
结论
(1)
如果
limy0
x0
或
lim f (x)
xx0
f (x0)
(2) 如果y f (x) 在(a，b) 内每一点连续
(3) 如果y f (x) 在(a，b) 内连续，
且 lim f(x) f(b)，lim f(x) f(b)
二、几个常用的基本极限
（ 1 ） xl im x0 c=c,(c为 常 数 ） ； （ 2） lxi m x=x0 ； (x )
（ 3） lim1=0 ； x x
（ 4 ） lxi m x 1 = 0 ， ( 为 正 的 常 数 )；
（ 5） lxi mab00xxmn++ab11xxm n--11++LL++banm
解 由已知得 2 4x 3 5，即 5 x 2，
4
故 所 求 函 数 的 定 义 域 为 5x 2 . 4
二、判断两个函数是否相同
一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因
此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要
判断函数表达式是否统一即可。
例3 判断下列各对函数是否相同？ ( 1 )f(x ) c o s 22 x 与 g (x ) 1 2 ( 1 c o sx )； (2)f(x)|x x|与 g(x)1.
四、表 1-1 给出了当 x → ∞和 x → x0时函数的极限
与由此引申出来的有关概念之间的关系
表 1-1
无穷大
lim f ( x)
x x0 (x )
有 倒 f (x) 0 数 关 系
无穷小
1
lim
0
x x0 f ( x )
(x )
f (x) A a 当 x x0 时a 0
(x )
解 利用定义域和对应法则来判断。
(1)因为f(x)cos2 x的定义域是一切实数，而g(x)1(1cosx)
2
2
的定义域也是一切实数，所以f(x)与g(x)具有相同的定义域；又
因为f(x)cos2 x1(1cosx)g(x),即f(x)与g(x)具有相同的对 22
函数的极限 lim f (x) A(常数)
x x0 (x)
右连续
lim
xx0 0
f (x)
f
( x0 )
左连续
lim
xx0 0
f (x)
f (x0)
limf (x) A
x
limf (x) A
xx0
点连续
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
续表
limf (x) A
x
limf (x) A
xb0
xa0
那么yf(x) 在点x0 连续 那么yf(x) 在(a，b) 内连续 那么yf(x) 在[a，b] 上连续
六、本章关键词
函数 极限 连续
(二) 常见问题分类及解法
一、求函数的定义域
函 数 的 定 义 域 就 是 指 使 函 数 有 意 义 的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 . 判 断 函 数 有 意 义 的 方 法 有 以 下 几 种 ：
=0ab,00 ,当 当nn=>mm , 当n<m
(其中a0、a1、 L、am和b0、b1、 L、bn都是常数，且a0 0,b0 0)；
（ 6） limsinx=1 x0 x
；（ 7） limtanx=1 x0 x
；（ 8） lxi m1+1xx =e
；
1
（ 9） lim1+tt =e ； （ 1 0 ） lim q x 0(|q | 1).
(2)若使函数有意义，必须
5x x2
20 7x 10
x 0，解得x
2 5 2,
x
5，
10 x 0
x 10
故 所 求 函 数 的 定 义 域 为 2 x 1 0 且 x 2 ,x 5 . 5
例 2 已知函数 y f (x)的定义域为[2,5]，求函数 y f (4x 3)
的定义域。
①分式的分母不等于零； ②偶次方根式中，被开方式大于等于零； ③含有对数的式子，真数式大于零； ④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1； ⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ⑥若已知 y f (x)的定义域是[a,b]，求 y f [(x)]的定
义域，方法是解不等式组a (x) b .
例1 求下列函数的定义域： (1)y 1 arccos(3x 18)； x23x2 (2)yxl2 n (5 7 xx 2 1 )010x.
解 所求定义域应使函数式中各部分都有意义，即求解不
等式组。wenku.baidu.com(1)若使函数有意义，必须
|x32x31x8|210，解得1x371或 x x 1392，
故 所 求 函 数 定 义 域 为 1 7x 1 9； 33