运筹学胡运权第五版课件
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运筹学胡运权第五版课件
V5 12 7
5
4
3
2
0
1 3
1
0 4
3
4 0
v7 ∞ 10 10 8
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达 的最短距离矩阵 D（2）= dij（2） 其中 dij（2）= min { dir（1）+ drj（1）}
r
i
dir
（1）
r
drj（1）
j
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
• • •
悬挂边 孤立点 偶点 奇点
悬挂点的关联边，如 e8 次为0的点 次为偶数的点，如 v2 次为奇数的点, 如 v5
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。 路：点不能重复的链。 圈：起点和终点重合的链。 回路：起点和终点重合的路。 连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。 完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。 n(n 1) 2 n阶完全图用Kn表示，边数= C n
狄克斯屈拉算法
既可以求两点之间的最短 距离，又可以确定最短路
求某两点之间的最短距离
（0）= V2 D
5
2
∞ ∞ ∞ ∞
5
0
∞ 2
7 0 2 7
7
6
∞ ∞
∞ ∞ 2
V3 2
∞ 0
∞ 4
V4 ∞ 2
V5 ∞ 7
∞ 6
0
1
1
0 6
3
6 0
V6 ∞ ∞ 4
v7 ∞ ∞ ∞ ∞ 3
注意：D(0)是一个对称矩阵，且对角线上的元素全是0.
⑵ 构造任意两点间直接到达、或者最多经过1 个中间点到达的最短距离矩阵D（1）= dij（1） 其中
运筹学PPT完整版胡运权
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可
行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
线性规划问题的数学模型
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
Page 30
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵 r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
运筹学的历史
“运作研究(Operational Research)小组”:解决复 杂的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 4
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量 x j 的变0换 可令 xj x，j 显x然j 0
Page 23
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
线性规划问题的数学模型
Page 25
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
x
v a 2x2 x a dv 0 dx
2(a 2 x) x (2) (a 2 x)2 0
运筹学胡运权PPT课件
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§1多 阶段 决策 过程 的最 优化
2.多阶段决策问题举例
属于多阶段决策类的问题很多， 例如：
1)工厂生产过程：由于市场需 求是一随着时间而变化的因素，因此， 为了取得全年最佳经济效益，就要在 全年的生产过程中，逐月或者逐季度 地根据库存和需求情况决定生产计划 安排。
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第24页/共89页
§2动 态规 划的 基本 概念 和基 本原 理
(1) 阶 段 指 标 函 数 （ 也 称 阶 段 效 应 ） 。 用
gk(sk,uk)表示第k段处于sk状态且所作决策 为uk(sk)时的指标，则它就是第k段指标函 数，简记为gk 。图7-1的gk值就是从状态 sk到状 态 sk+1的 距离。 譬如， gk(A,B1)=4, 即A到B1的距离为3。
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§2动 态规 划的 基本 概念 和基 本原 理
（三）决策、决策变量和允许决策集合
所谓决策，就是确定系统过程发展的方 案。决策的实质是关于状态的选择，是决策者 从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选 择。
用以描述决策变化的量称之决策变量和 状态变量一样，决策变量可以用一个数，一组 数或一向量来描述，也可以是状态变量的函数，
状态
x1
阶段1状x态 2
阶段2状x3态...状x态k
阶段k状x态k+1...状态
阶段n
状 态
T1
T2
Tk
xn
Tn xn+1
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§1多 阶段 决策 过程 的最 优化
1.多阶段决策过程的最优化
动态规划方法与“时间”关系很密 切，随着时间过程的发展而决定各时段的 决策，产生一个决策序列，这就是“动态” 的意思。然而它也可以处理与时间无关的 静态问题，只要在问题中人为地引入“时 段”因素，就可以将其转化为一个多阶段 决策问题。在本章中将介绍这种处理方法。
运筹学胡运权第五版课件(第二章)分析
2 x3 4 x4 4 x2 x3 x4 6
x1 0, x2，x3 0, x4无约束
对偶问题：max w 5 y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2
2
s.t.
y1 3 y1
2 y2
y3 y3
3 5
y1 4 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无约束
zmax=wmin .
证： 设X*是原问题的最优解，则所有检验数都非正。
即 = C- CB B-1 A 0 ∴ CB B-1 A C 令 CBB-1 = Y* T，有 Y*T A C, 转置得A TY* CT -----------------------① 又因为 S′ = -CBB-1 = -Y * T 0，所以Y* = -（ S′）T 0------②
4x1 2x2 6x3 24
s.t.
3x1 6x2 4x3 15
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
解：第一步 改写为 min 的基本形式
令x1 x1，x2 x2 x2
min z 7x1 （4 x2 x2） 3x3
4
x1
（2 x2
x2）
6 x3
24
证明： 由弱对偶性： 当X 和Y 分别是P和D的可行解时，CX bTY 若CX ，则不存在Y 使得CX bTY； 若bTY ，则不存在X 使得CX bTY。
注：逆定理不成立。 即“如果原问题无可行解，那么对偶问题有无界解”不成立。 此时，对偶问题可能有无界解，也可能无可行解。
4、强对偶性（对偶定理） 若原问题有最优解，则对偶问题一定有最优解，且
由①②知Y*是对偶问题的可行解，
而 CX* = CB b ′，其满足: CX* =CB (B-1 b) = CB B-1b = Y*T b= b TY* 由最优性(性质2)，∴ Y*是对偶问题的最优解。
运筹学基础及应用第五版 胡运权第三章
例3
设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥，假
定等量的化肥在这些地区使用效果相同，已知各化肥厂 年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各地区单位化 肥的运价表如下，试决定使总的运费最节省的化肥调拨 方案。
解：这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为
160万t，四个地区最低需求为110万t ，最高需求为无限。 当其它地区都是满足最低需求时，第Ⅳ地区每年最多能 分配到60万t ，这样最高需求就是210万t，大于产量。 为建立产销平衡表，在表中增加一假想化肥厂D ， 其年产量为50万t 。并把各地区的最低需求和额外需求 区分开来，建立产销平衡表。
例1
现在把问题概括一下，在线性规划中我们研究这样 一类运输问题：有某种物资需要调运，这种物资的计量
单位可以是重量、包装单位或其他。已知有m个地点可以
供应该种物资（以后通称产地，用 i 1,, m 表示），有 n个地点需要该种物资（以后通称销地，用 j 1,, n 表示），又知这m个产地的可供量（以后通称产量）为 （可通写为 a i ），n个销地的需要量（以后 a1 , a2 ,, am
第三章 运输问题
§1．运输问题的典例和数学模型
§ 2．表上作业法
§ 3．产销不平衡的运输问题及其应用
§1．运输问题的典例和数学模型
某食品公司经销主要产品之一是糖果，它下面 设有三个加工厂，每天的糖果生产量分别为： A1 7t ， A3 9t。该公司把这些糖果分别运往四个地区 A2 4t ， 的门市部销售，各地区每天的销售量： B1 3t ， B2 6t， B4 6t 。已知从每个加工厂到各销售门市部每 B3 5t， 吨糖果的运价如下表： 单位：元/t
产 销 平 衡 表
当一个产地的产量不能运往某一个销地的时候，认为 运价为M(表示任意大正数)。额外需求部分的销量，由于 是否满足都可以，所以假想厂运往这些销地的运价定为 0。
运筹学胡运权第五版课件(第3章)分析
B3
B4
ai
11 ④
3 ③
10 7
1
9
2
③
①
7
4
⑥
10 ③
84 59
3
6
5
6 20
24 (8 3) (2 10) 1
表示新方案的费用要减少1元
综上，得到检验数表如下： B1 B2 B3 B4
A1 1 2 0 0 A2 0 1 0 －1 A3 10 0 12 0 注意：有数字格（基变量）的检验数为0。
则总费用为：
34
min z = cijxij i=1 j=1
x11+x12+x13+x14=7
产
x21+x22+x23+x24=4
量 限
制
x31+x32+x33+x34=9
x11+x21+x31=3
s.t.
x12+x22+x32=6
销 量
限
x13+x23+x33=5
制
x14+x24+x34=6 xij0,(i=1,2, 3；j=1,2,3,4)
最优性判别准则： 当所有ij 0时，运输问题达到最优解。
（1）若有负检验数，则该方案需要改进；
（2）若空格的检验数全为正数，则该问题有唯 一最优方案；
（3）若检验数全非负，且有空格的检验数为0， 则该问题有无穷多最优解。
4、改进方案的方法------闭回路法
在检验数表中，确定绝对值最大的负检验 数对应的空格，利用该空格的闭回路在满足供 需关系下调整各顶点的运量，得到费用更小的 调运方案。
5、运输问题解的情况
运筹学基础及应用第五版 胡运权第四章
逻辑（0-1）变量在建立数学模型中的作用
1. m 个约束条件中只有 k 个起作用
设 m 个约束条件可以表示为：
a x
j 1 ij
n
j
bi
(i 1,, m)
定义逻辑变量
1，假定第 i 个约束条件不起作用 yi 0，假定第 i 个约束条件起作用 又设 M 为任意大的正数，则约束条件可以改写为：
其最优解为：
x1 3.25 , x2 2.5
最优值为：
z 14.75
（2）定界
目前最优值为 z=14.75 ，令
z =14.75；
现在还没有任何整数解，可以令（0，0）作为初始整 数解，因此有 z =0 。 （3）分枝 将线性规划问题 L0分为两枝。 在 L0的最优解中，任选一个非整数变量，如 x2=2.5 ； 因 x2 的最优整数解只可能是 x2≤2 或 x2≥3 ，故在 L0中分 别增加约束条件： L0加上约束条件 x2≤2 ，记为 L1； L0加 上约束条件 x2≥3 ，记为 L2 。这样，将分解成两个子问题 L1 和 L2（即两枝）。
1. 分配问题中人数和工作任务不相等时 当人数多于工作任务数时，可以添加假想任务使得人 数与工作任务数相同，因为工作任务是假想的，因此完成 这些任务的时间是零。当任务数多于人数时，可添加假想 的人。这样的方法和运输问题中处理的方法类似。 2. 当问题目标变为求极大时
m m i 1 j 1
max z aij xij 可改写为 min z (aij ) xij
r n aij x j bi yi i 1 j 1 y y y 1 2 r 1
3. 两组条件满足其中一组 若 x1≤4，则 x2≥1（第一组条件）；否则当 x1 ≥ 4 时， x2≤3（第二组条件）. 定义逻辑变量：
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
零图： 边集为空集的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版课件
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。 少
补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
s.t.
2 x1+2 x2 12 标准化
4x1
16
z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
4x1
16
5 x2
1x510， x2 0
此为有约束极值问题
h
9
1-2 线性规划问题的数学模型
1、原型：现实世界中人们关心、研究的实际对象。 模型：将某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 数学模型：对现实世界的一个特定对象，为达到一定目的，
根据内在规律做出必要的简化假设,并运用适当数学工具得到 的一个数学结构。
应如何裁剪可使做成的容器的容积最大？
解：如图设四个角上减去的小正方形边
x 长为x，则容器体积为：
a
Va2x2x (0 x a) 2
由 dV 0 dx
有 xa 6
时，容积最大
此为无约束的极值问题
h
7
例2 常山机器厂生产 I、II 两型产品。这两型 产品都分别要在A、B、C三种不同设备上加工。按 工艺规定，生产每件产品的单位利润、消耗三种设 备的工时以及各种设备工时的限额如下表：
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4 x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2, x3, x4, x5 0
h
28
P1 P2 P3 P4 P5
运筹学基础及应用第五版 胡运权
则 CX0 CX* Y*b Y0b
但 CX0 = Y0 b， ∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b ∴ X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证毕。
（3）无界性
若原问题（对偶问题）最优解无界，则对偶问题（原问 题）无可行解 证：由性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 ∞ 时，则不可 能存在Y0，使得 C X0 Y0 b 。
设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
现有材料 数量
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
1.最大生产利润模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z= 2 X1 +3 X2
2.资源最低售价模型
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有
min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4 y1 y2 y3 y4
列单纯表计算：
Cj → CB XB b 0 y4 -2 0 y5 -1 cj - zj -24 y2 0 y5 cj - zj -24 y2 -5 y3 cj - zj 1/4 1/2 1/3 -1/3 -15 -24 -5 0 0
y1
0 -5
y2
-6 -2
y3
-1 -1
y4
1 0
y5
0 1 0 0 1
s.t
2 X1
+2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 16 4 X2 12 X1 0 , X2 0
运筹学基础及应用第五版 胡运权
第八章 动态规划
8.1 多阶段决策问题 8.2 最优化原理与动态规划的数学模型 8.3 离散确定性动态规划模型的求解 8.4 离散随机性动态规划模型的求解
8.5 一般数学规划模型的动态规划 解法
1
学习要点：
理解动态规划基本概念、最优化 原理和基本方程，逆序法和顺序解法，学 习应用动态规划解决多阶段决策问题。
34
最优化原理Optimization Principl
作为整个过程的最优策略具有这样的性质： • 无论过去的状态和决策如何，对先前决策
所形成的状态而言，余下的诸决策必构成 最优策略。
B M A
若M是从A到B的最优路线上的一点，则从 M到B的路线也是最优的。
35
动态规划的基本方程
（最优化原理的应用）
重点 :掌握动态规划模型结构、 逆序法算法原理、资源分配、设备更新、 生产与存贮等问题。
2
第一节 多阶段的决策 问题
3
动态规划（Dynamic Programming）
R. Bellman50年代执教于普林斯顿和斯坦福大学， 后进入兰德（Rand）研究所。1957年发表“Dynamic Programming”一书，标识动态规划的正式诞生。
3
3
C3
3
f(C3)=6
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
E
D2 4
f(D2)=4
状态 最优决策 状态
决A策 （状态A，B3）
B3
最优决策
状态
最优决策
状态
最优
21
f(B1)=11
f(A)=11
A
B1 7 5 6
2 f(B2)=7 3
5
B2 2
8.1 多阶段决策问题 8.2 最优化原理与动态规划的数学模型 8.3 离散确定性动态规划模型的求解 8.4 离散随机性动态规划模型的求解
8.5 一般数学规划模型的动态规划 解法
1
学习要点：
理解动态规划基本概念、最优化 原理和基本方程，逆序法和顺序解法，学 习应用动态规划解决多阶段决策问题。
34
最优化原理Optimization Principl
作为整个过程的最优策略具有这样的性质： • 无论过去的状态和决策如何，对先前决策
所形成的状态而言，余下的诸决策必构成 最优策略。
B M A
若M是从A到B的最优路线上的一点，则从 M到B的路线也是最优的。
35
动态规划的基本方程
（最优化原理的应用）
重点 :掌握动态规划模型结构、 逆序法算法原理、资源分配、设备更新、 生产与存贮等问题。
2
第一节 多阶段的决策 问题
3
动态规划（Dynamic Programming）
R. Bellman50年代执教于普林斯顿和斯坦福大学， 后进入兰德（Rand）研究所。1957年发表“Dynamic Programming”一书，标识动态规划的正式诞生。
3
3
C3
3
f(C3)=6
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
E
D2 4
f(D2)=4
状态 最优决策 状态
决A策 （状态A，B3）
B3
最优决策
状态
最优决策
状态
最优
21
f(B1)=11
f(A)=11
A
B1 7 5 6
2 f(B2)=7 3
5
B2 2
《运筹学教程》胡云权-第五版-第二章--运输问题PPT课件
B1
14
82
8
10
8 v1
u2 v3 3 u3 v2 5 u3 v4 6
B2
2 12 10
1
14 5
14 v2
B3 10 4 23
11
12
12 v3
设 u2 0 v1 2,
u1
-
1,
B4
产量
ui
6 11
16
u1
9
-1
10
u2
86
22
u3
14
48
v4
v2 9, u3 4,
v3 3
-
4
运输问题的数学模型
针对单一品种物资运输调度问题
设某物资有m个产地A1，A2，…，Am，产量分别是a1，a2，… ，am ， 有n个销地B1，B2， …，Bn ，销量分别是b1，b2，… ，bn。
从产地Ai (i=1,2, …,m)到销地Bj (j=1,2, …,n )运输单位物品的运价是cij 。 如何调运这些物资使得总费用最小？
行罚数
①②③④⑤
0 0 07 0 1 1 16 0 12
①
2
列②
2
5
1
3
初始基可行解：x13=12,
1
3
罚③ 数④
2
1
2
x14=4, x21=8, x24=2,
1
2
x32=14, x34=8,其余均为0。
⑤
-
2
z=244
16
产销平衡运输问题解法——表上作业法
1、确定初始基可行解
当最小元素或最大罚数对应的ai和bj相等时，即对应的产 量和销量相等时，为保证基变量的个数为m+n-1个，除了在产 销平衡表填xij=ai外，还应在产销平衡表中的第i行或第j列某空 格（相应运价未被划掉）处填一个“0”，然后同时划去运价 表上的第i行和第j列，该“0”看作是数字格。
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
x
j
xj
且
x
j
0
…
am1x1+am2x2+…+amnxn≤（=，≥） bm
x1 , x2, …, xn≥0
（3）其他形式： 连加形式
1-3 线性规划问题的标准形式
1、标准形式
或
2、条件
目标函数求极大值 约束条件全是等式（线性方程组） 决策变量全非负 右端常数全非负
3、标准化方法
（1）若目标函数求极小值，即
则令 z z
即求目标函数在若干约束条件下的最值。
3、规划问题数学模型的三要素
（1）决策变量：决策者为实现规划目标采取的方案、措施， 是问题中要确定的未知量。用x1，x2，…，xn表示。
（2）目标函数：问题要达到的目标要求，表示为决策变量的 函数。用 z=f(x1，x2，…，xn)表示。 （3）约束条件：决策变量取值时受到的各种可用资源的限制， 表示为含决策变量的等式或不等式。
运筹学
( Operations Research )
绪论
一、古代朴素的运筹学思想
例如：田忌赛马
二、运筹学的起源
国外 英文原名 Operations Research 简称“O.R.” 直译为：运用研究或作业研究 正式出现于1938年7月英国一份关于防空作战 系统运行的研究报告中
运筹学基础及应用第五版 胡运权第一章
产品Ⅰ 产品Ⅱ A B 2 1 2 2
计划期内 生产能力 12 8
C D
利润
4 0
2
0 4
3
16 12
MAX
需满足条件：
2 x1 2 x2 12 x 2x 8 1 2 16 4 x1 4 x2 12 x1 , x2 0
实现目的：
z 2 x1 3x2 max
标准形式：
max z c j x j
j 1 n
标准形式特点：
1. 2. 3. 4.
n ，m） aij x j bi （i 1， j 1 x 0 （j 1， ，n） j
目标函数为求极大值； 约束条件全为等式； 约束条件右端常数项全为非负值； 决策变量取值非负。
2
x
dv 0 dx
a
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
§1．一般线性规划问题的数学模型
一、问题的提出
某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产 品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。 生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、 0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、 0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产 品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一 件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品 Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种 产品各多少件，使总的利润收入为最大。
（3）目标函数中松弛变量的系数 由于松弛变量和剩余变量分别表示未被充分利 用的资源以及超用的资源，都没有转化为价值和利 润，因此在目标函数中系数为零。
松弛变量和剩余变量统称为松弛变量
3. 取值无约束的变量
运筹学基础及应用第五版 胡运权第五章
d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。 因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + · d - =0 (即两者至少有一个为0)。 目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式约束或不等式
k 1 l 1 kl l kl
K
L
l
前述问题的目标规划模型可以写为：
min z p d p2 d d p d
， 2 x1 x 2 11 x x d d 2 1 1 0， 1 x1 2 x 2 d 2 d 2 10， 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56， x1 , x 2 , d i , d i 0 , i 1, 2 , 3。
1 1
2
2
3 3
s.t.
§2．目标规划的图解分析法
对于只有两个决策变量的线性目标规划的数学模型， 可以用图解法来分析求解。传统的线性规划一般只是寻求 一个点，在这个点上得到单目标的最优值，目标规划一般 是寻求一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折 衷方案。
步骤1 建立直角坐标 系，令各偏差变量为0，作 出所有的约束直线 。满足 所有绝对约束条件的区域， 用阴影标出。
相邻行，只要在起上方即可）。
§4．求解目标规划的层次算法
求解目标规划是从高优先级到低优先级逐层优化的， 求解目标规划的层次算法就是根据这样的思想构造的。
层次算法步骤：
第一步： 对目标函数中的 P1 层次进行优化，建立第 一层次的线性规划模型 LP1 并求解。 LP1的目标函数为
2. 绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式约束或不等式
k 1 l 1 kl l kl
K
L
l
前述问题的目标规划模型可以写为：
min z p d p2 d d p d
， 2 x1 x 2 11 x x d d 2 1 1 0， 1 x1 2 x 2 d 2 d 2 10， 8 x1 10x 2 d 3 d 3 56， x1 , x 2 , d i , d i 0 , i 1, 2 , 3。
1 1
2
2
3 3
s.t.
§2．目标规划的图解分析法
对于只有两个决策变量的线性目标规划的数学模型， 可以用图解法来分析求解。传统的线性规划一般只是寻求 一个点，在这个点上得到单目标的最优值，目标规划一般 是寻求一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折 衷方案。
步骤1 建立直角坐标 系，令各偏差变量为0，作 出所有的约束直线 。满足 所有绝对约束条件的区域， 用阴影标出。
相邻行，只要在起上方即可）。
§4．求解目标规划的层次算法
求解目标规划是从高优先级到低优先级逐层优化的， 求解目标规划的层次算法就是根据这样的思想构造的。
层次算法步骤：
第一步： 对目标函数中的 P1 层次进行优化，建立第 一层次的线性规划模型 LP1 并求解。 LP1的目标函数为
运筹学PPT完整版胡运权
另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择 与评价，工程优化设计等。
运筹学在工商管理中的应用
Page 10
组织 联合航空公司 Citgo石油公司 AT&T 标准品牌公司 法国国家铁路公司 Taco Bell Delta航空公司
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 A 10
1 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
Page 13
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
运筹学在工商管理中的应用
Page 10
组织 联合航空公司 Citgo石油公司 AT&T 标准品牌公司 法国国家铁路公司 Taco Bell Delta航空公司
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 A 10
1 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
Page 13
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
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s.t. （约束于：）
2 x1+2 x2 12
4x1
16
5 x2 15 x10， x2 0
此为有约束极值问题
1-2 线性规划问题的数学模型
1、原型：现实世界中人们关心、研究的实际对象。 模型：将某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 数学模型：对现实世界的一个特定对象，为达到一定目的，
根据内在规律做出必要的简化假设,并运用适当数学工具得到 的一个数学结构。
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
例：将下列线性规划模型化为标准形式。
min z x1 2x2 3x3
2x1 x2 x3 9
s.t.
3x1 3x1 2
x2 x2
2 x3 3x3
4 6
x1 0, x2 0, x3取值无限制
解：令z z x1 x1 (x1 0) x3 x3 x3 (x3 0, x3 0)
1-3 线性规划问题的标准形式
1、标准形式
或
2、条件
目标函数求极大值 约束条件全是等式（线性方程组） 决策变量全非负 右端常数全非负
3、标准化方法
（1）若目标函数求极小值，即
则令 z z
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
右端列向量
矩阵形式
其中 C (c1,c2,L ,cn) 称为价值行向量；
x1
X
x2
M
xn
决策列向量
b1
b
b2
M
bm
右端列向量
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L M
a2n
P1, P2 ,L
, Pn
am1 am2 L amn
约束矩阵或系数矩阵
第一章 线性规划及单纯形法
Linear Programming and Simplex Method
§1.1 一般线性规划问题的数学模型
1-1 问题的提出
例1 用一块边长为a的正方形铁皮做一个无盖长方体容 器，应如何裁剪可使做成的容器的容积最大？
解：如图设四个角上减去的小正方形边
x 长为x，则容器体积为：
四、运筹学研究的基本特点
• 系统的整体优化 • 多学科的配合 • 模型方法的应用
五、运筹学研究的基本步骤
• 分析与表述问题 • 建立数学模型 • 对问题求解 • 对模型和模型导出的解进行检验 • 建立对解的有效控制 • 方案的实施
六、本课程的主要学习内容
第一章 线性规划及单纯形法 第二章 线性规划的对偶理论 第三章 运输问题 第四章 整数规划与分配问题 第六章 图与网络分析
a
V a 2x 2 x (0 x a ) 2
由 dV 0 dx
有 xa 6
时，容积最大
此为无约束的极值问题
例2 常山机器厂生产 I、II 两型产品。这两型 产品都分别要在A、B、C三种不同设备上加工。按 工艺规定，生产每件产品的单位利润、消耗三种 设备的工时以及各种设备工时的限额如下表：
原型
提炼
模型
数学工具 数学模型
2、规划问题
即求目标函数在若干约束条件下的最值。
3、规划问题数学模型的三要素
（1）决策变量：决策者为实现规划目标采取的方案、措施， 是问题中要确定的未知量。用x1，x2，…，xn表示。
（2）目标函数：问题要达到的目标要求，表示为决策变量的 函数。用 z=f(x1，x2，…，xn)表示。 （3）约束条件：决策变量取值时受到的各种可用资源的限制， 表示为含决策变量的等式或不等式。
• 国内 –1956年成立第一个运筹学小组 –1957年从“夫运筹策帷幄之中，决胜于千里之外”中 摘取“运筹”二字，将O.R.正式翻译为“运筹学”
三、运筹学的定义
研究对象：复杂系统的组织和管理 研究工具：数学，计算机科学及其他相关科学 研究目的：对有限资源进行合理规划、使用，并提供
优化决策方案。
参考《大英百科全书》、《辞海》、《中国企业管理百科全书》等。
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
x
j
xj
且
x
j
0
（4）若决策变量xj取值无限制，则令
xj
x
j
x
j
其中
x
j，x
j
0
（“一分为二”）
（5）若约束等式的右端常数bi ≤ 0，则等式两边同时乘以“-1”。
并引入松弛变量x4, x5, 则问题化为标准形式：
运筹学
( Operations Research )
绪论
一、古代朴素的运筹学思想
例如：田忌赛马
二、运筹学的起源
• 国外 –英文原名 Operations Research 简称“O.R.” –直译为：运用研究或作业研究 –正式出现于1938年7月英国一份关于防空作战系统运 行的研究报告中 –二战后运筹学的发展经历了三个阶段
4、线性规划问题（Linear Programming）的数学模型
（1）条件：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条 件都是线性的。简记为“L.P.”
（2）一般形式：
max (或 min) z=c1x1+c2x2+…+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤（=，≥）b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤（=，≥） b2
…
am1x1+am2x2+…+amnxn≤（=，≥） bm
x1 , x2, …, xn≥0
（3）其他形式： 连加形式
向量形式
其中 C (c1,c2,L ,cn) 称为价值行向量；
x1
X
x2
M
xn
决策列向量
a1 j
Pj
a2 j
M
amj
系数列向量
b1
b
b2Biblioteka Mbm 单位产品消耗设 I II 设备工时限量
备工时
（小时）
设备A
22
12
设备B
40
16
设备C
05
15
单位利润（元） 2 3
如何安排生产才能使总的利润最大？
解：设计划期内两种产品的数量分别为x1，x2，则总利润为：
z=2 x1+3 x2 在满足限制条件下求z的最大值。
简记为：
max z=2 x1+3 x2