离散信号与系统的Z域分析

N
|a|
Re z
ROC : z a
(2)
F ( z) z
k 0
N 1
k
1 z 1 z 1
ROC: z 0
按理说，有限长序列z变换的收敛域应为整个z平面，但 因为z≠0，需去除该点，所以 | z | > 0
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 7
四、常用因果序列的z变换
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 11
理解：
f [k ] {1, 2, 3, 4, 5, 6} f [k 2] {0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}



由左边移到 右边的部分
f [k 2]u[k ] {0, 0, 0, 2, 3, 4, 5, 6} f [k 2]u[k 2] {0, 0, 0, ( z)} a u[k 1]
1
k 1
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 17
五、单边z变换的主要性质
3. 指数加权特性
z a f [k ] F ( ) a
k Z
k
z a Rf
1 1 , z 1 a u[k ] , z a u[k ] 1 1 1 a z 1 z
双边z变换*
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 2
一、Z变换的定义
课本是从离散时间傅氏变换（DTFT）引出 z 变换的， 其思想：对于一些不存在傅氏变换的离散序列，可以乘上 一个衰减序列 r－k，使之衰减，于是有：
FT[ f [k ] r k ]
k
k jk f [ k ] r e j k f [ k ]( r e )
一、Z变换的定义
从拉普拉斯变换也可以引出 z 变换。对理想抽样信 号，求其拉氏变换，即得：

f s (t ) f (t ) (t kT ) f (kT ) (t kT )
k k
两边做拉氏变换
Fs (s) L[ f s (t )]

令e sT z, 为了方便，f [KT] 仍用 f [K]表示
解：
sin( 0 k )u[k ]
z
sin 0 z
1
1 2
1 2 z cos 0 z
z 1
利用z变换的指数加权特性，可得
k sin( 0 k )u[k ]
sin 0 ( z / ) 1 1 2( z / ) cos 0 ( z / )
1 1 a u[k ] , 1 z 1 1 az 1 ( ) a
k Z
z a
利用z域微分特性，可得
1 d 1 az 1 k 1 az Z{ka u[k ]} z ,z a 1 2 dz (1 az )
0
k
0
k
0
k
Z{ f [k 1]u[k ]} z 1F ( z) f [1] Z{ f [k 2]u[k ]} z 1Z{ f [k 1]u[k ]} f [2] z F ( z) z f [1] f [2]
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 15
2
z

1 cos 0 z 1 j sin 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2
cos( 0 k )u[k ] sin( 0 k )u[k ]
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 9
1 cos 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2 sin 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2
1 2
sin 0 z 1 za 2 2 z 1 cos 0 z 2
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 19
五、单边z变换的主要性质
4. z域微分特性（时域线性加权）
dF ( z ) kf [k ] z dz
Z
Z Rf
m d m d F ( z) Z m m 或写成 : ( z ) F ( z ) k f [k ] ( z ) m dz dz

即f [k 2]u[k ] f [k 2]u[k 2]
k 2 z f [k n]u[k ] F ( z ) z n z n
f [k ]
k n
1

1
f [k ] z k
由左边移到右 边部分的z变换
原来序列的z变换
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 12
n k Z f [k n]u[k ] z [ F ( z ) f [k ]z ] k n k 0 1
|z|> Rf |z|> Rf
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 14
五、单边Z变换的主要性质
非因果序列的位移
f [k ]
f [k 1]
f [k 2]
五、单边z变换的主要性质
f [k ] F ( z), z R f
f1[k ] F1 ( z), z R f 1
z
z
f 2 [k ] F2 ( z), z R f 2
z
1.线性特性
af1[k ] bf2 [k ] aF 1 ( z) bF 2 ( z)
课本中只讨论因果序列信号（右边序列信号的特例）， 对因果信号而言，若存在z变换，则其双边z变换与单边z 变换是相同的，收敛域也相同。 此处根据定义求z变换
(1) f [k ] [k ]
F ( z)
k k [ k ] z 1, z 0, 即全z平面
f [k ] [k m], m为正整数 .
F1 ( z )
k k m [ k m ] z z
z 0
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 8
四、常用因果序列的Z变换
1) Z{ [k ]} 1,
k
z0
2) Z{ u[k ]}
1 1 z
1 1 e
j 0
1
za
1
3) Z{e j0k u[k ]}
如果原序列是非因果序列（求单边变换时乘u[k]）：
Z f [k n]u[k ] z n [ F ( z ) k n n 1 k f [ k ] z ], z R f 1
Z f [k n]u[k ] z n [ F ( z ) f [k ]z k ], z R f k 0
z f [k ] F ( z)
三、单边z变换及其收敛域
单边z 变换 收敛域(ROC)：
使上式级数收敛的所有z的范围称为F(z)的收敛域 收敛域为z平面中某个圆 的外部区域。可仿照极点 法求其半径。
Im z
ROC Re z
F ( z ) f [k ]z k
k 0

z Rf
L{ f s (t )} f [k ]z k F ( z )
k
k
f (kT )e

ksT
z域到频域、s域的映射关系： z
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 4
re , z e
j
sT
二、z变换定义及符号表示
双边z变换 z反变换
F ( z ) f [k ]z k
z 例： (3) u[k ] , z 3 z 3
k
类似于傅氏、拉氏变换的尺度变换特性。
1 1 s L f (at ) F ( j ) f (at ) F ( ), a a a a
F
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 18
a 0, a 0
例*：求aksin(0k) u[k] 的z变换及收敛域
2 2
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 13
五、单边z变换的主要性质
2. 位移特性(记忆)
因果序列的位移
f [k n] u[k n] z nF(z) 非因果序列的位移
n 1
|z|> Rf
Z f [k n]u[k ] z n [ F ( z ) f [k ]z k ]
序列相加减（线性加权）后，所得序列z变换的ROC，有 可能比原序列z变换的ROC大。位移特性常用来分析单边 周期信号，单边周期信号总具有相似的形式。
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 16
例： F(z) = 1/(za) |z| a 求f [k]。 解：
1 F ( z) z 1 1 az
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 6
例：求以下序列的Z变换及收敛域。
(1) f [k ] a u[k ]
k
(2)
1 0 k N 1, N为有限值 f [k ] 0 其它
Im z
解：根据定义式：
(1)
F ( z) a z
k k 0

k
1 1 1 az
位移特性（常见二阶形式，常用于求解差分方程）
f [k n]u[k n] z F ( z), z R f
Z
Z f [k n]u[k ] z n [ F ( z ) k n
n

1
f [k ]z k ], z R f
Z{ f [k 1]} z F ( z ) f [1] Z{ f [k 2]} z F ( z ) z f [1] f [2]
k
1 k 1 f [k ] F ( z ) z dz c 2 πj
物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合 符号表示 正变换：F(z) = Z{f [k]} 或
8 离散信号与系统的 Z 域分析 p 5