9.1.1正弦定理同步作业2020-2021学年高一下学期数学人教版B版(2019)必修

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2020-2021学年高一下学期数学同步强化练习二：余弦定理、正弦定理的综合应用【含答案全解全析】

2020-2021学年高一下学期数学同步强化练习2 余弦定理、正弦定理的综合应用一、选择题1.若钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC= ( ) A.5 B.√5 C.2 D.12.若△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积S=a 2+b 2-c 24=a 23sinA,则sin B= ( )A.√63B.√22C.√32D.2√233.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且BC 边上的高为√36a,则b c +cb的最大值为 ( )A.8B.6C.3√2D.44.在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,△ABC 的面积为S,若sin(A+C)=2S b 2-c 2,则tan C+12tan(B -C)的最小值为 ( ) A.√2 B.2 C.1 D.2√2二、填空题5.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cosA a+cosB b=sinC c,b 2+c 2-a 2=65bc,则tan B= .6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b=4,给出下列说法: ①若c=√3,则角C 有两个解;②若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,则AC 边上的高为3√3; ③a+c 不可能等于9.其中正确说法的序号是 .7.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6,则△ABC 面积的最大值为 .8.在锐角△ABC 中,BC=2,sin B+sin C=2sin A,则中线AD 的取值范围是 .三、解答题9.几千年的沧桑沉淀,凝练了黄山的美,清幽秀丽的自然风光,文化底蕴厚重的旅游环境.自明清以来,文人雅士,群贤毕至,旅人游子,纷至沓来,使黄山成为江南的旅游热点.如图,游客从黄山风景区的景点A 处下山至C 处有两处路径,一种是从A 沿直线步行到C,另一种是先从A 乘景区观光车到B,然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50米/分钟,在甲出发2分钟后,乙从A 乘观光车到B,在B 处停留20分钟后,再从B 匀速步行到C.假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟,山路AC 长为2 340米,经测量,cos A=2425,cos C=35.(1)求观光车路线AB 的长;(2)乙出发多少分钟后,乙在观光车上与甲的距离最短?10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(b-a)(sin B+sin A)=(b-c)sin C.(1)求A;(2)从下列条件:①a=√3;②S△ABC=√3中任选一个作为已知条件,求△ABC周长的取值范围.答案全解全析一、选择题1.B 由题意得,12AB·BC·sin B=12×1×√2sin B=12,∴sin B=√22,∴B=π4或B=3π4.当B=3π4时,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,∴AC=√5(负值舍去),此时△ABC 为钝角三角形,符合题意;当B=π4时,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1(负值舍去),此时AB 2+AC 2=BC 2,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故AC=√5. 2.D ∵S=a 2+b 2-c 24,∴12absin C=2abcosC4,即sin C=cos C,∴C=π4.∵S=a 23sinA,∴12bcsin A=a 23sinA,由正弦定理得12sin Bsin Csin A=sin 2A3sinA,即sin Bsin C=23,∴sin B=2√23.故选D.3.D ∵BC 边上的高为√36a, ∴S △ABC =12a×√36a=12bcsin A,∴a 2=2√3bcsin A,由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 可得2√3bcsin A=b 2+c 2-2bccos A,整理得,b 2+c 2bc=2√3sin A+2cos A,即b c +cb=4sin (A +π6). ∵A ∈(0,π),∴A+π6∈(π6,76π), ∴当A+π6=π2,即A=π3时,4sin (A +π6)有最大值,为4. ∴b c +cb的最大值为4.4.A 因为sin(A+C)=2Sb 2-c 2,即sin B=2Sb 2-c 2, 所以sin B=acsinBb 2-c 2,因为sin B≠0, 所以b 2=c 2+ac,由余弦定理得, c 2+ac=a 2+c 2-2accos B,即a -2ccos B=c,再由正弦定理得sin A -2sin Ccos B=sin C,因为sin A -2sin Ccos B=sin(B+C)-2sin C·cos B=sin(B -C),所以sin(B -C)=sin C, 所以B -C=C 或B -C+C=π,所以B=2C 或B=π(舍去). 因为△ABC 是锐角三角形, 所以{0<C <π2,0<2C <π2,0<π−3C <π2,得π6<C<π4,所以tan C ∈(√33,1), 所以tan C+12tan(B -C)=tan C+12tanC≥√2,当且仅当tan C=√22时取等号.故选A. 二、填空题 5.答案 4解析 ∵b 2+c 2-a 2=65bc,∴由余弦定理得b 2+c 2-a 2=2bccos A=65bc,∴cos A=35,sin A=√1−cos 2A =45.∵cosA a+cosB b=sinC c,∴由正弦定理得cosA sinA +cosB sinB =sinC sinC,∴34+1tanB =1,∴tan B=4. 6.答案 ②③解析对于①,当c=√3时,c<b,∴C<B,角C 只有1个解,①错误. 对于②,∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,∴ac·cos B=ac·cos 60°=12ac=12,∴ac=24.∴12ac·sin B=12×24×√32=6√3. 设AC 边上的高为h,则12bh=12×4h=6√3,解得h=3√3,②正确. 对于③,b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+c 2-2ac·cos 60°=a 2+c 2-ac=16,∴a 2+c 2=16+ac, ∵a 2+c 2≥2ac(当且仅当a=c 时取等号), ∴16+ac≥2ac,∴ac≤16,∴(a+c)2=a 2+c 2+2ac=3ac+16≤3×16+16=64, ∴a+c≤8<9,即a+c 不可能等于9,③正确. 综上,正确说法的序号是②③.7.答案3√334解析 ∵|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,即c=3. ∵CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6,∴abcos C=6,∴cos C=6ab. 由余弦定理得9=a 2+b 2-2abcos C=a 2+b 2-12≥2ab -12,∴ab≤212(当且仅当a=b 时取等号). ∴S △ABC =12absin C=12ab √1−cos 2C =12ab √1−36a 2b 2=12√a 2b 2(1−36a 2b 2) =12√a 2b 2-36≤12√(212)2-36 =3√334.故△ABC 面积的最大值为3√334. 8.答案 [√3,√132) 解析设AB=c,AC=b,BC=a=2,根据正弦定理及sin B+sin C=2sin A,得b+c=2a=4, ∴c=4-b.∵△ABC 为锐角三角形,∴{b 2+c 2=b 2+(4−b)2>4,c 2+4=(4−b)2+4>b 2,b 2+4>c 2=(4−b)2,解得32<b<52.故bc=b(4-b)=-b 2+4b (32<b <52),结合二次函数的性质,得154<bc≤4.∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·cos∠BAC =12√b 2+c 2+2bc ·b 2+c 2-42bc=12√2b 2+2c 2-4=12√28−4bc , ∵154<bc≤4,∴√3≤12√28−4bc <√132,即AD 的取值范围为[√3,√132). 三、解答题9.解析 (1)在△ABC 中,因为cos A=2425,cos C=35,所以sin A=725,sin C=45, 从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=117125. 由正弦定理得ABsinC =ACsinB,所以AB=ACsinB ×sin C=2 340117125×45=2 000(m),所以观光车路线AB 的长为2 000 m.(2)假设乙出发t 分钟后,甲、乙两游客的距离为d m,此时甲行走了(100+50t)m,乙距离A 处250t m, 由余弦定理得d 2=(100+50t)2+(250t)2-2×250t×(100+50t)×2425=1 000(41t 2-38t+10)=1 000[41(t -1941)2+4941]. 因为0≤t≤2 000250,即0≤t≤8,所以当t=1941 min 时,甲、乙两游客的距离最短. 10.解析 (1)因为(b -a)(sin B+sin A)=(b -c)sin C,所以由正弦定理得(b -a)(b+a)=(b -c)c, 即b 2+c 2-a 2=bc,由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,又A ∈(0,π), 所以A=π3. (2)选择①a=√3.由正弦定理得b sinB =c sinC =asinA =2,所以△ABC 的周长l=2sin B+2sin C+√3=2sin B+2sin (2π3-B)+√3=3sin B+√3cos B+√3=2√3sin (B +π6)+√3,因为B ∈(0,2π3),所以π6<B+π6<5π6,12<sin (B +π6)≤1, 所以2√3<2√3sin (B +π6)+√3≤3√3, 即△ABC 周长的取值范围为(2√3,3√3]. 选择②S △ABC =√3.由S △ABC =12bcsin A=√34bc=√3,得bc=4.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12, 所以△ABC 的周长l=a+b+c=√(b +c)2-12+b+c, 因为b+c≥2√bc =4,当且仅当b=c=2时,等号成立, 所以l=a+b+c≥√42-12+4=6, 即△ABC 周长的取值范围为[6,+∞).。

2024-2025年人教版必修第四册9.1.1正弦定理(带答案)

9．1.1 正弦定理1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A ．15 B ．59C ．53D ．1 2．已知△ABC 中，a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝60°，那么A 等于( )A ．45°B ．60°C ．120°或60°D ．135°或45°3．已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，AC ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3 ，A ＝30°，则c ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．无解5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝12，A ＝120°，且b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．23C ．3D ．436．在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求角A ；(2)求AC 边上的高．7．(多选)在△ABC 中，下列式子可能成立的是A ．a >b sin A B ．a <b sin AC ．a ＝b sin AD ．b <a sin B8．在△ABC 中，若AB → ·AC → ＝2且∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．23C ．33D ．233 9．(多选)下列关于正弦定理或其变形的叙述正确的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin BD ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C10．(逻辑推理)在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形11．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6 ，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定12．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论成立的是( )A ．若A >B ，则sin A >sin BB ．若A >B ，则cos A <cos BC ．若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则a ＝b ＝c D ．若a cos A ＝b cos B ，则A ＝B13．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试判断△ABC 的形状．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．15.已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32 c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3 ，求c 的值．9．1.1 正弦定理必备知识基础练1．答案：B解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝5×133 ＝59，故选B.2．答案：A解析：在△ABC 中，∵a ＝2 ，b ＝3 ，∴a <b ，∴A <B .又∵B ＝60°，∴A <60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b＝2×323 ＝22 ，则A ＝45°或135°(舍)，故选A. 3．答案：D解析：S ＝12 BC ·AC ·sin C ＝12 ×4×3×sin C ＝3，∴sin C ＝12，∵三角形为锐角三角形，∴C ＝30°.4．答案：C 解析：由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.∵a <b ，∴B >A ＝30°.∴B 为60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°.此时，c ＝a 2＋b 2 ＝1＋3 ＝2.②当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°.此时，c ＝a ＝1.故选C.5．答案：A解析：∵△ABC 中，sin B ＝12，A ＝120°，∴B ＝30°，∴C ＝30°，又∵b ＝2，∴c ＝b ＝2.∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×2×2×32＝3 . 6．解析：(1)∵B 是△ABC 的内角，且cos B ＝－17， ∴B 为钝角，sin B ＝437. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得7sin A ＝8437 ，即sin A ＝32 ，∴A ＝π3.(2)由sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32 ×⎝⎛⎭⎫－17 ＋12 ×437 ＝3314，则AC 边上的高＝a ·sin C ＝7×3314 ＝332. 关键能力综合练7．答案：AC解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A，∵sin B ≤1，sin A ≤1，∴a ≥b sin A ，b ≥a sin B ，故选AC.8．答案：C解析：由AB → ·AC → ＝2得AB ·AC ·cos 30°＝2，即AB ·AC ＝43，所以由三角形面积公式得S ＝12 AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12 ×43×12 ＝33 . 9．答案：ACD解析：由正弦定理易知A 、C 、D 正确，对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B 或2A＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误，故选ACD. 10．答案：B解析：由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B＝k ，由a ＝b sin A 得k sin A ＝k sin B ·sin A ，所以sin B ＝1，所以B ＝π2，故选B. 11．答案：C 解析：由正弦定理得6sin 60° ＝4sin B.∴sin B ＝2 ＞1，∴角B 不存在． 12．答案：ABC解析：对于A ：因为A >B ，所以a >b ，由正弦定理可得2R sin A >2R sin B (R 是△ABC 外接圆的半径)，所以sin A >sin B ，故正确；对于B ：因为y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，A ，B ∈(0，π)且A >B ，所以cos A <cos B ，故正确；对于C ：因为a cos A ＝b cos B ＝c cos C，由正弦定理化边为角可得tan A ＝tan B ＝tan C ，又因为A ，B ，C ∈(0，π)，所以A ＝B ＝C ，所以a ＝b ＝c ，故正确；对于D ：利用正弦定理化边为角可得sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故错误．故选ABC. 13．解析：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A.又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 14．解析：(1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2A ＝33，又B ＝A ＋π2 ，所以sin B ＝sin (A ＋π2 )＝cos A ＝63. 由正弦定理可得b ＝a sin B sin A ＝3×6333＝32 . (2)由B ＝A ＋π2，得cos B ＝cos (A ＋π2 )＝－sin A ＝－33，由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33 ×(－33)＋63 ×63 ＝13. 所以△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×3×32 ×13 ＝322 . 核心素养升级练 15．解析：(1)由a cos C ＋32 c ＝b ，得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . 因为sin B ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝32 . 因为0<A <π，所以A ＝π6. (2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝32 ，所以B ＝π3 或2π3. ①当B ＝π3 时，由A ＝π6 ，得C ＝π2 ，所以c ＝2； ②当B ＝2π3 时，由A ＝π6 ，得C ＝π6，所以c ＝a ＝1.综上可得c＝1或2.。

2021年高中数学 1.1.1 正弦定理(1)同步练习理(普通班)新人教A版必修5

2021年高中数学 1.1.1 正弦定理（1）同步练习理（普通班）新人教A
版必修5
一、选择题
1．在△ABC中，已知，则∠B等于（）
A． B． C． D．
2．一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是６，那么角所对的边的边长为（）．
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
4．在△ABC中，，则△ABC一定是（）
Ａ．等腰三角形Ｂ．直角三角形
Ｃ．等腰直角三角形Ｄ．等腰三角形或直角三角形
5、不解三角形，确定下列判断中正确的是（）
A. ，有两解
B. ,有一解
C. ，有两解
D. ，无解
6．中，的对边分别为若且，则( )
A.2 B．4＋ C．4— D．
二、填空题
7．在△ABC中，若,求= ．
8．在△ABC中，已知，则这样的三角形有_______个．
三、解答题
9．在△ABC中，分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若,求Ａ的值．10．在△ABC中，求证：
1.1.1正弦定理（一）
一、选择题
1.D
2.A
3.A
4.D
5.B
6.A
二、填空题
7．8. 1
三、解答题
9.解∵Ｂ＝Ａ＋∴
又∴
∴
∴又∵∴
10. 解：.
I33569 8321 茡25979 657B 敻E 38927 980F 頏37950 943E 鐾27850 6CCA 泊27403 6B0B 欋Q%25532 63BC 掼31699 7BD3 篓28743 7047 灇^。

2020-2021学年新教材高中数学课时素养检测一正弦定理(含解析)新人教B版必修第四册-2

一正弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,B=60°,则C等于( )A.30°B.45°C.150°D.30°或150°【解题指南】利用正弦定理解三角形,根据大边对大角,即可得解.【解析】选A.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,B=60°,则由正弦定理可得=,所以sin C==,因为c<b,所以C=30°.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=,则b= ( )A.1B.C.D.2【解析】选A.因为在△ABC中,A=105°,C=45°,所以B=180°-A-C=180°-105°-45°=30°.再由正弦定理=,即=,解得b=1.3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asinA,则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【解析】选B.由正弦定理可以得到sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,故sin(B+C)=sin2 A,即sinA=sin2 A.因为A∈(0,π),故sin A≠0,所以sin A=1.因为A∈(0,π),故A=,所以△ABC为直角三角形.4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2ccos A,sin A=1,则sin C的值为( ) A. B. C. D.【解析】选B.因为sin A=1,即sin A=.又a=2ccos A,cos A=>0,所以cos A=.由条件及正弦定理得sin A=2sin Ccos A,即=2×sin C,所以sin C=.5.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形( )A.无解B.有两解C.有一解D.解的个数不确定【解析】选B.如图,因为bsin A<a<b,所以B有两解.6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足sin B=2sinAcos C+cos Asin C,则下列结论可能正确的是( )A.a=2bB.b=2aC.C=D.C<【解析】选AC.由sin B=2sin Acos C+cos Asin C,得sin B+2sin Bcos C=2sin Acos C+cos Asin C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或2sin B=sin A,C=或2b=a.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csin A,则角C=________. 【解析】由a=2csin A及正弦定理得==,因为sin A≠0,所以sin C=,又因为△ABC是锐角三角形,所以C=.答案:8.在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为________.【解析】如图所示,由正弦定理得sin C==.且AB>AC,所以C=60°或C=120°.所以A=90°或A=30°.所以S△ABC=AC·AB·sin A=或.答案:或三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知△ABC中,a=,b=,B=45°,求A,C和边c.【解析】由正弦定理=,得sin A=.因为a>b,所以A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==. 【补偿训练】若在△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°得B=180°-A-C=60°,在△ABC中,由正弦定理得==,故BC===,AB====.10.在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,△ADC是△ABD面积的倍.(1)求的值.(2)若A=30°,AB=1,求AD的值.【解题指南】(1)根据△ADC是△ABD面积的倍列式,由此求得的值.(2)用B表示C,利用正弦定理和两角差的正弦公式,化简(1)所得的表达式,求得tan B的值,进而求得∠ADB的值,利用正弦定理求得AD的值.【解析】(1)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.所以===.(2)因为A=30°,所以C=150°-B,由(1)得====,所以sin B=cos B+sin B,即sin B=-cos B,得tan B=-.易得B=120°,因为AD平分∠BAC,所以∠ADB=30°+15°=45°.因为AB=1,由正弦定理知=,即==,得AD=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知△ABC中,a=1,b=,B=45°,则A等于( )A.150°B.90°C.60°D.30°【解析】选D.由正弦定理,得=,得sin A=.又a<b,所以A<B=45°.所以A=30°.2.在△ABC中,若内角满足A>B,则下列结论一定正确的是( )A.sin A>sin BB.sin A<sin BC.sin A>cos BD.cos A>cos B【解题指南】先由三角形大角对大边,再由正弦定理变形公式判断.【解析】选A.设A,B对应的边分别为a,b,因为A>B,所以a>b,由正弦定理得,2Rsin A>2Rsin B,即sin A>sin B.3.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A,B的大小不能确定【解题指南】先由正弦定理说明a>b,然后再根据△ABC中大角对大边的原理去判断.【解析】选A.由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B.因为sin A>sin B.所以a>b,所以A>B.4.在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选D.由已知===,所以=或=0,即C=90°或=.由正弦定理,得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=bsin A,则sin B=________.【解析】由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以sin A=sin B·sin A,故sin B=.答案:6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=________. 【解析】方法一:由正弦定理bcos C+ccos B=2b,即sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即sin(B+C)=2sin B,sin(π-A)=2sin B,有sin A=2sin B,再由正弦定理得a=2b,=2.方法二:如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccos B+bcos C=2b,即=2.答案:27.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足2b=a+c,且A-C=90°,则cos B=________.【解析】因为2b=a+c.所以由正弦定理,得2sin B=sin A+sin C.因为A-C=90°,所以2sin B=sin(90°+C)+sin C.所以2sin B=cos C+sin C.所以2sin B=sin(C+45°).①因为A+B+C=180°且A-C=90°,所以C=45°-,代入①式中,2sin B=sin.所以2sin B=cos.所以4sin cos=cos.所以sin=.所以cos B=1-2sin2=1-=.答案:8.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________,AC的取值范围为________. 【解题指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函数的值域求取值范围.【解析】设A=θ⇒B=2θ.由正弦定理得=,所以=1⇒=2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°,又0°<180°-3θ<90°⇒30°<θ<60°,故30°<θ<45°⇒<cos θ<,所以AC=2cos θ∈(,).答案:2 (,)三、解答题(共38分)9.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b=6,a=2,A=30°,试求ac的值.【解析】由正弦定理=得sin B===.由条件b=6,a=2,b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,c=4,所以ac=2×4=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,所以A=C,则有a=c=2.所以ac=2×2=12.10.(12分)已知在△ABC中,D为BC中点,cos∠BAD=,cos∠CAD=,(1)求∠BAC的值.(2)求的值.【解析】(1)因为cos∠BAD=,cos∠CAD=,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD为锐角,所以sin∠BAD=,sin∠CAD=,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=×-×=,因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.(2)在△ABC中,=,在△ABD中,=,=,又因为BC=2BD,所以=.11.(14分)如图所示,扇形AOB,圆心角∠AOB为60°,半径为2,在弧AB上有一动点P.过P引平行于OB的直线交OA于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.【解析】因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.在△POC中,由正弦定理,得=,所以CP===.又=,所以OC=sin(60°-θ),所以S△POC=CP·OCsin 120°=×sin θ·sin(60°-θ)×=cos(2θ-60°)-. 又0°<θ<60°,所以当θ=30°时,S△POC取得最大值. 【补偿训练】在△ABC中,已知sin A-cos A=1,cos B=,AB=4+.(1)求内角A的大小.(2)求边BC的长.【解析】(1)因为sin A-cos A=1,所以2sin=1,即sin=,因为0<A<π,所以-<A-<,所以A-=,所以A=.(2)因为sin2B+cos2B=1,cos B=,B∈,所以sin B==,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以=,得BC=5.。

【同步练习】2020-2021学年下学期高一年级数学学科同步练习(四)及答案(必修4 三角函数)

2020-2021学年下学期高一年级数学学科同步练习（四）内容：必修4 三角函数一、选择题1. 【a 】已知角终边上一点，则角的最小正值为（） A． B ． C ． D ．2. 【a 】函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是（）（A ）2π （B ）4π （C ）4π （D ）2π3. 【a 】3cos π12－sin π12的值是( )A ．0B ．2C ．－ 2D ．24. 【a 】函数()sin cos()6f x x x π=-+的最小值为（）（A ）2- （B （C ）1 （D ）5．【b 】已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈ZB ．⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C ．⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 6．【b 】已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )A.43B.34C.53D.127．【b 】2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于( )A ．tan αB ．tan2αC ．1D ．128. 【b 】要想得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( )． A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度α)32cos ,32(sinππP απ65π611π32π35C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度9. 【b 】函数的图象如下图，则( ) A ．B ．C ．D ． 10．【b 】将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为( )A ．12，－12B ．14，－14C ．12，－14D ．14，－1211．【b 】已知sin2α＝35(π2<2α<π)，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝( )A ．－2B ．－1C ．－211D ．21112. 【c 】已知函数）（）（3-x sin 32-x f π=，若x 1·x 2>0，且f(x 1)+f(x 2)=0，则|x 1+x 2|的最小值为( ) A.32πB.3π C.2π D.6π 二、填空题13. 【a 】已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，）（2f π＝－23，则f(0)＝14．【a 】若sin(π4－α)＝－12，sin(π4＋β)＝32，其中π4<α<π2，π4<β<π2，则角α＋β的值为__ _____．15.【b 】化简：21sin 422cos 4+++的结果是16．【c 】给出下列四个命题：①函数x y tan =的图象关于点)(0,2Z k k ∈+）（ππ对称；②函数x x f sin )(=是最小正周期为π的周期函数； ③设θ为第二象限的角，则2cos 2sin ,2cos 2tanθθθθ>>且；⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,1πϕωx x x kx y 6,21,21πϕω===k 3,21,21πϕω===k 6,2,21πϕω==-=k 3,2,2πϕω==-=k④函数x x y sin cos 2+=的最小值为-1. 其中正确的命题是 . 三．解答题17. 【a 】已知函数f (x )＝)64cos(π+x A ，x ∈R ，且)3(πf ＝ 2.(1)求A 的值； (2)设α，β∈]⎢⎣⎡20π，，)34(πα+f ＝－3017，)32-4(πβf ＝85，求cos(α＋β)的值．18. 【a 】已知函数21()3sin cos cos ()2f x x x x x R =-+∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得()g x 的图象，求函数()y g x =在[]0,x π∈上的最大值及最小值．19. 【b 】已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移个单位后得到函数的图象．（1）求函数在上的值域；（2）求使的的取值范围的集合．)2,0,0()cos()(πϕωϕω<>>++=A B x A x g )(x g 3π)(x f )(x f ]3,6[ππ-∈x 2)(≥x f x20. 【b 】已知函数()()2cossin)0222xxxf x ωωωω=->的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式；（2）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且6()5f θ=+，求cos θ的值．21. 【c 】若将的图象先向左平移所得的函数为奇函数。

2020-2021学年高二数学人教B版必修5 学案：1.1.1 正弦定理(二) Word版含解析

1.1.1 正弦定理(二)自主学习学问梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________； (3)a ＝__________，b ＝__________，c ＝____________； (4)sin A ＝________，sin B ＝________，sin C ＝________.2．三角形面积公式：S ＝______________＝______________＝____________. 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则△ABC 的外接圆半径R ＝________，内切圆半径r ＝____________. 自主探究在△ABC 中，(1)若A >B ，求证：sin A >sin B ；(2)若sin A >sin B ，求证：A >B .对点讲练学问点一三角形面积公式的运用例1 已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．总结留意正弦定理的机敏运用，例如本题中推出S △ABC ＝2R 2sin A sin B sin C ．借助该公式顺当解出外接圆半径R .变式训练1 已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4学问点二利用正弦定理证明恒等式例2 在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.总结正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加机敏．变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .学问点三利用正弦定理推断三角形外形例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并推断△ABC 的外形．变式训练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判定这个三角形的外形．。

高一数学正弦定理试题答案及解析

高一数学正弦定理试题答案及解析1. .若DABC中，，那么=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理得，设【考点】正弦定理，余弦定理2.在中，角对的边分别为，且．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知，根据正弦定理和合比定理求的值；（2）由余弦定理得出的值，再根据三角形的面积公式可求出的面积．试题解析：（1）因为，由正弦定理，得，∴；（2）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以.【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形面积公式.3.在△ABC中，AB=A=45°，C=60°,则BC= .【答案】.【解析】如图，根据正弦定理，，解得.【考点】正弦定理，特殊角的三角函数.4.中，已知，则三角形的形状为 .【答案】等腰或直角三角形【解析】中，，利用余弦定理把用边表示出来，带入原式得整理得，分组分解因式提取公因式，得，三角形的形状为等腰或直角三角形【考点】正余弦定理，三角形形状的判定5.已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧的中点，点D，E分别在半径OA，OB上．若，则的最大值是 .【答案】【解析】在△COD中，由余弦定理得CD2＝1＋OD2－OD，同理在△EOC、△DOE中，由余弦定理分别得CE2＝1＋OE2－OE，DE2＝OE2＋OD2＋OD·OE，代入整理得，由基本不等式得，所以，解得，即OD＋OE的最大值是.【考点】正余弦定理，基本不等式.6.在△中，角，，所对的边分别为，，．（1）若，求角；（2）若，，且△的面积为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）将已知应用正弦定理转化为纯角的关系，并用将角Ｃ用角Ａ，Ｂ表示，再注意到，从而可求得角Ａ的三角函数值，从而得到角Ａ的大小；（2）由于和△的面积为，可将用含量a的代数式表示出来，再由应用余弦定理就可将用含a的代数式表示，最后注意到，从而就可得到关于a的一个一元方程，解此方程就可得到a的值．试题解析：（1），由正弦定理可得．即．即，．注：利用直接得同样给分（2），的面积为，．，①由余弦定理，②由①，②得：，化简得，，（2）或解：由得①由得②由①，②得：，即，，．．【考点】１．正弦定理和余弦定理；２．三角形的面积．7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为，∠A、∠B、∠C的大小成等差数列，且（1）若，求∠A的大小；（2）求△ABC周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先由A,B,C成等差数列得，再利用正弦定理得，最后根据范围求出∠A的大小；（2）先由正弦定理得到，设周长为y，则y=,然后通过定义域，求出函数的值域,最后写出周长的取值范围.试题解析：（1）∵A,B,C成等差数列，∴解得又∵，，∴∴又∵∴（2）∵∴设周长为y，则∵∴∴∴∴周长的取值范围是【考点】等差数列的定义和性质;三角函数的恒等变换及化简求值;正弦定理的应用.8.在中,角、、所对的边分别为、、，满足.（1）求角；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）要求角,只能从入手,利用正弦定理,将角化为边,得,进而可得三边关系,利用余弦定理即可求角.（2）从入手,欲找三边关系,用正弦定理将其化简为,将（1）的结论利用起来,代入,同时将代入,使得中只含有,进而根据,讨论的范围.试题解析：（1）根据正弦定理有:,化简得,根据余弦定理有, 所以.（2）根据正弦定理将化简,同时将（1）代入,化简为因为,,所以.故,的取值范围是【考点】正弦定理的应用(角化边);余弦定理;正弦差角;辅助角公式求范围.9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，，且．（1）求角的值；（2）若角，边上的中线=，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先可将条件中变形为，再利用正弦定理进行边角互化可得，再由中，可将等式继续化简为，从而；（2）由（1）及条件可得是等腰三角形，从而，再由边上的中线=，若设，则，可考虑在中采用余弦定理，即有，从而可进一步求得的面积：.试题解析：（1）∵，∴，由正弦定理得， 2分即， 4分∵，∴，∴，又∵，∴，∴； 7分（2）由（1）知，∴，， 8分设，则，又∵在中，由余弦定理：得即， 12分故. 14分【考点】1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形.10.△ABC中，若，，则等于（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】由正弦定理得，a="2R" sin A,b=2RsinB,c=2RsinC,所以, ．【考点】正弦定理的应用．11.若的三角，则A、B、C分别所对边=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由及得，再由正弦定理得。

【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第四册课时作业9-1-2 余弦定理

课时作业2 余弦定理时间：45分钟一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，∠C ＝120°.则c 为( B ) A.41 B.61 C.41或61 D.21解析：c ＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋42－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝61.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( D )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：∵a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，∴由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋4－52×b ×2＝23，整理可得3b 2－8b －3＝0，∴b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( D )A ．3 B.932 C ．3 3D.332解析：∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2－2ab ＋b 2＋6，即a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.∵C ＝π3，∴cos π3＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，解得ab ＝6，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选D.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( B )A.14B.34C.24D.23解析：由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ·2a 2a ·2a＝34. 5．(多选)在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 等于( AB ) A. 3B ．2 3C ．3 3D ．4 3解析：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以3＝a 2＋9－2×a ×3×cos30°，a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.故选AB.6．在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，且a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( C )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)解析：由于a 为最大边，所以∠A 为最大角，即∠A >∠B ，∠A >∠C ，故2∠A >∠B ＋∠C .又由于∠B ＋∠C ＝π－∠A ，所以2∠A >π－∠A ，即∠A >π3.由于a 2<b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，所以0<∠A <π2.综上，π3<∠A <π2.7．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( B )A.1＋32 B ．1＋3 C.2＋32 D ．2＋3 解析：∵∠B ＝30°，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin30°＝32，解得ac ＝6， ∵2b ＝a ＋c ，由余弦定理可得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos30°＝4b 2－12－63，即b 2＝4＋23，由b >0解得b ＝1＋ 3.8．在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则这个三角形肯定是( B ) A ．锐角三角形或钝角三角形 B ．以a 或b 为斜边的直角三角形 C ．以c 为斜边的直角三角形 D ．等边三角形解析：由余弦定理可将a cos A ＋b cos B ＝c cos C 变为 a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得2a 2b 2－a 4－b 4＋c 4＝0，即(c 2－a 2＋b 2)(c 2＋a 2－b 2)＝0， ∴c 2＋b 2＝a 2或a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 是以a 或b 为斜边的直角三角形．二、填空题(每小题6分，共18分)9．在△ABC 中，a ＝1，b ＝1，∠C ＝120°，则c ＝ 3.解析：由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋1＋1＝3.∴c ＝ 3.10．已知△ABC 中，三边a ，b ，c 满足1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，则B ＝60°.解析：由1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c 得(a ＋2b ＋c )(a ＋b ＋c )＝3(a ＋b )(b ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，故B ＝60°. 11．已知等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，则腰上的中线长为62a . 解析：如图，AB ＝AC ＝2a ，BC ＝a ，BD 为腰AC 的中线，过A 作AE ⊥BC 于E ，在△AEC 中，cos C ＝EC AC ＝14，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos C ，即BD 2＝a 2＋a 2－2×a ×a ×14＝32a 2，∴BD ＝62a .三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分)12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求边AB 的长； (2)求△ABC 的面积．解：(1)a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. ∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得：64＝49＋c 2－2×7×c ×(－17)，可得：c 2＋2c －15＝0，∴解得：c ＝3或－5(舍去)，可得：AB 的长为3. (2)∵cos B ＝－17，B ∈(0，π)．∴sin B ＝1－cos 2B ＝437，又a ＝7，c ＝3， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×7×3×437＝6 3.13．在△ABC 中，已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试推断三角形的外形．解：将已知等式变为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理可得：b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac .即b 2＋c 2＝[a 2＋b 2－c 2＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2，也即b 2＋c 2＝a 2，故△ABC 为直角三角形． ——素养提升——14．已知等腰三角形ABC 的底边长为6，腰长为12，则它的内切圆的面积为27π5.解析：在△ABC 中，不妨设a ＝6，b ＝c ＝12，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.设△ABC 内切圆的半径为r ，由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A ，得r ＝3155，∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos Cc .(1)求角C 的大小；(2)假如a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．解：(1)∵a sin A ＝c sin C ，sin A a ＝3cos Cc ， ∴sin C ＝3cos C .∴tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)， ∴C ＝π3.(2)∵CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12ab ，又CA →·CB→＝4，∴ab ＝8. 又∵a ＋b ＝6，由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12，∴c ＝2 3.。

高中数学人教B版课时作业：1.1.1 正弦定理 Word版含解析

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【选题明细表】1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,b=1,则a为( D )(A)3 (B)2解析:由∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,得∠A=120°,∠B=∠C=30°,根据正弦定理,即解得a=.2.(2017·四川雅安高一期中)已知△ABC中,a=4,b=4,∠A=30°,则∠B等于( A )(A)30°(B)30°或150°(C)60°(D)60°或120°解析:法一因为a=4,b=4,∠A=30°,所以根据正弦定理又B为锐角,则∠B=30°.法二因为a=b=4,∠A=30°,所以∠A=∠B=30°.故选A.3.(2017·福建福州高一期末)在△ABC中,利用正弦定理解三角形时,其中有两解的选项是( D )(A)a=3,b=6,∠A=30°(B)a=6,b=5,∠A=150°∠A=60°∠A=30°解析:对于A,由正弦定理可得sin B=可得∠B=90°, ∠C=60°,只有一解;对于B,由正弦定理可得sin B=可得B为锐角,三角形只有一解;对于C,由正弦定理可得可得这样的三角形无解;对于D,由正弦定理可得sin 由b>a,可得B∈(30°,150°),有两解.故选D.4.在△ABC中,若B,cos A=cos C,则△ABC形状为( C )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,则3b=2·sin B可化为·sin B,因为0°<∠B<180°,所以sin B≠0.所以所以∠A=60°或∠A=120°,又cos A=cos C,所以∠A=∠C,所以∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.5.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是.解析:设三个内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,所以x=30°.由正弦定理可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,所以a∶b∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°1=1∶ 2.答案:1∶ 26.在△ABC中,已知∠B=45°,∠C=60°,则△ABC的面积是.解析:由正弦定理得又∠A=75°,所以S△ABC·×答案7.(2017·内蒙古包头铁路一中高一期末)下列叙述中错误的是( B )(A)在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C(B)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B(C)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则 sin A>sin B(D)在△ABC中解析:A,在△ABC中,由正弦定理可得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,故有a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,故A成立;B,若sin 2A=sin 2B,等价于2A=2B,或2A+2B=π,可得A=B,或故B不成立;C中,由sin A>sin B可知2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆半径),即a>b,则A>B,反之,若A>B,则a>b,即sin A>sin B,因此C正确;D再根据比例式的性质可得D成立.故选B.8.在△ABC中,若∠B=30°则△ABC的面积为( C )(A)2( (D)3解析:得sin C=因为AB>AC,所以∠C=60°或120°.当∠C=60°时,∠A=90°,则S△ABC2×sin 90°当∠C=120°时,∠A=30°,则S△ABC2×sin 30°故选C.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b·cos C=3a·cos B-c·cos B,则cos B= .解析:由正弦定理得:a=2R·sin A,b=2R·sin B,c=2R·sin C,则等式可化为:2R·sin B·cos C=6R·sin A·cos B-2R·sin C·cos B,即:sin B·cos C=3sin A·cos B-sin C·cos B,可得:sin B·cos C+sin C·cos B=3sin A·cos B,sin(B+C)=3sin A·cos B.又sin(B+C)=sin A,且sin A≠0,所以答案10.在锐角△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,且4sin(1)求∠A的大小;(2)若BC边上高为1,求△ABC面积的最小值.解:(1)因为∠A+∠B+∠C=π,所以sin所以由已知得4cos-cos 2A=变形得2(1+cos A)-(2cos2整理得(2cos A-1)2=0,解得因为A是三角形的内角,所以(2)因为BC边上高为1,所以bsin C=1,csin B=1,所以△ABC的面积设y=4sin Bsin C,则y=4sin Bsin(=2sin Bcos B+2sin2Bsin 2B+1-cos 2B因为0<∠∠所以∠从而∠故当2∠即∠,S的最小值为11.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,若m=(b,3a),n=(c,b),且m∥n,∠C-∠求∠B.解:由m∥n,得b2=3ac.由正弦定理可得4R2·sin2B=3×2Rsin A×2Rsin C 即sin2B=3sin A·sin C因为∠C-∠所以sin C=cos A,即:sin2sin 2A,又∠A+∠B+∠C=π,所以2∠A+∠即sin 2A=cos B,得:sin2所以2cos2B+3cos B-2=0.得cos B=所以∠。

2020-2021学年高中数学人教B版(2019)必修第四册精英同步练：9.1.2 余弦定理

9.1.2 余弦定理1、在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B =,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A.222 D.42、在锐角三角形ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A +⋅的最小值为( )733533D.323、在ABC ∆中，若2224a b c bc bc +＝﹣,＝，则ABC ∆的面积为（） A ．12B ．1C 3D ．24、在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sin sin 3sin B C A =,ABC △的面积为33,33a b +=则c =( ) 21321321 35、ABC ∆中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知 22,2(1)b c a b sinA ==-,则A = ( ) A.34π B.3π C.4π D.6π 6、在ABC △中,若13AB =3BC =,120C ∠=︒,则AC = （） A. 1B. 2C. 3D. 47、在ABC △中, ,4πB =BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ( )A.310B.10 C. 10 D. 3108、在ABC ∆中, 4B π=,BC 边上的高等于13BC ,则sin A = ( ) A.310B.1010 C.55D.310109、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin sin B A C =,a c <,且61cos 72B =,则ca=( )A.169B.32 C.85D.9410、在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若1,45a b C ===︒,则A =( ) A.150︒B.60︒C.45︒D.30︒11、在ABC △中，内角A B C ,,的对边分别是,a b c ,，且满足b =，a c +=cos cos 2cos a C c A b B +=，则ac 的值为 .12、在ABC ∆中，4,5,6a b c ===，则cos A =__________，ABC ∆的面积为__________. 13、在ABC ∆中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，且满足()274cos cos222A B C -+=，若2a =，则ABC ∆的面积的最大值是__________.14、在ABC △中，角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,满足2230a c b -+=，ABC S =△，且60A =︒，则ABC △的周长为 .15、在ABC △中,角,,A B C 的对边是,,a b c ,且2cos 2a cC b-= (1)求角B 的大小(2)若sin 8,A c c a =>,求ABC △的面积答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：ABC ∆中,由sin cos 0b A B ⋅=,利用正弦定理得sin sin cos 0B A A B =，∴tan B =故π3B =.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-⋅=+-,即22)3(b a c ac =+-，又2b ac =,所以22)4(b a c =+,求得2a cb +=2答案及解析：答案：B解析：由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得，222223a a b c b ++-=，即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+. 2222cos a b c bc A =+-，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=，整理得sin cos 3sin cos A B B A =.易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=，且tan 0B >.πA B C ++=， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--⋅24tan 3tan 1BB =-，tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B-=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯当且仅当tan B 时等号成立故选B.3答案及解析：答案：C解析：∵ABC ∆中, 222a b c bc =+-,即222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==， ∴60A =︒，∵4bc =，∴1sin 2ABC S bc A ∆=4答案及解析：答案：D解析：因为sin sin ,sin 0B C A B =≠,所以sin C =又ABC △,所以21sin 2ab C =得a =又a b +=所以b C ==,所以1cos 2C =±,所以根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-得c 3c =,故选D5答案及解析：答案：C解析：因为 b c =,所以由余弦定理得: ()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-,又因为()2221sin a b A =-,所以cos sin A A =, 因为cos 0A ≠, 所以tan 1A =,因为(0,)A π∈, 所以4A π=,故选C.6答案及解析：答案：A解析：设ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,则3a =,c =,120C ∠=︒,由余弦定理得21393b b =++,解得1b =,即1AC =.7答案及解析：答案：C解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC=3AD ，所以AC =，AB =.由余弦定理，知222222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅8答案及解析：答案：D解析：设3BC a=,则高AD a=在Rt ABD∆中, sin2ADABB===在ABC∆中,由余弦定理得AC==由正弦定理得3sinsinsin10aBC BAACπ⨯⋅===故选D9答案及解析：答案：D解析：∵在ABC△中,2sin sin sinB A C=,∴2b ac=,∴22222161cos122272a cb ac ac a cBac ac c a+-+-⎛⎫===+-=⎪⎝⎭,∴9736a cc a+=,解得94ca=或49ca=.∵a c<,∴94ca=.10答案及解析：答案：C解析：由余弦定理得21221321c=+-⨯︒=-=,所以1c a==,因为45C=︒,所以45A=︒.11答案及解析：答案：3解析：由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，即()sin 2sin cos A C B B +=. 又因为πA C B +=-，所以()sin π2sin cos B B B -=，即sin 2sin cos B B B =，所以1cos 2B =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得()22223b a c ac a c ac =+-=+-. 又3b =，所以()233a c ac +-=.又23a c +=，所以3ac =.12答案及解析：答案：3157,4 解析：（1）ABC 中，456a b c ===,,，由余弦定理得，2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯.（2）如图，作CD AB ⊥于点D,设BD x =,∵4,5,6BC a AC b AB c ======, ∴6AD AB BD x =-=-，∵222222,BC BD CD AC AD CD -=-=,∴2222BC BD AC AD -=-,∴()2222456x x -=--,解得94x =， ∴94BD =,∴CD =,.∴12ABC S AB CD ∆=⋅=13答案及解析：解析：∵πA B C ++=， ∴222()()74cos cos 21cos cos22cos 2cos 322A B C A A A A -+=+-=-++=， ∴212cos 2cos 02A A -+=. ∴1cos 2A =.∵0πA <<,∴π3A =︒.∵2a =,由余弦定理可得：2242b c bc bc bc bc =+--=,(当且仅当2b c ==,不等式等号成立). ∴4bc .∴11sin 422ABC S bc A ∆=⨯⨯=14答案及解析：答案：7+解析：60A =︒，∴由余弦定理得222a b c bc =+-.又2230a c b -+=，230b bc b ∴-+=，3b c ∴=-(b 为边长，故0b ≠).1sin 2ABC S bc A =△12bc =⨯，10bc ∴=，23100c c ∴--=，解得5c =或2c =-(舍去)，2b ∴=，a ==，ABC ∴△的周长为7+15答案及解析：答案：(1)由题及余弦定理得,2222cos 22a b c a cC ab b +--==整理得222a c b ac +-=2221cos 22a cb B ac +-∴==π(0,π),3B B ∈∴=(2)由c a >知,a 不是最大边,A 是锐角11cos 14A ∴=1sin sin()sin 2C A B A A ∴=+=由sin sin c a C A =得sin 5sin c A a C== 1sin 2ABC S ac B ∴==△解析：。

2020_2021学年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理同步作业含解析新人教A版必修5.doc

正弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为 ( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A,B的大小关系不确定【解析】选A.因为sin A>sin B,所以2Rsin A>2Rsin B,即a>b,故A>B.2.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则b= ( )A. B. C. D.【解析】选A.由正弦定理得b=×sin B=×sin45°=.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为( )A.-B.C.1D.【解析】选D.由正弦定理可得,=2-1=2-1,因为3a=2b,所以=,所以=2×-1=.4.(2019·鹤岗高一检测)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin B=b,则角A等于( )A. B. C. D.【解析】选A.因为2asin B=b,由正弦定理可得:2sin Asin B=sin B,又sin B≠0,所以sin A=.因为△ABC为锐角三角形,所以A=.5.在△ABC中,a=15,b=18,A=30°,则此三角形解的个数为( )A.0B.1C.2D.不能确定【解析】选C.如图所示:CD=AC·sin 30°=18·=9,因为9<15<18,即bsin A<a<b,所以三角形解的个数为2.6.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a=,b=,则B=( ) A.30° B.45° C.60° D.135°【解析】选B.在△ABC中,由正弦定理可得=,即sin B== =,又因为0°<B<180°,且a>b,则A>B,所以B=45°.又因为B∈(0,π),且a>b,则A>B,所以B=45°.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为________.【解析】由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案:等腰三角形或直角三角形.8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=50,c=150,B=30°,则边长a=________或________.【解析】由正弦定理,可得=,得sinC=,因为150>50,所以C=60°或120°.若C=60°,则∠A=90°.由勾股定理得a=100,若C=120°,则∠A=30°.所以a=b=50.答案:50100三、解答题(每小题10分,共20分)9.在三角形ABC中,已知a=5,b=5,A=30°,解此三角形.【解析】在△ABC中,由正弦定理==,得sin B==. 因为b>a,所以B=60°或120°,当B=60°时,C=180°-(A+B)=90°,则c===10;当B=120°时,C=180°-(A+B)=30°,则c===5.综上可得,B=60°,C=90°,c=10或B=120°,C=30°,c=5.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且==.(1)求C.(2)若b=+,求△ABC的周长.【解析】(1)由正弦定理得==,又因为sin C≠0,所以sin A=cos A,从而tan A=1.因为0<A<π,所以A=.又因为sin C=cos A=,a>c,所以C=.(2)由(1)得sin B=sin(A+C)=sin=,由正弦定理得==,可得a=2,c=2.所以△ABC的周长为2+++2=3++2.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,A=,AB=2,BC=5,则cos C= ( )A.±B.-C.D.【解析】选D.因为A=,AB=2,BC=5,所以由正弦定理可得:=,可得:sin C==,因为AB<BC,可得:C为锐角,所以cos C==.2.(2019·白山高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2bsin C,B≤,则B= ( )A. B. C. D.【解析】选A.因为c=2bsin C,所以sin C=2sin Bsin C,所以sin B=,则B=或,因为B≤,所以B=.3.在△ABC中,已知tan A=,tan B=,且△ABC最大边的长为,则△ABC的最小边为( )A.1B.C.D.3【解析】选C.在△ABC中,已知tan A==,tan B==<1,所以A<B<,所以C>.再根据tan C=-tan(A+B)=-=-1,所以C=π,所以C>B>A,再根据sin2A+cos2A=1,求得sin A=,cos A=,且△ABC最大边的长为,则c=,a为最小的边.再利用正弦定理可得=,即=,解得a=.4.在△ABC中,b=17,c=24,B=45°,则此三角形解的情况是( )A.一解B.两解C.一解或两解D.无解【解析】选B.=⇒sin C==,因为c>b,0°<C<135°,所以角C有两个,故三角形有两解.5.在△ABC中,已知A=60°,C=30°,c=5,则a= ( )A.5B.10C.5D.5【解析】选C.因为在△ABC中,A=60°,C=30°,c=5,所以由正弦定理=,得a===5.二、填空题(每小题5分,共20分)6.在边长为2的等边△ABC中,点O为△ABC外接圆圆心,则·=________.【解析】设三角形的外接圆半径为r,由正弦定理得=2r,所以r=2,由题得<,>=,所以·=2·2·cos=-2.答案:-27.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=________.【解析】由题可得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,即sin C(sin A+cos A)=sin Csin (A+)=0,所以A=.由正弦定理=可得=,即sin C=,因为c<a,所以C<A,所以C=.答案:8.△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若=,则B=________. 【解析】因为=,所以由正弦定理得=,即cos Csin B=2sin Acos B-sin Ccos B,2sin Acos B=cos Csin B+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,因为sin A≠0,所以cos B=,又因为0<B<π,所以B=.答案:9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,给出下列结论:①若A>B>C,则sin A>sin B>sin C;②必存在A,B,C,使tan Atan Btan C<tan A+tan B+tan C成立;③若a=40,b=20,B=25°,则△ABC必有两解.其中,结论正确的编号为________(填写编号).【解析】①在三角形中,A>B>C,得a>b>c,由正弦定理==, 可知sin A>sin B>sin C,所以①正确;②若A,B,C有一个为直角时不成立,若A,B,C都不为直角,因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=tan(π-C),即=-tan C,则tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C,所以tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,即②错误;③因为asin B=40sin 25°<40sin 30°=40×=20,即asin B<b<a,所以,△ABC必有两解.所以③正确.综上,结论正确的编号为①③.答案:①③三、解答题(每小题10分,共30分)10.(2019·厦门高一检测)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD>90°,AB=2, AC=+,∠BCA=30°,∠ADB=45°.(1)求sin∠BAD.(2)求AD的长度.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理,得=,所以sin∠ABC==,因为AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC,sin∠BAD=sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC=.(2)由(1)可知cos∠BAD=-=-,sin∠ABD=sin(∠BAD+45°)=(sin∠BAD+cos∠BAD)=,在△ABD中,由正弦定理,得AD=sin∠ABD·=×=.11.在△ABC中,已知sin A-cos A=1,cos B=,AB=4+.(1)求内角A的大小.(2)求边BC的长.【解析】(1)因为sin A-cos A=1,所以2sin=1,即sin=,因为0<A<π,所以-<A-<,所以A-=,所以A=.(2)因为sin2B+cos2B=1,cos B=,B∈,所以sin B==,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以=,得BC=5.12.(2018·北京高考)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A.(2)求AC边上的高.【解析】(1)在△ABC中,因为cos B=-,所以B∈,所以sin B==.由正弦定理知=,即=,所以sin A=,因为B∈,所以A∈,所以A=.(2)在△ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=×+×=. 如图所示,在△ABC中,因为sin C=,所以h=BC·sin C=7×=.所以AC边上的高为.。

用余弦定理、正弦定理解三角形同步练习2020-2021学年高一下学期数学

用余弦定理、正弦定理解三角形1．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若a sin A＋b sin B<c sin C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定2．△ABC中，a＝5，b＝3，sin B＝22，则符合条件的三角形有()A．1个B．2个C．3个D．0个3．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为() A．75°B．60°C．45°D．30°4．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()A．32B．22C．12D．－125．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A．π3B．π6C．π4D．π126．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________ .7．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b－c＝14a,2sinB＝3sin C，则cos A的值为________．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315 ，b －c ＝2，cos A ＝－14，求a 的值．10．已知△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．11．已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，那么角C 的大小为( )A ．π3B ．π2C ．π4D ．2π312．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则C ＝( )A ．π6B ．π4C ．3π4D ． π4或3π413．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π414．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝3，b sin A ＝4，则a ＝_________.15．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC ＝31，求其角平分线AD 的长．答案1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定C [根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，△ABC 是钝角三角形．] 2．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个 B [∵a sin B ＝102，∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个．]3．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45°D ．30°B [S △ABC ＝12×3×4sin C ＝33，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A ．32B ．22C ．12D ．－12C [由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－12(a 2＋b 2)2ab＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，故选C ．]5．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A ．π3B ．π6C ．π4D ．π12B [∵a ＞b ＞c ，∴C 为最小角，由余弦定理得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，∴C ＝π6.]6．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________ . 23或3 [sin C ＝23sin 30°2＝32，于是C ＝60°或120°，故A ＝90°或30°，由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ，可得答案为23或 3.]7．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.332 [作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA ＝OB ＝AB＝1，S 6＝6×12×12×sin 60°＝332.]8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．－14 [由2sin B ＝3sin C ，得2b ＝3c ，代入到b －c ＝14a ，可得a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，不妨设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9k 2＋4k 2－16k 22·3k ·2k ＝－14.]9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315 ，b －c ＝2，cos A ＝－14，求a 的值．[解] S △ABC ＝12bc sin A ＝315，又sin A ＝1－cos 2A ＝154，代入可得bc ＝24，再由b －c ＝2，可得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝()b －c 2＋2bc －2bc cos A ＝64，所以a ＝8.10．已知△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值． [解] (1)在△ABC 中，cos A ＝1213， ∴A 为锐角，且sin A ＝513， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·513＝30，∴bc ＝156.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×113＝25.∴a ＝5.11．已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，那么角C 的大小为( )A ．π3B ．π2C ．π4D ．2π3C [由正弦定理得，a 2－c 2＝2ab －b 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22， ∵0<C <π，∴C ＝π4.]12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则C ＝( )A ．π6B ．π4C ．3π4D ． π4或3π4B [由b 2＝a 2＋bc 可得：a 2＝b 2－bc ， ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴b 2－bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴c ＝(3－1)b .代入到b 2＝a 2＋bc ，可得：a 2＝b 2－(3－1)b 2， ∴a ＝2－3b ＝4－232b ＝3－12b ， ∴a ∶b ∶c ＝3－12∶1∶3－1， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3－1)22＋1－(3－1)22·3－12＝22，∴C ＝π4.]13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4A [法一：由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22，∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4.法二：如图，AC ＝22，以C 为圆心2为半径作⊙C ，则⊙C 上任一点(⊙C 与直线AC 交点除外)可为点B 构成△ABC ，当AB与⊙C相切时，AB＝2，∠BAC＝π4，当AB与⊙C相交时，∠BAC<π4，因为三角形有两解，所以直线AB与⊙C应相交，∴0<∠BAC<π4.]14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝3，b sin A＝4，则a＝_________.5[由正弦定理得，asin A＝bsin B，∴a sin B＝b sin A＝4，又∵a cos B＝3，∴(a sin B)2＋(a cos B)2＝42＋32＝25，∴a2＝25，∴a＝5.]15．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝31，求其角平分线AD的长．[解]由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋62－()3122×5×6＝12，又A∈(0，π)，∴A＝π3.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，∴12bc sin A＝12b×AD×sin∠CAD＋12c×AD×sin∠BAD，即12×5×6×sinπ3＝12×5×AD×sinπ6＋12×6×AD×sinπ6，∴1532＝5AD4＋3AD2，解得AD＝303 11.。

2021学年高中数学课时作业1第九章解三角形9.1.1正弦定理含解析新人教B版必修第四册

课时作业1 正弦定理时间：45分钟一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( B ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：∵sin A ＝sin C ，∴由正弦定理得a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC 的三个内角之比为A BC ＝123，那么ab c ＝( D ) A ．12 3 B ．12 3 C ．123D ．132解析：设A ＝k ，B ＝2k ，C ＝3k ，由A ＋B ＋C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.由正弦定理得a bc ＝sin Asin Bsin C ＝sin30°sin60°sin90°＝132. 3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( C ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323解析：∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．(多选)在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC的面积是( AB )A ．2 3 B. 3 C ．3 3 D ．4 3解析：在△ABC 中，因为B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，所以由AC sin B ＝AB sin C ，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，又因为AB ·sin30°<AC <AB ，所以C 有两解，所以C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin30°＝ 3. 所以S △ABC ＝3或S △ABC ＝2 3.5．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6，∴ab ＝24.② 解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.6．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( B )A.833B.2393C.2633D ．2 3解析：由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆的半径)得a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a cos B ＝(2c －b )cos A ，则角A 的大小为( B )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：由正弦定理得sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A .又sin C ≠0，所以cos A ＝22，故A ＝π4，故选B.8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( D )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析：由正弦定理及a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，所以ba ＝2，故选D.二、填空题(每小题6分，共18分)9．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝76，B ＝60°，则C ＝75°. 解析：因为a ＝14，b ＝76，B ＝60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝14sin60°76＝22，因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°，所以C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.10．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为0.解析：可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．11．已知△ABC 的三边a ，b ，c ，且cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是等腰或直角三角形．解析：由正弦定理得cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，即2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 是等腰或直角三角形．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分)12．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b ； (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求∠B . 解：(1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2. (2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12. 又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C＋12c ＝b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求b ＋c 的最大值．解：(1)由a cos C ＋12c ＝b ，根据正弦定理有： sin A cos C ＋12sin C ＝sin B .所以sin A cos C ＋12sin C ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以12sin C ＝cos A sin C .因为C 为三角形内角，所以sin C ≠0，所以cos A ＝12，因为A 为三角形内角，所以A ＝π3. (2)由a ＝3，A ＝π3，根据正弦定理有：b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以b ＋c ＝2sin B ＋2sin C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋2sin C＝3cos C ＋3sin C ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6.当C ＝π3时，等号成立，所以b ＋c 的最大值为2 3.——素养提升——14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝5cos B cos C ，则tan A 的值为( B )A ．5B ．6C ．－4D ．－6解析：由正弦定理及a ＝5b sin C ，得sin A ＝5sin B sin C .又cos A ＝5cos B cos C ，两式相减，得cos A －sin A ＝5(cos B cos C －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )．又B ＋C ＝π－A ，所以cos(B ＋C )＝－cos A ，所以cos A －sin A ＝－5cos A ，即sin A ＝6cos A ，所以tan A ＝6，故选B.15．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，又tan A ＝12，sin B ＝1010.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 最短边的长为55，求△ABC 的面积．解：(1)因为sin B ＝1010，所以角B 为锐角或钝角，当角B 是钝角时，cos B ＝－31010，tan B ＝－13，又tan A ＝12，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝12－131＋16＝17，所以tan C ＝－17，角C 也是钝角，故舍去，∴角B 为锐角．又tan A ＝12，同理tan(A ＋B )＝1，所以tan C ＝－1. (2)由tan C ＝－1,0°<C <180°，所以C ＝135°，又tan A >tan B >0，所以b 边最短，即b ＝55.因为b sin B ＝c sin C ，所以c ＝b ·sin C sin B ＝55×221010＝1，又因为tan A ＝12，所以sin A ＝55，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×55×1×55＝110.。

2020-2021高中数学第四册教师用书：9.1.2余弦定理含解析

2020-2021学年高中数学新教材人教B 版必修第四册教师用书：9.1.2 余弦定理含解析9．1.2 余弦定理［课程目标] 1。

掌握余弦定理及余弦定理的推导；2.了解余弦定理常用的几种变形公式；3.会利用余弦定理解决三角形问题．知识点一余弦定理［填一填](1)语言表达：三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．（2）公式表示:a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ;c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(3）变形:cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ;cos B ＝错误!；cos A ＝错误!。

［答一答］1．余弦定理公式c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 与勾股定理c 2＝a 2＋b 2很类似,它们之间有联系吗？提示:对于余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，若∠C ＝90°，则有c 2＝a 2＋b 2,此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况．知识点二余弦定理的应用[填一填］应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其夹角，可以求出该三角形的第三边,另一类是已知3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定．[答一答］2．已知两边和其中一边的对角解三角形时，用正弦定理可以求解，但需要判别解的情况，想一想,这类问题能不能用余弦定理求解？提示：可以用余弦定理求解，例如已知a、b和∠A，可先由公式a2＝b2＋c2－2bc cos A解关于c的方程求出c.进而再求其他量．要注意一点：关于c的方程的解的个数对应三角形解的个数,这比用正弦定理求解好．3．有人说：公式cos A＝错误!中，可以用b2＋c2－a2的值的符号判断该三角形是锐角三角形，钝角三角形，还是直角三角形．你认为这种说法对吗？提示:不完全对．若b2＋c2－a2＝0,则△ABC是直角三角形．若b2＋c2－a2〈0，则△ABC是钝角三角形，但是若b2＋c2－a2>0，△ABC不一定是锐角三角形,还要考虑B、C的大小．1．除课本证明方法外，余弦定理其他证明方法．证法1：(向量法)如图（1）所示，在△ABC中，显然有错误!＝错误!－错误!，所以错误!·错误!＝(错误!－错误!）·（错误!－错误!）＝错误!2－2错误!·错误!＋错误!2＝|错误!|2－2｜错误!｜·|错误!｜·cos A＋|错误!｜2，也就是a2＝b2＋c2－2bc cos A，同理可得b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C。

2020-2021学年高中数学人教B版必修第四册：9-2 正弦定理与余弦定理的应用

A．201＋
3 3
m
B．20(1＋ 3) m
C．10( 6＋ 2) m
D．20( 6＋ 2) m
解析：由题意知四边形 ABDE 为矩形，∴∠BAD＝90°－∠ DAE＝45°，∴AB＝BD＝20 m，∴AE＝BD＝20 m．故在 Rt△AEC 中，CE＝AE·tan60°＝20 3 m.
∴CD＝DE＋CE＝20＋20 3＝20(1＋ 3)(m)．
5．如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( B )
A．a km C. 2a km
B. 3a km D．2a km
解析：易知∠ACB＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得 AB2 ＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×(－12)＝3a2，∴AB＝ 3 a km.
解析：
由题意可得∠ACB＝105°，由正弦定理得sin∠ABACB＝ sin∠BCCAB，BC＝60 6－60 2，如图，过 C 点作 CD⊥AB 于 D，设 CD＝x，则 x＝BCsin45°＝60( 3－1)＝60 3－60.
10．一只蚂蚁沿东北方向爬行 x cm 后，再向右转 105°爬行 20 cm，又向右转 135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么 x＝
课时作业3 正弦定理与余弦定理的应用
时间：45 分钟一、选择题每小题5分，共40分 1．海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B、C 间的距离是( D )

2020-2021学年高中数学新教材人教B版第四册同步课件9.1.1-正弦定理

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3bcos C＝c(1－3cos B)，则c∶a＝( C )
A．1∶3
B．4∶3
C．3∶1
D．3∶2
解析
由3bcos C＝c(1－3cos B)及正弦定理可得3sin Bcos C＝sin C(1－3cos B)，化简可得sin C＝3sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，∴sin C＝3sin A．∴c∶a＝sin C∶sin A ＝3∶1.故选C.
刷提升
，A的角平分线AD＝
，则C
解析
9.1.1 正弦定理
刷提升
12．[上海复旦大学附属中学2019高一期中]张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看
到：在△ABC中，a，b，c45°，求边c.显然缺少条
件，若他打算补充a的大小，并使得c有两解，那么a的取值范围是________．
，则b＝( A )
解析
9.1.1 正弦定理
刷基础
题型4 已知两边及一边的对角解三角形
7．[北京2019高一期末]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若则B＝ ( A )
解析
9.1.1 正弦定理
刷基础
题型4 已知两边及一边的对角解三角形
8．[陕西西安长安区一中2018高一下学期期末]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，
D．a≥bsin A
解析
9.1.1 正弦定理
刷基础
题型3 已知两角及一边解三角形
5．[北京西城区北师大附中2019高一期末]在△ABC中，若b＝3，
，则a＝( D )
解析
9.1.1 正弦定理
刷基础
题型3 已知两角及一边解三角形

2020-2021学年高中数学人教B版(2019)必修第四册精英同步练：9.1.1 正弦定理

9.1.1 正弦定理1、在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若60,2,3C b c =︒=则角A 为（） A ．45︒B ．60︒C ．75︒D ．135︒2、在ABC ∆中，0120B =，2AB =角A 的平分线3AD , 则BC 长为（） A ．1B 2C 3D 63、已知ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，2π3A =)32b c a +=，则角C 的大小为( ) A.π6B.π4C.π3D.π124、已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若22b =且π2sin()4b a C =+，则边c 上的高为( )A.13 B.26 C.2 D.25、在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=,且a b >,则B ∠=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π66、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a ＝，π3,6c A ==，则B ＝（） A.π6B.π3C.π6或π2D.π3或2π37、在ABC 中，60,1A b ==，3则ABC 外接圆的直径为（） A. 213B.39C. 13D.2398、在ABC ∆中，2,6AB C π==，则3AC BC 的最大值为（）A．．9、在ABC ∆中，60,A BC ∠==，D 是AB 边上的一点，CD =CBD ∆的面积为1，则BD 的长为（）A.32B.4C.2D.1 10、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2b =,6B π=,4C π=,则ABC ∆的面积为（） A.2B.1C.2D.111、在ABC ∆中,23A π∠=,a =,则bc=__________. 12、设ABC △的内角,,A B C 的对边长,,a b c 成等比数列，1cos()cos 2A CB --=，延长BC 至D .若2BD =,则ACD △的面积的最大值为 .13、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若4cos 5A =,5cos 13C =,1a =,则b =____________.14、已知ABC △三个内角A B C ,,所对的边分别为,a b c ,，且满足sin cos sin c A A B +=若π4B =，则ABC △面积的最大值为 .15、在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2cos b c a B += . (1).证明:2A B =; (2)若2cos 3B =,求cosC 的值.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：在ABC ∆中, b c =且60C =︒由正弦定理sin sin b c B C =可得:sin sin b C B c ==∵c b > ∴C B > ∴B 为锐角45B =︒∴()18075A B C =︒-+=︒2答案及解析：答案：B解析：ABD ∆中,由正弦定理可得, =，∴sin ADB ∠=，∴45,15,30ADB BAD BAC C ∠=︒∠=︒∠==︒，∴BC AB =3答案及解析：答案：A)2b c a +=)sin sin 2sin B C A +==πsin sin 3B B ⎛⎫ ⎝+-⎪⎭］πsin 13B ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=.因为π03B <<，所以π6B =，则π6C =.4答案及解析：答案：C解析：π2sin()(sin cos )4b a C a C C =+=+所以由正弦定理得sin sin (sin cos )B A C C =+sin sin ()sin cos cos sin B A A C A C A C =+=+cos sin sin sin A C A C ∴=,0π,sin 0C C <<∴≠cos sin ,tan 1A A A ∴=∴=,又π0π,4A A <<∴=所以边c 上的高为πsin 24b A ==,故选C5答案及解析：答案：A解析：由正弦定理得1sin (sin cos sin cos )sin 2B A C C A B +=,即1sin sin()sin 2B A C B +=.因为sin 0B ≠,sin()sin A C B +=,所以1sin 2B =,所以6B π=或56π,又因为a b >,所以6B π∠=,故选A.6答案及解析：答案：C解析：∵ABC ∆中π1,6a b A === ∴根据正弦定理得sin sin a bA B=∴sin sin b A B a ==又,πb a A B C >++=，∴B A > ∴π5π,66B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴π3B =或2π37答案及解析：答案：D解析：∵1sin 2ABCSbc A ==， ∴4c =，∴a ，∴ABC 外接圆的直径为sin a A =.8答案及解析：答案：C解析：ABC ∆中，2,6AB C π==,则2==4sin ABR C，()534sin 43sin 4sin 43sin 2cos 63sin 47sin 6AC BC B A A A A A A πθ⎛⎫+=+=-+=+=+ ⎪⎝⎭，其中7321sin ,sin θθ==，由于50,062A ππθ<<<<，所以最大值为479答案及解析：答案：C 解析：如图：∵CBD ∆的面积为1，∴11sin 210sin 122S CD BC BCD BCD =⋅∠=∠=，即sin 5BCD ∠=，∵60A =︒，∴25cos BCD ∠，在三角形BCD 中, 24BD =，则2BD =，10答案及解析：答案：B解析：由正弦定理及已知条件sin sin b Cc B==又()1sin sin 2A B C =+=+=,从而11sin 21224ABCS bc A ∆==⨯⨯=.11答案及解析：答案：1解析：由正弦定理知sin sin A a C c ==所以2sin 1sin 2C π==,则6C π=,所以2366B ππππ=--=,所以b c =,即1bc=.12答案及解析：解析：因为()1cos cos 2A CB --=，所以()()1cos cos 2A C A C -++=，所以1cos cos 4A C =，①又因为长a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，由正弦定理得：2sin sin sin B A C =，②① −②得：21sin cos cos sin sin 4B A C A C -=-，化简得：24cos 4cos 30B B +-=，解得：1cos 2B =，又0πB <<，所以π3B =， ①+②： cos(A −C )=1，即A −C =0，即A =C ，即三角形ABC 为正三角形，设边长为x ，由已知有0<x <2，则()()212π22sin 2232ACD x x S x x x +-⎫=-=-≤=⎪⎝⎭△ (当且仅当x =2−x ，即x =1时取等号)，13答案及解析：答案：2113解析：因为4cos 5A =,5cos 13C = 所以3sin 5A =,12sin 13C =()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=由正弦定理得sin sin b aB A=解得2113b =14答案及解析：解析：由题意得sin sin cos sin A B A B c ++=.π4B =，sin cos B B ∴=，sin cos cos sin A B A B c ∴+=，()sin A B c ∴+=. 又()sin sin A B C +=，sin C c ∴=，即1sin c C =.1sin sin a b A B∴==，1sin 2ABC S ac B ∴=△1sin 2A C =3πsin 44A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭)2sin cos sin A A A =-111cos2sin 2422A A -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1π12442A ⎤⎛⎫=-+⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦1142⎫≤⨯=⎪⎪⎝⎭即ABC △15答案及解析：答案：(1)由正弦定理得sin sin 2sin sin B C A B +=,故()2sin cos =sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B ++=++, 于是,sin sin()B A B =-,又(),0,A B π∈,故0A B π<-<,所以()B A B π=--或B A B =-, 因此,A π=(舍去)或2A B =, 所以,2A B =.(2)由2cos 3=,得sin B =,21cos 22cos 19B B =-=-,故1cos 9A =-,sin A =,()22cos cos cos sin sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 解析：。

2024-2025学年高一下数学课时作业10：正弦定理

2024-2025学年高一下数学课时作业(十)正弦定理[练基础]1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝30°，B＝45°，b＝8，则a＝()A．4B．42C．43D．462．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝60°，a＝43，b＝4，则B＝()A．30°或150°B．150°C．30°D．60°3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝15，b＝24，A＝46°，则此三角形()A．有一解B．有两解C．无解D．不确定4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝4，c＝2，B＝60°，则b＝________，C＝________.5．在△ABC中，若sin A:sin B:sin C＝1:3:1，则B＝________.6．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，CD＝6，求AB的长度．[提能力]7．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a，b，给出下列说法正确的是()A．若A≥90°，则此三角形最多有一解B．当A<90°，a<b时，此三角形一定存在C．若A<90°，且a＝b sin A，则此三角形为直角三角形，且B＝90°D．当A<90°，且b sin A<a≤b时，此三角形有两解8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若a ＝2，b ＝3，C ＝2A ，则cos C ＝________.9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[战疑难]10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2.(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．。

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正弦定理1.在△ABC 中,a=20,A=45°,B=75°,则边c 的长为 ( )A.10√3B.10√6C.15√3D.15√6 2.在△ABC 中,若sinA a=cosC c,则C 的值为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°3.在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,若a=1,b=√3,B=60°,则△ABC 的面积为 ( )A.12B.√32C.1D.√34.在△ABC 中,若√3a=2bsin A,则B= ( )A.π3B.π6C.π3或2π3 D.π6或5π65.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= .6.在△ABC 中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin 2C,则△ABC 的形状是 .能力提升1.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则cos B 等于 ( )A.-2√23B.2√23C.-√63D.√632.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C 等于 ( )A.725B.-725C.±725D.24253.在△ABC 中,角A,B 的对边分别是a,b,且A=60°,b=2,a=x,若解此三角形有两解,则x 的取值范围是 ( ) A.x>√3 B.0<x<2 C.√3<x<2D.√3<x≤24.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若acos C+ccos A=2bcos B,且cos 2B+2sin Asin C=1,则a-2b+c= ( ) A.√22B.√2C.2D.05.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是( )A.b=7,c=3,C=30°B.b=5,c=4,B=45°C.a=6,b=3√3,B=60°D.a=20,b=30,A=30°6.已知△ABC的面积为32,且b=2,c=√3,则A= ( )A.30°B.60°C.150°D.120°7.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a= .8.在△ABC中,A=60°,a=6√3,b=12,S△ABC=18√3,则a+b+csinA+sinB+sinC= ,c= .9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=√2b,求C.10.在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a-cb =cosC cosB.(1)求角B的大小;(2)求√3cos2C2-sin A2cos A2的取值范围.11.如图所示,D是Rt△ABC的斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)求证:sin α+cos2β=0.(2)若AC=√3DC,求β的值.答案1.在△ABC 中,a=20,A=45°,B=75°,则边c 的长为 ( )A.10√3B.10√6C.15√3D.15√6 分析：选B.由已知C=180°-A-B=180°-45°-75°=60°, 由正弦定理a sinA =c sinC 得c=a sinA ·sin C=√22×√32=10√6.2.在△ABC 中,若sinA a=cosC c,则C 的值为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90° 分析：选B.由正弦定理得sinA a=sinC c=cosC c,则cos C=sin C,即C=45°.3.在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,若a=1,b=√3,B=60°,则△ABC 的面积为 ( )A.12B.√32C.1D.√3分析：选B.因为a=1,b=√3,B=60°,所以由正弦定理可得:sin A=asinB b =1×√32√3=12,因为a<b,A<60°,所以A=30°,C=180°-A-B=90°,所以S △ABC =12ab=12×1×√3=√32. 4.在△ABC 中,若√3a=2bsin A,则B= ( )A.π3B.π6C.π3或2π3 D.π6或5π6分析：选C.由正弦定理得√3×2Rsin A =2×2Rsin Bsin A,所以sin B=√32.又因为B ∈(0,π),所以B=π3或2π3.5.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 分析：由正弦定理得sin B=bsinC c =√6×√323=√22,结合b<c 得B=45°,则A=180°-B-C=75°.答案:75°6.在△ABC 中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin 2C,则△ABC 的形状是 .分析：由已知得sin 2A-sin 2B=sin 2C,根据正弦定理知sin A=a2R ,sin B=b2R ,sin C=c2R ,所以(a2R )2-(b2R )2=(c2R )2,即a 2-b 2=c 2,故b 2+c 2=a 2.所以△ABC 是直角三角形. 答案:直角三角形能力提升1.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则cos B 等于 ( )A.-2√23B.2√23C.-√63D.√63分析：选D.由正弦定理得15sin60°=10sinB , 所以sin B=10sin60°15=10×√3215=√33.因为a>b,所以A>B,又因为A=60°,所以B 为锐角. 所以cos B=√1-sin 2B =√1-(√33)2=√63.2.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C 等于 ( )A.725B.-725C.±725D.2425分析：选A.方法一:因为在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,所以8sin B=5sin C=5sin2B=10sin Bcos B,所以cos B=45,又因为B 为三角形内角,所以sin B=2B =35.所以sin C=sin 2B=2×45×35=2425. 又因为cos B>cos 45°,所以B<45°,C=2B<90°, cosC=√1-sin 2C =725.方法二:因为8b=5c,所以8sin B=5sin C,即sin B=58sin C,因为C=2B,所以cos C=cos2B=1-2sin 2B=1-2(58sinC)2,即25cos 2C-32cos C+7=0.解得cos C=725或cos C=1(舍去).3.在△ABC 中,角A,B 的对边分别是a,b,且A=60°,b=2,a=x,若解此三角形有两解,则x 的取值范围是 ( )A.x>√3B.0<x<2C.√3<x<2D.√3<x≤2分析：选C.由正弦定理得sin B=bsinA a=√3x ,因为A=60°,所以0°<B<120°,要使此三角形有两解,则60°<B<120°,且B≠90°,即√32<sin B<1,所以√32<√3x <1,解得√3<x<2.4.在△ABC 中,内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,若acos C+ccos A=2bcos B,且cos 2B+2sin Asin C=1,则a-2b+c= ( )A.√22 B.√2 C.2 D.0 分析：选D.因为acos C+ccos A=2bcos B,所以由正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,即sin (A +C )=sin B=2sin Bcos B,因为sin B ≠0,所以cos B=12,B=π3.因为cos 2B+2sin Asin C=1,所以2sin Asin C=1-cos 2B=2sin 2B=32,sin Asin C=34,cos (A +C )=cos Acos C-sin Asin C=-cos B=-12,所以cos Acos C=14,cos (A -C )=cos Acos C+sin Asin C=14+34=1,A-C=0,A=C,又因为A+C=π-B=2π3, 所以A=C=B=π3⇒a=b=c,所以a-2b+c=0.5.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是 ( )A.b=7,c=3,C=30°B.b=5,c=4,B=45°C.a=6,b=3√3,B=60°D.a=20,b=30,A=30°分析：选BC.A. b=7,c=3,C=30°,bsinB =csinC ,故sin B=76,无解. B.b=5,c=4,B=45°,bsinB =csinC ,故sin C=2√25,c<b,故C<B,有一解.C.a=6,b=3√3,B=60°,bsinB =asinA ,故sin A=1,有一解.D.a =20,b=30,A=30°,b sinB =a sinA ,故sin B=34,b>a,故B>A,有两解. 6.已知△ABC 的面积为32,且b=2,c=√3,则A= ( )A.30°B.60°C.150°D.120°分析：选BD.因为S=12bcsin A=32,所以12×2×√3sin A=32,所以sin A=√32,因为0°<A<180°,所以A=60°或120°.7.在△ABC 中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a= . 分析：因为asinA =bsinB ,所以asin60°=bsin45°, 所以√32b=√22a,① 又因为a+b=12,② 由①②可知a=12(3-√6). 答案:12(3-√6)8.在△ABC 中,A=60°,a=6√3,b=12,S △ABC =18√3,则a+b+c sinA+sinB+sinC= ,c= .分析：由正弦定理,asinA =bsinB =csinC ,可得a+b+csinA+sinB+sinC =asinA =6√3sin60°=√3√32=12,由于a=6√3,b=12,S △ABC =18√3,则S △ABC =12absinC=12×6√3×12×sin C=18√3,即有sin C=12,再由正弦定理,asinA =bsinB =csinC ,可得c=asinC sinA =6√3×12√32=6.答案:12 69.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=√2b,求C. 分析：由A-C=90°,得A 为钝角且sin A=cos C,利用正弦定理,a+c=√2b 可变形为sin A+sin C=√2sin B,又因为sin A=cos C, 所以sin A+sin C=cos C+sin C=√2sin(C+45°)= √2sin B,又A,B,C 是△ABC 的内角, 故C+45°=B 或(C+45°)+B=180°(舍去),所以A+B+C=(90°+C)+(C+45°)+C=180°. 所以C=15°.10.在△ABC 中,设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且2a -c b=cosC cosB .(1)求角B 的大小;(2)求√3cos 2C2-sin A2cos A2的取值范围. 分析：(1)由2a -c b =cosC cosB 得到2sinA -sinC sinB=cosCcosB 即2sin Acos B=sin (B +C ),即2sinAcos B=sin A,又因为A 为三角形内角,所以sin A ≠0,所以cos B=12,从而B=π3. (2)√3cos 2C2-sin A2cos A 2=√32(cosC +1)-12sin A=√32cos C-12sin (2π3-C)+√32 =√34cos C-14sin C+√32=12cos (C +π6)+√32,因为0<C<2π3,所以π6<C+π6<5π6, 所以-√32<cos (C +π6)<√32,所以√34<12cos (C +π6)+√32<3√34. 所以√3cos 2C2-sin A2cos A2的取值范围为(√34,3√34). 11.如图所示,D 是Rt△ABC 的斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)求证:sin α+cos2β=0. (2)若AC=√3DC,求β的值.分析：(1)在Rt △ABC 中,因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABC=β.因为α=π2-∠BAD=π2-(π-2β)=2β-π2,所以sin α=sin (2β-π2),即sin α=-sin (π2-2β). 所以sin α=-cos2β,所以sin α+cos2β=0. (2)在△ADC 中,根据正弦定理,AC sin ∠ADC=DCsinα.又AC=√3DC,∠ADC=π-β,所以√3DCsin (π-β)=DCsinα,所以sin β=√3sin α.由(1)知:sin α=-cos2β,所以sin β=-√3cos2β.所以2√3sin 2β-sin β-√3=0,解得sin β=√32或-√33. 因为0<β<π2,所以sin β=√32,所以β=π3.。