高考数学总复习第一节 函数及其表示

即 f(x)＝2x＋1－3 2－x.
所以 f(x)的解析式是 f(x)＝2x＋1－3 2－x.
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[由题悟法]
求函数解析式的 4 种方法
[即时应用]
1．已知函数 f(x－1)＝x＋x 1，则函数 f(x)的解析式为 (
A．f(x)＝xx＋＋21
B．f(x)＝x＋x 1
C．f(x)＝x－x 1
D．f(x)＝x＋1 2
∴aa＋ －bb＋ ＋cc＝ ＝15， ， c＝0，
解得ab＝ ＝3－，2， c＝0，
∴g(x)＝3x2－2x.
答案：3x2－2x
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3．已知 f(x)满足 2f(x)＋f 1x＝3x，则 f(x)＝________.
解析：∵2f(x)＋f 1x＝3x，
①
把①中的 x 换成1x，得 2f 1x＋f(x)＝3x.
2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知 f(x)＝l3oxg－271，－xx≥，1x，＜1，
则不等式 f(x)＜2 的解集为
()
A．(－3,2)
B．(－2,3)
C．(2,3)
D．(－3，－2)
解析：当 x＜1 时，f(x)＜2 可化为 log2(1－x)＜2，即 0＜ 1－x＜4，解得－3＜x＜1；当 x≥1 时，f(x)＜2 可化为
第三 章 函数、导数及其应用
第一 节 函数及其表示
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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必过 教材 关
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1．函数与映射的概念
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5．已知函数 f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1,4)，则 f(2)＝ ________. 解析：∵函数 f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即 f(x)＝－2x3－2x， ∴f(2)＝－2×23－2×2＝－20. 答案：－20
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必过易错关
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和它对应
与之对应
称 f：A→B 为从集合 A 到 称对应 f：A→B 为从集合
名称
集合 B 的一个函数
A 到集合 B 的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应 f：A→B 是一个映射
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2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：
在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做 函数的 定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的 集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集． (2)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 ． (3)相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致，则 这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有： 解析法 、 图象法 、 列表法 ．
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3．函数 f(x)＝ 2x－1＋x－1 2的定义域为________． 解析：由题意得2xx－－21≠≥00，， 解得 x≥0 且 x≠2. 答案：[0,2)∪(2，＋∞)
4．若函数 f(x)＝e5x－－1x，2，x≤x＞1，1， 则 f(f(2))＝________. 解析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1， 所以 f(f(2))＝1. 答案：1
②
2fx＋f 联立①②可得
1x＝3x，
2f 1x＋fx＝3x，
解此方程组可得 f(x)＝2x－1x(x≠0)． 答案：2x－1x(x≠0)
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考点三 分段函数 题点多变型考点——多角探明
[锁定考向] 高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现， 试题难度一般较小． 常见的命题角度有： (1)分段函数的函数求值问题； (2)分段函数与方程、不等式问题．
答案：C
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2．已知函数 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3 ]，则函数 y＝f(x)的定义域为________． 解析：因为 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，所以 x∈[－ 3， 3 ]，x2－1∈[－1,2]，所以 y＝f(x)的定义域为[－1，2]． 答案：[－1,2]
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3．若函数 f(x)＝ x2＋ax＋1的定义域为实数集 R ，则实数 a 的取值范围为________． 解析：若函数 f(x)＝ x2＋ax＋1的定义域为实数集 R ， 则 x2＋ax＋1≥0 恒成立，即 Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2， 即实数 a 的取值范围为[－2,2]． 答案：[－2,2]
[谨记通法]
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函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)
求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等
式(组)求解．
(3)抽象函数：
①若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数 f(g(x))
的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出；
②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域
[题组练透]
1．y＝
x2－x1－log2(4－x2)的定义域是
A．(－2,0)∪(1,2)
B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2)
D．[－2,0]∪[1,2]
解析：要使函数有意义，则xx－ 2≠x10≥，0， 4－x2＞0，
()
解得 x∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．
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(2)已知 f 2x＋1＝lg x，求 f(x)的解析式； 解：(换元法)令2x＋1＝t 得 x＝t－2 1，代入得 f(t)＝lgt－2 1， 又 x＞0，所以 t＞1， 故 f(x)的解析式是 f(x)＝lgx－2 1，x＞1.
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(3)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 求 f(x)； 解：(待定系数法)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
解析：令 x－1＝t，则 x＝t＋1，∴f(t)＝tt＋＋21，
即 f(x)＝xx＋ ＋12.
答案：A
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)
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2．若二次函数 g(x)满足 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， 则 g(x)＝________.
解析：设 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
则f
f
1 2
＝________，方程 f(x)＝2 的解为________．
解析：f
f
12＝f
log212＝f(－1)＝0.
当 x＞0 时，log2x＝2，得 x＝4；
当 x≤0 时，x2＋x＝2，得 x＝－2 或 x＝1(舍去)．
所以 f(x)＝2 的解为－2 或 4.
答案：0 －2 或 4
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．f(x)＝xx2＋－39，g(x)＝x－3
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解析：选项 A 中，f(x)＝x2 与 g(x)＝ x2的定义域相同，但对应 关系不同；选项 B 中，二者的定义域都为{x|x＞0}，对应关系也 相同；选项 C 中，f(x)＝1 的定义域为 R ，g(x)＝(x－1)0 的定义 域为{x|x≠1}；选项 D 中，f(x)＝xx2＋－39的定义域为{x|x≠－3}， g(x)＝x－3 的定义域为 R . 答案：B
1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方 法，同时要注意函数的定义域．
2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由 几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范 围不确定，要分类讨论．
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[小题纠偏]
1．(2018·嘉兴模拟)已知函数 f(x)＝lxo2g＋2xx，，xx＞≤00，，
得 3(3a－1)－1＝1，∴a＝59＜23，符合题意；23a－1＝1，a＝13＜23，舍去；
22a＝1 不成立，舍去．故所求实数 a 的值为59.
答案：2
5 9
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[通法在握] 1．分段函数的求值问题的解题思路 求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段 区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a))的形式时， 应从内到外依次求值． 2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果 并起来．
函数
映射
两集合 设 A，B 是两个非空的数集 设 A，B 是两个非空的集合 A，B
如果按照某种确定的对应 如果按某一个确定的对应
对应关 关系 f，使对于集合 A 中的 关系 f，使对于集合 A 中的 系 f： 任意 一个数 x，在集合 B 任意 一个元素 x，在集合 B A→B 中都有 唯一确定 的数 f(x) 中都有 唯一确定 的元素 y
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2．若函数 y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为 {y|－1≤y≤2，y≠0}，则 y＝f(x)的图象可能是 ( )
解析：根据函数的概念，任意一个 x 只能有唯一的 y 值和 它对应，故排除 C 项；由定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}排 除 A、D 两项，故选 B. 答案：B
f
23＝f(1)＝2.对 f(f(a))＝32ffaa，－f1a，≥f1a，＜1，
当 a＜23时，f(a)＝3a－1＜1；当23≤a＜1 时，f(a)＝3a－1≥1；当 a≥1
33a－1－1，a＜23， 时，f(a)＝2a≥2＞1，∴f(f(a))＝23a－1，23≤a＜1，