2016年北京大学博雅计划试题及解答
2016北大博雅计划数学试题详解(高三)
2016北大博雅计划数学试题详解(高三)
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她将使你的数学能力和数学思想方法锦上添花！（解答/艾书学）（责编：许兴华）恭喜您获得了1次抽奖机会！广告首先，本文非常感谢艾书学老师给出手写体的详解，同时也感谢兰琦和刘建老师提供试题！2016年北京大学博雅计划数学试题及详解选择题(共20小题，在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请把正确选项填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分）1.直线y=-x+2与曲线相切，则a的值为（）A.-3 B.-2 C.-1 D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边分别为a,b,c,有以下四个命题：存在，其中正确命题的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.前三个答案都不对3.设AB，CD是圆O的两条垂直直径，弦DF交AB 于点E，DE=24，EF=18，则OE=( )
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2016年北大博雅计划数学试题及答案
K M
B D
由弦切角定理，得
∠DKM = ∠BAK = ∠KLM,
又 ∠KLA = ∠KM L，于是可得 ∠AKL = ∠BKL，因此由角平分线定理可得 AL : BL = AK : BK，从 而可得 BL = 25．
12.解 C． 分别令 x = 0, 1, −1，可得
2f (0) + f (−1) = 1,
B. 12
C. 13
D. 前三个答案都不对
11. 两个圆内切于 K，大圆的弦 AB 与小圆切于 L，已知 AK : BK = 2 : 5，AL = 10，则 BL 的长为 ( )
A. 24
B. 25
C. 26
D. 前三个答案都不对
(
)
Ä √ä
12. f (x) 是定义在 R 上的函数，且对任意实数 x 均有 2f (x) + f x2 − 1 = 1，则 f − 2 等于 ( )
22ff
(1) + f (0) = 1, (−1) + f (0) = 1,
解得
f (0)
=
f (1)
=
f (−1)
=
1 ．再令
x
=
−√2，可得
√ 2f (− 2)
+
f (1)
=
1，从而
√ f (− 2)
=
1．
3
3
13.解 A．
以正 9 边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有 4 个，其中有一个是正三角形．因
的 x 的个数为 11，分别为
11213123415 ,,,,,,,,,,.
23344555566
5.解 A． 根据题意，有
北京大学博雅计划试题及解答
f 2 等于（
）
A． 0
B． 1 2
C． 1 3
D．前三个答案都不对
13、从一个正 9 边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点
的方法数是（
）
A． 30
B． 36 C． 42
D．前三个答案都不对
14、已知正整数 a,b,c,d 满足 ab cd ，则 a b c d 有可能等于（
D．前三个答案都不对
1
4、函数
f x
1 p
,x
q p
,
p
,q
1,p
,q N
0 ,xQ
则满足 x (0,1)且 f(x) 17 的 x的个数为（
）
A．12 B．13 C．14 D．前三个答案都不对
5、若方程 x2 3x 1 0 的根也是方程 x4 ax2 bx c 0 的根，则 a b 2c 的值
）
A． 3 B． 2 C． 1 D．前三个答案都不对 2、已知三角形 ABC 的三边长分别为 a,b,c 有以下 4 个命题：
（1）以 a, b, c 为边长的三角形一定存在；
（2）以 a2 ,b2 ,c2 为边长的三角形一定存在； （3）以 a b ,b c ,c a 为边长的三角形一定存在；
为（
）
A． 13 B． 9 C． 5 D．前三个答案都不对
6、已知 k 1 ，则等比数列 a log2 k ， a log4 k ， a log8 k 的公比为
（
）
A． 1 B． 1 C． 1 D．前三个答案都不对
2
3
4
7、
cos cos 2 11 11
cos10 11
的值为（
北大博雅计划笔试真题
北大博雅计划笔试真题篇一：16年北京大学博雅计划数学试题XX年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题，在每小题的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为：；A.?3B.?2C.?1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则下面4个结论中正确的个数为：；（1（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；（3）以a?bb?cc?a,,为边长的三角形一定存在；（4）以|a?b|?1,|b?c|?1,|c?a|?1为边长的三222角形一定存在；D.前三个答案都不对3.设AB,CD是?O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于：；ABCD.前三个答案都不对q?1,若x为有理数，p与q互素1?p4.函数f?x???p，则满足x??0,1?且f?x??的x的个数有：； 7?0,若x为无理数?前三个答案都不对5.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为：； 242A.?13B.?9C.?5D.前三个答案都不对6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比为：；111A. B. C. D.前三个答案都不对 234?2?10??的值为：； 111111111A.? B.? C.?D.前三个答案都不对 163264XX?z?z1228.设a,b,c为实数a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚数根为z1,z2，且满足为实数，则??1?z2k?0?z2?k 等于：；.0 C D.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为：；D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC 上的点，F是CB延长线上的点，已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD，?BAF??CAE，则BC的长为：；D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK?2:5,AL?10，则BL的长为：；D.前三个答案都不对?x?是一个定义在实数R上的函数，满足2f?x??fx?1?1,?x?R，则f； ??? 前三个答案都不对 2313.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数有：；D.前三个答案都不对14.已知正整数a,b,c,d满足ab?cd，则a?b?c?d有可能等于：；D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x,y,z满足x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2，则x?y?z等于：；A.?1 D.前三个答案都不对16.已知a?b?c?1的最大值与最小值的乘积属于区间：；A.[10,11)B.[11,12)C.[12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD?6,?ABD??CBD?30?，则四边形ABCD的面积等于：；ABCD.前三个答案都不对!?2!?…+XX!除以100所得余数为：；D.前三个答案都不对19.方程组x?y2?z3，x2?y3?z4，x3?y4?z5的实数解组数为：；D.前三个答案都不对x3?x3x3?x)??3x的所有实根的平方和等于： 20.方程(33D.前三个答案都不对篇二：XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目及对策XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战2.如何治理雾霾，有何建议3.中国传统文化将如何走出去4.微信在人际交往中的作用5.欧洲历史上的分与合6.如何看待中国申请冬奥会面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。
2016年北京大学博雅计划数学试题
2016年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）A -3B -2C -1D 前三个答案都不对2.已知三角形ABC 的三边长分别为,,a b c ，有以下4个命题：为边长的三角形一定存在；⑵以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；⑶以,,222a b b c c a +++为边长的三角形一定存在；⑷以1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（ ）A 2B 3C 4D 前三个答案都不对3.设,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，弦DF 交AB 于点E ，24,18DE EF ==，则OE 等于（ ）AD 前三个答案都不对4.函数*1,,(,)1,,,()0,,q x p q p q N p p f x x Q ⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A 12 B 13 C 14 D 前三个答案都不对5.若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）A -13B -9C -5D 前三个答案都不对6.已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比是（ ） A12 B 13 C 14D 前三个答案都不对 7. 计算210cos cos cos 111111πππ的值为（ ） A 116- B 132- C 164- D 前三个答案都不对 8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程20ax bx c ++=的两个虚根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x=∑等于（ ） D 前三个答案都不对9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（ ）A 34650B 5940C 495D 前三个答案都不对10. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5,,BF BD BE BAD ACD BAF CAE ===∠=∠∠=∠，则BC 的长为（ ）A 11B 12C 13D 前三个答案都不对11. 两个圆内切于点K ,大圆的弦AB 与小圆切于点L ，已知:2:5AK BK =，10AL =，则BL 的长为（ ）A 24B 25C 26D 前三个答案都不对12. ()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（ ） A 0 B 12 C 13 D 前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）A 30B 36C 42D 前三个答案都不对14. 已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）A 101B 301C 401D 前三个答案都不对15. 三个不同的实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）A -1B 0C 1D 前三个答案都不对16.已知1a b c ++=的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）A [10,11)B [11,12)C [12,13)D 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，06,30BD ABD CBD =∠=∠=，则四边形ABCD 的面积等于（）A前三个答案都不对18. 1!2!3!2016!++++除以100所得的余数为（ ）A 3B 13C 27D 前三个答案都不对19.方程组23234345,,x y z x y z x y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩的实数解的组数为（ ）A 5B 6C 7D 前三个答案都不对20.方程333()333x x x xx +++=的所有实根的平方和等于（ ）A 0B 2C 4D 前三个答案都不对2016年北京大学博雅计划数学试题答案ABCDA BDBDA BCABD CBBCC略解：1.由于/()x a x a e e ++-=-，于是切点横坐标为x a =-，从而有()2a a a e -+--+=-，解得3a =-.2.不妨假设0,a b c a b c <≤≤+> ⑴正确，因为有0a b c a b c +-≥+->； ⑵错误，2,3,4a b c ===即为反例； ⑶正确，因为有0222a b c a b c a ++++-=>； ⑷正确，因为有(1)(1)(1)()()0a b b c c a a b b c c a -++-+--+>-+---=3.如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⨯， 因此2262OE DE DO =-=4.满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为11，分别为11213123415,,,,,,,,,,23344555566。
2016年北京大学博雅计划试题
// la nq i
1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 5 , , , , , , , , , , . 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 a = −c − 10, b = 3c − 3, ) C. − 1 64
.o rg
)
D. 前三个答案都不对
)
D. 前三个答案都不对
根据题意，有
(x2 − 3x − 1)(x2 + 3x − c) = x4 + ax2 + bx + c,
2016 年北京大学博雅计划试题
兰琦 2017 年 1 月 4 日
选择题共 20 小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题⺫要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得
1. 直线 y = −x + 2 与曲线 y = −ex+a 相切，则 a 的值为 ( A. −3 解析 A． B. −2
C. −1
tp :
ht
解得 f (0) = f (1) = f (−1) =
13. 从一个正 9 边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是 ( A. 30 解析 A． B. 36 C. 42
// la nq i
D B ∠DKM = ∠BAK = ∠KLM, 2f (0) + f (−1) = 1, 2f (1) + f (0) = 1, 2f (−1) + f (0) = 1, 3×9+ 1×9 = 30. 3
10. 设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点， D, E 是线段 BC 上的点， F 是 CB 延长线上的点，已知 BF = 4 ， BD = 2 ， BE = 5 ， ∠BAD = ∠ACD ， ∠BAF = ∠CAE ，则 BC 的长为 ( B. 12 A．如图． A C. 13 )
北大博雅数学2016答案
2016年北京大学博雅计划测试数学 答案1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
2.【解答】B不妨假设0a b c a b c <≤≤+>，。
(1) 0≥； (2) 错误，a =2，b =3，c =4即为反例； (3) 正确，因为有0222a b c a b ca ++-+-=>； (4) 正确，因为有()()()()()1110ab bc c a a b b c c a -++-+--+>-+---=。
【评析】一道灵活结合了不等式和几何三角形的问题，考察学生的代数基本功，总体难度也不算大。
3.【解答】C如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⋅，因此OE ===【评析】非常简单的几何计算。
4.【解答】D满足(0,1)x ∈，且1()7f x >的x 的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
5.【解答】A根据题意，有()()2242313=x x x x c x ax bx c --+-+++，于是a =-c -10，b =3c -3，从而有a +b -2c =-13。
【评析】简单的待定系数法，注意计算不要出错。
6.【解答】B令2log k x =，则a +x ，a +12x ，a +13x 成等比数列，从而可得x =-4a ，进而可得公比为13。
【评析】涉及等比数列的运算，较为基础。
7.【解答】D 依据题意，有2102458367910coscoscoscos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 11111111111111111111111111πππππππππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224816cos cos cos cos cos 1111111111πππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而24816116coscoscos cos cos 2sin cos ...cos 11111111111111112sin 11πππππππππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1221613212sin cos ...cos ...sin 11111111324sin 32sin 1111ππππππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 故原式值为11024-【评析】熟悉余弦二倍角连乘的点鞭炮公式的话，此题不算难题，但是要注意计算不能出错。
2016北大教育学院考博真题招生人数-育明考博
北大教育学院高等教育学专业考博备考指南-育明考博一、北京大学教育学院考博真题（育明考博课程资料节选）2015北京大学教育学原理考博真题一、名词解释（每题10分，共60分）1.六艺2.有教无类3.苏湖教法4.佩斯泰洛奇5.苏格拉底“自知其无知”6.蔡元培“以美育代宗教”二、简答题（每题30分，共60分）1.简述设计教学法特点2.简述你对韩愈《师说》：“师者，所以传道、授业、解惑也”的理解。
三、根据以下材料叙写一篇论文，字数2000字左右，要求逻辑清晰、立论明确。
（80分）材料是卢梭的《爱弥儿》节选（更多北大教育学院考博真题、辅导课程班信息咨询育明教育杜老师叩叩：捌玖叁、贰肆壹、二二六）育明教育针对北京大学教育学院考博开设的辅导课程有：考博英语课程班·专业课课程班·视频班·复试保过班·高端协议班。
每年专业课课程班的平均通过率都在80%以上。
根植育明学校从2006年开始积累的深厚高校资源，整合利用历届育明优秀学员的成功经验与高分资料，为每一位学员构建考博成功的基础保障。
二、北京大学高等教育学专业考博考试分析招生计划（育明考博）招生专业招生人数招考方式考试内容040106高等教育学2013年2人2014年2人2015年2人除校内事业编申请-考核制①“北大英语水平考试”12月27②专业笔试（高等教育学综合）③专业面试（ppt形式，A、学术潜力和研究设想B、学术基础和研究素质）育明教育考博课程部杜老师解析：1、北大高等教育学专业考博的报录比平均在5:12、从2013年开始北大教育学院的博士招生开始实行“申请-审核制”，与以往的考试制在考查方式、考查测重点方面都有所区别。
“申请制”不代表不考试，也不代表考试不重要，最终决定能否被录取的还是考试成绩（材料审核成绩不计入最终排名的总分）。
3、材料审核中重点打分项：①科研成果（论文、working paper、参与课题）②外语水平③本硕院校④博士修习计划4、2016年报考北大教育学院博士的考生需参加“北京大学博士研究生英语水平考试”（第一次组织，题型为：听力、阅读、作文）5、北大高等教育学专业包含四个博士研究方向：01.高等教育原理02.高等教育史03.国际与比较高等教育04.高等教育管理育明教育针对北京大学教育学院考博开设的辅导课程有：考博英语课程班·专业课课程班·视频班·复试保过班·高端协议班。
2016年北京大学博雅计划测试-物理学科试题及答案解析
2016年北京大学博雅计划测试物理学科注意事项：1．本试卷满分100分，和语文、数学、英语、化学共同测试，每个科目100分； 2．试卷为考生回忆版本，本回忆版本，为部分试题。
1．（1）两个一样的乒乓球，一个涂黑，另一个涂白，一盏白织灯放在两个小球的中间照明一段时间，涂____的球表面更烫。
（2）两个一样的白炽灯，同样一个涂黑一个涂白，将两个灯同时打开一段时间，涂____的白炽灯表面更烫。
2．一个带正电的均匀橡皮气球，在不断被吹大的过程中：（ ） A ．球内电场强度不变 B ．球内电势不变C ．球面上一点受其它电荷的作用力不变D ．气球掠过空间中某一点时，该点的电势变化是连续的3．如图，一个半径为R 的圆状物体中过圆心的杆上有一质量为m 的物体（忽略形状）固定在离圆心R /2处，下面正确的是A ．θ＝10°时，有两个稳定平衡位置B ．θ＝20°时，有一个稳定平衡位置，有一个不稳定平衡位置C ．θ＝30°时，有一个稳定平衡位置D ．θ＝40°时，没有稳定平衡位置4．质子的质量为2938Mev c ，电子的质量为20.511Mevc，其中c ＝3×108m /s ，基态氢原子的能量为-13.6eV ，氢原子从第一激发态跃迁回基态，放出光子的频率为f 1，氢原子从基态跃迁到第一激发态，吸收的光子频率为f 2。
求：1）初始静止的处于第一激发态的氢原子，跃迁回基态后的速度v2）相对偏差121||f f f −5．两个质量为m 的斜劈和一个质量为4m ，半径为R 的球在外力作用下保持如图所示的静止状态，忽略所有摩擦，然后某时刻撤去外力，求球掉到平面上所需要的时间。
6．一个通电螺线管，单位长度上的匝数为n ，长度为L 。
在螺线管中有一个等腰梯形线框，且OAB ，OCD 各在一条直线上，OB ＝OC ＝BC ＝l ，12AO OB =，通电螺线管中通有大小为I ＝kt +m ，（k ，t 为正的常数）的电流，某时刻产生的磁场如图。
2016年北京大学博雅计划自主招生数学试题及解答
为 边 长 的三 角 形一 定
（ Ｄ ． 前 三个 答案 都 不对
）
Ｃ ． ４ ９ ５
（ ４ ） 以ｌ ａ—ｂ ｌ ＋１ ， Ｉ ｂ—Ｃ Ｉ ＋１ ， ｌ Ｃ —ａ Ｉ ＋１ 为边
长 的三 角形一 定存 在 Ａ ． ２ Ｂ ． ３ Ｃ — Ｄ ． 前 三个 答案都 不 对 ３ ． 设Ａ Ｂ， Ｃ Ｄ是 ｏ０ 的两条 垂 直 直径 ， 弦Ｄ Ｆ交
（ ）
ｆ ， 若 为 有 理 数 詈 ， ｐ 与 ｑ 互 素 ，
【 ０ ， 若 为无理数 ，
（ ）
Ａ ． ２ ４ Ｂ ． ２ ５ Ｃ ． ２ ６ Ｄ ． 前 三个答 案都 不 对
１ ２ ） 是定 义 在 实 数集 Ｒ 上 的 函数 ， 满 足
２ ｆ （ ）＋ Ｌ 厂 （ 一１ ） ＝１ ， Ｖ ∈ Ｒ， 则 一 ）等 于
ｃ ＋ｄ 有可能等于
（
）
Ａ ． 丢Ｂ ． ÷ｃ ． １ Ｄ ． 前 三 个 答 案 都 不 对
７ ． ｃ ∞ 。 ｓ 吾 百 ｃ ∞ 。 ｓ ２ 百 ， ／ ｉ － … ｃ ∞ 。 ｓ 百阳 的 值 但 为 刀 （ ， ）
Ａ ． １ ０ １ Ｂ ． ３ ０ １ Ｃ ． ４ ０ １ Ｄ ． 前三个答案都不对 １ ５ ． 三个不同的实数 ， Ｙ ， ｚ 满足 一３ ｘ ：Ｙ 。一
Ｂ ．［ １ １ ， １ ２ ） Ｄ ． 前三个 答 案都不 对
Ａ ． １ ２ Ｂ ． １ ３ Ｃ ． １ ４ Ｄ ． 前三个 答 案都不 对
５ ． 若方程 一３ ｘ一１ ＝ ０ 的根也是方程 ｘ ＋ａ ｘ ＋ ＋ｃ ＝０的根 ， 则 ａ＋ｂ一２ ｃ 的值为 （ ）
Ａ ． 一ｌ ３ Ｂ ． 一９ Ｃ ． 一５ Ｄ ． 前 三个答 案 都不对 ６ ． 已知 ｋ≠ １ ， 则 等 比数 列 ａ＋ｌ ｏ ｇ ２ ｋ ， ａ＋ｌ ｏ ｇ ４ ｋ ， ａ ＋ｌ ｏ ｇ ｋ的公 比为 （ ）
2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
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2016自主招生考题北京大学2016博雅计划笔试真题汇总
6月11日下午，北大进行了为期6个小时的博雅计划笔试考试。
文理科全部考5门，试题全部为客观题。
博雅计划笔试考试形式
笔试时间：6月11日下午1点到7点
笔试科目：
文科——语文、数学、英语、历史、政治
理科——语文、数学、英语、物理、化学
笔试形式：上半场语文数学英语三科，中间休息20分钟下半场两科，每科1小时。
据其介绍，语数外考了三个半小时，休息半个小时后，再考两个小时专业课，理科考生考物理化学，文科考生考历史政治。
试卷结构：全部客观题
科目分数：每科100分，共计500分
博雅计划笔试题目
文科语文的作文为命题作文“网络中的我”，字数500字。
一位北京的理科考生认为，作文题目与高考不太一样，用比较少的字数说明自己的观点，有些难度，但他表示物理题目最难，很多都不会。
另一位考生也称，物理题超过了高考大纲考试形式，难度很大。
考察方向
北大招办相关负责人介绍，在“博雅计划”的测试中，北大的考核主要通过笔试和面试两种方式，笔试侧重考查学生的基础学业能力和学习潜质，面试侧重于考查学生的个人志趣、逻辑思考与批判性思维、领导力、人文情怀等。
北大自招北京大学自主招生数学2016及解析
1-sin 2x12016年北京大学自主招生数学试题一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知sin x -cos x =2(0<x <2π)，则x 的取值范围是（）A．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πB．⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2C．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ D.以上三个答案都不对2．(2+1)(22+1)(23+1)(22016+1)的个位数字是（）A．1B．3C．5D．前三个答案都不对3．点P 位于∆ABC 所在的平面内，使得∆PAB ,∆PBC ,∆PCA 的面积相等，则满足题意的点P 有（）A．1个B．3个C．5个D．前三个答案都不对4．记f (n )为最接近值为（）的整数，其中n ∈N *．若f (1)+1f (2)++1f (m )=2016，则正整数m 的A．1015056B．1017072C．1019090D．前三个答案都不对5.实数x ,y ,z 满足x +y +z =2016，，则()()()=---201620162016z y x （）5．A．0B．1C．−1D．前三个答案都不对⎧⎪a 3-b 3-c 3=3abc ,6．方程组⎨⎪⎩a2=2(b +c )的非负整数解有（）A．1组B．4组C．5组D．前三个答案都不对7．4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为（）A．2+2B．2+2C．2+2D．前三个答案都不对8．将1,2,⋯,100分成三组，使得第一组数的和为102的倍数，第二组数的和为203的倍数，第三组和为304的倍数．则不同的分法共有（）1-cos 2xn 2361111=++zy xA．1种B．2种C．3种D．前三个答案都不对二、填空题．9．已知f (x )=3x 2-x +4，g (x )为整系数多项式，f (g (x ))=3x 4+18x 3+50x 2+69x +a ,则g (x )的各项系数之和为．10．54张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第张．11．用高斯函数[x ]表示不超过实数x 的最大整数，则方程[][]12001200212001200222+=+n n 的正整数解有12．空间中的一点P (x ,y ,z )满足∃n ∈N *，使得183≤++n n n z y x 成立，则所有满足要求的P 所形成的空间几何体的体积为．北京大学2016年自主招生数学参考答案与解析1．B．根据题意，有sin x>0，cos x<0，于是x是第二象限的角．2．C．因为22+1=5，且对于任意正整数k，都有2k+1为奇数，所以(2+1)(22+1)(23+1)(22016+1)≡5(mod10).3．D．考虑到平面内使△PAB和△PBC的面积相等的点的轨迹为直线BM以及过点B且与AC平行的直线，其中M为边AC的中点，因此满足题意的点P有4个：△ABC的重心，或者由P,A,B,C四点所构成的平行四边形的顶点．4．B．若f(n)=k，则k2-k+1≤n≤k2+k,所以f(1)=f(2)=1,f(3)=f(4)=f(5)=,f(6)=2,,进而有2016=1+1++1=2⋅1+4⋅1+6⋅1++2016⋅1, f(1)f(2)f(m)231008故m=2+4+6++2016=1017072．5．A．由于(x-m)(y-m)(z-m)=xyz-m(xy+yz+zx)+m2(x+y+z)-m3⎡1⎛111⎫⎤2,=mxyz⎢m- x+y+z⎪⎪⎥+m[(x+y+z)-m]于是所求代数式的值为0⎣⎝⎭⎦6⎢⎪666．B．根据题意，有a 3-b 3-c 3-3abc =a 3-(b +c )3+3bc (b +c -a )=a 3-1a 6+3bc ⎛1a 2-a⎫8=⎛1⎝2⎫⎡2⎛1⎪⎭,12⎫⎤a 1-a ⎪a 2 1+a +a 24⎪-3bc ⎥⎝⎭⎣⎝⎭⎦=0当a =0时，(b ,c )=(0,0)；当a =2时，(b ,c )=(0,2),(1,1),(2,0)．当a ≠0,2时，有2⎛112⎫142a 1+a +a -3bc >a -3bc =(b +c )-3bc ≥0,⎝24⎭4于是题中方程组的非负整数解共有4组．7．C．棱长为a 的正四面体的内切球半径为a ．设4个半径为1的球的球心分别为O ，O ,O ,O ,121234则正四面体O O O O 的棱长为2，故其内切球半径为．设这4个球的外切正四面体为12346ABCD ，则正四面体ABCD 的内切球半径为1+8．D．6，故正四面体ABCD 的棱长为2+2．6假设这样的分法存在，设三组数的和分别为102x ,203y ,304z ，x ,y ,z ∈N *，则102x +203y +304z =5050,即101(x +2y +3z )+(x +y +z )=101⨯50,于是101|x +y +z ,因此x +y +z ≥101．而此时102x +203y +304z >102(x +y +z )>5050,矛盾．故不存在满足题意的分法．20012+120012+19．8．易知g (x )为二次多项式，设g (x )=px 2+qx +r ，则f (g (x ))=3g 2(x )-g (x )+4=3p 2x 4+6pqx 3+(3q 2+6pr -p )x 2+(6qr -q )x +3r 2-r +4,对比系数，依次解得p =1，q =3，r =4，a =48．故g (x )的各项系数之和为8．10．44．每一轮剩下的牌依次是11．4002．因为2,4,6,⋯,52,54,4,8,12,⋯,48,52,4,12,20,⋯,44,52,12,28,44,12,44,44.2002⋅2001<2002<2002⋅2001+1,所以[200220012+1]=2002⋅2001．于是原方程等价于[n20012+1]=2001n ,即2001n ≤n <2001n +1,解得n <1+2001，所以原方程的正整数解有4002组．12．．3考虑第一卦限，只需要3x ,8y ,z ∈(0,1)即可．因此所有满足要求的点P 所形成的空间几何体为一个长方体，体积为1⋅1⋅1⋅8=1.38320012+1。
北京大学“博雅计划”物理试题及解析
北京大学“博雅计划”物理试题及解析01空间直角坐标系中，六个完全相同、均匀带电的正方形绝缘平板构成一个正方体，其中心O 位于坐标原点，各棱方向与坐标轴平行．记与z轴平行的棱中点为A，正方体与x轴的交点为B，则A、B、O三点的电场强度（）．A．全部为0B．全部不为0C．有两个满足至少在两个方向上的分量不为0D．有一个满足恰好在两个方向上的分量不为0解析O点的电场强度为0，A点的电场强度有x分量和y分量，B点的电场强度只有x分量．D 选项正确．02如图2所示，用轻绳悬挂一带电小球A，绳长为l，小球质量为m．现将一无穷远处的相同小球B移至图示位置，原小球偏转角度为θ，求移动小球过程中外力做的功．解析以A球为研究对象，受力分析如图3所示，则有222sin 22sin 2kq F mg l θθ==⎛⎫ ⎪⎝⎭．电势能的增量为22p14sin 2(1cos )22sin 2kq E mgl mgl l θθθ∆===-．重力势能的增量为ΔE p2＝mgl (1-cos θ)．所以外力做功为W ＝ΔE p1+ΔE p2＝3mgl (1-cos θ)．03如图4所示，有一等腰三棱镜，底角为θ，从侧面沿平行于底边方向射入一光束，其折射后，求θ需满足的条件．解析第一次折射，入射角i 1＝90°-θ，根据折射定律，有11sin sin i n γ=，解得1γ=．光线在底面发生全反射的临界角C 与折射率n 的关系为1sin C n =，解得C ＝45°．发生全反射的条件是入射角i 2＝γ1+θ大于临界角C，则有45θ+>°．04长度分别为l 1和l 2的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为m 1和m 2的两个小球，处于静止状态，如图5所示．中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v ，求此时两绳中的拉力．。
北大博雅数学2016
2016年北京大学博雅计划测试数学学科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考 试用条形码。
2.客观题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。
主观题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，选对得5分，多选、少选或选错扣1分，不选不得分。
1. 直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D.前三个答案都不对2. 已知三角形ABC 的三边长分别是,,a b c ，有以下四个命题：（1（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以,,222a b b c c a +++为边长的三角形一定存在； （4）以||1,||1,||1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D.前三个答案都不对3. 设,AB CD 是圆O 的两条垂直直径，弦DF 交AB 于点E ，24DE =,18EF =,则OE 等于（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对4. 函数()1,,,,,()0q x p q p q N p p f x x Q *⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩==1，，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对5. 若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）A. 13-B. 9-C. 5-D. 前三个答案都不对6. 已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 前三个答案都不对7. 210cos cos cos111111πππ的值为（ ） A. 116- B. 132- C.164- D.前三个答案都不对8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程20ax bx c ++=的两个虚数根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x =∑等于（） A. 1 B. 0 D. 前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种数为（ ）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5BF BD BE ===,BAD ACD ∠=∠,BAF CAE ∠=∠,则BC 的长为（ ）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K ，大圆的弦AB 与小圆切于L ，已知:2:5AK BK =,10AL =,则BL 的长为（ ）A.24B.25C.26D. 前三个答案都不对12.()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（ ）A.0B.12 C.13 D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）A.1-B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知1a b c ++=（ ）A.[10,11)B. [11,12)C.[12,13)D. 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，6BD =，30ABD CBD ∠==︒,则四边形ABCD 的面积等于（ ）A.B.C. D.前三个答案都不对 18.1!2!2016!+++除以100所得的余数为（ ） A.3 B.13 C.27 D.前三个答案都不对19.方程组23234345x y z x y z x y z⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩的实数解组数为（ ）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程333()333x x x x x +++=的所有实根的平方和等于（ ）A.0B. 2C.4D.前三个答案都不对。
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2! 2016!除以 100 所得余数为（ 18、 1!
A． 3 B． 13 C、 27 D．前三个答案都不对
3
x y2 z3 19、方程组 x2 y3 z4 的实数解组数为（ x3 y4 z5
）
A． 5
B． 6
3
C． 7
D．前三个答案都不对 ）
2
x 实数，则 1 等于（ k 0 x2
2015
） D．前三个答案都不对 ）
A． 1
B． 0
C． 3i
9、将 12 个不同物体分成 3 堆，每堆 4 个，则不同的分法种类为（ A． 34650 B． 5940 C． 495 D．前三个答案都不对
10、设 A 是以 B C 为直径的圆上的一点，D ,E 是线段 B C 上的点，F 是延长线 C B 上的点，已知 B F 4 ， B D 2 ， BE 5 ， BAD AC D ， BAF C AE ， 则 B C 的长为（ A． 11 B． 12 C． 13 ） D．前三个答案都不对
x3 x x3 x 20、方程 3 x 的所有实根的平方和等于（ 3 3
A． 0
B． 2
C． 4
D．前三个答案都不对
参考答案
1-5 ABCDA 6-10 BDBDA 11-15 BCABD
16-20
CBBCC
解题过程附后。
4
5
6
7
8
9
2
11、 两个圆内切于 K ， 大圆的弦 A B 与小圆切于 L ， 已知 AK :BK 2 :5 ，AL 10 ， 则 B L 的长为（ A． 24 B． 25 C． 26 ） D．前三个答案都不对
12、 f(x)是定义在 R 上的函数，且对任意实数 x 均有 2 f(x) f x2 1 1 ，则
a b b c c a 为边长的三角形一定存在； , , 2 2 2
（4）以 a b 1,b c 1,c a 1 为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个 数为（ A． 2 B． 3 ） C． 4 D．前三个答案都不对
3、设 A B ,C D 是圆 O 的两条垂直直径，弦 D F 交 A B 于点 E ， D E 24, EF 18 则
O E 等于（
A． 4 6 B． 5 3
） C． 6 2 D．前三个答案都不对
1
q 1 ,x , p ,q 1, p ,q N p 4、函数 f x p 0 ,x Q
则满足 x (0, 1)且 f(x) 17 的 x 的个数为（ A． 12 B． 13
）
C． 14 D．前三个答案都不对
5、若方程 x2 3 x 1 0 的根也是方程 x4 ax2 bx c 0 的根，则 a b 2c 的值 为（ A． 13 B． 9 ） C． 5 D．前三个答案都不对
6、已知 k 1 ，则等比数列 a l og 2 k ， a l og 4 k ， a l og8 k 的公比为 （ A．
f 2 等于（
A． 0 B．
1 2
） C．
1 3
D．前三个答案都不对
13、从一个正 9 边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点 的方法数是（ A． 30 B． 36 ） C． 42 D．前三个答案都不对 ）
14、 已知正整数 a,b,c,d 满足 ab cd ， 则 a b c d 有可能等于 （ A． 101 B． 301 C、 401 D．前三个答案都不对
11 A． 10,
）
12 B． 11, 13 C． 12,
D．前三个答案都不对
17、在圆内接四边形 ABC D 中， BD 6 ，A B D C B D 30 ，则四边形 ABC D 的面积等于（ A． 8 3 B． 9 3 ） C． 12 3 D．前三个答案都不对 ）
15、三个不同的实数 x,y,z 满足 x3 3x2 y3 3 y2 z3 3z2 ，则 x y z 等于 （ A． 1 ） B． 0 C． 1 D．前三个答案都不对
16、已知 a b c 1 ，则 4a 1 4b 1 4c 1 的最大值与最小值的乘积属于 区间（
1 2
） B．
1 1 C． D．前三个答案都不对 3 4 2 10 7、 cos cos cos 的值为（ ） 11 11 11 1 1 1 A． B． C． D．前三个答案都不对 16 32 64
x12 8、设 a,b,c 为实数， a,c 0 ，方程 ax bx c 0 的两个虚数根 x1 ,x2 满足 为 x2
2016 年北京大学博雅计划试题解答
082 艾书学 20160622
首先感谢兰琦老师和 112 山东的刘建老师提供试题。
选择题共 20 小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确 选项的代号填在表格中，选对得 5 分，选错扣 1 分，不选得 0 分． 1、直线 y x 2 与曲线 y e x a 相切，则 a 的值为（ A． 3 B． 2 C． 1 D．前三个答案都不对 2、已知三角形 ABC 的三边长分别为 a,b,c 有以下 4 个命题： （1）以 a , b , c 为边长的三角形一定存在； （2）以 a 2 ,b 2 ,c2 为边长的三角形一定存在； （3）以 ）