北京大学数学物理方法(下)课件_14 分离变量法

3 其它解都是线性相关的,
(10) (11)
Xn (l) = 0
(12) (13)
Xm (l) = 0
可用 A = 1 的解表示
4
(λn − λm )Xn Xm = (Xn Xm − Xm Xn ) 积分, 并利用边界条件(11), (13)
l
(λn − λm )
0
Xn (x)Xm (x)dx
l
= (Xn (x)Xm (x) − Xm (x)Xn (x))|0 = 0 当 n = m 时, λn = λm , 所以
这样就得到了 X (x) 满足的常微分方程和边界条件; 以及 T (t) 满足的常微分方程. 求解本征值问题 常微分方程+边界条件 X (x) + λX (x) = 0 X (0) = 0 X (l) = 0 构成本征值问题. 求解本征值问题就是要求它的非零解. λ 的值可以是复数2 . 若 λ = 0, 常微分方程的通解为 X (x) = Ax + B 代入边界条件 X (0) = B = 0 X (l) = Al + B = 0 ⇒ A = 0 所以, 这时 X (x) ≡ 0 不是非零解. 若 λ = 0, 则通解可写为 代入边界条件 X (0) = B = 0 √ X (l) = A sin λ l = 0 A = 0, 否则又有 X (x) ≡ 0. 故必有
14
分离变量法
求波动方程
本章介绍求解偏微分方程定解问题(数学物理方程)的最基本方法—分离变量法. Example 14.1
2 ∂2u 2∂ u − a =0 ∂t2 ∂x2
的通解, a 为常数. Solution 方程可改写为 ∂ ∂ +a ∂t ∂x 令 ξ = x − at 则 ∂ ∂ ∂ = + ∂x ∂ξ ∂η ∂ ∂ ∂ = −a +a ∂t ∂ξ ∂η 可得 ∂ ∂ u=0 ∂ξ ∂η 其通解为 u = f (ξ ) + g (η ) = f (x − at) + g (x + at) 其中 f 和 g 是任意函数. 波动方程的通解, 由两个波组成. 1. f (x − at) 代表沿 x 轴向右传播的波, 当 t = 0 时, 波形为 f (x), 而后以恒定速率 a 向右传播, 而保持波 形不变; 2. g (x + at) 则代表沿 x 轴向左传播的波, 当 t = 0 时, 波形为 g (x), 而后也以同样的恒定速率 a 向左传 播, 保持波形不变. 单独的 f (x − at) 和 g (x + at) 也是波动方程的解. 它们独立传播, 互不干扰. 这是因为波动方程是线性齐次 方程, 具有解的叠加性. 对于定解问题, 函数 f 和 g 则应该由定解条件确定. Examples 14.1 (波动方程的行波解). 求解一维无界弦上的定解问题1 ∂2u ∂2u − a2 2 = 0, − ∞ < x < ∞, t > 0, 2 ∂t ∂x u(x, t) t=0 = φ(x), − ∞ < x < ∞, ∂u = ψ (x), − ∞ < x < ∞. ∂t t=0
1 这个定解问题中明显缺少了边界条件.
∂ ∂ −a ∂t ∂x
u=0
η = x + at
(1)
(2a) (2b) (2c)
严格说来, 这里的确应该明确写出无穷远条件 ˛ u(x, t)˛x→±∞ → 0
1
Solution 方程(2a)的通解已由上例给出, 现在的问题便是如何根据初始条件(2b)和(2c)确定函数 f 和 g . 为 此, 将通解代入初始条件, 得 f (x) + g (x) = φ(x), a f (x) − g (x) = −ψ (x). 将(3b)积分, 可以得到 f (x) − g (x) = − 1 a
14.1
两端固定弦的自由振动
方程: 0 < x < l, t > 0时
2 ∂2u 2∂ u − a =0 ∂t2 ∂x2
Example 14.2
(5)
边界条件: t > 0时 u|x=0 = 0 初始条件: 0 ≤ x ≤ l时 u|t=0 = φ(x) Solution 1. 分离变量. u|x=l = 0 ∂u ∂t = ψ (x)
0 x
(3a) (3b)
ψ (ξ )dξ + C,
其中 C 是积分常数. 将这个结果和(3a)联立, 即可求得 f (x) = 1 φ( x ) − 2 1 g (x) = φ(x) + 2 1 2a 1 2a C , 2 0 x C ψ (ξ )dξ − . 2 0 ψ (ξ )dξ +
x
即得 u(x, t) = f (x − at) + g (x + at) = 1 1 φ(x − at) + φ(x + at) +Baidu Nhomakorabea2 2a
l
Xn (x)Xm (x)dx = 0
0
n=m
进一步, 当 n = m 时, 可计算本征函数的模方 Xn (8) 两端乘以 sin
mπ l x, 2 l
=
0
2 Xn (x)dx =
l 2
并逐项积分
l
φ(x) sin
0
mπ xdx = l
l ∞
Dn sin
0 n=1
nπ mπ x sin xdx l l l 2
= Dm Xm = Dm 所以 Dn = 同样由 (9) 可以得到 Cn = 2 nπa
l l
2 l
φ(x) sin
0
nπ xdx l nπ xdx l
ψ (x) sin
0
给定 φ(x) 和 ψ (x), 就可以积分定出叠加系数 Cn 和 Dn , 代入一般解, 就得到了整个问题的解. 分离变量法的基本步骤 1. 分离变量 必要条件: 偏微分方程和边界条件都是齐次的. 结果: 得到每一个一元函数满足的常微分方程. 其中包括齐次常微分方程+齐次边界条件的本征值问题. 2. 求解本征值问题. 即求非零解. 3. 求特解, 并叠加出一般解. 还是因为偏微分方程和边界条件都是齐次的. 另外, 本征函数的全体是完备的: 任何满足同样边界条件的, 足够“好” (一般要求连续, 分段光滑) 的函 数都可以展开为
x+at
ψ (ξ )dξ.
x−at
(4)
这 样, 就 求 得 了一 维 无 界 区 间 上 波 动 方 程 定 解 问 题(2)的 解. 它 称 为一 维 波 动 方 程 定 解 问 题 的 行 波 解, 或 d’Alembert 解. 这个解具有清楚的物理意义: 第一项表示由初位移激发的行波, t = 0 时波形为 φ(x), 以后分成相等的两部分, 独立地向左右传播, 速率 为 a; 第 二 项 表 示 由 初 速 度 激 发 的 行 波, t = 0 时 在 x 处 的 速 度 为 ψ (x), 在 t 时 刻, 它 将 左 右 对 称 地 扩 展 到 [x − at, x + at] 的范围, 所以, 传播的速率也是 a. 如果是有界弦上的波动问题, 毫无疑问, 就必须明确地写出边界条件, 才能构成一个适定的定解问题. 这一 章将讨论这种定解问题的求解方法. 尽管这时波动方程的通解仍然可以写成(1)的形式, 但由于边界条件的出 现, 就使得我们不能简单地模仿上面的求解过程而定出函数 f 和 g .
代表一个驻波. 行波的波形是以波速沿着波的传播方向行进的; 而驻波的波形永不前进, 而是在原地变化. ωn = nπ a l
是驻波的角频率, 称为两端固定弦的固有频率或本征频率, 与初始条件无关. kn = nπ l
称为波数, 是单位长度上波的周期数. 在 kn x = mπ , 即 x = mπ/kn = (m/n) l, m = 0, 1, 2, 3, · · · , n 的各点上, 振动的振幅恒为0, 称为波节. 包 括弦的两个端点在内, 波节点共有 n + 1 个. 整个问题的解则是这些驻波的叠加. 正是因为这个原因, 这种解法也称为驻波法. 驻波解和行波解的关系 可以把分离变量法得到的驻波解表示为行波解的形式. 为此, 先将初始条件 φ(x) 和 ψ (x) 作奇延拓. 在区 间 −l ≤ x ≤ l, 定义奇函数 Φ(x) = −φ(−x), −l ≤ x ≤ 0, φ(x), 0 ≤ x ≤ l, −ψ (−x), −l ≤ x ≤ 0, ψ (x), 0 ≤ x ≤ l.
t=0
(6) (7)
2. 求解本征值问题 3. 求特解, 并叠加出一般解. 4. 利用本征函数的正交性定叠加系数.
2
分离变量 设特解 (非零解: 不恒为零!) 具有分离变量的形式: u(x, t) = X (x)T (t) 代入方程 X (x)T (t) = a2 X (x)T (t) 两端除以 a2 X (t)T (t) X (x) 1 T (t) = = −λ 2 a T (t) X (x) λ 是一个即与 x 无关, 又与 t 无关的常数. 于是 T (t) + λa2 T (t) = 0 X (x) + λX (x) = 0 再将分离变量解代入边界条件 X (0)T (t) = 0 因为 T (t) 不能恒为零 (否则 u(x, t) 恒为零), 所以 X (0) = 0 X (l) = 0 X (l)T (t) = 0
这种形式的解称为一般解. 利用本征函数的正交性定叠加系数 一般解满足方程和边界条件. 适当选择叠加系数 Cn 和 Dn , 使之满足初始条件
∞
u(x, 0) =
n=1 ∞
Dn sin
nπ x = φ(x) l
(8) (9)
∂u nπ nπ (x, 0) = Cn · a · sin x = ψ (x) ∂t l l n=1 首先求本征函数之间的正交关系. 设 Xn 是本征值为 λn 的本征函数 Xn (x) + λn Xn (x) = 0 Xn (0) = 0 Xm 是本征值为 λm 的本征函数 Xm (x) + λm Xm (x) = 0 Xm (0) = 0 Xm (x) × (10) − Xn (x) × (12) (Xm Xn − Xn Xm ) + (λn − λm )Xn Xm = 0
nπ x l
我们看到本征值问题不同于常微分方程的初值问题: 如果是常微分方程的初值问题, 方程的解是唯一的. 如果 X (x) ≡ 0 是解, 就是方程+初值条件的唯一的解! 但本征值问题, 当 λ 取某些特定值时, 除零解外, 还有 非零解存在; 即解不是唯一的. λ 的这些特定值 λn 称为本征值, 相应的非零解 Xn (x) 称为本征函数. 求特解, 并叠加出一般解 对于每一个本征值 λn , 可由方程 T (t) + λn a2 T (t) = 0 求出 Tn (t) = Cn sin 因此得 un (x, t) = Cn sin nπ nπ at + Dn cos at l l
2 以后将证明,
√ √ X (x) = A sin λ x + B cos λ x
λ=0
√ λ l = nπ (n > 0)
这个本征值问题为 Sturm-Liouville 型本征值问题, λ 只能是实数.
3
λ=
nπ l
2
, 记为 λn = nπ l
2
取 A = 13 , 非零解为 Xn (x) = sin
l
Φ(x) sin
−l l
nπ 2 xdx = l l nπ 2 xdx = l l
∞
f (x) =
n=1
Cn Xn (x)
这样, 定解问题的解一定可以按照本征函数展开. 4. 定叠加系数. 利用本征函数的正交性. 5
14.2
分离变量法的物理诠释
nπ nπ nπ at + Dn cos at sin x l l l
现在讨论分离变量法解的物理意义. 特解 un (x, t) = Cn sin
nπ nπ nπ at + Dn cos at sin x l l l
(n = 1, 2, 3, ...) 它们都满足偏微分方程+边界条件. 我们称之为特解. 由于方程和边界条件都是齐次的, 特解的线性叠加仍然满足方程+边界条件. 把所有的特解叠加起来
∞
u(x, t) =
n=1
Cn sin
nπ nπ nπ at + Dn cos at sin x l l l
Ψ(x) =
然后, 再延拓为周期为 2l 的周期函数. 因此, Φ(x) 和 Ψ(x) 可以展开为 Fourier 级数:
∞
Φ(x) =
n=1 ∞
αn sin βn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
Ψ(x) = 其中 αn = βn = 与分离变量法的解比较, αn = Dn ,
∞
1 l 1 l