母线平行于坐标轴的柱面方程

第三节曲面及其方程8-3

解设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为

x

22

y
12

z

42

116 .
3
3 9
第八章第三节
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
第八章第三节
8
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论柱面、二次曲面）
第八章第三节
9
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
第八章第三节
10
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
第八章第三节
11
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
第八章第三节
12
5
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程.
解设M( x, y, z)是所求平面上任一点，根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,

4.1柱面

《解析几何》－Chapter 4§1 柱面cylinderContents一、柱面的概念二、柱面的方程三、柱面的判定定理四、空间曲线的射影柱面平面v222x y a+=zxy o圆柱面v那族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母线.定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder ），定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线（directrix ），v准线准线母线v说明：柱面的准线不是惟一的，每一条与柱面的母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线.一、柱面的概念x zy 0准线母线准线v注:一般柱面的准线不惟一,可用一张不平行于母线的平面与柱面相交得到的交线为准线.1 柱面的一般方程Ⅰ 准线方程()()12,,0,,0F x y z C F x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩：Ⅱ 母线l 的方向数：,,X Y Z普通方法1M vCl设M 1(x 1, y 1, z 1)为准线上任意一点,①写出母线族方程:111x x y y z z X Y Z---==②写出参数x 1, y 1, z 1的约束条件:(,,),(,,).1111211100F x y z F x y z =⎧⎨=⎩(,,)0F x y z =③消去参数x 1, y 1, z 1得一个三元方程:1 柱面的一般方程()()12,,0,,0F x Xt y Yt z Zt F x Xt y Yt z Zt ---=⎧⎪⇒⎨---=⎪⎩Ⅰ 准线方程()()12,,0,,0F x y z C F x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩：Ⅱ 母线l 的方向数：,,X Y Z()()11112111,,0,,0F x y z F x y z =⎧⎪⇔=⎨⎪⎩分析：()1111 ,,M x y z C ∈∀11M CM l∈⎧⇔⎨∈⎩t=(),,0F x y z ⇒=1M vCl母线方程111x x y y z z X Y Z---==例1柱面的准线方程为，而母线的方向数是，求这柱面的方程.2222221222⎧++=⎪⎨++=⎪⎩x y z x y z ，1,0,1-解:设M 1(x 1, y 1, z 1)为准线上任意一点,111101x x y y z z ---==-(x 1, y 1, z 1为参数)且22211122211111222⎧++=⎪⎨++=⎪⎩,(),x y z x y z 为消参数x 1, y 1, z 1,可设111101x x t y y z z ---===-则111,,=+==-x x t y y z z t 代入(1)式得2222221222⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩()(),()(),x t y z t x t y z t 消去参数t ,并化简得所求柱面方程:22()1++=x z y 222210.+++-=x y z xz 即约束方程例2：已知圆柱面的轴为点(1,-2,1)在此圆柱面的方程.11,122x y z -+==--v 轴0(0,1,1)M -1(1,2,1)M -分析普通方法:关键:求圆柱面的准线(圆)方程.{,,},=--122v (,,)-0011M 圆柱面的轴:以M 0为球心, M 0M 1为半径的球面球面:平面:过点M 1为与轴垂直的平面()()()--+--=122210x y z ()()+-++=2221114x y z 圆柱面的准线方程:()()⎧+-++=2221114x y z =0114M M例1柱面的准线方程为，而母线的方向数是，求这柱面的方程.2222221222x y z x y z ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，1,0,1-例2已知圆柱面的轴为，点在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程.11122x y z -+==--()1,2,1P -二、柱面的方程还有其它方法吗？vMr 轴圆柱面:设圆柱面的轴线为000---==x x y y z z X Y Z0000(,,)M x y z 其中:0000(,,)M x y z 为轴线上的定点,{,,}=v X Y Z 为轴线方向向量.(,,)M x y z 是圆柱面上任意点①0⨯⇔= M M vvr ①已知轴线及半径②已知轴线及柱面上一定点M 1②010M M v v v vM M ⨯⨯⇔==1111(,,)M x y z解:圆柱面的轴的方向向量:{1,2,2},v --=0(0,1,1)M -为轴上定点.(,,)M x y z 设是圆柱面上任意点,且点M 1(1,-2,1)在此圆柱面上,则点M 与点M 1在到轴的距离相等,即:001M M M M v vv v⨯⨯=010 M M M v v M ⇒⨯=⨯ kj i 1 1x y z -+1 -2 -2⇒k j i 1 3 2-1 -2 -2=⇒例2已知圆柱面的轴为，点在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程.11122x y z -+==--()11,2,1M -12222=+by a x zxyo 椭圆柱面（直角坐标系）方程的形式与柱面的图形特征之间有联系吗？三、柱面的判定定理三、柱面的判定定理定理4.1.1在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。

解析几何-吕林根-课后习题解答一到五

第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？（1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5= 解：§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线．解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解（2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。

解析几何-柱面

y 2 2 px z 2 准线 : 2 抛物柱面 : y 2 px (4) z 0 母线 // z轴
一般地，若一曲面方程中仅含有两个变量，则此曲面一定是柱面，它的母线平行于和缺少的那个变量同名的坐标轴．
如: 8 x 2 25 y 2 4 xy 20 x 10 y 0 为母线平行于 z轴的柱面 .
x x 1 y y1 z z1 1 1 0 2 2 (1)
三.母线平行于坐标轴的柱面母线 0
S
y
f ( x, y, z)=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
f ( x, y, z ) 0 设柱面的准线是 xoy 坐标面上曲线 : z 0 母线平行于 z轴 , 则柱面的方程为 f ( x , y ) 0. 证由题设 , 母线方向为 v 0,0,1 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 :
§3.3
柱面
一.定义平行于定直线并沿定曲线c移动的直线l 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线c 叫柱面的准线, 动直线l叫柱面的母线.
准线
c
l
柱面是直纹面
母线
二.柱面的方程
F1 ( x , y , z ) 0 已知准线方程为 : F2 ( x , y , z ) 0 母线的方向为 : l , m , n 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 : F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 ( 2 ) 又 M 1在准线上 , 故 F2 ( x1 , y1 , z1 ) 0 ( 3 ) 联立 (1)( 2 )( 3 )消去 x1 , y1 , z1 , 得柱面方程为 : F ( x, y, z ) 0

柱面方程的一点注记

柱面方程的一点注记何国庆（安徽师范大学数计学院，芜湖，241000）摘要：本文对母线方向为}{,,v l m n =的柱面讨论其方程，得到一个定理.并举例说明了此定理的应用.关键词：柱面，母线方向，方程柱面是日常生活中常见的一种曲面，它有很明显的几何特征，是教学的重点内容.所谓的[]1柱面，指的是动直线l 平行于定方向v 且与定曲线C 相交而产生的曲面.每一条动直线称为柱面的直母线，定曲线C 称为柱面的准线，v 称为柱面的母线方向.显然，柱面被它的准线及母线方向完全确定.但对于一个柱面，它的准线并不是唯一的，每一条和所有直母线均相交的曲线都可当准线.许多教材都给出求柱面方程的一般方法，但对柱面方程的特征讨论的较少.本文给出了母线方向为}{,,v l m n =的柱面方程的几种形式.有定理：在空间直角坐标系中，设柱面S 的母线方向}{,,v l m n =，则S 的方程一定可写为(,)0l m f x z y z n n --=，或0),(=--y m n z y m l x g ，或(,)0m n h y x z x l l--=；反之，若一个曲面的方程可改写为上述三种方程之一，则它一定是柱面，其母线方向为}{,,v l m n =. 证明：由于柱面S 的母线方向}{,,0v l m n =≠，故S 一定与某个坐标面相交.如0n ≠，则S 的母线与xoy 面相交，取其交线(,)0:0f x y C z =⎧⎨=⎩为柱面S 的准线.在准线C 上任取1111(,,)P x y z ，则过1P 的母线方程为111x x lt y y mt z z nt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩又1P C ∈,则111(,)00f x y z =⎧⎨=⎩ 由(1)(2)消去111,,x y z ，得(,)0l m f x z y z n n --=收稿日期：2011年9月作者简介：何国庆（1979—），女，安徽巢湖，讲师，研究方向：微分几何. E-mail:wh_hgq@（1）（2）（3）则方程（3）就是母线方向为}{,,(0)v l m n n =≠的柱面S 的方程. 同理可证：当0m ≠时，柱面S 方程为0),(=--y mn z y m l x g 当0l ≠时，柱面S 方程为(,)0m n h y x z x l l --= 反之，设曲面S 的方程可改写为(,)0l m f x z y z n n --=，则它与以曲线(,)00f x y z =⎧⎨=⎩为准线，母线方向平行于}{,,v l m n =的柱面有相同方程，故曲面S 表示一个柱面，其母线方向为}{,,v l m n =. 推论：若一个柱面的母线平行于z 轴（或x 轴，或y 轴），则它的方程不含z 项（或x 项，或y 项）；反之，一个三元方程中如果不含z 项（或x 轴，或y 轴），则这个三元方程一定表示一个母线平行于z 轴（或x 轴，或y 轴）的柱面.注：此推论为文[2]中的定理.下面举例说明定理及推论的应用.例1[]1试说明方程()()2x y y z x y z ++=++表示柱面. 解：将已知方程改写为()()()()x y z y x y z y ++=+++.由定理知此曲面是以曲线0xz x z y =+⎧⎨=⎩为准线，母线方向平行于}{1,1,1v =-的柱面注：此题也可有其他证法，如文[1]中的证法.例2[]2空间直角坐标系中，方程22221x y a b +=，22221x y a b-=，22y px =都表示母线平行于z 轴的柱面，分别称为椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面.参考文献：[1]宋卫东.《解析几何》[M].北京：高等教育出版社，2003:144-147[2]杨文茂.李全英.《空间解析几何》[M].武汉：武汉大学出版社，2000:94-97A NOTE ON THE EQUA TION OF CYLINEDERHe Guoqing(College of Maththetics and Computer Science,Anhui Normal University,WUHU 241000)Abstract:The paper discusses the equation of cylineder which element parallels the vector }{,,v l m n =,and a gives theorem.Then there are some examples which use the theorem. Key words: Cylineder,The direction of element,Equation。

2.3-2.4：母线平行于坐标轴的柱面和空间曲线方程

b, 在空间建立坐标系使Oz轴重合与轴线.
取时间t为参数，设P是轨迹上任意一点. 设动点从A(a, 0, 0 )点出发，经过t时间，运动到P(x, y, z)点.
z
P在 xoy 面的投影 Q(x, y, 0),
容易看出
x OQ cos t a cos t y OQ sin t a sin t z QP vt bt
它的方程是
x y z R
2 2 2
2
xOy面的方程为
z=0
所以所求圆的一般方程为:
x2 y 2 z 2 R2 z 0
z a2 x2 y2 例4 方程组 a 2 a 2 表示怎样的曲线？ 22 y2
注意可以将方程(1)看作F(x, y)+0z=0
这说明整个直线L在曲面上. 注意到Q点的任意性, 所以
曲面至少包含沿曲线移动而平行于z轴的所有直线.
曲面至少包含沿曲线移动而平行于z轴的所有直线. 除了这些直线外,曲面还包含其它点吗? L P y
没有其它类型的点!
证明: 设P(x1, y1, z1)是 O
z
S1
S2
o
C
y
x
x y 1 例1 方程组表示怎样的曲线？ 2 x 3 y 3z 6
2 2
解
x 2 y 2 1 表示圆柱面，
2 x 3 y 3 z 6 表示平面，
x2 y2 1 2 x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
例2 写出Oz轴的方程 Oz轴可以看作是两个坐标面yoz和xoz面的交线.
o
x
A
y
动画圆柱螺线
圆柱面 x 2 y 2 a 2

曲面方程的概念

得解从曲线的方程中消去 z ， x2 + y2 3x 5y = 0 ，
3 2 5 2 17 即 ( x ) ( y ) , 2 2 2 它是曲线关于x y 坐标面的投影柱面－圆柱面的方程，在 x y 坐标面上投影曲线是圆. 32 5 2 17 ( x ) ( y ) , 2 2 2 z 0 .
x x ( t ), y y ( t ), z z(t ) .
形如上的方程组称为曲线的参数方程， t 为参数.
例 4 设质点在圆柱面 x 2 y 2 R 2上以均匀的角速度绕 z 轴旋转，同时又以均匀的线速度 v 向平行于 z 轴的方向上升. 运动开始，即 t = 0 时，质点在 P0(R, 0, 0) 处，求质点的运动方程. z 解设时间 t 时，质点的位置为 P( x, y, z )，由 P 作 x y 坐标面的垂线垂足为 Q (x, y , 0) 则从 P0 到 P 所转过的角 = t，上升的高度 QP = vt ，即质点的运动方程为：
表示的曲面称为圆锥面，点 O 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所得的曲面方程为
z a( x y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转抛物面的开口向下. 一般地，
方程
x y z 2 2 a b
2
2
设空间曲线的方程为
消去 z ，得
F1 ( x , y, z ) 0, F2 ( x, y, z ) 0,
G( x , y )= 0.
可知满足曲线的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ，而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程，因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲线关于 x y 坐标面的投影柱面. 而

09-13全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案

2009 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分，共 20分）
(x y) ln(1 y )
1．计算 D
x dxdy ____________，其中区域 D 由直线 x y 1 与 1x y
两坐标轴所围成三角形区域.
2．设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2 2 f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________. 0
3．曲面 z x22 y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是__________.
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) d2 y ________________. dx 2
ey ln 29确定，其中 f 具有二阶导数，且 f
1 ，则
二、（5 分）求极限 lim( ex e2x
2.证明广义积分
0
sin x
x
dx
不是绝对收敛的
3.设函数 y y x 由 x3 3x2 y 2 y3 2 确定，求 y x 的极值。
4.过曲线 y 3 x x 0 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形 3
的面积为 4 ，求点 A 的坐标。
二、（满分 12）计算定积分 I
x sin x arctan ex dx 1 cos2 x
三、（满分 12 分）设 f x 在 x 0 处存在二阶导数 f 0 ，且
lim f x x0 x
0 。证明：级数 f 1 收敛。
n1
n
四、（满分 12 分）设 f x
b
sin f x dx
2
a
m
,f x
0a x b，证明

柱面3.2

消去
x0 , y0 , z0
得
f ( x, y ) 0 z
由于可取任意值，
所以所求柱面的方程为 f ( x , y ) 0
反之，任给一个不含z的三元方程 g ( x , y ) 0 我们就求以C: 以
g ( x, y ) 0 z 0
为准线
v ( 0 , 0 ,1)
它与 xoy
面的交线为
此交线是椭圆类似地，方程
x a
因而称此柱面为椭圆柱面；
2 2

y b
2 2
1 0
x 2 py 0
2
分别表示母线平行于Z轴的双曲柱面和抛物柱面
母线平行于坐标轴的柱面方程 z
M ( x, y, z)
M 1 ( x , y ,0 )

z
x 2y
2
平面
o
o
y
y
L
y
0
x
作业：1、3、5

x
2 2

y
2 2
1
a 2 x
a
2

b 2 z
椭圆柱面，母线// z轴
b
2
1
双曲柱面，母线// y 轴
抛物柱面，母线//z 轴
y 2 px
2
椭圆柱面 z
x a
2 2

y b
2 2
1
o
x
y
双曲柱面
z
x a
2 2

z b
2 2
1
o
y
x
抛物柱面
y
2
z y
2 px
o

柱面的讲解

柱面方程
播放
定义观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.C L 这条定曲线叫柱面的准线，
动直线叫柱面的母线.
C L 一、柱面的定义
只含y x ,而缺z 的方程0),(=y x F ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为xoy 面上曲线 C .
实例122
22=-b y a x 双曲柱面// 轴z
只含z y ,而缺x 的方程0),(=z y G ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱面，其准线为yoz 面上曲线 C .
122
22=+c z b y 椭圆柱面// 轴x 实例
只含z x ,而缺y 的方程0),(=z x H ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线为zox 面上曲线 C .
pz x 22=抛物柱面//
轴y 实例
x
o
z
y
x
o
z
y
x
y2
2=
抛物柱面
x
y=
平面
三、常见的柱面及其方程
x
o
z
y
1
2
2=
+y
x
圆柱面
四、小结
柱面的概念(母线、准线).
柱面方程的特点( 缺).。

第七节常见曲面的方程及图形

第七节常见曲面的方程及图形Equation and Graph of Surface教学目的: 了解常见的空间曲线的标准方程并知道它们的图像.课题: 曲面及其方程;常见的曲面方程及其图形.教学重点: 空间曲面的图形及其方程教学难点: 常见空间曲线的图形及方程教学方法: 精讲常见曲面的方程及图形教学内容:一、曲面及其方程空间任一曲面都可以看作点的集合.在空间直角坐标系中,如果曲面S 上的任一点(,,)M x y z 的坐标满足三元方程(,,)0F x y z =,不在曲面上的点的坐标都不满足该方程,那么就称该方程是曲面S 的方程,而曲面S 是该方程的图形或轨迹.【例1】一平面垂直平分两点(1,2,3)A 和(2,1,4)B -间的线段,求该平面的方程.解显然所求平面是与A 及B 等距离的点的轨迹.在平面上任取一点(,,)M x y z ,则有MA MB =,而MA MB ==两边平方,化简,即得所求平面的方程 26270x y z -+-=二、常见的曲面方程及其图形1.球面方程空间动点到一定点的距离等于常数,此动点的轨迹即为球面.定点叫做球心,常数叫做球的半径.设球心在点(,,)C a b c ,半径为r ,在球面上任取一点(,,)M x y z ,有MC r =,即r =两边平方得2222()()()x a y b z c r -+-+-= (1)此方程即为所求的球面方程.当(1)式中0a b c ===,即球心在原点,半径为r 时,(1)式可化为2222x y z r ++=【例2】下列方程表示什么曲面?(1)2222440x y z x y ++---=(2)2222450x y z x y ++--+= (3)2222460x y z x y ++--+=解将方程左端配方(1) 222(1)(2)9x y z -+-+=,表示以点(1,2,0)C 为球心,半径3r =的球面;(2) 222(1)(2)0x y z -+-+=,由于此方程只有唯一的一组解:1,2,0x y z ===,即它表示一点(1,2,0);(3) 222(1)(2)1x y z -+-+=-,这时,空间任一点坐标都不满足方程,即没有几何图像,称之为虚球面.2.母线平行于坐标轴的柱面方程设方程中不含某一坐标,如不含竖坐标z ,即(,)0F x y = (2)它在xOy 坐标面上的图形是一条曲线L ,由于方程中不含z ,故在空间中一切与L 上的点(,,0)P x y 有相同纵坐标的点(,,)M x y z 均满足方程,也就是说,经过L 上的任一点P 而平行于z 轴的直线上的一切点的坐标均满足方程.反之,如果''''(,,)M x y z 与曲线L 上的任何点不具有相同的横、纵坐标,则点'M 的坐标必不满足方程(2).满足方程(2)的点的全体构成一曲面,它是由平行与z 轴的直线沿xOy 平面上的曲线L 移动而形成的,这种曲面叫做柱面.曲面L 叫做准线,形成柱面的直线叫做柱面的母线.因此方程(2)在空间的图像是母线平行于z 轴的柱面.同样地,方程(,)0F y z =的图像是母线平行于x 轴的柱面;方程(,)0F x z =的图像是母线平行于y 轴的柱面.(1) 方程 22221x y a b+= (3) 表示柱面,它的准线为xOy 面上的椭圆,母线平行于z 轴,称之为椭圆抛物面.在方程(3)中,当a b r ==,即222x y r +=时,它表示圆柱面.(2) 方程22221x y a b-=表示准线为xOy 面上的双曲线,母线平行于z 轴的柱面,称之为双曲圆柱面. (3) 方程22y Px =表示准线为xOy 面上的抛物线,母线平行于z 轴的柱面,称之为抛物柱面.3.旋转曲面旋转曲面是由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周而成的.这条直线叫做该旋转曲面的旋转轴,这条平面曲线叫做旋转曲面的母线.设在yOz 平面上的曲线C 的方程为(,)0F y z =,把曲线C 绕z 轴旋转一周,就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面.它的方程可以这样求得:设1111(,,)M x y z 为曲线C 上任一点,则有11(,)0F y z =,当曲线C 旋转时,点1M 转到点(,,)M x y z ,这时1z z =,点M 和1M 到z 轴的距离相等,即1y =把11,z z y ==代入11(,)0F y z =得()0F z =这就是所求的旋转曲面的方程.同理,xOy 平面上的曲线(,)0F x y =绕y 轴旋转一周,所得旋转曲面方程为()0F y =xOz 平面上的曲线(,)0F x z =绕x 轴旋转一周,所得旋转曲面方程为(,0F x =方程22z x y =+是yOz 平面上的抛物线2z y =绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面,称为旋转抛物面.4.常见的二次曲面及其方程(1) 椭球面方程2222221x y z a b c ++=所表示的曲面叫做椭球面.(2) 单叶双曲面方程2222221x y z a b c +-=所表示的曲面叫做单叶双曲面.(3) 双叶双曲面方程2222221x y z a b c-+=-所表示的曲面叫做双叶双曲面.特别的,2220x y z -+=所表示的曲面叫做圆锥面.(4) 抛物面(a) 椭圆抛物面方程22(,0)22x y z p q p q =+>所表示的曲面叫做椭圆抛物面.(b) 双曲抛物面方程22(,0)22x y z p q p q=-+>所表示的曲面叫做双曲抛物面,也叫马鞍面.课堂练习:1. 指出下列各方程表示什么曲面.(1)2221x y z ++=(2)21x = (3)22z x y =+ (4)222231x y z ++=小结:学习了常见曲面的方程及其图形,包括球面、柱面、旋转曲面、二次曲面等.要求了解常见空间曲线的标准方程并指导它们的图像。

以曲线为准线,母线平行于x=y=z的柱面方程

题目：以曲线为准线，母线平行于 x=y=z 的柱面方程1.概述曲线和几何图形在数学中具有重要的地位，它们在解决实际问题中发挥着重要的作用。

本文将讨论以曲线为准线，母线平行于x=y=z的柱面方程。

2.曲线为准线的柱面方程柱面方程可以用一般式表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Eyz + 2Fzx + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J = 0其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数，而(x, y, z)为空间中的一点坐标。

3.母线平行于x=y=z的柱面方程当柱面的母线平行于x=y=z时，可以得到以下条件：a) 柱面的母线方向与x=y=z的方向平行，即柱面的母线向量与(1, 1,1)成比例。

b) 母线的平行方向向量是(1, 1, 1)的倍数，因此柱面的方向向量是(λ, λ,λ)，其中λ为任意非零实数。

c) 柱面方程中关于母线方向的项A、B、C相等，且大于0，即A=B=C>0。

d) 由于母线位于柱面上，故柱面的点满足以下条件：与柱面上的一点P(x0, y0, z0)及其上的切向量N(xn, yn, zn)方程为xn(x-x0) + yn(y-y0) + zn(z-z0) = 0则得到的柱面方程为：A(x-x0)^2 + B(y-y0)^2 + C(z-z0)^2 = 04.以曲线为准线，母线平行于x=y=z的柱面方程现在考虑以曲线为准线，母线平行于x=y=z的情况。

设曲线方程为φ(u)=(f(u), g(u), h(u))，则柱面的方程可以表示为：A(f(u)-x0)^2 + B(g(u)-y0)^2 + C(h(u)-z0)^2 = 0其中(u, v)为曲线上的点坐标，(x0, y0, z0)为柱面上的一点坐标。

5.结论根据以上推导，以曲线为准线，母线平行于x=y=z的柱面方程可以表示为柱面的方向向量与(1, 1, 1)成比例，且柱面方程中关于母线方向的项A、B、C相等，且大于0。

大学解析几何

大学解析几何(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--100100空间解析几何基本知识一、向量1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量12212121(,,)M M x x y y z z =---2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则（1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos ||||（2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。

4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ） 321321b b b a a a k j i b a →→→→→=⨯101101 5、（1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a二、平面1、平面的点法式方程已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→，则平面方程为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A注意：法向量为),,(C B A n =→垂直于平面2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→3、（1）平面过原点)0,0,0(⇔ 0=++Cz By Ax（2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）⇔法向量→n 垂直于x 轴0=++⇔D Cz By （如果0=D ，则平面过x 轴）平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）⇔法向量→n 垂直于y 轴0=++⇔D Cz Ax （如果0=D ，则平面过y 轴）平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）⇔法向量→n 垂直于z 轴0=++⇔D By Ax （如果0=D ，则平面过z 轴）（3）平面与xoy 面平行⇔法向量→n 垂直于xoy 面0=+⇔D Cz102102 平面与xoz 面平行⇔法向量→n 垂直于xoz 面0=+⇔D By平面与yoz 面平行⇔法向量→n 垂直于yoz 面0=+⇔D Ax注意：法向量的表示三、直线1、直线的对称式方程过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程302010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→和直线平行 2、直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线3、直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t v z z t v y y t v x x 3020104、（1）方向向量),,0(32v v v =→，直线垂直于x 轴（2）方向向量),0,(31v v v =→，直线垂直于y 轴（3）方向向量)0,,(21v v v =→，直线垂直于z 轴5、（1）方向向量),0,0(3v v =→，直线垂直于xoy 面（2）方向向量)0,,0(2v v =→，直线垂直于xoz 面（3）方向向量)0,0,(1v v =→，直线垂直于yoz 面应用一、柱面1031031、设柱面的准线方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x f z y x f ，母线的方向向量),,(321v v v v =→，求柱面方程方法：在准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为312111v z z v y y v x x -=-=- 又因为),,(111z y x M 在准线上，故0),,(1111=z y x f （1） 0),,(1112=z y x f （2）令 t v z z v y y v x x =-=-=-312111 （3）由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出t ，再把t 代入求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求柱面方程例1：柱面的准线为⎩⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x ，而母线的方向为{}1,0,1-=v ，求这柱面方程。

柱面的方程

C
z
M(x,y,z)
o
L
y

x
M1(x,y,0)
2.几种常见的柱面
1.椭圆柱面 2.双曲柱面 3.抛物柱面
x y 2 1 2 a b
x2 y2 2 1 2 a b
2
2
x 2 py
2
4.特殊的平面
Ax By C 0
1.椭圆柱面
-2 Y 0 2 -1
X 0 1
2
x y 2 1 2 a b
2 2 f ( x0 y0 , z 0 ) 0 (1)
o x
M(x,y,z),有
f ( x 2 y 2 , z ) 0 (2)
若点M(x,y,z)，则其坐标x,y,z不满足(2)式。故(2)式为此旋转曲面的方程。故对曲线C:f(y,z)=0：绕z轴旋转而成的曲面方程为
y2 z2 1, 9 4 x0
x2 z2 1, 16 4 y0
再用平行于xoy面的平面z = h (0 < ︱h︱< c )去截这个曲面，所得截痕的方程是
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
M ( x, y , z ) , 过点M的母线交准线于点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ), 则有
x x0 t y y0 t z z t 0
2 2 从而x 2 y 2 ( x0 y0 )t 2 R 2t 2 z0 t z2 2 2
f ( x 2 y 2 , z ) 0
曲线C绕y轴旋转而成的曲面方程为 f ( y, x 2 z 2 ) 0 类似地，可考虑其他的在某一坐标平面上的曲线绕相应的坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程。

柱面的方程

当h< 0时。(h=-3)截痕是双曲线。其实轴平行于 y 轴。
(2)用平面x = k 去截这曲面，截痕方程是
y 2 b2

k2 a2
z,

x k.
当k = 0时，截痕是yoz平面上顶点在原点的抛物线且张口朝下。
k≠0时，截痕都是张口朝下的抛物线，且抛物线的顶点随∣k∣增
x2 y2 z2 0
x y k z 2 2 22
x2 y2 kz
4
Y
2
0
-2
-4
6
Z4
2
0
-4
-2
0
X
2
4
旋转曲面
平面上曲线C绕该平面上一条定直线旋转形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线叫做旋转曲面的轴。
旋转曲面的方程
yoz面上曲线C:f(y,z)=0 绕定直线z轴旋转
面的方程就有所改变.若曲面的方程是F(x,y,z) = 0, 则方程
F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0的图形 ´与有相同的形状.有两种方法可得到方程F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的图形: 一种方法是在同一坐标架下, 将沿着向径 r = (x0 ,y0 ,z0) 方平移 r 距离而得到方程 F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的图形´；另一种方法是先在OXYZ坐标系下作出： F(x,y,z) = 0的图形，然后将坐标架平移，使移动后的坐标原点位于
2

z2 b2
1 绕z轴旋转而成的曲面
y 0
单叶旋转双曲面：
X
-1
Y
1
0
0

第三节曲面空间曲线的方程

根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32

x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？例4 方程
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2 特殊地：球心在原点时方程为 x y z R
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
例 3 已知 A(1,2,3) ，B( 2,1,4) ，求线段AB 的垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
f y,

x 2 z 2 0.

例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为的圆锥面方程． z
（1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；（2 ）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程，而曲面 S 就叫做方程的图形．
以下给出几例常见的曲面.
R 例 1 建立球心在点M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为的球面方程.

曲面与空间曲面的总结

曲面与空间曲线的总结曲面与空间曲线一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念：定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。

解：设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得此即所求点的规迹方程，为一平面方程。

2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程：①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。

例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。

4.母线平行于坐标轴的柱面方程：一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹称为柱面。

其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面的准线。

本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。

此时有以下结论：若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。

分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。

其几何意义为：无论z 取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。

几种常见柱面：x+y=a 平面；222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x 整理得 0631044=-++z y x 222ay x =+圆柱面椭圆柱面； 12222=+b y a x 12222=-b y a x 双曲柱面；py x 22=抛物柱面。

母线平行于x轴和y轴的柱面方程

母线平行于x轴和y轴的柱面方程
柱面是一种特殊的几何体，它是由一条直线（母线）沿着一条曲线（准线）移动而形成的。

当母线平行于x轴和y轴时，我们可以得到柱面的方程。

当母线平行于x轴时，柱面的方程为：
(x - a)² + z² = r²
其中，a是柱面的中心点在x轴上的坐标，r是柱面的半径，z是柱面上任意一点的高度。

当母线平行于y轴时，柱面的方程为：
(y - b)² + z² = r²
其中，b是柱面的中心点在y轴上的坐标，r是柱面的半径，z是柱面上任意一点的高度。

这两个方程描述了母线平行于x轴和y轴的柱面的形状。

它们都是二次方程，表示了柱面上所有点的坐标。

这些方程可以用来计算柱面的体积、表面积和其他几何特征。

母线平行于x轴和y轴的柱面在实际生活中有很多应用。

例如，它们可以用来描述建筑物、桥梁、水塔等的形状。

在工程学中，柱面也是一个重要的概念，它可以用来描述管道、轴承、机械零件等的
形状。

母线平行于x轴和y轴的柱面方程是一个重要的数学概念，它可以用来描述许多实际问题的形状和特征。

通过学习这些方程，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。