江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式(教师版)
2014高考数学一轮特级教师整理《不等式证明》典型例题解析十六含解析
学必求其心得，业必贵于专精
典型例题十六
例16 已知
x 是不等于1的正数,n 是正整数,求证
n n n n x x x ⋅>+++12)1)(1(． 分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式．
证明：∵x 是不等于1的正数, ∴02
1>>+x x ， ∴n n n x x 2)
1(>+． ① 又0
21>>+n n x x ． ② 将式①，②两边分别相乘得
n n n n n x x x x ⋅⋅>++22)1)(1(,
∴n n n n x x x ⋅>+++12)1)(1(．
说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利．由特点选方法是解题的关键，这里因为1≠x ，所以等号不成立，又因为①，②两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果．这也是今后解题中要注意的问题．。
江苏省一轮复习数学试题选编：不等式选讲教师 含答案
江苏省2014届一轮复习数学试题选编34：不等式选讲一、解答题 1 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知,,a b c 为正数,且满足22cos sin a b c θθ+<,求证:22cos sin a b c θθ+<.【答案】D.由柯西不等式,得 22cos sin a b θθ+11222222[(cos )(sin )](cos sin )a b θθθθ++≤ 1222(cos sin )a b c θθ=+<2 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—5:不等式选讲已知a ,b 都是正实数,且a +b =2,求证:a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=a 2a ＋1+b 2b ＋1-1=a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)=a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)因边a +b =2,所以左边-右边=1－ab(a ＋1)(b ＋1)因为a ,b 都是正实数,所以ab ≤(a ＋b )24=1所以,左边-右边≥0,即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1方法二:由柯西不等式,得 (a 2a ＋1+b 2b ＋1)[(a ＋1)2+(b ＋1)2]≥(a +b )2因为a +b =2,所以上式即为(a 2a ＋1+b 2b ＋1)×4≥4.即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥13 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知|x+1|+|x-l|<4的解集为M,若a,b∈M,证明:2|a+b |<|4+ab|.【答案】4 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,c 都是正数,且236a b c ++=,求12131a b c +++++的最大值.【答案】5 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．【答案】【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ++++++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．………10分 6 ．（2011年高考（江苏卷））解不等式:|21| 3.x x +-<【答案】【命题立意】本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类谈论、运算求解能力.【解析】原不等式可化为210(21)3x x x -≥⎧⎨+-<⎩;或210(21)3x x x -<⎧⎨--<⎩,解得1412232x x ≤<<<或-.所以原不等式的解集是4{|2}3x x -<<. 7 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab≥4.【答案】D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab ≥4.证明:因为a ,b 是正数,所以a 2+4b 2≥4ab所以a 2+4b 2+1—ab ≥4ab +1—ab ≥24ab ×1—ab=4.即a 2+4b 2+1—ab≥48 ．（2012年江苏理）已知实数x,y 满足:11|||2|36x y x y +<-<，，求证:5||18y <. 【答案】证明:∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-,由题设11|||2|36x y x y +<-<，，∴1153||=366y <+.∴5||18y <. 9 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知0,0,a b >>且21a b +=,求224S a b =--的最大值.【答案】解:0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-,且12a b =+≥,≤,18ab ≤,∴224S a b =--(14)ab =--41ab =-≤,当且仅当11,42a b ==时,等号成立10．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲设正数a ,b ,c 满足1a b c ++=,求111323232a b c +++++的最小值.【答案】【解】因为a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=,所以(32)(32)(32)9a b c +++++=.于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥,当且仅当13a b c ===时,等号成立即1111323232a b c +++++≥,故111323232a b c +++++的最小值为1 11．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—5 :不等式选讲]已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【答案】由柯西不等式,2222222()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤,因为2x y z =++,所以222242311x y z ++≥, 当且仅当23123x y z ==,即6412,,111111x y z ===时,等号成立, 所以22223x y z ++的最小值为241112．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,x ,y 都是正数,且1a b +=,求证:()()ax by bx ay xy ++≥.【答案】13．（2013江苏高考数学）D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-【答案】本题主要考察利用比较法证明不等式,考察推理论证能力.证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a())(22222b a b b a a ---())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a , ∴0)2)()((≥--+b a b a b a ∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥-14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—5:不等式选讲)设函数()12f x x x a =++-+.(1)当5a =-时,求函数()f x 的定义域;(2)若函数()f x 的定义域为R,试求a 的取值范围.【答案】解:(1)由题设知:1250x x ++--≥,如图,在同一坐标系中作出函数12y x x =++-y=5y=x+1+x-2O yx 4321-3-2-15321和5y =的图象(如图所示), 知定义域为(][),23,-∞-+∞(2)由题设知,当x R ∈时,恒有120x x a ++-+≥,即12x x a ++-≥- 由(1)123x x ++-≥,∴ 3,3a a -≤∴≥- [必做题]15．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）D.选修4—5(不等式选讲)已知实数,,x y z 满足2x y z ++=,求22223x y z ++的最小值;【答案】D.选修4—5(不等式选讲)解:由柯西不等式可知:2222222()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤故222242311x y z ++≥,当且仅当2311123x y z==,即:6412,,111111x y z ===22223x y z ++取得最小值为241116．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】D.解:∵(x +2y +2z )2(12+22+22)(x 2+y 2+z 2)=9,当且仅当x 1=y 2=z2时取等号,|a -1|3,解得a4,或a-217．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数()|3|||f x x x a =++-(0a >).(Ⅰ)当4a =时,已知()7f x =,求x 的取值范围;(Ⅱ)若()6f x ≥的解集为{|4x x ≤-或2}x ≥,求a 的值.【答案】18．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—5:不等式选讲解不等式x |x -4|-3<0.【答案】选修4—5:不等式选讲解 原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2－ 7＜x ＜2＋ 7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3． 即4≤x <2+7或3<x <4或x <1.综上,原不等式的解集为{x | x <1或3<x <2+7}19．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知,,x y z ∈R ,且234x y z --=,求222x y z ++的最小值.【答案】由柯西不等式,得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤,即2222(23)14()x y z x y z --++≤, 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥,即222x y z ++的最小值为8720．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-5:不等式选讲)若⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,21x ,证明2332321<-++++x x x 【答案】证明:由柯西不等式可得()()()()()2181232311112131231x x x x x x =++++-++≥+⋅++⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦7分 又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以1232332x x x ++++-< 21．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知常数a 满足11a -<<,解关于x 的不等式:11ax x ++≤.【答案】22．（2009高考(江苏)）设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +.【答案】[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。
江苏省2014届高考数学一轮复习 试题选编26 二项式定理 苏教版
江苏省2014届一轮复习数学试题选编26：二项式定理（教师版）填空题1 ．二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】 答案 10 解析T r +1=C r 5x 5-r yr(r =0,1,2,3,4,5),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2r ＝3,∴含x 2y 3的系数为C 35=5×4×33×2×1=10.2 ． (6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) 【答案】-160【解析】(6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.3 ．(2012年高考(上海文))在6)1(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ .【答案】 [解析] 展开式通项r r r r r r r r x C x x C T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3, 故常数项为2036-=-C .4 ．(2013上海高考数学(文))设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10,则a =_______.【答案】 2- 解:2515()(),2(5)71r rr r aT C x r r r x-+=--=⇒=, 故15102C a a =-⇒=-.5 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））若1223211333385n n n n n n n C C C C ---++++=,则n=_________________【答案】4 6 ．若2013220130122013(21)x a a x a x a x -=++++,则201312022013222a a a a ++++=________. 【答案】 0 提示:在2013220130122013(21)x a a x a x a x -=++++中,令201312022013102222a a a x a =⇒=++++7 ．(2012年高考(陕西理))5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________.【答案】解析:5()a x +展开式中第k 项为555kk k k T C a x ,令2k ,2x 的系数为23510C a ,解得1a .8 ．(2013上海高考数学(理))设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =【答案】 解:2515()(),2(5)71rrr r a T C x r r r x-+=--=⇒=,故15102C a a =-⇒=-. 9 ．若52345012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则012345a a a a a a +++++=___.【答案】 1 10． 81()2x x+的展开式中2x 的系数为____. 【答案】 答案7【命题意图】本试题主要考查了二项式定理展开式通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助通项公式,得到项的系数.【解析】根据已知条件可得81()2x x +展开式的通项公式为88218811()()22r r r r r r r T C x C x x --+==,令8223r r -=⇒=,故所求2x 的系数为3381()72C =.11．(2012年高考(大纲理))若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x的系数为___________.【答案】答案56【解析】根据已知条件可知26268n n C C n =⇔=+=,所以81()x x+的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔= 所以所求系数为5856C =.12．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111111111,,1222363412=+=+=+…，则第(3)n n ≥行第3个数字是 ▲ ．【答案】答：2(1)(2)n n n ⨯-⨯-，13．(2010年上海春季高考数学试题详细解答、评分标准与简析)在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中,常数项是___________.【答案】【解】60.由通项公式()6626123166C 2C 2rr rr r r rr T x x x-----+==,令1230r -=,所以4r =. 所以常数项是4256C 260T =⋅=.14．(2013浙江高考数学(理))设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________. 【答案】 10- 解:由15153232155()(1)r r rrrrrr T C x xC x ----+=-=-,由已知得到:50323r r r --=∴=,所以335(1)10A C =-=-,所以填-10; 15．(宁夏银川一中2012届高三数学第三次模拟考试+理(98))若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则123452345a a a a a ++++等于_________.【答案】 10解答题16．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知数列{}n a 是等差数列,且123,,a a a 是1(1)2m x +展开式的前三项的系数.(Ⅰ)求1(1)2mx +展开式的中间项; (Ⅱ)当2n ≥时,试比较2121111n n n n a a a a ++++++与13的大小.【答案】解:(Ⅰ)122111(1)1()()222m m m x C x C x +=+++依题意11a =,212a m =,3(1)8m m a -=,由2132a a a =+可得1m =(舍去),或8m = 所以1(1)2m x +展开式的中间项是第五项为:44458135()28T C x x ==; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,32n a n =-, 当2n =时,212234111111111169147101403n n n n a a a a a a a ++++++=++=++=>当3n =时,212345911111111n n n n a a a a a a a a ++++++=++++11111117101316192225=++++++1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++> 猜测:当2n ≥时,2121111n n n n a a a a ++++++13> 以下用数学归纳法加以证明: ①3n =时,结论成立, ②设当n k =时,212111113k k k k a a a a ++++++>, 则1n k =+时,2(1)(1)1(1)2(1)1111k k k k a a a a ++++++++++21)(1)1(1)211111()k k k k k a a a a a +++++=+++++22212(1)1111()kk k k a a a a +++++++-22212(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++-- 由3k ≥可知,23730k k --> 即2(1)(1)1(1)2(1)111113k k k k a a a a ++++++++++> 综合①②可得,当2n ≥时,212111113n n n n a a a a ++++++> 17．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知2*012(1)(1)(1)(1)()n n n x a a x a x a x n =---∈+++++N .⑴求0a 及1nn i i S a ==∑;⑵试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小,并说明理由.【答案】⑴令1x =,则02na =,令2x =,则03nni i a ==∑,所以132nn n n i i S a ===-∑⑵要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小,只要比较3n 与2(1)22n n n -+的大小. 当1n =时,23(1)22n n n n >-+;当2n =或3时,23(1)22n n n n <-+,当4n =或5时,23(1)22n n n n >-+,猜想:当4n ≥时,23(1)22n n n n >-+.下面用数学归纳法证明: ①由上述过程可知,当4n =时,结论成立②假设当*(4,)n k k k =∈N ≥时结论成立,即23(1)22k k k k >-+,两边同乘以3,得1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k >-=---+++++++, 而22(3)2442(3)24(2)6k k k k k k k k ---=---+++(3)24(2)(1)60k k k k =-->+++,所以1123[(1)1]22(1)k k k k >-+++++, 即1n k =+时结论也成立.由①②可知,当4n ≥时,23(1)22n n n n >-+成立综上所述,当1n =时,23(1)22n n n n >-+;当2n =或3时,23(1)22n n n n <-+; 当4n ≥时,23(1)22n n n n >-+18．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）【必做题】本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n rn n n n n n n n f x x x x x x------=-+-+-++-,n *∈N . ⑴当2n ≥时,求函数()f x 的极大值和极小值;⑵是否存在等差数列{}n a ,使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立?并说明理由.【答案】(1)101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --, 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+,令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-, 因为2n ≥,所以123x x x << 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表:x(,0)-∞1(0,)21n n -- 121n n --1(,1)21n n -- 1(1,)+∞()f x '++-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时,121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大;当1x =时,0y =极小 当n 为奇数时()f x 的增减性如下表:所以0x =时,0y =极大;当121n x n -=-时,121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小 (2)假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立, 由组合数的性质C C m n m n n-=, 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅, 两式相加,因为{}n a 是等差数列,所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+,故0111()(C C C )2nn n n n n a a n +++++=⋅,所以11n a a n ++=再分别令12n n ==，,得121a a +=且132a a +=,进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N19．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）已知n x x f )2()(+=, 其中*N n ∈.(1)若展开式中含3x 项的系数为14, 求n 的值;(2)当3=x 时, 求证:)(x f*)s N ∈的形式.【答案】解: (1)因为28812r rr r xC T -+=,所以6=r ,故3x 项的系数为14266=⋅-n n C ,解得7=nx (,0)-∞ 0 1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1(1,)+∞ ()f x '+-++()f x极大值极小值无极值(2)由二项式定理可知,()()()()01201122(23)23232323nnnn n n nnnnC C C C --+=++++,设22(23)33n x y x y +=+=+,而若有(23)na b +=+,,a b N *∈, 则(23)na b -=-,,a b N *∈ ∵()()(23)(23)1n n a b a b +⋅-=+⋅-=, ∴令,a s s N *=∈,则必有1b s =-∴(23)n +必可表示成1s s +-的形式,其中s N *∈注:用数学归纳法证明的,证明正确的也给相应的分数.20．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知1()()nkf x x x =+,且正整数n 满足26,{0,1,2,}.n n C C A n ==(1)求n;(2)若,,i j A ∈是否存在,,.,i jn n j i j C C j ≥≤当时恒成立若存在求出最小的,若不存在,试说明理由:(3),()6,k A f x ∈若的展开式有且只有个无理项求k. 【答案】。
2014年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲_有答案
2014年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲一、填空题1若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(],8-∞2已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.【答案】23(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,44设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=则x y z ++=_______.二、解答题 1选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】2选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.【答案】3不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为34 D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a --- ())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,∴0)2)()((≥--+b a b a b a∴0222233≥---b a ab b a∴b a ab b a 223322-≥-5 选修4—5:不等式选讲已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,43].6 在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.【答案】解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.。
2014届高考数学一轮复习方案 第36讲 均值不等式课时作业 新人教B版
课时作业(三十六) [第36讲 均值不等式](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 函数y ＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，－2]B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ． (－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4，4]3．[2012·济南外国语学校质检] 已知x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2 2B ．2C ．4D ．4 24．已知a >0，b >0，且a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 能力提升5．[2012·锦州月考] 已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．46．[2012·郑州预测] 若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为( )A ．12B ．2 3C ．3 2D ．67．[2012·黄冈中学调研] 已知二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a 且a >b ，则a 2＋b 2a －b的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 28．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)9．[2012·浙江卷] 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．610．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．11．[2012·天津一中月考] 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．12．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．13．[2012·武汉部分重点中学联考] 一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________ h(不计货车的车身长)．14．(10分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.15．(13分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y，并指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取最小值时x的值．难点突破16．(12分)如图K36－1，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上， E在AC上．(1)设AD＝x(x≥1)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予以证明．图K36－1课时作业(三十六)【基础热身】1．A [解析] ∵x <0，∴－x >0，∴y ＝x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2.故选A. 2．A [解析] M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，当a >0时，M ≥4，当a <0时， M ≤－4.3．C [解析] 1x ＋13y ＝x ＋3y x ＋x ＋3y 3y ＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ·x 3y ＝4.当且仅当3yx＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时等号成立，故选C. 4．B [解析] 因为a >0，b >0，所以a ＋2b ≥22ab ，则ab ＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≥22，即ab ≥8.故选B.【能力提升】5．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x 2＋y 2＋2xyxy≥2xy ＋2xy xy＝4.故选D.6．D [解析] 依题意得知4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y＝232x ＋y＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6，选D.7．D [解析] 由已知得函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的图象与x 轴只有一个公共点，且a >0，所以22－4ab ＝0，即ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b≥2 2.故选D.8．D [解析] 因为x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy ＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4y x ＝x y ，2x ＋1y ＝1即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时等号成立，由此可得(x ＋2y )min ＝8.依题意，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.故选D.9．C [解析] 由x >0，y >0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立． 10．4 [解析] 依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝6，∴x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值是4.11．18 [解析] 由已知等式，运用基本不等式，可得xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，整理得(xy )2－22xy －6≥0，解得xy ≤－2(舍去)或xy ≥32，所以xy ≥18，即xy 的最小值为18.12．－4 [解析] 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋ab＋2≥4(a＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－（a ＋b ）2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.13．8 [解析] 依题意，设全部货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2400v ·16v400＝216＝8.故填8. 14．解：(1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4， 故x 2＋y 2的取值范围为[0，4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2. 15．解：(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2， 故a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y， 当且仅当a 2yx＝b 2x y ，即a x ＝b y时上式取等号．(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥（2＋3）22x ＋（1－2x ）＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25. 【难点突破】16．解：(1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE .① 又S △ADE ＝12S △ABC ⇒32＝12x ·AE ·sin60°⇒x ·AE ＝2.②将②代入①得y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2(y ＞0)， ∴y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)如果DE 是水管，y ＝x 2＋4x2－2≥2·2－2＝2，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时“＝”号成立，故DE ∥BC ，且DE ＝ 2.如果DE 是参观线路，记f (x )＝x 2＋4x2，可知函数f (x )在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增， 故f (x )max ＝f (1)＝f (2)＝5，∴y max ＝5－2＝ 3. 即DE 为AB 边中线或AC 边中线时，DE 最长．。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第13章 学案76
学案76不等式选讲(三）算术-几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标：1.理解二元柯西不等式的几种不同形式。
2.掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式.3。
会用两个或三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值．自主梳理1．算术——几何平均不等式（1)如果a,b>0，那么____________,当且仅当a＝b时，等号成立．（2)如果a,b，c>0，那么________________,当且仅当a＝b＝c 时，等号成立．(3)对于n个正数a1,a2，…，a n，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即错误!≥错误!，当且仅当__________________时等号成立．2．柯西不等式（1）二维形式：若a,b，c,d都是实数,则（a2＋b2）(c2＋d2）≥____________,当且仅当__________时，等号成立．(2)向量形式：设α、β是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当α，β共线时等号成立．3．三角形不等式设x1,y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么错误!＋错误!≥错误!。
自我检测1．若x,y∈（0,＋∞），且x＋y＝s，xy＝p,则下列命题中正确的序号是________．①当且仅当x＝y时,s有最小值2错误!；②当且仅当x＝y时,p有最大值错误!；③当且仅当p为定值时,s有最小值2错误!;④若s为定值,则当且仅当x＝y时，p有最大值错误!。
2．若x,y∈R，且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是________．3．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋错误!）(错误!＋4y2)的最小值为________．4．函数y＝3＋3x＋1x（x〈0)的最大值为________．5．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围为______________．探究点一利用柯西不等式求最值例1已知x,y，a，b∈R＋，且错误!＋错误!＝1,求x＋y的最小值．变式迁移1 若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．探究点二利用算术—几何平均不等式求最值例2如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图(2）)．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．变式迁移2 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图），设容器高为h米，盖子边长为a米．(1）求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．（求解本题时，不计容器厚度)．探究点三不等式的证明例3(1）已知a、b、c为正数，且满足a cos2θ＋b sin2θ<c.求证:错误! cos2θ＋b sin2θ〈错误!。
高考数学一轮复习 不等式【题库】7.2 均值不等式
7.2 均值不等式一、选择题1.设a ＞0，b ＞0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b解析 ∵(a ＋b )(1a ＋1b )≥2ab ·21ab＝4.∴A 成立；∵a 2＋b 2＋2－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0， ∴C 成立；对于D ，如果a ＜b ，显然成立， 如果a ＞b ，则|a －b |≥a －b ⇔a －b ≥a －2ab ＋b ⇔2b (b －a )≤0，而2b (b －a )≤0成立，故D 也成立．所以选B.也可取特殊值，如a ＝1100，b ＝110，易验证B 不成立． 答案 B2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )． A.13B.12C.34D.23解析 ∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案 B3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )． A ．4B ．8C ．16D ．32解析 设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16＞x ＞0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x 42≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋16－x 422＝8，当且仅当x 4＝16－x 4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8. 答案 B4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由均值不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，所以ab ≤14，故B 错；1a＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由均值不等式得a ＋b2≤ a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．答案 C5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )．A.72B ．4C.92D ．5解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4ab a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案 C6．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd 的最小值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．4解析 由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则a ＋b2cd ＝x ＋y 2xy≥2xy2xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．答案 D7．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )．A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解析 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a 2b ，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号． 答案 C 二、填空题8．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2x －1·4x －1＋1＝5， 等号当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时成立． 答案 59．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n的最小值为4.答案 410．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1， 即xy ＝(x ＋y )2－1≤x ＋y 24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233. 答案23311． x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案 912．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍． 假设P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，2x 0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号． 答案 4 三、解答题 13.(1)求函数y ＝x ＋12x(x ＜0)的最大值； (2)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值； (3)求函数y ＝x (a －2x )(x ＞0，a 为大于2x 的常数)的最大值．分析 将函数式先合理变形，再使用算术平均数与几何平均数定理求函数最值．解析 (1)∵x ＜0，∴y ＝x ＋12x ＝－[(－x )＋1－2x]≤－2－x·1－2x＝－2(当且仅当x ＝－22时，取“＝”号) ∴y max ＝－ 2. (2)∵x ＞3，∴y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3≥5(当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，取“＝”号)．∴y min ＝5.(3)∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12·2x ·(a －2x )≤12·[2x ＋a －2x2]2＝a 28(当且仅当x ＝a4时，取“＝”)．∴y max ＝a 28.14．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)； (2)∵x ＞0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440(元)，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．15．已知a ，b ＞0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b . 证明 ∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·ba 2＝2 1ab＞0，a ＋b ≥2ab ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋b a 2(a ＋b )≥21ab·2ab ＝4.∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b.当且仅当⎩⎨⎧a b 2＝b a 2，a ＝b取等号，即a ＝b 时，不等式等号成立．16．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 解析 (1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6 ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3， 即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)． (2)由S ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3， 得S ≤1 832－210 800x·16x3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)． 当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．。
高考数学大一轮复习14.4不等式选讲教师用书理苏教版【含答案】
§14.4不等式选讲1．两个实数大小关系的基本事实a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)乘方：如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n>1)．(6)开方：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，n>1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)性质2：|a|－|b|≤|a＋b|.性质3：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0 |x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 5．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．也可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 7．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法由a >b >0⇔ab >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．1．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集为__________． 答案 {x |－1<x <1}解析 方法一 原不等式即为|2x －1|<|x －2|， ∴4x 2－4x ＋1<x 2－4x ＋4，∴3x 2<3，∴－1<x <1. 方法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1－x －，或②⎩⎪⎨⎪⎧12<x <2，2x －1＋x －或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－x －＋x －不等式组①无解，由②得12<x <1，由③得－1<x ≤12.综上得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 2．不等式1<|x ＋1|<3的解集为________．答案 (－4，－2)∪(0,2)3．(2013·福建改编)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .则a 的值为________． 答案 1解析 因为32∈A ，且12∉A ，所以|32－2|<a ，且|12－2|≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.4．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______． 答案 [－1，12]解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].题型一 含绝对值的不等式的解法 例1 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)(2014·广东)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．(2)(2014·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{x |－53<x <13}，则a ＝________.答案 (1){x |x ≤－3或x ≥2} (2)－3解析 (1)方法一 要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．方法二 |x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为{x |－53<x <13}，故a ＝－3.题型二 柯西不等式的应用 例2 已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27. 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)∵6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，∴x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求证：1≤a ≤2.证明 由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2)·(12＋13＋16)≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2， 由已知可得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，b ＋c ＋d ＝3－a ，∴5－a 2≥(3－a )2，即1≤a ≤2. 当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16， 即2b ＝3c ＝6d 时等号成立． 题型三 不等式的证明方法例3 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)＝b ＋ca ＋c a ＋babc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2.又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．(1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3. 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y2≥33x －y21x －y2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为a ，b ，c >0，所以要证a ＋b ＋c ≥3， 只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立．所以原不等式成立．绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.思维点拨 本题不等式为|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法． 规范解答解 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .[4分]∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都大于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.[8分]所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[10分] 方法二 当x ≤－1时，原不等式可化为 －(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32.[3分]当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．[6分]当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.[9分]综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.[10分] 方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1；－1，－1<x <1；2x －3，x ≥1.[3分]作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，[8分]即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[10分]温馨提醒 这三种方法是解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c 型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.方法与技巧1．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．3．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式． 失误与防范1．理解绝对值不等式的几何意义．2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．3．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．4．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A 组 专项基础训练 (时间：50分钟)1．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，求集合A ∩B .解 |x ＋3|＋|x －4|≤9， 当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9， 即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9， 即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t－6＝－2，当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}， ∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．2．(2014·江苏)已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .3．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明 假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.4．(2013·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a2b ＋b2c ＋c2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.5．设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解 (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .6．(2014·辽宁)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ∈[1，＋，1－x ，x －∞，当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}．(2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16(x －14)2≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝{x |－14≤x ≤34}，故M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}．当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x [f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－(x －12)2≤14.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．若n ∈N *，S n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋，求证：n n ＋2<S n <n ＋22.证明 ∵n (n ＋1)>n 2，∴S n >1＋2＋…＋n ＝n n ＋2. 又∵n n ＋<n ＋n ＋12＝2n ＋12＝n ＋12，∴S n <(1＋12)＋(2＋12)＋…＋(n ＋12) ＝n n ＋2＋n 2 ＝n 2＋2n 2<n ＋22. ∴n n ＋2<S n <n ＋22.2．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0， 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a|当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 3．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1,2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1,2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.(1)解当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1,2,3}，可得A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1,2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)·q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝q－－q n－11－q－q n－1＝－1<0. 所以s<t.4．设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥2 3.证明因为a，b，c是正实数，由算术—几何平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc＝23，当且仅当a＝b＝c且abc＝3时，取等号．所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥2 3.。
(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)
基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。
【创新设计】2014届高考数学(理)江苏专用一轮复习限时规范作业第十五章第6讲不等式的证明
第6讲 不等式的证明分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 证明 法一 构造两组数：a ，b ，c ；1a ，1b ，1c .因此根据柯西不等式有[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ×1a ＋b ×1b ＋c ×1c 2. 即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32＝9.(当且仅当a 1a ＝b 1b ＝c1c ，即a ＝b ＝c 时取等号)．又a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ≥9.法二 ∵a ，b ，c 均为正数，∴1＝a ＋b ＋c ≥33abc . 又1a ＋1b ＋1c ≥331abc ＝33abc ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ·1≥313abc ·33abc ＝9. 即1a ＋1b ＋1c ≥9.2．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．解 ∵(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，当且仅当x ＝3y ＝9z 时，等号成立．∴(3x ＋2y ＋z )2≤12， 即－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3.当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时， 3x ＋2y ＋z ＝－23，∴最小值为－2 3.3．(2012·常州一中期中)设正实数a 、b 满足a 2＋ab －1＋b －2＝3，求证：a ＋b －1≤2. 证明 由a 2＋ab －1＋b －2＝3，得ab －1＝(a ＋b －1)2－3， 又正实数a 、b 满足a ＋b －1≥2ab －1，即ab －1≤(a ＋b －1)24，当且仅当a ＝b 时取“＝”．∴(a ＋b －1)2－3≤(a ＋b －1)24，∴a ＋b －1≤2.4．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N *)，求证：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.证明 ∵n (n ＋1)＝n 2＋n ，∴n (n ＋1)>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)>1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∵n (n ＋1)<n ＋(n ＋1)2，∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n (n ＋2)2. 综上得：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.5．(2012·宁波模拟)已知x ，y ，z 均为正数． 求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . 证明 因为x 、y 、z 均为正数． 所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z ，同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .6．(2011·徐州二模)已知a 、b 都是正实数，且ab ＝2.求证：(1＋2a )(1＋b )≥9. 证明 法一 因为a 、b 都是正实数，且ab ＝2， 所以2a ＋b ≥22ab ＝4.所以(1＋2a )(1＋b )＝1＋2a ＋b ＋2ab ≥9. 法二 因为a 、b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a )(1＋b )＝[12＋(2a )2][12＋(b )2]≥(1＋2ab )2. 又ab ＝2，所以(1＋2ab )2＝9.所以(1＋2a )(1＋b )≥9. 法三 因为ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋2a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .因为a 为正实数，所以a ＋1a ≥2 a ·1a ＝2.所以(1＋2a )(1＋b )≥9.法四 因为a 、b 都是正实数，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋a ＋a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＋b 2≥3·3a 2·3·3b 24＝9·3a 2b 24. 又ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )≥9.分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·苏锡常镇调研)设实数x 、y 、z 满足x ＋2y －3z ＝7，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．证明 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)·[12＋22＋(－3)2]≥(x ＋2y －3z )2. ∵x ＋2y －3z ＝7，∴x 2＋y 2＋z 2≥72.当且仅当x ＝y 2＝z－3时取等号，即x ＝12，y ＝1，z ＝－32时取等号．∴x 2＋y 2＋z 2的最小值为72.2．(2011·苏锡常镇调研)已知m 、n 是正数，证明：m 3n ＋n 3m ≥m 2＋n 2.证明 ∵m 3n ＋n 3m －m 2－n 2＝m 3－n 3n ＋n 3－m 3m＝(m 3－n 3)(m －n )mn ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)mn ，∵m 、n 均为正实数，∴(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)mn ≥0，∴m 3n ＋n 3m ≥m 2＋n 2.当且仅当m ＝n 时，等号成立．3．(2012·苏中三市调研，21)已知a 、b 、c 满足abc ＝1，求证：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)≥27.证明 (a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．4．(2012·南京、盐城调研一，21)已知x 、y 、z 均为正数，求证：33⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≤1x 2＋1y 2＋1z 2.证明 由柯西不等式，得(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋1z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z 2.即3×1x 2＋1y 2＋1z 2≥1x ＋1y ＋1z .∴33⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≤1x 2＋1y 2＋1z 2.当且仅当1x ＝1y ＝1z 时等号成立． 5．已知a ，b 为实数，且a >0，b >0. (1)求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9； (2)求(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2的最小值． (1)证明 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a ＝33b >0， ①同理可证：a 2＋1b ＋1a 2≥331b >0.②由①②及不等式的性质得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2＝33b ×331b ＝9. (2)解 [(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2][12＋12＋22] ≥[(5－2a )×1＋2b ×1＋(a －b )×2]2. 所以(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2≥256.当且仅当5－2a 1＝2b 1＝a －b 2时取等号，即a ＝2512，b ＝512. 所以当a ＝2512，b ＝512时，(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2取最小值256. 6．(2013·福建毕业班质检)已知a ，b 为正实数． (1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x (0<x <1)的最小值．(1)证明 法一 ∵a >0，b >0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b3a≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 法二 ∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)ab ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b . (2)解 ∵0<x <1，∴1－x >0，由(1)的结论，函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x ≥(1－x )＋x ＝1.当且仅当1－x ＝x ，即x ＝12时等号成立．∴函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x(0<x <1)的最小值为1.。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式填空题1 ．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____m .【答案】14000 m .2 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为____.【答案】 3 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知a ,b ,c 是正实数,且abc +a +c =b ,设222223111p a b c =-++++,则p 的最大值为________. 【答案】1034 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,,01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立,则实数a 的取值范围是_____.【答案】37(,]6-∞ 5 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知x >1,则21x x +-的最小值为_________.【答案】16 ．（2010年高考（江苏））将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S 的最小值是______________【答案】37 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则11a c c a+++的最小值为_____. 【答案】48 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,则19()x y x y y z++++的最小值为________________. 【答案】79 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数()|lg |f x x =,0a b >>,()()f a f b =,则22a b a b+-的最小值等于_________.【答案】10．（2013江苏高考数学）在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】解析:本题主要考察二次函数的值域等基础知识,以及设元.换元法.分类讨论等数学思想方法.设点)1,(x x P (0>x ),则222222)1(2)1()1()(a x x a xx a x a x d ++-+=-+-=设t x x =+1(2≥t ),则21222-=+t xx 2)(22-+-=a a t d ,设2)()(22-+-=a a t t f (2≥t )对称轴为a t = 分两种情况:(1)2≤a 时,)(t f 在区间[)+∞,2上是单调增函数,故2=t 时,)(t f 取最小值 ∴222)2(22min =-+-=a a d ,∴0322=--a a ,∴1-=a (3=a 舍)(2)a >2时,∵)(t f 在区间[]a ,2上是单调减,在区间[)+∞,a 上是单调增, ∴a t =时,)(t f 取最小值 ∴222)(22min =-+-=a a a d ,∴10=a (10-=a 舍)综上所述,1-=a 或1011．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为_______.【答案】3212．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）设,x y 是正实数,且1x y +=,则2221x y x y +++的最小值是____.【答案】14解:设2x s +=,1y t +=,则4s t +=,所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t--+=-++-+ 4141()()6()2s t s t s t =+++-=+-.因为41141149()()(5)444t s s t s t s t s t +=++=++≥所以221214x y x y +≥++. 13．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知正数x,y 满足2x+y-2 =0,则2x yxy+的最小值为___________________.【答案】9214．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于,M N两点,则线段MN 长的最小值是________【答案】【命题立意】本题考查了函数的图像、直线的方程、基本不等式等基础知识,重在考查学生分析问题和解决问题的能力4．【解析】设过原点与f(x)相交的直线方程为(0)y kx k =>,该直线与函数xx f 2)(=的交点坐标为和(,则线段PQ的长4PQ =≥,当且仅当22k k=即1k =时上式取等号.15．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）常数,a b 和正变量,x y 满足16a b ⋅=,x a +2b y =12,若2x y +的最小值为64,则ba =________.【答案】6416．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知x ,y 为正数,则22x yx y x y+++的最大值为______. 【答案】32.本题可以进一步推广为:是否存在实数k ,使得2222x y x yk x y x y x y x y+≤≤+++++当 0xy >时恒成立?17．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,+∞),则1a +9c的最小值是________.【答案】3 解答题18．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为36平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)要最小.(1)求外周长的最小值,并求外周长最小时防洪堤高h 为多少米? (2)如防洪堤的高限制在]32,3[的范围内,外周长最小为多少米?【答案】19．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）如图,某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD内种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为800平方米. (1)设试验田ABCD 的面积为S ,x AB =,求函数)(x f S =的解析式; (2)求试验田ABCD 占地面积的最小值.【答案】解:(1)设ABCD 的长与宽分别为x 和y ,则800)2)(4(=--y x42792-+=x xy试验田ABCD 的面积==xy S 4)2792(-+x xx(2令t x =-4,0>t ,则32002808S t t=++,968≥当且仅当tt 32002=时,40=t ,即44=x ,此时,22=y答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时,占地面积最小为968米220．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块(如图),长、宽分别是x 米、y 米,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路,大棚所占地面积为S 平方米,其中a ∶b =1∶2. (1)试用x ,y 表示S ;(2)若要使S 最大,则x ,y 的值各为多少?【答案】解:(1)由题意可得:1800xy =,2b a =则333y a b a =++=+38(2)(3)(38)(38)1808333y yS x a x b x a x x -=-+-=-=-=--8818001600180831808318083()33y S x x x x x =--=--⋅=-+1808318082401568-⨯=-=≤ 当且仅当1600x x =,即 40x =时取等号, S 取得最大值.此时 180045y x== 所以当40x =,45y =时,S 取得最大值。
2014届高考数学(苏教版)一轮复习题及详解第15章选考部分选修4-5不等式选讲
70 不等式选讲1．(2013江苏南京学情调研)解不等式：|2x －1|＋3x ＞1.2．(2013江苏南京高三质检)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若对任意x ∈ (－∞，0]，f (x )≤ax ＋b 恒成立，求a －b 的最大值．3．已知函数f (x )＝|x －2a |，不等式f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤6}．(1)求实数a 的值；(2)若存在x ∈R ，使不等式f (x )＋f (x ＋2)＜m 成立，求实数m 的取值范围．4．(2012江苏盐城二模)设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m .求证：1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥92m. 5．(2013江苏苏北四市二模)对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －2b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围．参考答案1．解：不等式|2x －1|＋3x ＞1可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，2x －1＋3x >1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，－2x ＋1＋3x >1， 解得x ≥12或0＜x ＜12， 所以不等式的解集为{x |x ＞0}．2．解：(1)由于 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x ≤12，3x ，x >12，则函数y ＝f (x )的图象如图所示．(2)结合函数图象，比较直线y ＝ax ＋b 与y ＝－3x 的斜率及y ＝2－x 在y 轴上的截距，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－3，b ≥2时，不等式f (x )≤ax ＋b 在(－∞，0]上恒成立， ∴a －b ≤－5，即a －b 的最大值为－5.3．解：(1)由f (x )≤4得|x －2a |≤4，解得2a －4≤x ≤2a ＋4，又已知不等式f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤6}，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －4＝－2，2a ＋4＝6，解得a ＝1. (2)由(1)可知，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋2)，即g (x )＝|x －2|＋|x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x <0，2，0≤x ≤2，2x －2，x >2.当x ＜0时，g (x )＞2；当0≤x ≤2时，g (x )＝2；当x ＞2时，g (x )＞2.综上，g (x )≥2，故m ＞2.4．证明：因为⎝⎛⎭⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·[ (a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 1)]≥331a 1＋a 2·1a 2＋a 3·1a 3＋a 1·33(a 1＋a 2)·(a 2＋a 3)·(a 3＋a 1)＝9.当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝m 3时等号成立，由⎝⎛⎭⎫1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1·2m ≥9，知1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋1a 3＋a 1≥92m. 5．解：原式等价于|a ＋b |＋|a －2b ||a |≥|x －1|＋|x －2|. 设b a＝t ，则原式变为|t ＋1|＋|2t －1|≥|x －1|＋|x －2|对任意t 恒成立．因为|t ＋1|＋|2t －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，t ≥12，－t ＋2，－1<t <12，－3t ，t ≤－1，当t ＝12时取到最小值，其最小值为32.所以32≥|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3，x ≥2，1，1<x <2，3－2x ，x ≤1，解得x ∈⎣⎡⎦⎤34，94.。
均值不等式高考一轮复习教师总结含历年高考真题
证明：柯西不等式的证明方法有多种，其中一种常用的方法是利用数学归纳法和二项式定理
变式：柯西不等式有许多变式，如加权柯西不等式、平方和柯西不等式等
切比雪夫不等式
添加标题
定义：对于任意的n个正数x1, x2, ..., xn，有(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)/n ≥ (x1 + x2 + ... + xn)^2/n
时)。
添加标题
考点：二次函数 的性质、不等式 的性质、分类讨
论思想。
添加标题
2016年高考真题解析
题目：2016年高考数学全国卷（理科）第12题
解析：本题考查了均值不等式的应用，需要掌握均值不等式的性质和证明方法，同时要注意不 等式的取等条件。
解题思路：利用均值不等式进行证明，注意取等条件的应用。
证明：利用数学归纳法和基本不等式性质
应用：在解决最值问题、不等式证明等方面有广泛应用
变式：当n=2时，即为算术平均数不小于几何平均数的均值不等式
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定义导数
利用导数证明均值不等式
导数与函数单调性关系
利用导数证明均值不等式的步骤
证明过程中的注意事项
柯西不等式
定义：柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它表明对于任意正实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，总有 (a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)^2
均值不等式的几何意义：在数轴上，表示点(a,b)到点(0,0)的距离与点(a,b)到直线x=y的距离相等，当 且仅当a=b时取等号。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编18：不等式的综合问题(学生版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编18：不等式的综合问题填空题1 ．（2010年高考（江苏））设实数x,y 满足3≤2xy ≤8,4≤y x 2≤9,则43yx 的最大值是_________2 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=,2741log log 6y x -≥,2741y x -≤,则x y +的取值范围是______. 3 ．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）设62,,22=+∈b a R b a ,则3-a b的最大值是_________________.4 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）定义在R 上的函数是增函数,且函数的图象关于成中心对称,设,满足不等式,若时,则的范围是____________.5 ．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）设变量y x ,满足1||||≤+y x ,则y x 2+的最大值为____________.6 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知函数()3123f x x x =+,对任意的[]3,3t ∈-,()()20f tx f x -+<恒成立,则x 的取值范围是_________.7 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）设，，xx f R x )21()(=∈若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是____________.8 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）若对任意x R ∈,不等式23324x ax x -≥-恒成立,则实数a 的范围__________.9 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知a 为正的常数,若不等式212x x a≥+-对一切非负实数x 恒成立,则a 的最大值为______.10．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知f(x)=222mx m ++,0,,m m R x R ≠∈∈.若121x x +=,则12()()f x f x 的取值范围是11．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）若实数a 、b 、c 、d 满足143ln 22=-=-dc b a a ,则22)()(d b c a -+-的最小值为________.12．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）定义运算,则关于非零实数x的不等式的解集为________.13．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）设P (x ,y )为函数21y x =-(x >图象上一动点,记353712x y x y m x y +-+-=+--,则当m 最小时,点 P 的坐标为________. 14．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知01a <<,若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+,且x y <+λ,则λ的最大值为________.15．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设实数x 1,x 2,x 3,x 4,x 5均不小于1,且x 1·x 2·x 3·x 4·x 5=729,则max{x 1x 2,x 2x 3,x 3x 4,x 4x 5}的最小值是__.解答题16．（2010年高考（江苏））已知实数a,b ≥0,求证:3322)a b a b +≥+17．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）某啤酒厂为适应市场需要,2011年起引进葡萄酒生产线,同时生产啤酒和葡萄酒,2011年啤酒生产量为16000吨,葡萄酒生产量1000吨.该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%,葡萄酒生产量比上一年增加100%,试问: (1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低?(2)从2011年起(包括2011年),经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的?(生产总量是指各年年产量之和)18．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）小张于年初支出50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元,小张在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第年年底出售,其销售收入为万元(国家规定大货车的报废年限为10年) (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大? (利润=累计收入销售收入总支出)19．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）某商场统计了去年各个季度冰箱的进货资金情况,得到如下数据:和最小);该商场今年第一个季度对冰箱进货时,计划进货资金比去年季拟合进货资金增长25%.经调研发现,销售“节能冰箱”和“普通冰箱”所得的利润 (万元)和 (万元)与进货资金 (万元)分别近似地满足公式和,那么该商场今年第一个季度应如何分配进货资金,才能使销售冰箱获得的利润最大?最大利润是多少万元? 20．（2009高考(江苏)）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙， （1）求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； （2）设35AB m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
2014届高考数学(苏教版)一轮复习题及详解第6章数列6.5数列的综合应用
31 数列的综合应用一、填空题1．(2013江苏南师附中高三模拟)数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2，3，…)，且a 1，a 2，a 3成公比不为1的等比数列．则c ＝__________.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11的值为__________．3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝log 3(n ＋1)，则a 29＝__________.4．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n N *)，则f (n )＝__________.5．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n N *)，则S 100＝__________.6．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝2，S 30＝14，则S 40＝__________.7．(2013江苏燕子矶中学月考)等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋a n －22(n ＝3,4，…)，则{a n }的前n 项和为__________．8．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为__________．9．(2012湖北高考改编)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x | ；④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为__________．二、解答题10．(2013江苏泰州中学高三摸底考试)已知数列{a n }，a n ＝p n ＋λq n (p ＞0，q ＞0，p ≠q ，λR ，λ≠0，n N *)．(1)求证：数列{a n ＋1－pa n )为等比数列；(2)数列{a n }中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；(3)设A ＝{(n ，b n )|b n ＝3n ＋k n ，n N *}，其中k 为常数，且k N *，B ＝{(n ，c n )|c n ＝5n ，n N *}，求A ∩B .11.(2013江苏淮阴中学调研)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝|a n －1|(n N *)．(1)若a 1＝114，求a 9与a 10的值； (2)若a 1＝a (k ，k ＋1)，k N *，求数列{a n }前3k 项的和S 3k (用k ，a 表示)；(3)是否存在a 1，n 0(a 1R ，n 0N *)，使得当n ≥n 0时，a n 恒为常数？若存在，求出a 1，n 0；若不存在，说明理由．12．(2012湖南高考)已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．参考答案一、填空题1．2 解析：由题意，得a 1＝2，a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ，因为a 1，a 2，a 3成等比数列，所以(2＋c )2＝2(2＋3c )，解得c ＝0或c ＝2.当c ＝0时，a 1＝a 2＝a 3，不符合题意舍去，故c ＝2.2．7 解析：因为21＝S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)， 所以a 1＋a 12＝72， 所以a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝(a 2＋a 11)＋(a 5＋a 8)＝2(a 1＋a 12)＝7.3．log 33029 解析：a 29＝S 29－S 28＝log 330－log 329＝log 33029. 4.27(8n ＋4－1) 解析：f (n )是首项为2，公比为23的等比数列的前n ＋4项的和，所以f (n )＝2[1－(23)n ＋4]1－23＝27(8n ＋4－1)． 5．2 600 解析：n 为奇数时，a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 99＝1；n 为偶数时，a 2＝2，a 4＝4，a 6＝6，…，a 100＝2＋49×2＝100.所以S 100＝(2＋4＋6＋…＋100)＋50＝50(2＋100)2＋50＝2 600. 6．30 解析：设S 20＝x ，S 40＝y ，则由题意，得2，x －2,14－x ，y －14成等比数列．于是由(x －2)2＝2(14－x )及x ＞0，得x ＝6，所以y －14＝(14－x )2x －2＝824＝16，y ＝30. 7．n 或23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 解析：设a n ＝q n －1，则由a n ＝a n －1＋a n －22，得q 2＝1＋q 2，解得q ＝1或q ＝－12. 所以a n ＝1或a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1， 从而S n ＝n 或S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n . 8．0,4,8,16或15,9,3,1 解析：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，d 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，d 2＝－6. 故这四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1.9．①③ 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则对于f (x )＝x 2，f (a n )＝a 2n ，由等比数列得，a 2n a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫a n a n －12＝q 2，符合题意；而对于f (x )＝2x 和f (x )＝ln|x |，则f (a n )＝2a n 和f (a n )＝ln|a n |.由等比数列定义得，2a n 2a n －1＝2a n －a n －1.ln|a n |ln|a n －1|都不是定值，故不符合题意；而对于f (x )＝|x | ，则f (a n )＝|a n |，由等比数列得，|a n | |a n －1| ＝⎪⎪⎪⎪a n a n －1 ＝|q | ，为定值，故符合题意．二、解答题10．(1)证明：∵a n ＝p n ＋λq n ，∴a n ＋1－pa n ＝p n ＋1＋λq n ＋1－p (p n ＋λq n )＝λq n (q －p )．∵λ≠0，q ＞0，p ≠q ，∴a n ＋2－pa n ＋1a n ＋1－pa n＝q 为常数， ∴数列{a n ＋1－pa n }为等比数列．(2)解：取数列{a n }的连续三项a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ≥1，n N *)，∵a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(pn ＋1＋λq n ＋1)2－(p n ＋λq n )(p n ＋2＋λq n ＋2)＝－λp n q n (p －q )2， ∵p ＞0，q ＞0，p ≠q ，λ≠0，∴－λp n q n (p －q )2≠0，即a 2n ＋1≠a n a n ＋2，∴数列{a n }中不存在连续三项构成等比数列．(3)解：当k ＝1时，3n ＋k n ＝3n ＋1＜5n ，此时A ∩B ＝；当k ＝3时， 3n ＋k n ＝3n ＋3n ＝2·3n 为偶数，而5n 为奇数，此时A ∩B ＝；当k ≥5时，3n ＋k n ＞5n ，此时A ∩B ＝；当k ＝2时，3n ＋2n ＝5n ，发现n ＝1符合要求，下面证明唯一性(即只有n ＝1符合要求)，由3n ＋2n ＝5n 得⎝⎛⎭⎫35n ＋⎝⎛⎭⎫25n ＝1，设f (x )＝⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫25x ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫25x 是R 上的减函数， ∴f (x )＝1的解只有一个，从而当且仅当n ＝1时⎝⎛⎭⎫35n ＋⎝⎛⎭⎫25n ＝1，即3n ＋2n ＝5n ，此时A ∩B ＝{(1,5)}；当k ＝4时，3n ＋4n ＝5n ，发现n ＝2符合要求，同理可证明唯一性(即只有n ＝2符合要求)，从而当且仅当n ＝2时⎝⎛⎭⎫35n ＋⎝⎛⎭⎫45n ＝1，即3n ＋4n ＝5n ，此时A ∩B ＝{(2,25)}．综上，当k ＝1，k ＝3或k ≥5时，A ∩B ＝；当k ＝2时，A ∩B ＝{(1,5)}，当k ＝4时，A ∩B ＝{ (2,25)}．11．解：(1)a 1＝114，a 2＝74，a 3＝34，a 4＝14，a 5＝34，a 6＝14，… 所以a 9＝34，a 10＝14. (2)a 1＝a ，a 2＝a －1，…，a k ＝a －k ＋1，a k ＋1＝a －k (0,1)，a k ＋2＝k ＋1－a (0,1)，a k ＋3＝a －k ，…，a 3k －1＝a －k ，a 3k ＝k ＋1－a ，所以S 3k ＝ka －[1＋2＋…＋(k －1)]＋k ＝－k 22＋⎝⎛⎭⎫a ＋32k .(3)(ⅰ)当a 1[0,1)时，a 2＝1－a 1，此时，只需1－a 1＝a 1，a 1＝12， 所以a 1＝12，n 0＝1是满足条件的一组解； (ⅱ)当a 1≥1时，不妨设a 1[m ，m ＋1)，m N *，此时，a m ＋1＝a 1－m [0,1)，则a 1－m ＝12，a 1＝m ＋12， 所以取a 1＝m ＋12，n 0＝m ＋1满足题意； (ⅲ)当a 1＜0时，不妨设a 1(－l ，－l ＋1)，l N *，则a 2＝1－a 1(l ，l ＋1)，a l ＋2＝a 2－l (0,1)，此时，只需a 2－l ＝12，即a 1＝12－l ， 所以取a 1＝12－l ，n 0＝l ＋2满足题意． 综上，满足题意的a 1，n 0有三组：①a 1＝12，n 0＝1；②a 1＝m ＋12，n 0＝m ＋1，m N *；③a 1＝12－l ，n 0＝l ＋2，l N *. 12．解：(1)对任意n N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n } 是首项为1，公差为4的等差数列．于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)证明：①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n N *，有a n ＋1＝a n q .由a n ＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B (n )A (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n＝q (a 1＋a 2＋…＋a n )a 1＋a 2＋…＋a n＝q ， C (n )B (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ， 即B (n )A (n )＝C (n )B (n )＝q .所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列． ②充分性：若对任意n N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1.由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q . 故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．。
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江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式
填空题
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．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）从公路旁的材料工地沿笔
直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____m .
【答案】14000 m .
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．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若0,0a b >>,且
11121
a b b =+++,则2a b +的最小值为____.
【答案】 错误！未指定书签。
．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知a ,b ,c 是正实数,且abc +a +c =b ,
设222223111
p a b c =-++++,则p 的最大值为________. 【答案】103
错误！未指定书签。
．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若对满足条件
)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,,01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立,则实数a 的取值范围是_____.
【答案】37(,6-∞ 错误！未指定书签。
．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知x >1,
则21
x x +-的最小值为_________.
【答案】1
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．（2010年高考（江苏））将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两
块,其中一块是梯形,记S=梯形的面积
梯形的周长）2
(,则S 的最小值是______________
【答案】 错误！未指定书签。
．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）二次函数
2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则
11a c c a
+++的最小值为_____. 【答案】4
错误！未指定书签。
．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,
则19()x y x y y z
++++的最小值为________________. 【答案】7 错误！未指定书签。
．（江苏省
2013届高三高考压轴数学试题）已知函数()|lg |f x x =,0a b >>,()()f a f b =,则22
a b a b
+-的最小值等于_________.
【答案】
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．（2013江苏高考数学）在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x y
1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.
【答案】解析:本题主要考察二次函数的值域等基础知识,以及设元.换元法.分类讨论等数学思想方法. 设点)1,(x x P (0>x ),则222222)1(2)1()1()(a x x a x x a x a x d ++-+=-+-=
设t x x =+1(2≥t ),则21222-=+t x
x 2)(22-+-=a a t d ,设2)()(22-+-=a a t t f (2≥t )
对称轴为a t =
分两种情况:
(1)2≤a 时,)(t f 在区间[)+∞,2上是单调增函数,故2=t 时,)(t f 取最小值
∴222)2(22min =-+-=a a d ,∴0322=--a a ,∴1-=a (3=a 舍)
(2)a >2时,∵)(t f 在区间[]a ,2上是单调减,在区间[)+∞,a 上是单调增,
∴a t =时,)(t f 取最小值
∴222)(22min =-+-=a a a d ,∴10=a (10-=a 舍)
综上所述,1-=a 或10
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．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）过定点P (1,2)
的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422
a b +的最小值为_______.
【答案】32
错误！未指定书签。
．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）设,x y 是正实数,且1x y +=,则22
21
x y x y +++的最小值是____.
【答案】14
解:设2x s +=,1y t +=,则4s t +=,
所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t
--+=-++-+ 4141()(6(2s t s t s t
=+++-=+-. 因为41141149()()(5)444
t s s t s t s t s t +=++=++≥ 所以221214
x y x y +≥++. 错误！未指定书签。
．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知正数x,y 满足
2x+y-2 =0,则2x y xy
+的最小值为___________________. 【答案】92
错误！未指定书签。
．（2011年高考（江苏卷）
）在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数
x x f 2
)(=的
图象交于,
M N 两点,则线 段MN 长的最小值是________
【答案】【命题立意】本题考查了函数的图像、直线的方程、基本不等式等基础知识,重在考查学生分析问题和解决问题的能力
4．【解析】设过原点与f(x)相交的直线方程为(0)y kx k =>,该直线与函数x
x f 2)(=的交点坐标为和(,则线段PQ 的长4PQ =≥,当且仅当22k k
=即1k =时上式取等号.
错误！未指定书签。
．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）常数,a b 和正变量,x y 满足
16a b ⋅=,x a +2b y =1
2,若2x y +的最小值为64,则b a =________.
【答案】64
错误！未指定书签。
．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知x ,y 为正数,则22x y x y x y
+++的最大值为______.
【答案】3
2.。