关于一个拟线性椭圆边值问题的研究

椭圆边值问题的数学理论和实际应用案例

椭圆边值问题的数学理论和实际应用案例椭圆边值问题（Elliptic Boundary Value Problem）是一类重要的偏微分方程边值问题，涉及到数学、计算机科学、物理学等多个领域。

本文将对椭圆边值问题的数学理论和实际应用案例进行探讨。

一、椭圆边值问题的数学理论1. 常见的椭圆边值问题椭圆边值问题是指带有椭圆柱面边界条件的偏微分方程问题，包括拉普拉斯方程、泊松方程、热传导方程、弹性力学方程等。

这类方程的解决需要使用一系列高等数学的理论方法和技术，如变分、分离变量法、格林函数等。

2. 变分法在椭圆边值问题中的应用变分法是一种以最小化能量函数为目标的数学方法，常用于解决椭圆边值问题和其他偏微分方程问题。

通过研究变分问题的特性和解的性质，可以得到边值问题的解析表达式和数值解，以及一些数学性质和物理行为。

3. 经典的椭圆边值问题求解方法在求解椭圆边值问题的过程中，可以运用一些经典方法，如有限元法、有限差分法、谱方法等。

这些方法可以根据具体问题的特点和应用需求进行灵活选择。

通过使用这些方法，可以得到可靠的数值近似解，并对求解过程进行优化。

二、椭圆边值问题的实际应用案例椭圆边值问题在很多应用领域中具有广泛的应用价值，下面介绍几个典型的实际案例。

1. 地下水流模拟和地震波传播分析在地质勘探和地震学研究中，需要对地下水流、地震波传播等进行数值模拟和分析。

这类问题可以看作是椭圆边值问题。

运用有限元法、有限差分法等数值方法，可以得到可靠的地下水流和地震波传播分析结果，为对地下地质情况和地震活动等进行预测和预警提供重要的科学依据。

2. 电力设备的热传输分析在电力行业中，需要对发电机、变压器等设备的热传输性能进行研究和分析。

这类问题可以看作是椭圆边值问题。

运用有限元法、有限差分法等数值方法，可以得到可靠的设备热传输分析结果，为电力设备的设计和运行提供重要的科学依据。

3. 计算机图形学中的表面绘制和形状拟合在计算机图形学领域中，需要对物体表面的绘制和形状拟合进行研究和分析。

拟线性热方程边值问题的周期解

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第２卷４
第２期
三峡大学学报（自然科学舨）
ＪｏｉａＴｈｅｒｅｆＣｈｎｒｅＧｏｇ￣Ｕｎｖ（ｔｒｌｃｅｃｓｉ．Ｎａｕａｉｎｅ）Ｓ
Ｖｏ２ｏ２ｌ４Ｎ．Ａ０２００２
的概念．
１引言与概念
偏微分方程定解问题时间周期解的研究具有重要的实际意义，今已有许多结果。］本文讨论拟迄．线性热方程的边值问题：
…
定义
对于微分方程
＋ｆ（Ｙ，ｘ，Ｙ）一０（）３
｛ｚ，ｌ＜＜一。＜＋。｝（００，。＜。．
设Ｄ是二维空间Ｒ中的区域，记＋（为ＤＤ）上Ｈ６ｄｒ１ｅ连续函数ｕｘ，）（的全体，易知Ｃ（是Ｄ）
Ｂｎｃ间［用记号ｃ（表示Ｇ＋（中＿ａａｈ空；Ｄ）Ｄ）ｒ＿
那么称ｐ）ｑ）（、（分别是方程（）［，］的一个３在８６上下解和一个上解．引理设（是，］的连续函数，方程）６上且＋（一０［，］）在ｎ６上有一个正的上解，对任意小则的正数Ｅ方程＋Ｅ（）ｌ＝０必有正值解．，ｇｘ＋ｅｙ
查中伟
（峡大学理学院，湖北宜昌三４３０）４０２
摘要：研究了一类拟线性热方程边值问题，已知函数的某些假设杂件下，明了该问题周期解的在证

椭圆边值问题的galerkin法及最小二乘法处理

椭圆边值问题的galerkin法及最小二乘法处理本文主要介绍了椭圆边值问题Galerkin法和最小二乘法处理方法。

文章将从最小二乘法和Galerkin法的基本理论介绍开始，然后讨论椭圆边值问题的Galerkin法和最小二乘法处理，介绍这两种方法的优缺点，并分析椭圆边值问题的两种解决方案的适用性。

最后，提出对本文讨论的椭圆边值问题的Galerkin法和最小二乘法处理方法的建议和未来研究方向。

由于椭圆值问题的几何形状复杂性，解决它的有效方法是用一种有力的数值解决方案。

一般来说，最小二乘法和Galerkin法是被广泛用来解决椭圆边值问题的两种方法。

最小二乘法是一种常见的数值方法，它基于拟合最佳误差平方和，从而使预测函数离真实函数有最小差距。

它通常可以有效地拟合数据，但有时会得到不稳定的近似结果。

Galerkin法是另一种处理椭圆边值问题的有效方法，它将椭圆边值问题的解写成线性的函数组合的形式，以实现对问题的全局拟合。

它使用几何形状函数和拉普拉斯算子，使得可以近似地将椭圆边值问题拟合到一个线性方程组中，从而求出此方程组的解。

为了更准确地处理椭圆边值问题，我们可以结合使用最小二乘法和Galerkin法，即将真实的椭圆边值问题的解写成一个线性方程组，对这个方程组求解，然后用最小二乘法对其进行拟合。

这样可以使方程的解更加准确。

总的来说，最小二乘法的优点在于它简单易用，可以拟合数据，但缺点是拟合结果往往不稳定。

Galerkin法的优点是拟合的解决方案更加准确，但缺点是计算较复杂，消耗较多时间和空间。

为了选择更加合适的方案，要评估椭圆边值问题处理时最小二乘法和Galerkin法的可行性和有效性，并判断出哪种方法更加适合特定问题的处理。

本文讨论的椭圆边值问题的Galerkin法和最小二乘法处理方法各有优势，对椭圆边值问题的解决有较大的帮助，但还有一些可以改进的地方。

首先，在求解椭圆边值问题时，可以考虑使用多种解法，例如有限元法，以求得最优解。

具有相异奇性的拟线性边界退化椭圆边值问题正解的存在性及正则性

【｝＝０Ｕａｎ，
（Ｙ，）∈ａ
解的存在性与正则性估计，其中：＝｛，）＋Ｙ＜１ＣＲ；（Ｙ：｝ａ＞ｂ＞；／０（，）０ＯＩｒｘＹ为点＞（Ｙ到边界的距离；（Ｙ为定义在上具有正的上、下界的光滑函数．应用正，）∈ Ｐ，）
（ｏｅｅｏｃｎｅＮｒｅｓＤｉｎｉｎｖｒｔ，ｉｎ１２１Ｊｉｒｖｃ，ＣｉａＣｌｇＳｉｃ，ｏｔａｔａｌＵｉｓｙＪｉ３０２，ｉｎＰｏｉｅｈｎ）ｌｆｅｈｅｉｌｌｎ
Ａｂｔａｔｈｕｈｒｏｓｄｒｄｔｅｓｎｕａｕｓ—ｉｅｒａｉｏｒｐｃｅｌｔｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍｓｒｃ：Ｔｅａｔｏｓｃｎｉｅｅｈｉｇｌｒｑａｉｌａｎｓｔｉｌｐｉｂｕｄｒａｕｒｂｅｎｏｉｃ
基金项目：国家自然科学基金（准号：１５１７）吉林省科技厅项目基金（准号：０８３２．批０７０２和批２００３）
Ｐ，）ｉａｓｆｃｅｔｍｏｔｆｎｔｎｗｉｓｐｓｉｎ．Ｃｅｒ，ｔｉｉａｂｕｄｒｅｅｅａｄ（Ｙｓｕｆｉｌｓｏｈｕｃｏｈｃｉｏｉｖｏｉｎｙｉｈｔｅｌａｙｈｓｓｏｎａｙｄｇｎｒｔｌｅ
徐中海，甲山，振国郑冯
（北电力大学理学院，林吉林１２１）东吉３０２

两类拟线性椭圆型方程解的边界行为研究的开题报告

两类拟线性椭圆型方程解的边界行为研究的开题报告题目：两类拟线性椭圆型方程解的边界行为研究一、选题背景：拟线性椭圆型方程是一类重要的偏微分方程，在数学、物理等领域都有广泛的应用。

而对于拟线性椭圆型方程解的边界行为研究，不仅可以深入理解方程解的性质，而且对于物理问题的建模、计算机模拟等方面也有着重要的意义。

二、选题意义：本文将研究两类拟线性椭圆型方程解的边界行为，具体如下：1. 一类拟线性椭圆型方程的边界行为研究。

通过研究方程解的渐近特征，探究方程解的边界行为，分析方程解的单调性、正则性和渐近性质等方面的问题。

2. 另一类拟线性椭圆型方程的边界行为研究。

针对经典的拟线性椭圆型方程存在解的不唯一性问题，通过研究解的全局性质，建立新的解的唯一性定理。

三、研究方法：主要采用数学分析和数值计算相结合的方法，首先进行数学分析，研究方程解的性质和边界行为；然后通过数值计算的方式验证分析结果的正确性。

四、研究内容：1. 行为研究及解的存在性、唯一性定理的证明。

2. 解的渐近性质分析。

3. 解的单调性和正则性分析。

4. 数值计算验证分析结果的正确性。

五、预期成果：1. 建立两类拟线性椭圆型方程解的边界行为研究模型。

2. 展示解的存在性、渐近性质等方面的数学分析结果。

3. 通过数值计算验证分析结果的正确性。

4. 提出建议及方向，拟对研究结果进行扩展。

六、研究难点：1. 拟线性椭圆型方程的求解、收敛性分析和误差估计。

2. 解的单调性和正则性分析，以及正则性与单调性之间的关系。

3. 解的渐近性分析及稳定性判定。

七、研究计划：1. 第一阶段：查阅文献并学习理论基础相关知识。

2. 第二阶段：建立两类拟线性椭圆型方程解的边界行为研究模型，研究方程解的渐近特征。

3. 第三阶段：分析方程解的单调性、正则性。

4. 第四阶段：数值计算及误差分析。

5. 第五阶段：撰写毕业论文，进行答辩。

八、参考文献：1. A. L. Skubachevskii, “Boundary behavior of solutions of certain nonlinear elliptic equations,” Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 281, no. 3, pp. 527–530, 1985.2. J. Serrin, “Local behavior of solutions of quasilinear equations,”Acta Math., vol. 111, no. 1, pp. 247–302, 1964.3. H. A. Levine, “Clearing out circles in a moving plane,” SIAM Rev., vol. 27, no. 3, pp. 351–363, 1985.4. P. G. Ciarlet, “Boundary behavior of solutions of second order quasilinear elliptic equations,” Arch. Ration. Mech. Anal., vol. 46, no. 3, pp. 177–181, 1971.5. R. Mañé, “Quasi-analyticity and local small divisors,” Bull. Am. Math. Soc., vol. 83, no. 4, pp. 522–524, 1977.。

含奇性拟线性椭圆型方程的特征值问题

（ｌＩＪ “ ’
其中１＜Ｐ＜，ｏ（）Ｃ．＞０且ＵＥＣ，ａ，
一
≤ａＩＩＩＣ』．，ｚｂ
摘
要：论奇性拟线性椭圆型方程的特征值问题，中，一特征值对应的特征函数是ｃ（相关的，讨其第ｎ）而且是正
的、一的、立的，关于非负特征函数是唯一的正特征值。此外，些性质也被推广到更一般的奇性情况。单孤且这关键词：性；征值问题；一性；立性奇特单孤
２ＤｅａｔｎｆＳｉｎｅＮａｃａｇＩｓｉｔｆＴｅｈｏｏｙＮａｃａｇ３０９Ｃｈｎ）．ｐｒｍｅｔｏｃｅｃ，ｎｈｎｎｔｕｅｏｃｎｌｇ，ｎｈｎ３０９，ｉａｔ
ＡｂｔａｔＴｈｅｐｒｂｌｍｆｅｇｎｌｅｎｄｅｇｅｕｎｔｏｎｆａｑｕｓｌｎｅｒｅｌｐｔｃｅａｉｎｖｌｎｇｓｎｇｕｓｒｃ：ｏｅｏｉｅｖａｕｓａｉｎｆｃｉｓｏａｉｉａｌｉｉｑｕｔｏｎｉｏｖｉｉ — ｌｒｔｓｓｕｅＴｈｅｆｒｔｅｇｅａｕｅｉｓｏｉｔｄｔ ’ Ｑ）ｅｇｅｆｃｉｎｗｈｉｈｉｏｓｔｖｅａｎｉｕｅａｉｙｉｔｄｉｄ．ｉｓｉｎｖｌｓａｓｃａｅｏａＣ（ｉｎｕｎｔｏｃｓｐｉｉｎｄｕｑ。ｔａｓ，ｈｉｓｉｎｖｌｓｓｍｐｌ．Ｍｏｒｏｖｒｔｉｓｉｎｖｌｓｉｏａｅｎｓｔｉｕｅｐｓｔｖｉｈｔｉｔｅｆｒｔｅｇｅａｕｅｉｉｅｅｅｈｅｆｒｔｅｇｅａｕｅｉｓｌｔｄａｄｉｈｅｕｎｑｏｉｉｅｅ — ｇｅａｕｓｏｉｔｄｔｏｎ— ｎｇｔｖｉｎｆｎｃｉｎ．ｒｈｒｎｖｌｅａｓｃａｅｏａｎｅａｉｅｅｇｅｕｔｏＦｕｔｅｍｏｒｔｓｒｅｔｅｒｘｅｄｅｏｍｏｅｅ。ｈｅｅｐｏｐｒｉｓａｅｅｔｎｄｔｒ

在外部区域中拟线性椭圆型方程非线性边值问题

Ｖｏ．７Ｎｏ椭圆型方程非线性边值问题
许兴业
（广东教育学院数学系，广东广州５００）１３３摘要：究在外部区域中拟线性椭圆型方程，有非线性边界条件的边值问题．研具关键词：部区域；拟线性椭圆型方程；致内部球条件；— １ｅ连续；外一ａＨ６ｄｒ等度连续
收稿日期：Ｏ７１３２０一Ｏ —０
基金项目：东高校自然科学重点研究项目（５０６，东教育学院教授博士专项经费资助项目广０ｚ２）广
作者简介：许兴业（９２，广东宁人，１５一）男，普广东教育学院数学系教授．
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Ｉ）７（）一告，ＩｌＩ（）一０下虑０ ≤ 的．于Ｄ一，）（（故） — Ｉ，面考ｒ（ ≤ （）情形由
ｒ） —Ｉｏ） — Ｉ（（）Ｉ（Ｉ（Ｉ）・Ｄｒ／
设。为函数（）等值面（）ＣＣ为正常数）ｚ一（上的任一点，设为等值面ｄ一Ｃ上过点ｏ（）的单位外
由上面的证明知，对任意的，总存在，（，（，足））满
（Ｉ｛）Ｉ）满足一致内部球条件，Ｉ即对于Ｖ，ｚＥａ一１２３… ，，，，存在一个半径为常数的球Ｂ，使得
｛ｚ）一ＢＮ（Ｎ—ｎ）成立．Ｒ设ＧＣＯ为任一有界区域，并且ａＥＣ，ｃＯ我们引进距离函数（）ｄｓ（ａ，ＶｚＥＧ力３Ｇ，ｚ一ｉｚ，Ｇ）ｔ．由于下文的需要，距离函数光滑化．把

一类半线性椭圆方程边值问题的可解性

２１６月０２年第１８卷第２期
安庆师范学院学报（然科学版）自
ＪｕｎｌｆｎｉｇＴａｈｒｏｌｇ（ａｕａＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒａｑｎｅｃｅｓＣｌｅＮｔｒｌｃｃｄｔｎｏＡｅｅｉ
Ｊ．Ｏ２ｕｎ２ｌ
４‘
安庆师范学院学报（自然科学版）
２１年０２
引理１上、调和函数的极值原理）（下
设 “∈Ｃ（Ｉ￣）在中△ ２）Ｃ（， ≤０ ≥０，（）假设有界，
则ｉ “ （ｐ＝ｓ）成立ｎ：ｉｓ。ｆｕＭ
性，作为定理的应用，最后给出了一个例子。
关键词：不动点理论；、上下解方法；边值问题中图分类号：０７１５文献标识码：Ａ文章编号：１００７—４６（０２０２０２１）２—００００３— ３
０引言
文献［］１研究了问题
给定条件：Ａ）（）为力上连续正函数，（）为Ｒ上连续正函数。（ｋｘ，ｓ
（）Ａ２
１主要定理
—
＝ｏ，）［∞上增（）在０）单。０Ａ在０）单。｝（。上减（ｓ，Ａ，。
一一
定义１称ｕ为问题（）的上、，２下解，果，如满足：１， ∈ Ｃ（Ｉ（）（） ≤ ， ∈１；（）力）ｃ１；２２２
ｉｕ：０．
∈ａ
的解，中Ａ＝（其一△）Ｂ，Ｄ— ｃｏ）Ｂ：（）加 ∈ Ｄ，＝ＡＢ：（，ｗ），ｗ。因为（一△）：Ｃ力）一ｃ）是全连续的］Ｂ为连续算子，以Ａ：（（，所Ｄ— ｃ）：（Ｄ— Ｃ（）是全连续的。下面证明Ａ是Ｄ到Ｄ的算子。实上，１＝Ａ则成立：事若１，ｗ，

一类带有Neumann边界的奇异拟线性椭圆方程解的存在性

⑥
２１ＳｉＴｃ．ｎｒ．０２ｃｅｈＥｇ．ｇ
一
类带有Ｎｕｎｅｍａｎ边界的奇异拟线性椭圆方程解的存在性
寇冰煜张燕毛磊
（解放军理工大学理学院数理系应用数学教研室，南京２０）１１１１
摘
要
应用变分方法中的极值理论来研究Ｎｕｎｅｍａｎ边界问题
ｒｉ（Ｉ “ —ｄｋｌＩ一ｖＪ）＝ｋ卢ｐ卢一ＩＵ，一Ａｋ一 ’ ｊ＋ｋ（ｌｕ一，）＞，０ ∈ｎ
１
Ｉｕ－＝，Ｖｉ２０ｐ
∈１０２
其中是Ｒ（ Ⅳ≥３中具有ｃ光滑边界的有界区域，，）０∈ 表示ａ力的单位外法向向：且１＜匿，ｐ＜Ｎ，０＜，＜，０使得ＰＯ（Ｌ，卢）垒＞，ｔｐ，ｐｙ＞ｏ－ｐ＜ｑｐ，。对于参数，ｙ及的不同范围，立上述方程解的存在性结果。其中对参数＜（）卢，建
椭圆方程问题。
一
上ＩｄＶ ∈ｏＣ（，。）
其中
（２）
，
ｄ（ “ Ｉｉ１ｌｖＩ Ⅱ 一
）＝
Ｉ［ａ‘ 一一Ｉ一＋ｘ一＞，∈ ｘｕ ’ ＡＩＩ（）０ｌｐｘＩ，戈
＜Ｎ＞Ｎ詈，ｐｐ，一＜ ≥ 卢— ≥
理工大学理学院青年科研基金和国家８３６计划重点基金资助
｛（） …“ Ｉ＋ “ … ，：ｌ ∈ ２５Ｌｄ
ｄ＜ ∞｝；其模是Ｉ１，ＩＩＩｕ＋，＝ｄｌ
第一作者简介：寇冰煜（９２）女，１８一，河南驻马店人，解放军理大学

具有非线性奇异项和变指数的拟线性椭圆问题解的存在性

具有非线性奇异项和变指数的拟线性椭圆问题解的存在性初颖;贾小宁【摘要】In this paper,we proved the existence of the solutions for the Dirichlet boundary value problem of quasilin-ear elliptic equation with singular term and variable exponent. Firstly, we constructed an approximation problem, using Sobolev embedding theorem and the supremum and infimum of the variable exponent to overcome difficulties arising from singular term, thus we prove the boundedness of the solution sequence for the approximation problem, then we solved the difficuties caused by p-Laplace operator by selecting the suitable test functions and a priori estimate tech-nique, and with the help of the boundedness of solution sequence for the approximation problem, the sufficient condi-tions of the existence of solutions for this problem are obtained. By contrast,the approximation method we used in this paper is better than the upper and lower solution method in the past.%针对于具有奇异项和变指数的拟线性椭圆方程Dirichlet边值问题,给出了证明该问题解的存在性的方法.首先构造一个逼近问题,利用Sobolev嵌入定理和变指数的上下确界,克服了来自奇异项和变指数的困难,证明了逼近问题解序列的有界性,然后通过选取适当的检验函数和先验估计技巧克服了来自p-Laplace算子的困难,再借助于逼近问题解序列的有界性,得到了该问题解存在的充分条件.通过对比,采用的逼近方法要优于以往常用的上下解方法.【期刊名称】《长春理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)005【总页数】4页(P123-126)【关键词】拟线性椭圆问题;非线性奇异项;变指数;存在性【作者】初颖;贾小宁【作者单位】长春理工大学理学院,长春 130022;长春理工大学理学院,长春130022【正文语种】中文【中图分类】O175.2本文主要研究如式（1）具奇异项和变指数的拟线性椭圆方程解的存在性:其中，Ω是RN(N≥p)上边界光滑的有界开集，p＞2，α(x)是连续函数，是某些Lebesgue空间中的非负函数。

一类拟线性椭圆方程边值问题弱解的研究

其中为下列问题的解．
ｆＡ－ｗ＝ｔ２＋＾７Ｄ（ ’）ＤＴ－ｆｒ：￣７（，５）・￣－Ｃ），ｒ
子
’
：
ｕ（ — Ⅳ ¨（ｎＬ（，ｎ）＿ａ２）ｎ）
如下ｆ） “ （． ≥ ，
７ “ ）（一 “ ｊ望 “，（， ≤ ≤
．
（２）
望（一 “ ） ≤ ．
从（）２知
“ ）≤ｍａ｛｝Ｉ１一Ｍ。ａｅ（｝ｘ，五）．． ∈ｎ其中Ｍ是与 “无关的常数．
［稿日期］２０４。收０１０７基金项目］安徽省教委自然科学基金（一９０）Ｎｏ９ｊ１２资助课题４
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第３期
钟金标等：娄拟线性椭圆方程迎值问题弱解的研究一一
定理ｌ设＾｛ＥＣＣＸＥ）ｏ＜ｍｊＩ・（．）￣］，＜１ｎ
组上，解下证．问题（）少存在一个解 “ Ｗ“（）则１至Ｅ。力．
｝ｆｘＥＬ（）２＜Ⅳ，・（）力一≤ 且问题（）１存在一
分四步证明：
ｌ引
言
本文研究椭圆问题
ｉ＋＋（Ｄ）Ｄ— （，Ｅ，ｌｈ．ｏ．・ｕｆ） ∈ 力 “ｕ加
解的存在－这里力［ ’ ．是一个有界光滑区域，是一个实常数．是 “的梯度．＾ｍ
ｕ ’
在文献［：．ｕｅｔａｓａ１中ＮｒｔｎＣｌｋｎ和ＡｌｅｔＫｈｎＥｋｐ研究了问题（）ｉｉｂｒｏｅｒｉ１的弱解的存在性．他们得出：

椭圆型边值问题的比较方法及解的存在性

η ′j + v j − u j < 0 , 则 η ′j − max(0,η ′j + v j − u j ) = η ′j < u j − v j . 于是有
′ −η′ ≤ u − v η0
因此, 我们有
H i ( x, u ) − H i ( x, v) = sup f i ( x,η ) − sup f i ( x,η )
(i = 1,2,L, n)
其中 x ∈ Ω, ui : Ω →[ai , bi ] ; 且 H i 和 hi 对 u = (u1 , L , u n ) 拟单调不减假设
（F1 ) 对任意 x, y ∈ Ω, u , v ∈ ∑ ，存在 K > 0 ，使得
f i ( x, u) − f i ( y, v) ≤ K ( x − y + u − v )
η∈ Au η∈ Av
′ ) ≤ K η ′ − η0 ′ ≤ Ku−v ≤ f i ( x,η ′) − f i ( x,η 0
又因
H i ( x, u ) − H i ( y , v ) = H i ( x, u ) − H i ( y , u ) + H i ( y , u ) − H i ( y , v ) H i ( x, u ) − H i ( y , u ) ≤ K x − y
易知， u = (u1 , L u n ) 是边值问题
⎧ Li u i = f i ( x, u ) ⎨ ⎩ Bi u i ( x) = 0
x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω.
i = 1,2, L , n.
的一个解等价于 u 是算子方程 u = Tu 在 E 上的一个解，这里
⎛ f 1 ( x, u ) + Ku1 ⎞ ⎟ ⎜ Tu = G⎜ M ⎟. ⎜ f ( x, u ) + Ku ⎟ n⎠ ⎝ n

一类半线性椭圆型Neumann边值问题解的存在唯一性

一类半线性椭圆型Neumann边值问题解的存在唯一性邢慧;陈红斌【摘要】半线性椭圆型方程解的性质蕴含了方程的丰富信息,对于描述各种现象的发展规律起着至关重要的作用.多物种互助模型的平衡解以及经济均衡点的存在性问题等都可以转化为Neumann边值问题解的存在性.本文研究一类半线性椭圆型方程Neumann边值问题解的存在唯一性.在假定非线性项满足渐近非一致条件的情况下,我们利用拓扑度理论和特征值比较原理得到了解的存在性,运用特征值比较原理证明了解的唯一性.推广和补充了以往的相关研究成果.作为应用,文中通过一个例子验证了所得结论.%The solutions to semilinear elliptic partial differential equations contain rich infor-mation about the equations, which is very important for describing the development of various phenomena. The existence of equilibrium solutions of multi-species mutual aid model and the economic equilibrium point can be transformed into the existence of the solutions to Neumann boundary value problems. In this paper, we study the existence and uniqueness of the solutions for a class of semilinear elliptic equations with Neumann boundary value conditions. Using the topological degree theory and the eigenvalue comparison principle, we obtain the existence of the solutions under the assumption that the nonlinear terms satisfy the asymptotic nonuniform conditions. Using the eigenvalue comparison principle, we prove the uniqueness of the solutions. The obtained results extend and complement some relevant existing works. As an application, an example is given to verify the obtained results.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2017(034)006【总页数】7页(P622-628)【关键词】Neumann边值问题;解的存在唯一性;渐近非一致条件;拓扑度理论;特征值比较原理【作者】邢慧;陈红斌【作者单位】西安工程大学理学院,西安 710048;西安交通大学数学与统计学院,西安 710049【正文语种】中文【中图分类】O175.21 引言不少数学家从不同侧面研究了如下在Dirichlet边值条件下的半线性椭圆型方程解的存在唯一性．但是，对在Neumann边值条件下半线性椭圆型方程解的相关研究还比较少见．Neumann边值问题在数学物理、经济数学和生物数学等交叉学科中有着广泛的应用背景．在研究波动方程、梁问题、热传导问题以及多物种互助模型平衡解和经济均衡点的存在性等问题时，经常会转化成研究Neumann边值问题解的存在性的问题，所以研究半线性椭圆型方程Neumann边值问题解的存在性具有非常重要的理论意义和实际价值．众所周知，Duffing型方程是典型的振动微分方程，而且是方程(1)在一维时的特殊情形，解的存在性问题因涉及领域广泛而备受人们关注，此类方程在大气科学中有着非常广泛的应用．在我们的日常生活和工程实践中，振动现象普遍存在．随着科技的进步和社会生产力的发展，高强度材料、新结构形式不断出现，使得振动问题日益受到关注．当结构参数有了小变化之后，为了尽早发现和预防可能出现的有害振动，结构固有频率和固有振型的变化情况的研究就非常重要．所以，对于振动方程解的相关研究和特征值理论密切相关．Hammerstein[1]在研究非线性积分方程的过程中最早发现了Laplace算子第一特征值λ1的重要性，并且证明了存在γ，使得当ξ∈R 时方程(1)在条件f′(ξ)≤γ＜λ1下有唯一解．1949年，Dolph[2]得到了方程(1)有如下的结果：设λk＜λk+1是−Δ的两个相邻的特征值，如果存在ε＞0，对任意ξ∈R，当λk+ε≤ f′(ξ)≤ λk+1−ε时，方程(1)存在唯一解．在文献[3—5]中，Mawhin等学者讨论了带有不跨特征扰动的方程解的存在性和唯一性．1990年，Ruf[6]研究了半线性椭圆型Neumann边值问题解的结构，其中λ是一个正常数，h(x)是一个给定的函数，ν表示边界上的外法向量．2012年，Sfecci[7]研究了半线性椭圆型Neumann边值问题在非振动条件下径向解的存在性．徐登洲和马如云[8]对半线性微分方程的Dirichlet边值问题解的存在性和唯一性的研究进展做了详尽的介绍．在文献[2—9]的启发下，本文利用拓扑度理论和特征值比较原理研究半线性椭圆型方程的Neumann边值问题在带有不跨特征值扰动时解的存在性和唯一性，其中Ω是Rn中的有界区域，ν表示边界上的外法向量，h(x)∈C0,α(¯Ω)是有界的，f(x,u)是连续函数且满足渐近非一致条件．本文中的渐近非一致条件不同于多数文献中的形式，这个条件更精确，而且应用更广泛．2 预备知识定义1 对于半线性椭圆型方程其中Ω是Rn中的有界区域，h(x)是连续函数，如果连续函数f(x,u):Ω×R→R满足以下条件则称连续函数f(x,u)为线性方程Δu=h的不跨特征扰动，其中且严格不等式在Ω的一个正测度集上成立．类似地，也表示同样的含义．这里λk和λk+1分别表示在Neumann边值条件下的特征值问题的第k和第k+1个特征值．方程(3)的特征值为λ1=0所对应的特征子空间为span{1}，对于任意自然数k，λk所对应的特征子空间是有限维的．方程(3)等价于方程其中A表示在Neumann边值条件下算子−Δ+I的逆．引理1 对于方程(4)，如果λk≪λ≪λk+1，则存在充分大的R＞0，使得其中k是满足(λ+1)µ∈(1,+∞)的所有特征值µ的代数重数之和，µ是算子A的特征值，BR表示半径为R的球．证明显然v=0是方程(3)的解，由于λk≪λ≪λk+1，所以算子I−(λ+1)A是可逆的，由则由文献[10]中定理8.10可得关于拓扑度的计算可参见文献[10—13]．考虑下面的线性椭圆型方程其中Ω是RN中的有界区域，而且边界∂Ω是光滑的．下面给出方程(5)的H¨older估计．引理2[14,15] 对于方程(5)，下面的结论成立：(i)如果h∈L∞(Ω)，那么对于任意0＜α＜1，有且是方程(5)的一个古典解且在上面c表示一个正常数，而且依赖于Ω．引理3(特征值比较原理)设µ1(q(x))≤µ2(q(x))≤µ3(q(x))≤…是方程(ii)如果，那么的特征值．如果q1(x)≪q2(x)，那么µk(q1(x))＞µk(q2(x)),k=1,2,3,4,…成立．在本文中，对于方程(2)，假设f(x,u)满足下述条件：其中a(x),b(x)∈C(Ω)．我们把条件(H)称为渐近非一致条件，也就是说，当|u|→∞时，可与λk和λk+1任意地接近，甚至可以“接触”λk和λk+1．3 主要结果定理1 如果函数f(x,u)满足条件(H)，而且λk≪ f′(x,u)≪ λk+1，则方程(2)的解是存在的，而且是唯一的．记其中f′(x,u)表示对第二变量u的导数．证明对于任意t∈[0,1]，考虑下面的方程其中λk≪λ≪λk+1，对于充分大的R，下面证明方程(6)在∂BR上没有解．用反证法，假设存在hn∈Y，方程(6)在∂BR上存在解un∈X，且‖un‖Y→∞,tn∈[0,1]，下面把‖·‖Y记为‖·‖．令，得到令显然Un是有界的，由引理2(i)可得‖zn‖C1,α≤C，C为常数，则在空间中存在子列，使得zn→ z,tn→ t．由于‖zn‖=1，则‖z‖=1，由此得到z一定不等于0．方程(7)两边同乘以，并分部积分可得这样，令由‖un‖→∞，可得方程(8)的右边为零．当n→∞时，有(f(x,un)/un)zn→m(x)z，对方程(8)取极限并由Lebesgue控制收敛定理可得由条件(H)可得λk≪ tm(x)+(1− t)λ ≪ λk+1，记q(x)=tm(x)+(1− t)λ，那么µk(q(x))＜0,µk+1(q(x))＞0，由引理2(ii)和特征值比较原理即引理3可得方程只有平凡解z≡ 0，这与前面z必定不等于零相矛盾．因此，当R充分大时，方程(6)在∂BR上没有解．当t=1时，方程(6)的解可表示为我们将方程(2)的解的存在性转化为算子F的不动点问题．当t=0时，方程(6)的解可表示为由引理1可知，deg(I−(λ+1)A,BR,0)=(−1)k．令由同伦不变性和引理1可得因此，方程(2)至少有一个解u．下面证明方程(2)的解是唯一的．用反证法，假设v也是方程(2)的一个解．令w=u−v，由此我们得到由于λk≪f′(x,u)≪λk+1，由特征值比较原理可得由此得到方程(2)的解w≡0，从而得到u≡v．因此，方程(12)的解是唯一的．4 例子在定理1中，如果没有条件(H)，只有条件λk≪f′(x,u)≪λk+1时，并不能保证解的存在性，也就得不到解的唯一性．只有满足条件(H)，保证解是存在的情况下，才能讨论解的唯一性．为了更好地说明以上所得结果，下面给出一个例子．例1 二阶线性微分方程的Neumann边值问题在A＞2π时无解．证明在方程(13)两边同乘以cosx，并在[0,π]上积分可得由方程(13)的边值条件和方程(14)可得由方程(15)可得因此，当A＞2π时，方程(13)无解．令f(x,u)=u+arctanu，则由(17)式可以看出，当|u|→∞时，f(x,u)/u的极限等于1，而1是Neumann边值条件下的特征值问题的第二特征值，函数f(x,u)不满足渐近非一致条件．因此，当函数f(x,u)不满足渐近非一致条件(H)时，方程(13)在A＞2π时无解．以上的例子说明了定理1的渐近非一致条件(H)是精确的，如果不能保证条件(H)，方程有可能无解．参考文献：[1]Hammerstein A.Nichtlineare integralgleichungen nebst anwendungen[J].Acta Mathematica,1929,54(1):117-176[2]Dolph C L.Nonlinear integral equations of Hammersteintype[J].Transactions of the American Mathematical Society,1949,66(2):289-307[3]Mawhin J,Ward J R.Nonresonance and existence for nonlinear elliptic boundary value problems[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods and Applications,1981,5(6):677-684[4]丁同仁.在共振点的非线性振动[J].中国科学(A辑)，1982,25(1):1-13 Ding T R.Nonlinear oscillations at a point of resonance[J].Science in China(SeriesA),1982,25(1):1-13[5]Santo D D,Omari P.Nonresonance conditions on the potential for a semilinear elliptic problem[J].Journal of DifferentialEquations,1994,108(1):120-138[6]Ruf B.Singularity theory and the Geometry of a nonlinear elliptic equation[J].Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa,Class di Scienze,1990,17(1):1-33[7]Sfecci A.A nonresonance condition for radial solutions of a nonlinear Neumann elliptic problem[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods and Applications,2012,75(16):6191-6202[8]徐登洲，马如云.线性微分方程的非线性扰动(第2版)[M].北京：科学出版社，1994 Xu D Z,Ma R Y.Nonlinear Disturbances of the Linear Differential Equations(2nd Edition)[M].Beijing:Science Press,1994[9]Xing H,Chen H B,He X B.Exact multiplicity and stability of solutions of second-order Neumann boundary value problem[J].Applied Mathematics and Computation,2014,232(3):1104-1111[10]Deimling K.Nonlinear Functional Analysis[M].Berlin:Springer-Verlag,1985[11]郭大钧.非线性泛函分析[M].济南：山东科学技术出版社，1985 Guo DJ.Nonlinear Functional Analysis[M].Jinan:Shandong Science and Technology Press,1985[12]孙经先.一类非线性算子的不动点[J].山东大学学报，1990,25(4):424-427 SunJ X.Fixed point theorems for a class of nonlinear operators[J].Journal of Shandong University,1990,25(4):424-427[13]Amann H.Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces[J].SIAmReview,1976,18(4):620-709[14]Maz’ya V.Boundedness of the gradient of a solution to the Neumann-Laplace problemin a convex domain[J].Comptes RendusMathématique,2009,347(9-10):517-520[15]Nardi G.Schaud er estimate for solutions of Poisson’s equation with Neumann boundary condition[J].L’enseignementMathématique,2014,60(3-4):421-435。

一类半线性椭圆方程解的存在性

长春师范大学学报Journal of Changchun Normal University 第40卷第4期Vol.40 No.42021年4月Apr.2021•类半线性椭圆方程解的存在性汤楠，陈林( 伊犁师范大学数学与统计学院, 新疆伊宁 835000)［摘要］椭圆型偏微分方程边值问题是偏微分方程理论的重要研究内容之一。

本文研究一类半线性椭圆方程边值问题{- Au + q ( x) u =| "I" 2 u + g ( u ) + h ( x),xeO,u =0,x e dQ,其中，O 是R " (N M3)中的光滑有界区域,1 < P <2* =彳役，运用变分法和临界点理论得到了方程弱解的存在性条件。

［关键词］半线性椭圆型方程;弱解;变分法［中图分类号］0172 ［文献标志码］A ［文章编号］2095 -7602(2021)04 -0005 -031引言及定理椭圆型偏微分方程常用来描述某些物理过程的稳恒状态［1-4］.近年来，人们对椭圆方程边值问题进行了广泛而深入的研究，得到了一些重要的结论［5-9］.本文研究非线性椭圆方程边值问题{- Au + q( x) u 二 | u |P 2u + g( u) + h( x) ,x e Q , u 二 0 ,x e dQ.(1)弱解的存在性，其中,Q 是R " (" M3)中的光滑有界区域,1 <p < 2* =严丫为便于研究问题，给出以下假"—2设:(H1)Q U R "是有界开集,并且在Q 中有q e £8(Q)和q(x) M 0. (H2)h e £2(Q).(H3)g:R — R 连续有界.在空间h 0(Q)中赋予内积(u\v) = I V u • V ^dx + I q( x) u ”dx.(2)Q Q 由内积 (2) 导出的范数为|| u || = ( u|u)2 = ( I( |Vu |2 + q( x) u 2 )dx ) 2.［收稿日期］2020-10 - 29［基金项目］伊犁师范大学2020年研究生科研创新项目“几类Kirchhoff 型椭圆方程解的存在性研究”(YSD202002)；新疆高校科研计划重点项目“几类椭圆型偏微分方程解的研究”(XJEDU2016I043)。

改进的椭圆边值问题边界条件算法

・３・８
条件数变大了，而不利于迭代求解。下面给出另因外一种齐次边界条件算法。
算法２
Ｆｏ＝１ｏｎｒｉｔ
有限元方法中的优势，面给出了一个算例。下考虑下面的齐次四阶椭圆边值问题
（ｒ）Ｏ（ｒ）＂ＣＳ＂。ｔｙｔｙ
。（３）
式中，ｆ＝２＂取４一４＂ＣＳ）Ｏ（）一ｉｆ０４Ｏ（ｉｆＣＳ
（郑州大学数学系，河南郑州４０５）５０２摘要：针对用有限元方法来求解椭圆边值问题时的边值条件处理，通过引入一种边值条件处理技巧，出提
了只选取求解区域内部节点组成的方程组进行求解的算法，该算法使得在一定程度上提高了计算精度、降低
地求解这个方程组，如预处理共轭梯度法、Ｍ矩阵方
算法１
Ｆｒｉ１ｏｎｏ：ｔ
Ｉｉ１置口为很大的一个实数，１珈；ｆ ∈．，．如０置为一个绝对值很小实数，０；如
ＥｎｄＩｆＥｄＦｒｎｏ
设是区域的一个剖分簇，则剖分形成的节
的刚度矩阵，由各单元刚度矩阵合成为总体刚度点可分为内部节点和边界节点，属于边界节点的再设．＝｛，ｋ＝１２，，为边界１Ｐ， … ｍ）矩阵，然后进行边界条件的处理，最终的数值解法是自由度个数为ｍ，． ‘ ｝（节点自由度编号的集合，总体刚度矩阵Ａ（，口）求解方程组

拟线性抛物型方程边值问题时间周期解

!"##$年%月重庆师范大学学报（自然科学版）&’()"##$第"*卷第+期&,’-./(,012,.345.36,-7/(8.59:-;5<)（6/<’-/(=>5:.>:）?,(@"*6,@+拟线性抛物型方程边值问题时间周期解!查中伟（重庆三峡学院数学与计算机科学学院，重庆万州A#A###）摘!要：研究一类拟线性抛物型方程的边值问题!!!"#!"!!$"%&（$，"，!!!$），（$，"）"!!（#，"）%"B （"），!（’，"）%""（"{），!%（$，"）(#)$)’{，#C )")*}C 。

首先引入时间周期的DE(F:-连续函数空间+,"*#（!）和函数-（$，"，.）%&（$，"，.）#（!#/），!)/&（$，"，.），/#!#0&（$，"，.）#（!#0），{!10，在已知函数的某些假设条件下，利用上下解方法和G:-/)H=>2/’F:-不动点定理证明了边值问题!!!"#!"!!$"%-（$，"，!!!$），（$，"）"!!（#，"）%"B （"），!（’，"）%""（"{）有满足0（$）#!（$，"）#0（$）的时间周期解!（$，"）"+,"*#（!）。

由函数-的定义推断出所研究的边值问题时间周期解的存在性。

关键词：拟线性抛物型方程；边值问题；DE(F:-连续函数；,H 周期解中图分类号：IB%*@"J文献标识码：K!!!文章编号：BJ%"H JJL+（"##$）#+H ##"$H #AB 预备知识及结论关于偏微分方程定解问题时间周期解的研究具有重要的实际意义，不少学者在这方面做了许多工作，如文献［B 2%］。

一类拟线性Semipositone椭圆边值问题的正解

一类拟线性Semipositone椭圆边值问题的正解
李贵艳;张鹏
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2009(000)020
【摘要】本文利用上、下解方法,获得一类拟线性semipositone椭圆Dirichlet边值问题的一个正解,改进和推广了一些结果.
【总页数】1页(P4)
【作者】李贵艳;张鹏
【作者单位】遵义师范学院数学系;遵义师范学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一类具有一维p-Laplacian算子的拟线性多点边值问题的正解 [J], 李清华;王长伟;张新光
2.具有奇性的拟线性边界退化椭圆边值问题正解的存在性及正则性 [J], 徐中海;冯振国;郑甲山
3.具有相异奇性的拟线性边界退化椭圆边值问题正解的存在性及正则性 [J], 徐中海;郑甲山;冯振国
4.无界域中拟线性椭圆型方程边值问题的正解 [J], 林应标
5.一类次线性semipositone椭圆问题的正解 [J], 张鹏;唐春雷
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光滑区域上椭圆边值问题有限元解的校正方法

光滑区域上椭圆边值问题有限元解的校正方法
杨一都
【期刊名称】《贵州师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1989(000)002
【摘要】本文导出了光滑区域上线性椭圆边值问题有限元解的校正方法,证明了这个方法仅花很少代价就把线性有限元解u_h的精度阶从h^2|l_nh|提高到h^(3-ε),ε>o任意小(‖·‖σ,∞模、内部估计)。

【总页数】6页(P26-31)
【作者】杨一都
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O242.21
【相关文献】
1.球外部区域上一类椭圆边值问题的正径向解 [J], 潘志刚;蒲志林;陈炜
2.半线性椭圆边值问题有限元校正方法 [J], 杨一都
3.光滑区域上椭圆本征值问题的有限元插值校正方法 [J], 杨一都
4.环形区域上含梯度项的椭圆边值问题径向解的存在性 [J], 李其祥;李永祥
5.球外部区域上含梯度项椭圆边值问题的径向解 [J], 伏彤彤;李永祥
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椭圆边值问题之非平凡多解

椭圆边值问题之非平凡多解
饶若峰
【期刊名称】《肇庆学院学报》
【年(卷),期】2006(027)005
【摘要】利用空间H10(Ω)的正交分解性,结合Ambrosetti与Rabinowitz的山路引理,证得一类椭圆方程非平凡解的存在性.
【总页数】2页(P8-9)
【作者】饶若峰
【作者单位】肇庆学院,数学系,广东,肇庆,520061
【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
【相关文献】
1.涉及任意特征值的椭圆方程非平凡多解的存在性 [J], 黄家琳
2.一类具有临界Sobolev指标半线性椭圆型方程非平凡解的多解性 [J], 韩建龙
3.二非线性椭圆方程的非平凡无穷多解 [J], 鲁一宪;钱爱侠
4.一类拟线性椭圆方程边值问题多解的存在性 [J], 田意梅;陈林
5.具临界指数椭圆方程-Δu=λ_κu+|u|^(2^*-2)u+f(x,u)非平凡多解存在性 [J], 饶若峰
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