三次样条插值——三转角方程的算法设计

三次样条插值是一种插值方法，用于通过一组离散点的数据生成连续的曲线。三次样条插值算法可以通过三转角方程来实现。三转角方程是指在每个节点处，曲线的一阶导数和二阶导数与相邻插值段的一阶导数和二阶导数相等。该方程可以用来计算插值段的系数，从而得到连续的曲线。

三次样条插值的算法设计包括以下步骤：

1. 确定插值节点，即给定一组数据点{x_i, y_i}。

2. 计算相邻插值段的一阶导数和二阶导数。

3. 根据三转角方程，计算每个节点的插值段系数。

4. 通过插值段系数，得到连续的三次样条曲线。

三次样条插值算法的优点是可以减少插值误差，同时保持曲线的平滑性。该算法在数值分析、计算机图形学和工程设计等领域得到广泛应用。

在实现三次样条插值算法时，需要注意以下问题：

1. 插值节点的选择会影响插值曲线的精度和平滑性。

2. 计算导数时需要使用数值差分或解析方法。

3. 三转角方程的求解可能存在线性方程组求解的问题。

总之，三次样条插值算法是一种重要的插值方法，可以用来生成平滑的曲线，具有广泛的应用前景。

计算方法三次样条插值课程设计

摘要本文细致的讲解了三次样条插值函数的产生及在实际中解决的问题，通过MATLAB的程序编写，可以将复杂的计算省去，直接的给出了三次样条插值的结果与实际结果间的误差，验证实际结果和理论值的一致性。避免了求解方程中的不必要计算，使求解效率得到显著的提高。关键词插值函数三次样条插值 MATLAB

1 三次样条插值函数概论当插值节点很多时,插值多项式的次数就会很高,这不仅增大了计算量,还会影响结果的精确度.虽然可以采用上述分段插值,但是主要缺点就是个分段接头处不光滑,插值函数的导数不连续,因此想构造这样的插值:既能分段的低次插值,又能保证接头处的光滑,就产生了三次样条插值函数. 1.1定义设函数()f x 市区间[a,b]上的二次连续可微函数，在区间[a,b]上给处一个划分。设函数()f x 是区间[a,b]上的一个划分 011...n n a x x x x b -?=<<<<= 如果函数()S x 满足条件（1）在每个小区间1[,]k k x x +（k=1,2,….,n ）上()S x 是一个部超过m 次的多项式。（2）在节点k x （k=1,2,….,n ）处具有m-1阶的连续导数。（3）()()(0,1,2,...) j j s x f x j n == 1.2三次样条差值函数的构造由于三次样条插值我、函数s(x)的插值节点处的二阶导数存在，因此令各节点处的二阶导数为 ' ()(0,1,...,)k s x m k n == （1.01）根据样条插值函数的定义，三次样条插值函数是s(x)在每一个小区间)1....,1,0](,[]1-=+n k x x k k 上市不超过三次的多项式。在每一个小区间 )1....,1,0](,[]1-=+n k x x k k 上，其二阶导数为线性函数，即 '' 11 11()k k k k k k k k x x x x s x m m x x x x ++++--=+-- （1.02）对式（1.02）积分两次，则得到 k k k k k k k k k b x x a h x x m h x x m x s +-+-++=++)(6)(6)()(3 1 3 1 （1.03）

三次样条插值法公式

三次样条插值法公式在实际应用中，我们经常需要根据已知数据点的函数值，来估计其他位置的函数值。例如，在地理信息系统中，我们可能需要根据已知的地理坐标点，来估计其他位置的高程值。在这种情况下，我们可以使用三次样条插值法来实现。三次样条插值法的基本思想是将整个插值区间分成多个小区间，并在每个小区间内使用一个三次多项式来逼近原函数。具体而言，我们将插值区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。然后，我们在每个小区间内构造一个三次多项式，使得这个多项式在该区间内与原函数的函数值和导数值都相等。为了简化计算，我们通常使用自然边界条件来确定每个小区间的三次多项式的边界条件。自然边界条件要求在插值区间的两个端点处，三次多项式的二阶导数为零。这样一来，我们只需要求解一个关于未知系数的线性方程组，就可以得到所有小区间的三次多项式的系数。具体而言，假设我们将插值区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。我们用S(x)表示在插值区间上的样条函数，用S''(x)表示样条函数的二阶导数。我们可以得到以下线性方程组： h1*S''(a) + 2*(h1+h2)*S''(a+h1) + h2*S''(a+2h1) = 6/h1*(y2-

y1) h2*S''(a+h1) + 2*(h2+h3)*S''(a+2h1) + h3*S''(a+3h1) = 6/h2*(y3-y2) ... h(n-1)*S''(a+(n-2)h1) + 2*(h(n-1)+hn)*S''(a+(n-1)h1) + hn*S''(a+nh1) = 6/hn*(yn-y(n-1)) 其中，y1, y2, ..., yn分别表示插值区间上的已知函数值。通过求解这个线性方程组，我们可以得到S''(a), S''(a+h1), ..., S''(a+nh1)的值。然后，我们可以通过插值条件求解出S(x)的系数，从而得到整个样条函数。三次样条插值法具有很好的平滑性和局部逼近性。由于每个小区间使用的是一个三次多项式，这样的插值函数在插值区间内是连续可导的。因此，三次样条插值法可以很好地逼近原函数，并且在插值点附近的误差较小。除了插值外，三次样条插值法还可以用于数据的平滑和曲线拟合。通过调整插值区间的个数和插值点的位置，我们可以得到不同程度的平滑效果。此外，三次样条插值法也可以用于曲线的拟合，即通过已知数据点，构造出一条平滑的曲线，以尽可能地拟合这些数据点。在实际应用中，三次样条插值法广泛用于地理信息系统、图像处理、

三次样条插值求导法

三次样条插值求导法三次样条插值法是一种常用的数值分析方法，用于近似插值实现平滑曲线的拟合。它的优点在于可以保持原始数据的特性，同时能够降低数据间的噪声干扰，使得插值的结果更加准确。本文将介绍三次样条插值法的原理、算法以及应用方面的指导意义。首先，我们需要了解三次样条插值法的基本原理。三次样条插值法通过在相邻数据点之间构造三次多项式来近似拟合原始数据。这些三次多项式满足一定的光滑性条件，使得插值结果的曲线平滑而连续。在三次样条插值中，每个数据点都对应一个三次多项式，并且相邻多项式之间的导数和二阶导数必须相等，以保证曲线的平滑性。接下来，我们将介绍三次样条插值法的算法步骤。首先，我们需要确定每个数据点对应的三次多项式。为了满足光滑性条件，我们需要计算每个数据点处的导数值。这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中方程的个数等于数据点的个数。解得导数值之后，我们就可以得到每个数据点对应的三次多项式的系数。然后，我们需要利用这些系数来计算在数据点之间的插值结果。为了实现这一点，我们可以利用三次多项式的性质，通过给定的数据点和对应的三次多项式系数，来计算在两个相邻数据点之间的插值结果。最后，我们需要通过合理的选择数据点以及插值节点的间距，来获得更加准确的三次样条插值结果。一般来说，数据点的选择应尽量

满足曲线的变化趋势，以反映原始数据的特点。此外，插值节点的间距也需要经过合理的选择，以保证插值结果的准确性。三次样条插值法在实际应用中有着广泛的意义和指导价值。首先，它可以用于光滑曲线的拟合，将离散的数据点进行连续化处理，使得数据的绘图和分析更加方便。其次，它可以用于数据的插值预测，通过已有的数据点来预测未知数据点的取值。此外，三次样条插值法还可以在数字图像处理中用于图像的平滑和插值填充，从而改善图像的质量和美观度。综上所述，三次样条插值法是一种有效的数值分析方法，可以用于实现平滑曲线的拟合和数据的插值预测。通过了解其原理、算法以及应用方面的指导意义，我们可以更好地理解和应用这一方法，从而提高数据处理和分析的准确性和效率。

三转角样条插值

三转角样条插值摘要: 对于插值多项式的次数问题，人们一般认为：插值多项式的次数越高，精度越高。比如线性插值的误差就比抛物线插值的误差要大。但是在20世纪初龙格（Runge ）现象说明插值多项式并非次数越高精度越高。人们利用样条插值来拟合曲线，可以利用足够的的数据点，还有公式简单，运算量节省等好处，其中最常用的样条函数是三次样条。在课本《现代数字数学与计算》中采用的是三弯矩方法推导得出三次样条插值多项式的计算公式，本文将采用三转角法推出三次样条插值多项式的计算公式，并用其拟合几个函数。在发现等距节点在拟合不连续函数的结果不让人满意时，使用Chebyshev 插值节点构造不均匀节点来减少其拟合的误差，最后用三转角样条插值函数拟合画出手写字母。三转角法的理论：对于b t t t a n =< <<=...10，考虑],[2 b a C s ∈的三次样条插值函数，使得n i t f f t s i i i ,...,1,0),()(===，且满足第一类边界条件00' 0')()(β==t f t s ，n n n t f t s β==)()(' ' 。验证在区间n i t t i i ,...,2,1],,[1=-上满足 )()()()()(11t v t u t q f t p f t s i i i i i i i i i ββ+++=-- 其中1--=i i i t t h ， )](2[)()(132 --+-= i i i i i t t h h t t t p ， )](2[)()(3 2 1i i i i i t t h h t t t q ---= - ， 2 12 ) ()()(i i i i h t t t t t u ---= ， 2 2 1) ()()(i i i i h t t t t t v --= - ，而 i β可由递推公式 )( 3)11( 31)11( 212 12 1 12 1 2 11 1 1i i i i i i i i i i i i i i h f h f h h f h h h h -++++++-- +- =+ + +βββ 所确定。

MATLAB三次样条插值之三转角法.docx

非常类似前面的三弯矩法,这里的sanzhj函数和intersanzhj作用相当于前面的sanwanj和intersanwj,追赶法程序通用,代码如下。%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [newu,w,newv,d]=sanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b) % 三转角样条插值 % 将插值点分两次输入,x0 y0 单独输入 % 边值条件a的一阶导数 y1a 和b的一阶导数 y1b n=length(x);m=length(y); if m~=n error('x or y 输入有误,再来'); end v=ones(n-1,1); u=ones(n-1,1); d=zeros(n-1,1); w=2*ones(n-1,1); h0=x(1)-x0; h=zeros(n-1,1); for k=1:n-1 h(k)=x(k+1)-x(k); end v(1)=h0/(h0+h(1)); u(1)=1-v(1); d(1)=3*(v(1)*(y(2)-y(1))/h(1)+u(1)*((y(1)-y0))/h0); % for k=2:n-1 v(k)=h(k-1)/(h(k-1)+h(k)); u(k)=1-v(k); d(k)=3*(v(k)*(y(k+1)-y(k))/h(k)+u(k)*(y(k)-y(k-1))/h(k-1)); end d(1)=d(1)-u(1)*y1a; d(n-1)=d(n-1)-v(n-1)*y1b; newv=v(1:n-2,:); newu=u(2:n-1,:); %%%%%%%%%%%% function intersanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b) % 三转角样条插值 %第一部分 n=length(x);m=length(y); if m~=n error('x or y 输入有误,再来'); end %重新定义h h=zeros(n,1); h(1)=x(1)-x0; for k=2:n h(k)=x(k)-x(k-1); end % 调用三转角函数 [a,b,c,d]=sanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b); % 三对角方程 m=chase(a,b,c,d); % 求M M=[1;m;0]; % 求插值函数 fprintf('三次样条（三转角）插值的函数表达式\n'); syms X ; fprintf('S0--1:\n'); S(1)=collect((y0/h(1).^3)*(X-x(1)).^2*(h(1)+2*(X-x0))+(y(1)/h(1).^3)*(X-x0).^2*(h(1)+2*(x(1)-X))+(M(1)/h(1).^2)*(X-x0)*(X-

三维插值算法原理

三维插值算法原理三维插值算法是一种用于在三维空间中估计未知数据点的方法。它基于已知数据点的数值和位置，通过插值计算出未知数据点的数值。三维插值算法广泛应用于地理信息系统、计算机图形学、物理模拟等领域。三维插值算法的原理是利用已知数据点之间的关系，通过数学方法推断出未知数据点的数值。常用的三维插值算法包括线性插值、三次样条插值和Kriging插值等。线性插值是最简单的三维插值算法之一。它假设未知数据点的数值与已知数据点之间的关系是线性的，并通过线性方程进行插值计算。线性插值适用于数据点之间变化较为均匀的情况，但对于数据点之间的非线性关系无法准确估计。三次样条插值是一种更为精确的三维插值算法。它利用已知数据点之间的关系构建出一组三次样条函数，并通过这些函数进行插值计算。三次样条插值可以更好地逼近数据点之间的曲线变化，能够较好地处理非线性关系。 Kriging插值是一种基于统计学原理的三维插值算法。它假设未知数据点的数值是具有空间相关性的随机变量，并通过已知数据点之间的空间相关性进行插值计算。Kriging插值能够考虑数据点之间的空间分布和变异性，适用于非均匀分布的数据点。

在三维插值算法中，选择合适的插值方法是十分重要的。根据实际数据的特点和需求，可以选择不同的插值方法。线性插值适用于数据点变化较为均匀的情况，速度较快但精度较低；三次样条插值能够更好地逼近数据点之间的曲线变化，精度较高但计算复杂度较大；Kriging插值考虑了数据点之间的空间相关性，适用于非均匀分布的数据点，但计算量较大。除了选择合适的插值方法，还需要注意插值参数的选择。参数的选择会直接影响插值结果的准确性和稳定性。例如，在Kriging插值中，需要选择合适的半方差函数和变异性参数来描述数据点之间的空间相关性。参数的选择通常需要根据实际数据的特点进行调整，以获得最佳的插值效果。三维插值算法是一种通过已知数据点之间的关系推断未知数据点数值的方法。通过选择合适的插值方法和参数，可以在三维空间中准确估计未知数据点的数值。三维插值算法在地理信息系统、计算机图形学和物理模拟等领域具有广泛的应用前景。

三次样条插值算法详解

三次样条插值算法详解下面详细介绍三次样条插值方法的具体步骤： 1.数据准备：首先，需要获得一组数据点，这些数据点包含了所需插值曲线的关键信息。通常情况下，数据点是从实际观测中获得的。 2.区间划分：将插值区间划分为若干个小区间，每个小区间对应一个三次函数。 3. 函数构建：对于每个小区间，在该区间内构建一个三次函数。这里使用三次多项式进行构建，形如 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。每个小区间内的函数有四个待定系数：a、b、c、d。 4.条件设置：为了确定每个小区间内的函数，需要设置相应的条件。一般来说，需要满足以下两个条件： (a) 函数值条件：保证每条小区间内的函数值通过对应的数据点。即，对于每个小区间，函数值满足 f(xi) = yi，其中(xi, yi)表示第i个数据点的横纵坐标。 (b)导数条件：保证每个小区间内函数的导数连续。这可以通过限制每个小区间内的函数的一阶导数（即斜率）相等来实现。 5.矩阵方程求解：根据上述条件设置，可以得到一个线性方程组，其中待求的系数为未知数。将上述条件代入方程组中，然后求解该方程组以获得每个小区间内的函数系数。 6.曲线绘制：通过得到的函数系数，可以计算每个小区间内的函数值，并连接这些函数值，最终得到整个插值曲线。

三次样条插值方法是一种非常强大和灵活的插值方法，适用于各种类型的数据点，包括均匀和非均匀间距的数据。通过调整划分区间的个数，可以控制插值曲线的光滑程度。一般来说，插值区间越多，插值曲线越平滑，但对输入数据的噪声更敏感。总结起来，三次样条插值是一种高级的插值方法，通过构建三次函数来逼近数据点，可以产生平滑的插值曲线。它的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间，并在每个小区间内构建一个三次函数。通过设置函数值条件和导数条件，可以得到一个线性方程组，从而求解出每个小区间内的函数系数。最终连接每个小区间内的函数值，得到整个插值曲线。

三次样条插值法matlab程序

三次样条插值法引言在数学和计算机科学领域中，插值是一种常见的技术，用于通过已知数据点的值来估计在这些数据点之间的未知数据点的值。三次样条插值法是一种广泛应用的插值方法，它通过使用三次多项式来逼近原始数据，从而实现对未知数据点的估计。本文将介绍三次样条插值法的原理、实现和应用。原理三次样条插值法的基本原理是通过在每个相邻数据点之间使用三次多项式来逼近原始数据。这些多项式在每个数据点处具有相同的值和导数，从而保证了插值函数的平滑性。具体而言，对于给定的数据点集合{ (x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) }，三次样条插值法将在每个相邻数据点之间构造一个三次多项式，即 S(x) = a_i(x - x_i)^3 + b_i(x - x_i)^2 + c_i(x - x_i) + d_i 其中，i 表示数据点的索引。为了确定这些多项式的系数 a_i, b_i, c_i 和 d_i，需要满足以下条件： 1.在每个数据点处，插值函数的值与原始数据点的值相等：S(x_i) = y_i 2.在每个相邻数据点之间，插值函数的一阶导数连续：S’(x_i) = S’(x_i+1) 3.在每个相邻数据点之间，插值函数的二阶导数连续：S’‘(x_i) = S’’(x_i+1) 通过求解这些条件，可以得到一个线性方程组，并确定三次样条插值法的插值函数。实现三次样条插值法的实现可以通过以下步骤完成： 1.根据给定的数据点集合，计算相邻数据点之间的差值：h_i = x_i+1 - x_i 2.构建一个三对角矩阵 A，其中主对角线元素为 2(h_i + h_i+1)，上下对角线元素为 h_i 和 h_i+1 3.构建一个向量 B，其中元素为 6 * ((y_i+1 - y_i)/h_i+1 - (y_i - y_i- 1)/h_i)，其中 y_i 为原始数据点的值 4.解线性方程组 A * C = B，其中 C 为包含S’’(x_i) 的向量

三次样条插值的编程

三次样条插值的编程一、概念三次样条插值是一种数值分析方法，用于在给定的数据点上构造一个光滑的曲线或函数。它通过在相邻数据点之间拟合三次多项式来实现插值，以达到光滑曲线的效果。二、原理 1. 插值多项式的选择三次样条插值使用三次多项式作为插值函数。在每个相邻数据点之间，插值多项式的系数由相邻数据点的函数值和导数值决定。 2. 条件限制为了保证插值曲线的光滑性，三次样条插值要求插值函数在给定数据点处的一阶导数值相等。这个要求可以通过构造一个三对角矩阵来实现。 3. 矩阵方程的求解通过将条件限制转化为矩阵方程，可以求解出插值多项式的系数。然后，将系数代入插值多项式中，就可以得到三次样条插值的函数表达式。三、编程实现下面以Python为例，介绍如何使用编程实现三次样条插值。

1. 导入所需库我们需要导入numpy和scipy库，它们提供了许多数值计算和插值函数。 ```python import numpy as np from scipy.interpolate import CubicSpline ``` 2. 定义数据点接下来，我们定义一些数据点。假设我们有一组x和y的数据。 ```python x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) y = np.array([3, 5, 4, 6, 8]) ``` 3. 进行插值计算利用CubicSpline函数可以进行三次样条插值的计算。 ```python cs = CubicSpline(x, y) ``` 4. 绘制插值曲线

我们可以使用matplotlib库绘制出插值曲线。 ```python import matplotlib.pyplot as plt xx = np.linspace(1, 5, 100) yy = cs(xx) plt.plot(x, y, 'o', label='Data points') plt.plot(xx, yy, label='Cubic spline') plt.legend() plt.show() ``` 通过运行以上代码，我们可以得到插值曲线的图像。四、总结三次样条插值是一种常用的插值方法，可以在给定的数据点上构造出光滑的曲线。本文介绍了三次样条插值的概念、原理以及使用编程实现该插值方法的步骤。通过编程实现，我们可以方便地进行数据的插值计算，并得到插值曲线的可视化结果。

三次样条插值法公式

三次样条插值法公式三次样条插值法是一种常用的数值插值方法，适用于一维数据的插值问题。它通过利用已知的数据点，构建出一个连续的光滑函数，从而对未知数据点进行估计或预测。在介绍三次样条插值法之前，我们先来了解一下插值的概念。插值是指通过已知数据点之间的关系，推导出其他位置的数据点的过程。在实际应用中，经常会遇到需要估计或预测某些数据点的情况，这时候插值就派上了用场。三次样条插值法的基本思想是将整个插值区间分成多个小区间，并在每个小区间内分别构造一个三次函数来拟合数据点。这样做的好处是可以保证整个插值函数的连续性和光滑性。具体而言，三次样条插值法的步骤如下： 1. 将插值区间分成n个小区间，每个小区间由两个相邻的数据点确定。 2. 在每个小区间内，构造一个三次函数，该函数满足通过该区间内的两个数据点，且在两个相邻小区间内的函数值、一阶导数和二阶导数均相等。 3. 根据这些条件，可以得到每个小区间内的三次函数的表达式。 4. 使用求解得到的三次函数，可以对未知数据点进行估计或预测。三次样条插值法的优点在于，它能够在保持插值函数的光滑性的同

时，较好地拟合已知数据点，并且在插值区间内的误差较小。与其他插值方法相比，三次样条插值法能够更好地处理数据点之间的不连续性和异常值。然而，三次样条插值法也存在一些限制和注意事项。首先，插值区间内的数据点必须是有序的，不能有重复值或乱序。其次，对于较大的插值区间，三次样条插值法的计算复杂度较高，可能会造成较大的计算开销。此外，三次样条插值法对于边界条件的处理也需要特别注意，常见的处理方式有自然边界条件和周期边界条件等。三次样条插值法是一种常用的数值插值方法，适用于一维数据的插值问题。它通过构造多个小区间内的三次函数，保证了插值函数的连续性和光滑性，能够较好地拟合已知数据点，并对未知数据点进行估计或预测。在实际应用中，我们可以根据具体问题的需求选择合适的插值方法，以获得更准确、可靠的结果。

三次样条插值法例题计算

三次样条插值法例题计算三次样条插值法是一种常用的数值分析方法，用于对给定的一组离散数据点进行插值计算。它利用多项式函数的连接性和平滑性特点，将整个插值区间分为多个小区间，并对每个小区间进行插值计算。假设我们需要对以下离散数据点进行插值计算：（1, 3）、（2, 5）、（3, 2）、（4, 6）、（5, 1）。我们可以使用三次样条插值法来计算在x等于2.5的位置的插值值。首先，我们需要确定每个小区间的插值多项式。根据三次样条插值法的原理，我们可以得到以下方程组： (1) S_0(x) = a_0 + b_0(x - x_0) + c_0(x - x_0)^2 + d_0(x - x_0)^3 (2) S_1(x) = a_1 + b_1(x - x_1) + c_1(x - x_1)^2 + d_1(x - x_1)^3 (3) S_2(x) = a_2 + b_2(x - x_2) + c_2(x - x_2)^2 + d_2(x - x_2)^3 (4) S_3(x) = a_3 + b_3(x - x_3) + c_3(x - x_3)^2 + d_3(x - x_3)^3 其中，S_i(x)表示第i个小区间的插值多项式，a_i、b_i、c_i、d_i为待求系数，x_i为第i个数据点的x坐标。然后，我们需要确定每个小区间内插值多项式的系数。由于我们需要保证插值函数在每个数据点处通过，可以得到以下方程： (5) S_0(x_0) = y_0 (6) S_0(x_1) = y_1 (7) S_1(x_1) = y_1 (8) S_1(x_2) = y_2 (9) S_2(x_2) = y_2 (10) S_2(x_3) = y_3 (11) S_3(x_3) = y_3 (12) S_3(x_4) = y_4 其中，y_i为第i个数据点的y坐标。最后，我们需要确定边界条件。通常我们可以采用自然边界条件，即在第一个小区间和最后一个小区间的边界点处，二阶导数为零： (13) S_0''(x_0) = 0 (14) S_3''(x_4) = 0 通过解以上方程组，我们可以确定每个小区间内插值多项式的系数a_i、b_i、c_i、d_i。然后，我们就可以根据插值多项式计算在x等于2.5的位置的插值值了。综上所述，三次样条插值法是一种常用的数值分析方法，用于对离散数据点进行插值计算。它通过建立小区间内插值多项式，并满足插值函数在数据点处的通过性和平滑性，可以准确地估计插值值。

三阶样条插值数学推导

三阶样条插值数学推导？答：三阶样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种数学方法，用于在给定数据点集合上插值出连续的平滑曲线。假设给定了一组有序的x、y数据点，可以使用三阶样条插值来插值出一条连续的平滑曲线。首先，需要将数据点分成n个小区间，每个小区间的两个端点为xi、xi+1，对应的函数值为yi、yi+1。对于每个小区间，假设插值函数为f(x)，则有以下条件： 1. f(xi) = yi 2. f(xi+1) = yi+1 3. f''(xi) = 0 （一阶导数连续） 4. f''(xi+1) = 0 （一阶导数连续） 5. f'''(xi) = 0 （二阶导数连续） 6. f'''(xi+1) = 0 （二阶导数连续）其中，f''表示函数的一阶导数，f'''表示函数的二阶导数。根据以上条件，可以构造出一个线性方程组，用于求解每个小区间的插值函数。具体来说，对于第i个小区间，可以设： f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 根据条件，可以得到以下方程： 1. f(xi) = yi => a + bxi + cxi^2 + dxi^3 = yi 2. f(xi+1) = yi+1 => a + b(xi+1) + c(xi+1)^2 + (xi+1)^3 = yi+1 3. f''(xi) = 0 => 2cxi + 6dxi^2 = 0 4. f''(xi+1) = 0 => 2c(xi+1) + 6d(xi+1)^2 = 0

5. f'''(xi) = 0 => 6dxi = 0 6. f'''(xi+1) = 0 => 6d(xi+1) = 0 通过解这个线性方程组，可以得到a、b、c、d的值，从而得到第i个小区间的插值函数。

三次样条插值的求解

三次样条插值的求解摘要：分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力，还有船体放样等的型值线，往往要求有二阶光滑度（即有二阶连续导数）。因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法，在保证原方法的收敛性和稳定性的同时，又使得函数具有较高的光滑性的样条插值。关键字:三转角方程三弯矩阵方程 0. 引言 1，三次样条函数定义1：若函数2 ()[,]S x a b C ∈,且在每个小区间上1,j j x x +⎡⎤⎦⎣上是三次多项式，其中01n a x x x b ⋯=<<<= 是给定节点，则称()s x 是节点 01,,,n x x x ⋯上的三次样条函数。若节点j x 上给定函数值 () j j y f x =(0,1,)j n ⋯= ,且 ()j j s x y = (0,1,)j n ⋯= （1.1）成立，则称 ()s x 为三次样条差值函数。从定义知，要求出()s x ，在每个应小区间1[,]j j x x + 上确定4个待定系数，共有 n 个小区间，故应确定4n 个参数，根据()s x 在[,]a b 上二阶导数连续，在节点()1,2,3,,1j x j n ⋯=-处应满足连续性条件

(0)(0),j j s x s x -=+ ''(0)(0),j j s x s x -=+ ''''(0)(0)j j s x s x -=+ （1.2）共有 3n-3个条件，再加上()s x 满足插值条件（1.1），共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定()s x 。通常可在区间[,]a b 端点0,n a x b x ==上各加一个条件（称边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。常见的三种： (1) 已知两端的一节导数值，即 { ''00 ' ' ()()n n s x f s x f == （1.3） (2)两端的二阶导数已知，即 { ''''00'' '' ()()n n s x f s x f == （1.4）特殊情况下的边界条件 ''''0()()0n s x s x == （1.4）’ 称为自然边界条件（3）当()f x 是以0n x x - 为周期函数时，则要求()s x 也是周期函数，这时边界条件应满足而此时式中 , 这样确定的样条函数称为周期函数。 2.三转角方程及相应的边界条件函数s(x)的表达式，若满足假定的在节点处的值为,再由，是 ,则由分段Hermite 插值式

三次样条算法

一、实验目的和要求（1）掌握三次样条方法的原理，加深对插值方法的理解。（2）理解三次样条在高次差值的逼近效果比多项式的优越性！（3）能构造出正确的算法结构并能实现具体问题的计算。二、实验内容和原理实验内容：三次样条插值解决具体问题：对于函数，取等距节点5,0,1,,10i i i x =-+= ，设已给出节点上的函数值以及左右两个端点的一阶导数值，按上述算法进行样条插值。实验原理：（1）、三次样条的定义：设在[a,b]上有n+1个节点，f(xi)= yi,i=0,1,2,…,n 。若S3(x)满足 1) S3(x)在每个[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上是不高于三次的多项式； 2) S3(x)，，在[a,b]上连续； 3) S3(xi)=yi(i=0,1,…,n)。则称S3(x)为f(x)关于节点x0,x1,…,xn 的三次样条插值函数。（2）、三次样条插值函数的边界条件：待定系数个数：4n 已知条件：补充条件：这两个条件通常在区间[a,b]的两个端点给出，称为边界条件（3）、三次样条插值函数的求法： 21()1 f x x =+)('3x s )(' '3x s 3333333(),(0,1,)(0)(0),(1,2,1)(0)(0),(1,2,1)(0)(0),(1,2,1)i i i i i i i i S x y i n S x S x i n S x S x i n S x S x i n ==⎧⎪-=+=-⎪⎨''-=+=-⎪⎪''''-=+=-⎩ 3011011i i+1i i i+1 20 212 021()()()()()...(1)h =x -x , x x x ()(1)(21)()(23) ()(1)()(1) i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x S x y y h m h m h h h h x x x x x x x x x x x x ϕϕψψϕϕψψ++----=+++≤≤=-+=-+=-=-

三次样条插值

三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。一、三次样条插值函数的定义：给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值 ),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足：（1）),,2,1,0() (n i y x S i i ==；（2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式；（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如 ],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++= 其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连

数值分析课程设计--三次样条插值

《数值分析》课程设计三次样条插值算法院（系）名称信息工程学院专业班级 09普本信计1班学号 090111073 学生姓名宣章然指导教师孔繁民 2012年06月08日

数值分析课程设计评阅书

课程设计任务书 2008—2009学年第二学期专业班级： 09普本信计1班学号： 060111060 姓名：宣章然课程设计名称：数值分析设计题目：三次样条插值完成期限：自 2012 年 6 月 8 日至 2012 年 6 月 13 日共 1 周设计依据、要求及主要内容：一、设计目的熟练掌握三次样条插值算法的原理和推导过程，并且能够应用Matlab软件编写相应的程序和使用Matlab软件函数库软件。二、设计要求 (1)用Matlab函数库中相应函数对选定的问题，求出具有一定精度的结果。 (2)使用所用的方法编写Matlab程序求解,对数值结果进行分析。 (3)对于使用多个方法解同一问题的，在界面上设计成菜单形式。三、设计内容首先构造三次样条插值函数的定义和一般特征,并对实例问题进行实例分析, 并总结四、参考文献 [1] 黄明游,冯果忱.数值分析[M].北京:高等教育出版社,2008. [2] 马东升,雷勇军.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2006. [3] 石博强,赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程[M].北京:中国铁道出版

社.2005. [4]郝红伟，MATLAB 6，北京，中国电力出版社，2001 [5]姜健飞，胡良剑，数值分析及其MATLAB实验，科学出版社，2004 [6]薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005 计划答辩时间：2012年6月18日