矩阵第二章 内积空间

第二章 内积空间

目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。

§1 内积空间的概念

定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一

个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。

(1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。 此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。

例2－1 对于n

R 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积

()∑==n

i i i y x Y X 1

,，n R 成为一个内积空间。内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称

为欧氏空间。由于n 维实内积空间都与n

R 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。

例2－2 如果对于n

n R

B A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==

n

j i ij ij b a B A 1

,,，则n n R ⨯成为一个内积

空间。

例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f b

a

⎰

=

)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积

的条件，从而],[b a R 构成内积空间。

内积()βα,具有下列基本性质

(1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；

(3) ()()0,,==βθθα。

定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有

()()()ββααβα,,,2≤，

并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。

定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数

()αα,称为向量α的长度，记

为α。

若1||=α，则称α为单位向量。对于任一非零向量α，取|

|αα

β=

，则β是与α线性相关的单位向量。这种做法称为向量的单位化。

利用向量长度的概念，Cauchy-Schwarz 不等式又可以表示为

()βαβα⋅≤,。当βα,都

不是零向量时，由此不等式可得

()

1,≤⋅β

αβα。因此，可以利用等式()β

αβαϕ⋅=

,cos 来定义两个

非零向量βα,的夹角ϕ，且限制ϕ的取值范围为πϕ≤≤0。

定义 当()θβα=,时，称βα,是正交的，记为βα⊥。零向量与任何向量正交。

例2－4 若βα,是两个正交向量，则有

222||||||βαβα+=+

一般地，如果k ααα,,,21 是k 个两两正交的向量，则有

22221221||||||||k k αααααα+++=+++

从定理2－1可以推出如下简单推论。

推论 设V 是内积空间，V ∈∀βα,，有

(1) βαβα+≤+； (2) βαβα-≥-。

把定理2－1应用到欧氏空间n R 和例2－3中],[b a R 得不等式

∑∑∑===⋅

≤

n

i i

n

i i

n

i i

i y

x

y

x 1

21

21

dx x g dx f dx x g x f b

a b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛)()()(222

这是历史上两个著名的不等式。

§2 正交基与子空间的正交关系

2.1 正交基的概念

内积空间中两两正交的一组非零向量，称为正交组。正交组是线性无关的。

定义2－3 在n 维欧氏空间中，由正交组构成的基称为正交基。如果正交基中每个向量

的长度都等于单位长度，则此正交基便称为标准正交基（或单位正交基）。 定理2－2（存在性）任一n 维欧氏空间V 都存在标准正交基。

通过施密特（Schmidt ）正交化过程，可将欧氏空间的基转化为标准正交基。

标准正交基下的内积

设欧氏空间V 中的两向量在其标准正交基n ααα,,,21 的表达式分别为：

n n x x x αααα+++= 2211，n n y y y αααβ+++= 2211，

则有 ()n n y x y x y x +++= 2211,βα。 两组标准正交基之间的过渡矩阵是一个正交矩阵

设n e e e ,,,21 及n e e e ''',,,21

是欧氏空间V 的两组标准正交基，从前一组基到后一组基的过渡矩阵为A ，即n i a n

k k ki i ,,2,1,1

==

'∑=e e 。则

()

n j i j

i j i a a a a a a n

k kj ki n

k n

t t k tj ki n

t t tj n

k k ki j i ,,2,1,,0,1 )

,(),(),(111

1

1

=⎩⎨

⎧≠====

=''∑∑∑∑∑=====e e e e e e

这表明E A A T

=，即过渡矩阵为A 是一个正交矩阵。 2.2 正交子空间

定义2－4 设21,V V 是内积空间V 的两个子空间。如果对任意的21,V V ∈∈βα，都有

()0,=βα，则称1V 与2V 是正交的，并记为21V V ⊥。

特别地，如果V 中某个向量α与子空间1V 中的每个向量都正交，则称α与1V 正交，记为

1V ⊥α。

定理2－3 内积空间V 的两个正交子空间21,V V 的和21V V +是直和。

证明：如果存在21,V V ∈∈βα，使得θβα=+，则有

()()()()()αααβαααβααθ,,,,,0=+=+==，