《离散数学》课程教学大纲

《离散数学》课程教学大纲

课程类别：专业基础课

适用专业：计算机应用技术

适用层次：高起专

适用教育形式：成人教育

考核形式：考试

所属学院：计算机科学与技术学院

先修课程：无

一、课程简介

《离散数学》是计算机应用技术专业的一门基础必修课程，主要研究离散量的结构及其相互关系，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时也是计算机专业的许多专业课程必不可少的先行课程。

二、课程学习目标

通过本课程的学习，学生具备以下能力（应达到）：

1. 理解命题和命题联接词、谓词和量词、命题公式和谓词公式、自由变元和约束变元等概念，记住常见等值式和推理定律，会求命题公式的主范式，能进行命题逻辑和谓词逻辑的符号化、推理和证明。

2. 理解集合、关系、偏序关系、等价关系和划分等概念，能选择合适方法描述集合和关系，能计算集合的幂集和笛卡尔积、二元关系的合成、闭包、偏序关系的特殊元素，会判定二元关系的性质，能绘制哈斯图。

3. 理解图论的基本概念，会判定特殊图的类型；能根据图的矩阵计算得出相应结论，会判别欧拉图、哈密顿图等特殊图的类型。

三、与其他课程的关系

本课程是计算机专业许多专业课程，如数据结构、算法分析、数据库原理、编译原理等的先行课程。

四、课程主要内容和基本要求

离散数学是研究离散量的结构和相互关系的一门理论学科，主要包括数理逻辑、集合论、代数系统和图论四大部分内容。集合论是离散数学的基础，主要研究数学中学科分支的关注对象与研究内容的一般性规律，涉及集合的基本概念与运算、关系及性质、函数等内容。数理逻辑以形式逻辑为研究目标，以形式化推理为其研究内容，包括命题逻辑和谓词逻辑两部分内容。代数系统以抽象运算为研究目标，以满足某些运算规则组成的系统为研究内容，涉及群、环、域等不同的代数系统，系统之间的同态与同构，格与布尔代数等内容。图论以离散对象上的二元关系为其研究目标，以抽象世界中事物的结构为其研究内容，涉及图的基本概念及应用等内容。由于离散数学的内容非常丰富，结合专业发展的要求以及不同层次、不同分类学生的需要，我们从中选择部分内容作为离散数学课程的学习内容。

第一单元命题逻辑

『知识点』

记住命题联结词真值表（否定、合取、析取、蕴涵、等价）；理解命题、命题公式、（主）范式等概念；命题逻辑符号化；等值式的理解记忆及等值演算；主析取范式与主合取范式求取；主析取范式与主合取范式的转换；命题逻辑的推理与证明。

『基本要求』

1. 识记：记住命题联结词真值表（否定、合取、析取、蕴涵、等价）、等值式、和相关推理定律。

2. 领会：理解命题、命题联结词、命题公式、（主）范式等概念。

3. 简单应用：对自然语言进行命题符号化；能运用等值式进行等值演算；会通过恒等变形求取命题公式的主析取范式与主合取范式。

4. 综合应用：运用命题逻辑相关知识进行推理和证明。

『关键知识』

1.命题符号化及联结词

命题与真值；简单命题与复合命题；常用联结词（否定、合取、析取、蕴含、等价）；命题符号化

2.命题公式及分类

公式的赋值或解释；真值表；真值表判断公式的类型

3.公式的等值演算

等值公式的理解和记忆；等值演算证明；等值演算判断公式类型

4.范式

简单合取式与简单析取式；合取范式与析取范式的概念；极小项与主析取范式求法；极大项与主合取范式求法；主合取范式与主析取范式的命题公式互化

5.推理理论

推理的形式结构；推理定律和推理规则的理解和证明；推理的构造证明方法。

『重点』

命题逻辑符号化；等值式的理解记忆及等值演算；主析取范式与主合取范式的求取；主析取范式与主合取范式的转换；命题逻辑的推理与证明。

『难点』

主析取范式与主合取范式的求取；主析取范式与主合取范式的转换；命题逻辑的推理与证明。

第二单元一阶逻辑

『知识点』

理解一阶逻辑的基本概念；一阶逻辑符号化；理解记忆一阶逻辑等值式；一阶逻辑的等值演算；理解前束范式的概念；理解并记忆量词的消去、引入规则；一阶逻辑推理及证明。

『基本要求』

1. 识记：熟练记住一阶逻辑等值式、量词的消去和引入规则。

2. 领会：理解一阶逻辑基本概念、前束范式的概念、一阶逻辑的等值演算、量词的消去和引入规则。

3. 简单应用：自然语言的一阶逻辑符号化；

4. 综合应用：能运用一阶逻辑相关知识进行推理和证明。

『关键知识』

1.一阶逻辑基本概念

个体词与谓词；全称量词与存在量词；全总课题域与特性谓词；一阶逻辑符号化

2.一阶逻辑合式公式及解释

原子公式与合式公式；量词的辖域；约束变元与自由变元；公式的解释；公式的类型及其判断；换名规则

3.一阶逻辑等值式与等值演算

等值式的理解与记忆；一阶逻辑的等值演算；前束范式的概念。

『重点』

一阶逻辑符号化；一阶逻辑的等值演算、量词的消去、引入规则；一阶逻辑推理及证明。

『难点』

一阶逻辑符号化；一阶逻辑的等值演算、量词的消去、引入规则。

第三单元集合与二元关系

『知识点』

理解集合和二元关系的基本概念和形式化描述；集合和关系的运算；判定关系的性质；等价关系的判定、等价关系与划分相互的诱导关系；偏序关系的判定、哈斯图的绘制，特殊元素的求取。

『基本要求』

1. 识记：集合的基本概念与基本运算。

2. 领会：理解集合和二元关系的基本概念和形式化描述；能判定某个关系是否是偏序关系和等价关系。

3. 简单应用：判定关系的性质；会集合基本运算；计算关系的逆运算、合成运算、幂运算和闭包运算；根据集合上等价关系与集合划分的对应关系进行相互转换；绘制偏序关系的哈斯图，求偏序关系的特殊元素。

『关键知识』

1.集合的基本概念

集合的表示、集合与元素；子集与真子集；空集；幂集与全集。集合相关的形式化描述。

2.集合的基本运算

集合的基本运算；集合运算的运算律。

3.笛卡尔积与二元关系

序偶、有序n元组与笛卡尔积的概念；笛卡尔积的性质；二元关系；关系的表示（集合表示法、关系矩阵、关系图）关系的特性

4.关系的运算

关系的逆运算；关系的的合成；关系的幂运算；关系运算的矩阵表示（补充）。

5.关系的性质

自反性、反自反性、对称性、反对称性的判定（包括在关系图和关系矩阵上的体现）。

6.关系的闭包

自反闭包、对称闭包、传递闭包

7.偏序关系

偏序关系；哈斯图；特殊元素。

『重点』

集合和二元关系的形式化描述；关系的性质判定；关系的运算；等价关系与划分相互的诱导关系；偏序关系的判定、哈斯图的绘制，特殊元素的求取。

『难点』

关系的性质判定；等价关系与划分相互的诱导关系；偏序关系的特殊元素求取。