概率论与数理统计01-第一章作业及答案

习题1-2
1. 选择题
(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ).
(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.
(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.
解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).
(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ).
(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.
(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.
解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式
B C B C = ,
本题应选(D).
2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:
(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观
察其颜色;
(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；
(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；
(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数.
解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；
(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为
{10|0,1,2,n n += }.
3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事
件：
(1) 仅有A 发生；
(2) A , B , C 中至少有一个发生;
(3) A , B , C 中恰有一个发生;
(4) A , B , C 中最多有一个发生;
(5) A , B , C 都不发生;
(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生.
解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C .
4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：
(1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)23A A ； (6)12A A .
解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目
标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击
中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没
有击中目标.
习题1-3
1. 选择题
(1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).
(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ .
(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.
解 由文氏图易知本题应选(D).
(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是
( ).
(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.
(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0.
解 本题答案应选(C).
2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).
解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= ,
故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-
3. 已知()0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .
解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 知()0.3P AB =. 于是
()()()0.1.P AB P A P AB =-=
4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB .
解 由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.
5. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12
P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.
解 因为ABC AB ⊂,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0.
由概率一般加法公式得
()()()()()()()()
7.12
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是
5()()1()12P ABC P A B C P A B C ==-=
.
习题1-4
1. 选择题 在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7
为概率的事件是( )．
(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.
(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.
解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为1132
25C C C ⨯, 没有一等品的概率为023225C C C ⨯, 将两者加起即为0.7.
答案为（D ）.
2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.
解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350
C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03545350
C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350
C C C . 3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：
(1) 两个球均为白球的概率；
(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；
(3）至少有一个黑球的概率.
解 从9个球中取出2个球的取法有29C 种，两个球都是白球的取法有2
4
C 种，一黑一白的取法有1154C C 种，由古典概率的公式知道 (1) 两球都是白球的概率是29
24C C ; (2) 两球中一黑一白的概率是115429
C C C ; (3) 至少有一个黑球的概率是129
24C C -. 习题1-5
1. 选择题
(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )
(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件.
(C) AB B =. (D)()()P AB P B =.
解 由条件概率定义可知选(D).
(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).
(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.
(B) 若()1P B A =, 则()0P AB =.
(C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件.
(D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.
解 由条件概率的定义知选（B ）．
2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}.
解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}
+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}
=41×(0+21+31+41)=48
13. 3. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.
解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表示“恰有i 发击中目标”. i B 为互斥的完备事件组. 于是
没有击中目标概率为0()0.60.50.30.09P B =⨯⨯=,
恰有一发击中目标概率为
1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,
恰有两发击中目标概率为
2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,
恰有三发击中目标概率为
3()0.40.50.70.14P B =⨯⨯=.
又已知 0
123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1
P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到
30()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑
4. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.
(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.
解 (1)以A 表示“取得球是白球”，i H 表示
“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528
P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知
P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=120
53. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53
P AH P H P A H P A P A == 5. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.
(1) 求这件产品是次品的概率;
(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？
解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品
来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且
122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，
12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.
(1) 由全概率公式可得
112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++
0.40.040.380.030.20.0384.
=⨯+⨯+⨯=. (2) 由贝叶斯公式可得
111(|)()0.40.045(|)()0.038412
P A B P B P B A P A ⨯===, 222(|)()0.380.0319(|)()0.038464
P A B P B P B A P A ⨯===, 333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192
P A B P B P B A P A ⨯===. 习题1-6
1. 选择题
(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).
(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.
(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件.
解 用反证法, 本题应选(B).
(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).
(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥.
解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).
(3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0<P (B )<1, 则下列说法错误的是( ).
(A) (|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.
(C) A 与B 一定互斥. (D)
()()()()()P A B P A P B P A P B =+- .
解 因事件A 与B 独立, 故A B 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).
2. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：
,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16
P A B C = , 求()P A .
解 根据一般加法公式有
()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+ . 由题设可知 A , B 和C 两两相互独立, ,ABC =∅ 1()()()2P A P B P C ==<, 因此有 2()()()[()],()()0,
P A B P A C P B C P A P A B C P ==
==∅= 从而 29()3()3[()]16P A B C P A P A =-=
, 于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1
()4
P A =. 3. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：
(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；
(2) 恰有一人命中目标的概率；
(3) 目标被命中的概率.
解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是
(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==⨯= (2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=⨯+⨯=
(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=
总 习 题 一
1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).
(A)A B 与C . (B)AC 与C .
(C) A B -与C . (D) AB 与C .
解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..
2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.
解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为9551910099396
⨯=⨯. (1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为95559519.10099198
⨯+⨯=⨯ 3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有
21的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产4
1. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.
解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设 A ={取到的产品是次品}, B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =∅(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=21, P (B 2) =4
1, P (B 3)=41, P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=100
4, 由全概率公式得
P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)
=100
441100241100221⨯+⨯+⨯=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？
解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到
()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.
由贝叶斯公式可得
()
0.750.9(|)0.9()0.75
()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ⨯====. 5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02, 而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？
解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知
21()0.02,()0.01,(),()33
P R D P R D P D P D ====. 由贝叶斯公式知
()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。