第八讲 二次根式和最简二次根式-【暑假衔接】2021年新八年级数学(北师大版)(解析版)

第八讲 二次根式和最简二次根式

【学习目标】

认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质；利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.

【基础知识】

1.（0a ≥） 的式子叫做根式；

a 根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；

2.二次根式的性质： ① 0a ≥0 （双重非负性）②

2

= a （0a ≥） 3.最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式；

【考点剖析】

考点一：二次根式定义

例1有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．x≥

1

2

B ．x≤-

12

C ．x≥-

12

D ．x≤

12

【答案】C 【解析】

依题意120x +≥，解得x≥-1

2

，故选C. 考点二：二次根式的非负性

例2．若y 2，则x y ＝_____． 【答案】9 【解析】

解：y 2有意义， 必须x ﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x ＝3，

代入得：y ＝0+0+2＝2， ∴x y ＝32＝9． 故答案为：9．

考点三：二次根式的性质及应用

例3．（1）先化简，再求值：a 1007a =．

如图是小亮和小芳的解答过程．

（1）________的解法是错误的； （2）化简：2(5)π-=________；

（3）先化简，再求值：2269a a a +-+，其中2019a =-． 【答案】(1)小亮；(2) 5π-;(3)-2016 【解析】

（1）∵1007a =， ∴1-a=-1006＜0，

∴212a a a +-+=2(1)|1|121a a a a a a a +-=+-=+-=- =2×1007-1 =2013.

∴小亮的解法是错误的；

（2）2(5)|5|(5)πππ-=-=--=5π- （3）∵2019a =-， ∴320220a -=-<， 则原式22(3)a a =+-

2|3|a a =+- 2(3)a a =--

3a =+ 2016=-．

考点四：实数的大小比较

例4．（1）把|3|,0,2,3--表示在数轴上（无理数近似表示在数轴上），并比较它们的大小，用“<”号连接．

【答案】数轴表示见解析，2033-<-

解：在数轴上表示为：

用“<”连接为：2033-<<<-．

（2）在数轴上标出下列各数，然后用“<”连接起来：

2,2,0,|3|,( 4.5)----

【答案】数轴见解析，()2023 4.5-<<<-<--

【详解】 解：如图：

用“＜”连接为：()2023 4.5-<<-<--．

考点五：

例5．（1）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A 24B 36C a b

D 24x +

【答案】D 【详解】

A 2426=

B 366=不是最简二次根式，不符合题意；

C a ab b b

=不是最简二次根式，不符合题意； D 24x + 故选：D ．

（212的结果是（ ） A ．43B ．32C ．23D ．26【答案】C 【详解】

221243232323⨯=⨯==

（3_____．

【详解】

===

．

（4_____．

【答案】4【详解】

24x =

⨯==

故答案为：4

【真题演练】

1．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ） A ．3﹣π B ．a C ．a 2+1 D ．2x+4 【答案】C

【解析】解：A 、3﹣π＜0，则3﹣a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； B 、a 的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； C 、a 2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；

D 、2x+4的符号不能确定，则a 不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； 故选：C ．

2．下列根式中，是二次根式的是（ ）.

A ．π

B ．

13

C D

【答案】D 【解析】

A. π不符合题意，故此选项不正确；

B. 1

3

不符合题意，故此选项不正确；

C.

D.

符合题意，故此选项正确；

故选D.

3．下列各式:(b ≥2) , , , 其中是二次根式的个数有

（ ） A ．2个 B ．3个

C ．4个.

D ．5个

【答案】B 【解析】

(b ≥2)，

0，当小于0时无意义，不是二次根式；

故选：B ．

4x 的取值范围是（ ） A ．1x ≤ B ．1x <

C ．1x ≥

D ．1x >

【答案】C 【解析】

10x -≥

解得：1x ≥ 故选C

5x 的取值范围是( ) A ．2x > B ．2x <

C ．2x ≥

D ．2x ≤

【答案】C 【解析】

解：根据题意，得20x -，解得，2x . 故选C.

6．下列式子中，a 不可以取1和2的是（ ）

A B C

D 【答案】D 【解析】

A ．由5a ≥0，所以a ≥0，故选项A 可取1和2；