梳齿结构拐角电容的静电力分析

考虑梳齿结构拐角电容效应的静电力分析
梳齿电容结构是微机电谐振器、微机械陀螺中的典型常见结构。

无论是作为驱动还是作为检测的梳齿电容，其动态静电力的分析都是非常重要的。

以往的研究大都把梳齿电容简化成无限大平板电容。

然而实际的梳齿电容结构并非如无限大平板电容那么简单。

所谓梳齿结构肯定不是指一对齿结构，而是许多对齿联合构成的机构。

齿面与齿面之间构成电容，齿头和齿根之间也构成电容，由齿面到齿根再到下一个齿面要经历一个拐角，它也有电容效应。

以往的无限大平板模型只考虑了齿面和齿面之间的电容而忽略了齿头和齿根之间的电容，更忽略了拐角的电容效应。

本文根据工程中梳齿电容结构的实际，在建立非均匀电场电容模型的基础上，建立了梳齿机构的一般电容模型，并在能量分析的基础上，建立了静电力的模型。

1. 非均匀电场的电容模型
一般情况下，电容两极之间总是存在一个电场。

对应的有电场势函数。

势函数的梯度位电场强度。

在电容两极之间存在一系列的等势面。

取x 为从负电极起始的描述等势面位置的法向坐标，则该处等势面的面积可表示为)(x S 。

在该等势面上的电场强度处处相等。

电场的方向为等势面的法线方向。

图 1 一般曲面两极之间的等势面
做一经过此等势面且侧面垂直于电场方向的并能包含电容正极的封闭曲面A 。

则由高斯定理有：
Q d A
⎰=⋅s E ε
其中ε为电介质介电常数，E 为电场强度矢量，Q 为电极上的电荷量。

由于电极外部的电场为零，侧面又垂直于电场方向，等势面上的电场强度处处相等为)(x E ，从而有： Q ds x E d A S
⎰⎰==⋅)(εεs E
即：
Q x S x E =)()(ε
亦即：
)
()(x S Q x E ε=
电容从负极到正极的电压为：
⎰⎰⎰⎰+
-+-+-+-===⋅=)()()()(x S dx Q dx x S Q dx x E d x U εεl E 则由电容的定义，得：
⎰⎰+-+-===)()(1x S dx x S dx U Q C εε
该式即为积分法求电容的公式。

它不仅适合于均匀电场的情况，也适合于非均匀电场的情况。

2. 拐角电容模型
一般的梳齿式电容结构如图2所示。

图中给出的只是一对齿及周围的情况。

其中一侧为固定梳齿，作为电容的一极，另一侧为活动梳齿，作为电容的另一极当在两极上施加一电压时，电容两极之间会形成电场，电极上会产生电荷，两极之间也会有静电力作用。

以往的研究大都把梳齿电容简化成无限大平板电容。

然而实际的梳齿电容结构并非如无限大平板电容那么简单。

所谓梳齿结构肯定不是指一对齿结构，而是许多对齿联合构成的机构。

如图可以看出，齿面与齿面之间构成电容，齿头和齿根之间也构成电容，由齿面到齿根再到下一个齿面要经历一个拐角，它也有电容效应。

以往的无限大平板模型只考虑了齿面和齿面之间的电容而忽略了齿头和齿根之间的电容，更忽略了拐角的电容效应。

为了有效分析一对梳齿的整体电容情况，我们将其分成三段。

一段是齿面与齿面的部分，一段是齿头和齿根的部分，再一段是拐角的部分。

图2 梳齿结构示意图
计算电容关键是先认识电场的分布规律。

无限大平板电容之所以计算起来简单是因为其电场是均匀分布的电场。

对于一般的非平行板电容结构，其情况就要复杂很多。

复杂的原因是认识不清电场的分布规律。

结合我们所分析的梳齿电容结构，要想有效的分析其电容的情况，也需先认识其电场的分布。

图3给出的是梳齿结构电容中的电场分布的仿真。

从图中可以看出，当齿头与齿根的距离较远时，其齿头和齿根段的电容很小，可忽略不计。

但拐角部分的电场却比较明显，随着齿头与齿根距离的拉近，不仅拐角部分电场明显，齿头和齿根间的电场也越来越显著，齿头和齿根段的电容不能再忽略。

与此同时，也可以看到，无论齿头与齿根的距离远近，齿面与齿面之间的电场都一直很显著。

基于上述的认识，文献给出了四种等势面的假设，分别是矩形等势面、大圆弧形等势面、距离无关型等势面和小圆弧等势面假设。

结合仿真和实验测试，针对一般的梳齿形电容结构，距离无关型等势面和小圆弧等势面假设更符合实际的电场分布。

a=33um a=40um
a=47um a=60um 图3仿真的梳齿结构的电场分布图
距离无关型等势面假设主要认为齿头和齿根之间的电场随着间距的拉大已经和间距无关了，而只和齿面与齿面的间距有关。

小圆弧等势面假设认为齿面齿头拐角处的电场等势面为一四分之一圆。

它实质上是距离无关型假设的一种特例。

距离无关型电场分布假设认为齿面间的电场等势面平行于齿面，齿头齿根间的电场等势面平行于齿头，从齿面到齿头的过渡段（即拐角）的电场等势面为一圆弧面，等势面如图4所示。

其中a 为齿面长度，w 为齿头宽度，d 为齿面间距，g 为齿头与齿根的间距。

任一等势面在齿面间的截取距离与齿头齿根间截取的距离都成一定的比例。

比例系数为N 。

则在x 处等势面的圆弧半径为：x N R )1(212+=，圆弧角度为：)1
2arctan(2-N N ，弧长为：x N N N )12arctan()1(2122-+，等势弧面的面积为：xh N N N x S )12arctan()1(21)(22-+=，其中h 为齿的深度。

图4梳齿拐角处的等势面
根据对称性，现只考虑四分之一齿周围的情形。

四分之一齿含一半长度的齿面，一半宽度的齿头和一个拐角。

该区域电容的等势面面积为：
ah wh xh N N N x S 2
121)12arctan()1(21)(22++-+= 将其代入到电容积分公式中，得：
)1ln(2++=a
w Kd Kh
C ε 其中)1
2arctan()1(22-+=N N N K 不考虑拐角效应时，对应梳齿部分无限大平板模型的电容为：
g
wh d ah C εε2121+= 式中的第一项与齿面和齿头部分的无限大平板电容模型一致，第二项第三项为拐角部分的电容。

取3=N 时对应的是六分之一圆弧，此时π3
4=K 。

取1=N 时对应的是四分之一圆弧，此时π=K 。

3. 梳齿电容的静电力
为了求梳齿电容的静电力，先分析一下梳齿电容的能量。

根据电场理论，对于有恒压源加电的电容器，其能量可用电压表示为：
2),(2
1U y x C W = 其中y x ,分别为平行和垂直于电容极板的坐标变量，U 为电容两极的电压。

则x 方向的静电力为：
2),(21U x
y x C x W f x ∂∂=∂∂=
同理y 方向的静电力为： 2),(21U y
y x C y W f y ∂∂=∂∂= 对于没有外接电源的情况，导体极板上的电荷不变，其电场能可表示为：
2)
,(121Q y x C W = 其中Q 为电容的总电荷
场力的功只能来自于电场能的减少，即：x 方向的静电力为：
222),(21]),([),(21]),(1[21U x
y x C y x C Q x y x C Q y x C x x W f x ∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂-= 同理y 方向的静电力为：
2),(21U y
y x C y W f y ∂∂=∂∂-
=
可以看出，无论是针对有恒压源的情况还是针对无电源的情况，静电力与电容变化的关系都是一样的。

对于梳齿电容结构，如果取齿长方向为x ，尺宽方向为y ，则四分之一对齿的静电力为：
2222)1(ln ))((421U a
w a w Kd a w hd K U a C f x +++++=∂∂=ε 2222)1(ln )(421U a
w Kd Kd a w h K U d C f y ++++-=∂∂=ε 取a
w Kd +=ζ，则上述式子化为： 222
)
1(ln )1(4U d h f x ζζζε++= 2222)
1(ln )1(4)(U d h a w f y ζζεζ+++-= 采用推挽驱动，在两个固定电极上施加的电压分别为:
t U U U A D ωsin 1+=
t U U U A D ωsin 2-=
其中
静电力的作用为：
t U U U U d h f A D x ωζζζεsin )()
1(ln )1(4222122
=-++= 12sin()
sin()D A D A V V V t V V V t ωω=+⋅⋅=-⋅⋅ (5-3-16)
则有
()
()t ωV V d εh V V d εh F A D x ⋅⋅⋅=-=sin 42221
无限大平板模型的电容的静电力为：
22)(41U g
wh d h f xp εε+= 22
41U d ah f yp ε-= 可以看出，公式中ζ是反映拐角效应作用的参数。

当不考虑拐角电容效应时，顺向（沿梳齿长度方向，也称变面积）运动时的电容力具有常数特征，是线性的。

横向（沿梳齿宽度方向，也称变间距）运动的电容静电力是非线性的。

而当考虑拐角电容效应时，无论是顺向运动还是横向运动，其静电力都具有非线性的特征。

虽然1<+=a
w d ζ，但在实际结构中ζ也不会太小，因此拐角电容的效应有时是不能简单忽略的。