3.1轴向拉伸和压缩时的内力.
轴向拉伸和压缩
第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。
这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。
它通过截面形心，与横截面相垂直。
拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。
与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。
轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。
极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。
用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。
建筑力学与结构之轴向拉伸与压缩培训课件
拉伸时大。
b
铸铁拉应力图
压缩时的强度极限b是拉伸 时的4—5倍。
铸铁常作为受压构件使用。 铸铁破坏时断口与轴线成450。
第五节 拉压杆的强度条件及应用
一、许用应力与安全系数
（1）极限应力（危险应力、失效应力）：构件发生破坏或产
生过大变形而不能安全工作时的最小应力值。“ ” （2）许用应力：构件安全工作时的最大应力。“[]”
横向 线应变：
a a
杆件在轴向拉（压）变形时，横向尺寸的改变 量称为横向变形。
a a1 a
符号： 拉伸时为负值；压缩时为正值。
第三节 轴向拉（压）杆的变形、虎克定律
三、泊松比
当杆件的变形在弹性范围内时，材料的横向线应变 与纵向线应变的比值的绝对值是一个常数，称为材料的 横向变形系数或泊松比，即
第一节 轴向拉伸和压缩时的内力
二、轴向拉（压）杆的内力及内力图
➢ 分析内力最基本的方法是截面法。
➢截面法计算内力的步骤:
①将构件沿需要求内力的位置用假设截面截开，把构 件分为两部分，取其中一部分为研究对象;
②画研究对象的受力图时，另一部分对研究对象的作 用力用内力来代替;
③根据研究对象的平衡条件列平衡方程求解内力。
第三章 轴向拉伸与压缩
• 第一节 轴向拉伸和压缩时的内力 • 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的应力
目 • 第三节 轴向拉（压）杆的变形、虎克定律 录 • 第四节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
• 第五节 拉（压）杆的强度条件及应用 • 第六节 拉（压）杆连接部分的强度计算
第三章 轴向拉伸与压缩
➢ 物体的简化模型，根据具体情形可分为刚体和变形体。
解： max
FN max A
材料力学《第二章》轴向拉伸与压缩
c'
杆受压时同样分析，可得同样结果。 由式可知： 1. FN s ，A s； 2. s 与FN符号相同，拉应力为正，压应力为负。
说明：所得结果经实验证明是准确的，因此平面假设符合实际 情况。
上海交通大学
注意： 1. 公式仅适用于轴向拉压情况； 2. 公式不适用于外力作用区域附近部分。
在外力作用区域附近，s 并不均布，而是由外力的作用情况而定。
k
F
将 pa 沿斜截面的垂直方向和平行 F 方向分解：
k
pa
pa
s0 s a pa cosa (1 + cos 2a ) 2 s0 t a pa sin a s 0 cosa sin a sin 2a 2
F
a k sa
a
可知：sa 、ta的大小和方向随 a 的改变而改变。
ta
pa
上海交通大学
得 FN4 = F4 = 10 kN (拉)
A F1 FN
1
B F2
2
C
3
D F4
FN1 = 5 kN 5 kN + B
1
F3 FN2 = –15 kN
2
FN3 = 10 kN 10 kN + C D x
3
A
三、 轴力图 –15 kN
在杆件中间部分有外力作用时，杆件不同段上的轴力不同。 可用轴力图来形象地表示轴力随横截面位置的变化情况。 横轴 x：杆横截面位置；纵轴 FN：杆横截面上的轴力。 正值轴力 (拉)绘在横轴 上方，负值轴力 (压)绘在横轴下方。
变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短，同时伴随横 向尺寸的变化(减小或增大)。
轴向拉伸：两端受拉力作用，杆的变形是轴向伸长，横向减小。
建筑力学(内力分析)复习资料
（2）剪切和挤压
剪切变形
剪切变形
挤压变形
（3）扭转
Me
g
j
Me
（4）弯曲
Me
Me
研究方法
将构件变形形式分为四种基本变形：
轴向拉伸 和压缩
剪切
扭转
弯曲
基本变形：
不同的外力 不同的内力 不同的变形
不同的计算公 式
实际构件受力情况多种多样 考虑主要外力作用，归到基本变形
几种力都不能忽略，归到组合变形
P
N1 2P（拉力）
N2
X 0
N 2 + P - 2P 0
N2 P（拉力）
直接根据外力计算内力的方法：
（1）取截面一侧为研究对象，确定截面正轴力 方向；
（2）观察研究对象上的各个外力的方向，与截面正 轴力同向的引起的内力为负值；异向为正。 （3）将判断正负后的外力代数相加即为截面轴力值。
例：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力 并作轴力图 解：
N 1 10 kN N 2 -5 kN N 3 -20 kN
+ -
N 1 10 kN N 2 -5 kN N 3 -20 kN
计算图示各段轴力并做轴力图
3 1 f20 4kN 1 5kN 1kN 6kN 2 f10 f30
安全
一对矛盾 经济
荷载、截面一定，校核是否安全
材料、截面一定，求允许荷载
任务：研究构件的强度、刚度、稳定性，为工程设计提供理论 依据和计算方法。
4
杆件变形的基本形式
杆件的基本变形： 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
拉压变形
剪切变形
扭转变形
弯曲变形
（1）轴向拉伸和压缩
3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图
§3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图课时计划：讲授3学时教学目标：1.本节课以拉压杆件为例，分析在外力作用下产生的内力。
2.使学生理解并掌握采用截面法计算轴力的方法。
教材分析:1.重点为分析拉压变形受力和变形的特点；2.难点是利用截面法计算拉压杆上的轴力并绘制出轴力图。
教学设计：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，并讲解工程力学中常采用截面法计算变形过程中产生的内力。
以拉压变形的杆件为例，分析该种变形的受力和变形的特点，在此基础上利用截面法分析杆件上的轴力，掌握轴力计算方法及正负号的规定，进而掌握轴力图的绘制方法。
教学过程：第1学时教学内容：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，以拉压变形的杆件为例分析其受力和变形的特点，全面理解轴向拉伸和压缩的概念。
1．外力和内力的概念如图3-1a所示的构件在力F、B F、P F的作用下处于平A衡。
无论这些力是主动力还是约束力，都是构件受到其他物体的作用力，称为外力。
为了维持构件各部分之间的联系，保持构件的形状和尺寸，构件内部各部分之间必定存在着相互作用的力，该力称为内力。
在外部载荷作用下，构件内部各部分之间相互作用的内力也随之改变，这个因为外部载荷作用而引起构件内力的改变量，称为附加内力。
在材料力学中，该附加内力简称内力。
2．截面法计算内力为了确定构件的承载能力，需要分析内力。
为此假想用平面n-n将构件截成两段（图3-1b、c），垂直于构件轴线假想截开的剖面，称为横截面，简称截面。
利用截面将构件截开，分析截面内力的方法，称为截面法。
3．轴向拉伸和压缩的概念直杆受到与其轴线重合的外力，就会发生沿轴线方向的伸长或缩短变形。
如图3-2a所示的吊车吊起重物时，CD杆是受拉伸的二力杆。
图3-2b的螺旋夹具，旋紧螺杆加紧工件后，螺杆的上段受压。
第2学时教学内容：本次课讲解拉压变形杆件的轴力计算方法。
分析发生此变形所受外力的特点，利用截面法计算轴上产生的轴力，根据平衡条件建立轴力与外力的关系。
轴向拉伸和压缩时横截面上的内力.
轴向拉伸和压缩时横截面上的内力教学目标一、知识目标1．外力、内力及相互的关系。
2．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力。
3．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力的计算方法-----截面法。
4．绘制各截面的轴力图。
二、能力目标在理论力学的基础上，学会在材料力学中分析构件的内力，为分析材料的力学性能打好基础。
培养学生灵活分析和解决问题的能力。
三、德育目标培养学生辩证唯物主义观点，安全操作和生产的重要性及明确具体问题具体分析的思维能力。
教学重点1、外力与内力的关系;2、轴向拉伸和压缩时横截面上的内力;3、截面法;4、绘制各截面的轴力图。
教学难点1.轴向拉伸和压缩时横截面上的内力;2.截面法。
教学方法讲练法、归纳法、课件演示。
教学用具计算机、投影仪、弹簧拉力器、构件等。
教学课时2学时。
教学步骤一、复习旧课，导入新课1．以提问的方式，让学生回答力的定义，力的效应，力的相互作用，物体受力分析的方法，拉伸和压缩时构件的受力特点和变形特点。
2．学生回答问题后，老师进行评价和纠正。
3．新课引入：通过理论力学中已学习的外效应（外力）引出材料力学中将要学习的内效应（内力）；通过理论力学中已学习的物体受力分析的方法（隔离法）引出材料力学中将要学习的内力的求法截面法；通过生活和工程中的具体例子，如弹簧拉力器，连接螺栓、起重机支褪等所运用的力学原理引出本节课。
二、新课教学（一）用投影片出示本节课的学习目标：1．外力与内力的关系。
2．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力。
3．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力的计算方法-----截面法。
4．绘制各截面的轴力图。
（二）学习目标完成过程：（1）用投影片出示；（2）老师分析讲解。
轴向拉伸和压缩时横截面上的内力举例连接螺栓弹簧拉力器起重机支褪一、外力、内力1.外力：是指由其他物体施加的力或由物体本身的质量引起的力。
外力的正负号取决于所建立的坐标系，与坐标轴同向为正，反向为负。
2.内力：是指在外力作用下物体内各个部分之间的作用力----可理解为材料颗粒之间因相对位置改变而产生的相互作用力。
第3章 杆件的内力分析
50
基本概念：
外力、内力、内力分量、轴力、剪力、 弯矩、扭矩、内力函数、内力图、 轴力、 扭转、平面弯曲。
内力图的作法及特点：
(1)直杆受轴向拉伸或压缩时的内力图--轴力图
剪力 Fy 0 RA Q 0
Fb Q RA l
弯矩
对截面m-m上的形心O取矩，得：
Mo 0
M RA x 0
Fb M RA x x l
40
按照同样方法，在2-2处将梁截开为左右两部分， 仍取左段为分离体，就可求出2-2截面上的内力及 内力矩。
41
③ 剪力和弯矩的符号 截面上的剪力对梁上任意 一点的矩为顺时针转向时， 剪力为正；反之为负。
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24
(3)力偶矩的计算及横截面上的内力
1)外力偶矩
直接计算:
25
按输入功率和转速计算
P Fv
v R P F R T
2n 2n Tn P T T ＝T ＝ 60 60 9.55
2n n 60 30
30 P P T 9.55 n n
PC 15 TC 9.55 9.55 0.478 n 300
kN· m
PD 25 m TD 9.55 9.55 0.796 kN· n 300
(3)求出各段的扭矩 BC段：Tn1-TB=0， Tn1=TB=0.318 kN· m； CA段：Tn2-TB-TC=0，Tn2=TB+TC=0.796 kN· m； AD段：Tn3+TD=0， Tn3=-TD=-0.796 kN· m。
第3章 杆件的内力分析
外力与内力的平衡 内力分量 内力分析与内力图
建筑力学第3章轴向拉伸与压缩
A
F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN
A
2、计算各杆件的应力。
45°
C
B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2
p sin 0 cossin
0
2
k
k
sin2
P
P
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 当 = 0时， 当 = 90°时， 当 = ±45°时， 当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。 但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截 面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜 截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它 斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60
B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN
拉伸和压缩
例题1 求图示各截面内力
1
2
6kN
18kN
8kN
3
4kN
1
2
3
6kN
N11
6kN
18kN
N22
6kN
18kN
8kN N33
解：
X 0
N11 6 0
N 22
18
6
0
N33 8 18 6 0
N11 6kN
N
22
12kN
N33 4kN
【例3-1】
F
F
应力增大的现象只发生在孔边附近，离孔稍远处 应力趋于平缓（应力能增大3～5倍）
屈服极限σs与拉伸时的完
全相同。但流幅稍短
图3-10
低碳钢压缩时没有强度极限
五、材料在拉、压时的力学性质
五、铸铁的压缩实验
σ 铸铁压缩应力图 σb
图3-11
σb 铸铁拉伸应力图
0
ε
铸铁压缩的σ-ε曲线与拉伸的相似，但压缩时的伸
长率要比拉伸时大，破坏时断口与轴线成45°角
铸铁压缩时的强度极限σb是拉伸时的4～5倍，所以
二、应力：描述内力在截面上的分布情况和密集 程度。-------判断杆件强度是否足够的依据。
F
F
F
F
同样的轴力，作用在不同大小的横截面上，会产生不同的结果。 所以，杆件的强度不仅与轴力有关，而且与横截面尺寸有
关。工程上常用单位面积上的内力来比较和判断杆件的强度。
二、受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
段柱重为G1，下段柱重为G2。已知：P=15kN，G1=2.5kN，G2=10kN。
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆的内力与轴力图(工程力学课件)
例题2 设一直杆AB 沿轴向受力如图示。 已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN，试做轴力图。
P1
1
P2 2
P3
N
1
2kN
+
2
-
x
1kN
➢ 2.内力：由外力引起杆件内部之间的相互作用力。
➢ 3.截面法：截面法是显示和确定内力的基本方法。
截面法求内力的步骤
截取
用一个假想的截面，将 杆件沿需求内力的截面 处截为两部分；取其中 任一部分为研究对象。
代替
用内力来代替弃去部分 对选取部分的作用。
平衡
用静力平衡条件，根 据已知外力求出内力。
轴力N——轴向拉压时横截面上的内力。规定拉力为正，压力为负。
用截面法求1-1截面上的轴力：
P
N
X 0
NP0
x
N P(拉力)
例题1
设一直杆 AB 沿轴向受力如图示。
已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN, 试求杆各段的轴力。
P1
1
P2 2
P3
P1
1NБайду номын сангаас
1
2
x
x
N2
P3
1-1截面： X 0, N1 P1 0,
2-2截面： X 0, N2 P3 0,
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.轴向拉（压）杆件
• 受力特点：作用在杆件上的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合。 • 变形特点：杆件沿轴向发生伸长或缩短。 • 外力：外力作用在杆件上的荷载和约束反力。
轴向拉伸与压缩1(内力与应力)
1 4、作内力图 P 1 FN P P
2
3 P
2
3
P
P
x
[例2] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O
A
PA PB
B
C
PC
D
PD D PD
FN1
A PA
B PB
C PC
解： 求OA 段内力FN1，设置截面如图
F
x
0 F N 1 P A PB PC P D 0
解： 1、求1-1截面上内力 FN1，设置截面如图
F
x
0
1 P 1 FN1 P P P
2
3
P
FN 1 P 0 FN 1 P
P
2
3
2、2-2截面上的内力
F
x
0
P
FN2
P P
FN 2 0
3、3-3截面上的内力
FN 3 P
P
FN3
FN 1 P FN 2 0
FN 3 P
2
s
α
t
Pa
1 2
t p sin s cos sin
s sin 2
四、sα 、tα出现最大的截面
1、=0º 即横截面上，s达到最大
s s cos s
2
t 0
t max s cos sin
1 2
2、=45º 的斜截面上， t剪应力达最大
P -3P x
★轴力图的特点：
1）遇到集中力，轴力图发生突变；
2）突变值 = 集中载荷的大小
5kN FN 5KN
材料力学轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩 2.2 杆旳变形
F
1.纵向变形 （1）纵向变形 （2） 纵向应变
b h
l l1
Δl l1 l
Δl
l
h1
F
b1
第二章 轴向拉伸与压缩
b
F
h
l l1
2.横向变形
h1
F
b1
（1）横向变形 （2）横向应变 3.泊松比
b b1 b
b1 b Δb
bb
A d 2 FN 4 [ ]
由此可得链环旳圆钢直径为
d
4F [ ]
4 12.5 103 3.14 45106
m=18.8mm
第二章 轴向拉伸与压缩
[例6]如图a所示，构造涉及钢杆1和铜杆2，A、B、C处为铰链连接。 在节点A悬挂一种G=20kN旳重物。钢杆AB旳横截面面A1=75 mm2， 铜杆旳横截面面积为A2=150 mm2 。材料旳许用应力分别为 ，
GB/T 228－2023 金属材料室温拉伸试验措施
原则拉伸试样：
标距： 试样工作段旳原始长度
要求标距: l 10 d 或者
l 5d
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备 （1）微机控制电子万能
试验机 （2）游标卡尺
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备
液压式
电子式
第二章 轴向拉伸与压缩
拉伸试验
第二章 轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩
应力非均布区 应力均布区 应力非均布区
圣维南原理
力作用于杆端旳分 布方式，只影响杆端 局部范围旳应力分布， 影响区约距杆端 1～2 倍杆旳横向尺寸。
端镶入底座，横向变形 受阻，杆应力非均匀分布。
工程力学材料力学第一章
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 k
设有一等直杆受拉力P作用。 P 求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法 由平衡方程：Pα=P P P k P
α α
k Pα k
Pα 则： pα = Aα
Aα：斜截面面积；Pα：斜截面上内力。
A 由几何关系： α = cos Aα
σ 0 ( 45°斜截面上剪应力达到最大 ) |τ 当α = ± 45°时， α |max =
目 录
公式的应用条件： 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、 的距离。 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。 圣维南( 原理： 圣维南 Saint-Venant)原理： 原理 离开载荷作用处一定距离， 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作 用方式的影响。 用方式的影响。 应力集中（ 应力集中（Stress Concentration）： ）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示： 应力的表示： ① 平均应力： 平均应力： ∆P M ∆A
ΔP pM = ΔA
全应力（总应力）： ② 全应力（总应力）：
p = lim
∆A → 0
∆P dP = ∆ A dA
目 录
目 录
目 录
例题
图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为 图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为 AB 水平杆AC的横截面面积为250mm AC的横截面面积为 200mm2。水平杆AC的横截面面积为250mm2。材料的 弹性摸量E=200GPa 载荷F=10kN 试求节点A E=200GPa。 F=10kN。 弹性摸量E=200GPa。载荷F=10kN。试求节点A的位 移。 计算各杆件的轴力。（设斜杆为1 。（设斜杆为 解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2 用截面法取节点A 平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象
材料力学 第2章
第二章杆件的内力分析第一节杆件拉伸或压缩的内力一、轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。
二、工程实例三、轴力轴力图1、轴力与杆轴线重合的内力合力。
轴力符号：拉伸为正，压缩为负。
∑=0X0122=-+F F N kNF F N 242212-=-=-= ∑=0X34=-N FkNF N143==任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向载荷的代数和，轴向载荷矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。
2、轴力图正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为x 轴，并称为基线，垂直于x 轴的N 轴为纵坐标。
正值绘在基线的上方，负值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。
注意：轴力图与基线形成一闭合曲线。
轴力图必须与杆件对齐。
在轴向集中力作用的截面上，轴力图将发生突变，其突变的绝对值等于轴向集中力的大小，而突变方向：集中力箭头向左时向上突变，集中力箭头向右时向下突变（图是从左向右画）。
例2-10第二节剪切的内力一、剪切的概念剪切：由一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力引起的横截面沿外力作用方向发生的相对错动。
剪切面或受剪面 m-m二、工程实例三、剪力第三节杆件扭转的内力一、扭转的概念扭转：由一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶引起的杆的任意两个横截面绕杆轴线的相对转动。
ϕ：扭转角；γ：剪切角二、工程实例三、扭矩某一截面上的扭矩等于其一侧各外力偶矩的代数和。
外力偶矩矢量指向该截面的取负，离开该截面的取正。
四、 扭矩图在外力偶作用的截面上，扭矩图将发生突变，其突变的的绝对值等于该外力偶矩的大小，而突变方向：外力偶矩矢量方向向左的向上突变，向右则向下突变。
外力偶矩的计算公式：)(9550m N nP Mk ⋅=注意：kP 单位为kw ；n 单位为min r ；M 单位为m N ⋅第四节 梁弯曲时的内力一、 弯曲 变形的基本概念弯曲变形：由一对大小相等、方向相反，位于杆的纵向平面内的力偶引起的，杆件的轴线由直线变为曲线。
轴向拉伸与压缩
承受载荷F和变形ΔL之间的
关系，可以绘制出该材料的 拉伸应力应变σ-ε曲线。
低碳钢
曲线分析：
ob段—弹性阶段 (比例极限σp弹性极限σe )
bc段—屈服阶段
屈服强度 s
cd段—强化阶段 抗拉强度 b de段—缩颈断裂 阶段
1.材料的弹性模量E为：_102/0.5_GPa 2.屈服点σs为：_240_MPa 3.材料的抗拉强度σb为：_380_Mpa 4.强度计算时，若安全系数取为2，则材料的许用应力 [σ]=__240/2_MPa 注意计算许用应力时： 塑性材料： 屈服极限/安全系数 脆性材料： 抗拉强度极限/安全系数
例：一杆件受力如图，F1=2KN，F2=1KN， F3=3KN，（1）画出轴力图；(2)如已知杆直径 d=10mm，材料的许用正应力[σ ]＝60MPa，试 校核强度
解： 1、计算各段轴力：
（找节点，相邻两外力作用点间取截面）
FN1=2KN， FN2=1KN， FN3=4KN 2、画出轴力图 3、校核强度
FN F
方向：拉为正、压为负
轴向拉伸时杆的内力特点：内力方向沿轴向，简称轴力
14
三、拉(压)杆的轴力和轴力图
2.轴力图 轴力图：轴力随横截面变化的曲线，称为轴力 图。
m
杆轴线为横坐标表示 横截面位置，
F
m FN
F
垂直于轴线的纵坐标 表示轴力的大小
x
15
例1： 已知F=10KN，受力如图所示，试用截面 法 求图示杆件指定截面1－1、2－2、3－3 的轴力.
24
例：如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出 轴力图。若杆件较细段横截面面积 A1 200mm2 ，较粗 E， 200GPa L 100 mm 段 A2 300 ，材料的弹性模量 mm2 求杆件的总变形。
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸与压缩的特点：
◆ 受力特点：
◆ 变形特点：
F
F
F
F
承受轴向变形的杆件称为拉杆或压杆。
外力合力的作用线与杆轴线重合
主要是沿轴线方向伸长或缩短
第二节 轴力与轴力图 一、内力与截面法 内力 —— 外力引起的构件内部相连部分之间的相互作用力。 ◆ 内力为作用于整个截面上的连续分布力。今后，内力一般被用来特指截面上的分布内力的合力、或合力偶矩、或向截面形心简化所得到的主矢和主矩。
塑性材料为塑性屈服；脆性材料为脆性断裂
极限应力 ——
材料强度失效时所对应的应力，记作 u ，有
塑性材料（拉压相同）
脆性材料（拉压不同）
2.许用应力与安全因数
材料安全工作所容许承受的最大应力，记 作 [ ]，规定
许用应力 ——
02
其中，n 为大于 1 的因数，称为安全因数 。
对于塑性材料，压缩与拉伸的许用应力基本相 同，无需区分；对于脆性材料，压缩与拉伸的许 用应力差异很大，必须严格区分。
（2）计算两杆应力
解得
AB 杆：
（2）计算两杆应力
AB 杆： AC 杆：
拉（压）杆斜截面上的应力 斜截面的方位角 ： 以 x 轴为始边，以外法线轴 n 为终边，逆时针转向的 角为正，反之为负 。 斜截面上的全应力
将 p 沿斜截面的法向和切向分解，即得 斜截面上的正应力、切应力分别为 —— 横截面的面积 —— 横截面上的正应力 切应力的正负号规定：围绕所取分离体顺时针转向的切应力为正，反之为负。
[例 2-3] 试作出图示拉压杆的轴力图。
解：省略计算过程，直接作出轴力图如上图所示。
第三节 拉压杆的应力
一、应力的概念 应力是指截面上分布内力的集度 如图 为分布内力在 k 点的集度，称为 k 点的应力
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§3—1 轴向拉伸和压缩时的内力
一、 轴向拉伸和压缩的概念 沿杆件轴线作用一对大小相等、方向相反的外力，杆件将发生轴向伸长（或缩短）变形，这种变形称为轴向拉伸（或压缩）。
（图3-1a 、b ）。
产生轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。
图3－1a
图3－1b
二、 用截面法计算轴向拉（压）杆的内力
内力指杆件本身一部分与另一部分之间的相互作用力。
要确定杆件某一截面中的内力，可以假想地将杆件沿需求内力的截面截开，将杆分为两部分，并取其中一部分作为研究对象。
此时，
截面上的内力被显示了出来，并成为研究对象上的外力。
再由静力平衡条件求出此内力。
这种求内力的方法，称为截面法。
现以图3-2a 所示拉杆为例确定杆件任一横截面mm 上的内力。
运用截面法，将杆沿截面mm 截开，取左段为研究对象（图3-2b ）。
考虑左段的平衡，可知截面mm 上的内力必是与杆轴相重合的一个力N
，且由平衡条件
∑=0X 可知P N =，其指向背离截面。
若取右
段为研究对象，如图3-2c 所示，同样可得出相同的结果。
图3－2a
图3－2b
由此可知，轴向拉压杆件的内力是与轴线重合的力，故称它为轴力，用N 表示。
当杆件受拉时，轴力为拉力，其方向背离截面；当杆件受压时，轴力为压力，其方向指向截面。
规定：拉力用正号表示，压力用负号表示。
轴力的单位为N 或KN 。
例3-1杆件受力如图3-3a 所示，在力321P P P 、、作用下处于平衡状态。
已知KN P 81=，
KN P KN P 21032==，，求杆件AB 和BC 段的轴力。
图3－3a
图3－3b
图3－3c
图3－3d
解 （1） 求AB 段的轴力
用11-截面在AB 段内将杆截开，取左段为研究对象（图3-3b ），以1N 表示截面轴力，并假定为拉力，写出平衡方程
∑=0X ， 011
=-P N
所以 KN P N 811==
得正号，说明假定方向与实际方向相同，AB 段的轴力为拉力。
（2） 求BC 段的轴力
用2-2截面在BC 段内将杆截开，取左段为研究对象（图3-3c ），以2N 表示截面轴力，写出平衡方程
∑=0X ， 0212
=+-P P N
得 KN P P N 2108212-=-=-= 负号说明假设方向与实际方向相反，BC 段轴力实际为压力。
若取右段为研究对象（图3-3d ），写出平衡方程
∑=0X ， 033
=--P N
得 KN P N 233-=-=
结果与取左段为研究对象一样。
本例由于右段上的外力少，计算较简单，应取右段计算。
三、 轴力图
表明轴力沿杆长各横截面变化规律的图形称为轴力图。
轴力图由如下部分组成： 1．坐标系N x -：x 轴平行于杆的轴线。
2．基线：x 轴上杆的正投影部分。
当坐标轴略去不画时，基线代替x 轴。
3．图线：图线上点的x 坐标表示横截面的位置；点的N 坐标表示该截面的轴力值。
4．纵标线：图线上的点向基线引的垂线。
5．纵标值：标上具有代表意义的纵坐标值。
6．符号：杆段内轴力的正、负。
全图只须标一个正号，一个负号。
7．图名、单位。
轴力图可以形象地表示轴力沿杆长变化情况，明显地找到最大轴力所在位置和数值。
例 3-2 杆件受力如图3-4a 所示，已知KN P KN P KN P 53020321===，，，试画出杆件的轴力图。
图3－4c
图3－4d
解 （1）计算各段杆的轴力
AB 段：用1-1截面在AB 段内将杆截开，取右段为研究对象（图3-4c ），以1N 表示截面上的轴力，并假设为拉力。
写出平衡方程
∑=0X ， 011
=--P N
得 KN P N 2011-=-=
BC 段：类似上述步骤（图3-4d ），写出平衡方程
∑=,0X 0122
=-+-P P N
得 KN P P N 102030122=-=-=
CD 段：同理（图3-4e ）可得
KN P P P N 5530203213=-+-=-+-=
（2） 画轴力图
以平行于杆轴的x 轴为横坐标，垂直于杆轴的N 轴为纵坐标，按一定比例将各段轴力标在坐标上，可得到轴力图如图3-4b 所示。
图3－4b。