不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解

不可约多项式的判定及应用

多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文

主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳

，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。

关键词

不可约多项式；判定方法；应用

2.不可约多项式的概念及性质

2.1整除的概念

设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，

定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得

f(x) =q(x)g(x)+ r(x)

成立，其中c(r(x))

定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多

项式h(x)使等式

f (x) = g(x)h(x)

我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。

定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中

的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，

H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。

证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。反过来，如果

g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。

注1:带余除法中g(x)必须不为零。

F 面介绍整除性的几个常用性质：

(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。

(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。

(3) f (x) | g(x), f (x) | g(x)i=12| 朴,r ，那么

f (X)1(U i (x)

g i (x) +u 2(x)g 2(x) +川+ u r (x)g r (x)),

其中ui(x)是数域P 上任意多项式。⑴ 2.2本原多项式

若是一个整系数多项式f (x)的系数互素， 那么f (x)叫做一个本原多项式。

2.3有理数域上多项式的等价

设g(x)有理数域上的一个多项式， 若g(x)的系数不全是整数，那么以g(x) 系数分母的一个公倍数乘g(x)就得到一个整系数多项式f(x)。显然，多项式g(x) 与f(x)在有理数域上同时可约或同时不可约。

2.4多项式的不可约相关概念

在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘

积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可 再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言, 有例如下

把x^9进行分解，可分解为

X 4-9=(X 2+3X X 2

-3) 但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进

X 4 -9 =以2 +3X X -5/3)(X + 73)

g(x) rH

步

而在复数域上，还可以再进一步分解为

x4 -9 =(x + 73i )(x-73r “+囘x-冋

由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。

在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P作为系数域，数域P上多项环

P[X]中多项式的因式分解相关的不可约定义如下

定义2・4・1数域P上的次数＞1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式, 如果它不能表示成数域P上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。

我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下

(1)一次多项式总是不可约多项式；

(2)—个多项式是否不可约是依赖于系数域的

(3)不可约多项式p(x)与任一多项式f(X)之间只能是有两种关系，或者

p(x) | f(X)或者(p(x),f(x)) = 1，事实上，如果(p(x), f(X))= d(x)，那么d(x)或者是1，

或者是cp(x)(cHO)，当d(x) = cp(X)时，就有P(x)|f(x)。⑴

2.5有理数域上不可约多项式的定义

如果f (x)是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两

个次数比它低的多项式的乘积，则f(x)称为有理数域上的不可约多项式。

3.有理数域上不可约多项式的判定方法

3.1 Eisenstein判别法⑴

在高等代数中，Eisenstein判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数

域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。

3.1.1直接判别法[2]

定理3.1.1设f(x) = a n X n+...+ a o是一个整系数多项式，其中n X1,设存在一

个素数P，使得P不整除a n，P整除a i (is )但卩2不整除a。，那么多项式f(x) 在有理数域上不可约。

3.1.2间接判别法

对于分圆多项式不能直接应用Eisenstein判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定义法去判定。我们所学的也只有Eisenstein判别法，但不能直接运用。考虑到多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换x = ay + b，这样产生了Eisenstein 判别法的间接判别法。

定理3.1.2有理系数多项式f(x)在有理数域上不可约的充分必要条件是对于任意的有理数aHO和b，多项式f(ax+b)在有理数域上不可约。

例1证明f( x)= X+在Q上不可约。

证明：f (x + 1) = (x +1)4 +1 =x4 +4x3 + 6x2 +4x+2

取p=2,则P不整除1，P整除4,6,2, p2不整除2

由Eisenstein判别法知f(x+i)在Q上不可约，因此f(x)在Q上不可约。

3.1.3其他派生出的判别法

这种由Eisenstein判别法派生出的方法与Eisenstein判别法相类似，能够用来判定Eisenstein判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。

定理3.1.3设f(X)=anX n+an4X n4+…+ax+a是一个整系数多项式，如果存