不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解

不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。

定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。

定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。

证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。

反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。

注1:带余除法中g(x)必须不为零。

F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。

(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。

(3) f (x) | g(x), f (x) | g(x)i=12| 朴,r ，那么f (X)1(U i (x)g i (x) +u 2(x)g 2(x) +川+ u r (x)g r (x)),其中ui(x)是数域P 上任意多项式。

⑴ 2.2本原多项式若是一个整系数多项式f (x)的系数互素， 那么f (x)叫做一个本原多项式。

2.3有理数域上多项式的等价设g(x)有理数域上的一个多项式， 若g(x)的系数不全是整数，那么以g(x) 系数分母的一个公倍数乘g(x)就得到一个整系数多项式f(x)。

显然，多项式g(x) 与f(x)在有理数域上同时可约或同时不可约。

2.4多项式的不可约相关概念在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可 再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言, 有例如下把x^9进行分解，可分解为X 4-9=(X 2+3X X 2-3) 但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进X 4 -9 =以2 +3X X -5/3)(X + 73)g(x) rH步而在复数域上，还可以再进一步分解为x4 -9 =(x + 73i )(x-73r “+囘x-冋由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。

在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P作为系数域，数域P上多项环P[X]中多项式的因式分解相关的不可约定义如下定义2・4・1数域P上的次数＞1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式, 如果它不能表示成数域P上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。

我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下(1)一次多项式总是不可约多项式；(2)—个多项式是否不可约是依赖于系数域的(3)不可约多项式p(x)与任一多项式f(X)之间只能是有两种关系，或者p(x) | f(X)或者(p(x),f(x)) = 1，事实上，如果(p(x), f(X))= d(x)，那么d(x)或者是1，或者是cp(x)(cHO)，当d(x) = cp(X)时，就有P(x)|f(x)。

⑴2.5有理数域上不可约多项式的定义如果f (x)是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积，则f(x)称为有理数域上的不可约多项式。

3.有理数域上不可约多项式的判定方法3.1 Eisenstein判别法⑴在高等代数中，Eisenstein判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。

而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。

3.1.1直接判别法[2]定理3.1.1设f(x) = a n X n+...+ a o是一个整系数多项式，其中n X1,设存在一个素数P，使得P不整除a n，P整除a i (is )但卩2不整除a。

，那么多项式f(x) 在有理数域上不可约。

3.1.2间接判别法对于分圆多项式不能直接应用Eisenstein判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。

在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定义法去判定。

我们所学的也只有Eisenstein判别法，但不能直接运用。

考虑到多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换x = ay + b，这样产生了Eisenstein 判别法的间接判别法。

定理3.1.2有理系数多项式f(x)在有理数域上不可约的充分必要条件是对于任意的有理数aHO和b，多项式f(ax+b)在有理数域上不可约。

例1证明f( x)= X+在Q上不可约。

证明：f (x + 1) = (x +1)4 +1 =x4 +4x3 + 6x2 +4x+2取p=2,则P不整除1，P整除4,6,2, p2不整除2由Eisenstein判别法知f(x+i)在Q上不可约，因此f(x)在Q上不可约。

3.1.3其他派生出的判别法这种由Eisenstein判别法派生出的方法与Eisenstein判别法相类似，能够用来判定Eisenstein判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。

定理3.1.3设f(X)=anX n+an4X n4+…+ax+a是一个整系数多项式，如果存在一个素数P ,使P 整除常数项a 。

但整除其他各项系数且p 2不整除最高次数项 系数，那么多项式在有理数上不可约。

例2下列多项式在有理数域上是否可约?⑷x P +px+1 , p 为奇素数； ⑸x 4+4kx+1 , k 为整数.解：(1)令x = y +i ，贝y 有g(y) =f(y+1) = (y+1)2+1=y 2+2y + 2取素数p =2,由于2 1,2 | 2,但是222故由Eisenstein 判别法可知，g(y)在有理 数上不可约，从而f (x) = x 2 +1在有理数域上也不可约。

⑵ 取素数P =2,则2 1,2 | -8,2 | 12但是22 2故由Eisenstein 判别法可知，该多 项式在有理数域上也不可约。

⑶令 X = y +1，代入 f (x) = X 6 +x 3 +1，得g(y) =f(y + 1) = y 6 +6y 5+15y 4 +21y 3 +18y 2+9y + 3取素数 p =3。

由于 3 1,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是 32 3,故由 Eisenstein 判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f (x)在有理数域上也不可 约。

⑷令 X = y -1，代入 f (x) = x p+ p x+1，得 g(y)=f(y_1)=y P_C p y 卩二+厲丫 卩'(5)令 x=y+1，代入 f(x) = x 4+4kx+1,得 g(y) = f(y+1)=y 4 +4y 3 +6y2+(4k+4)y+4k+2(1)x 2 +1 ； (2) x —8x 3 +12x 2 +2 ； ⑶ X 6 +x 3+1 -川-C 笄y 2+(C p P 」+ p )y -p 由于 P 是素数，且 p|1,p |c P ,(i =1,2,1} p-2) pKc P"1+p ) p 2|p ,故由 Eisenstein 判别法可知，g(y)在有理数上不可约，从而f (x)在有理数域上也不可约。

取素数p=2,由于 2 1,又 2 | 4,2 | 6,2|(4k+4) , 2 | (4k+2)，但22(4k+2)，故由Eisenstein判别法可知，g（y）在有理数上不可约，从而f（x）在有理数域上也不可约。

3.2 Kronerker 判别法[2]定理3.2.1设f（x^Q[x ]，这里Q为有理数域。

则在有限步下fd）能分解成不可约多项式的乘积。

（只考虑整系数多项式的情形）例3证明f（X）=x—+1在Q上不可约。

证明：s=2<—取a。

= 一1,a1 =,0, a2 = 1，2则f(—1)=0, f(0) =1,f(1)=2f(-1)=0, f(0) =1, f(1)=2从而f（-1）的因子是0，f（0）的因子是1， f （1）的因子是1,故令g(-1)=0,g(0) =1,g(1) = 1;g(-1) = 0,g(0) =0,g(1) = 2应用插值多项式:g1(x) = 0 + g^ + g^」(x2 — x-2)(0+1)(0-1) (1中1)(1-0) 20 十(x+1)(x-1)十2(x + 1)(x-0) (0+1)(0 T)可约。

3.3 Perron判别法⑶=x +1(1 +1)(1-0)g2（x）由带余除法可知, g i(x)不整除 f (x)，g2（x）不整除f （x），所以f （x）在Q上不定理 3.3.1 设f(X)=x n+a n斗x n°+a +…+a0，aHO是多项式，如果|9」〉1 + &_2丨+心心丨也"匕丨+|知，则f(x)在Q 上不可约。

例4证明f(X)=x 5 +4x 4+x 2 +1在Q 上不可约 证明：该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足 判别法的条件，由题意可知4A1+1，所以据Perron 判别法可知该多项式在 Q 上不可约。

3.4 Brown 判别法⑶定理3.4.1设f(x)是n 次整系数多项式，令s(f)_{Tf(_i)|,|f(o)|,f(i)TN i 表示S(f)中1的个数，N p 表示S( f)中的素数的个数，如果N p +2N" n+4， 则f(x)在Q 上不可约。

例5证明f(X)=2x 3 -x 2 +x -1在Q 上不可约证明：；f(0) = —1, f (1) = 1, f(-1) = —5, f(2) =13, f(—2) = —23, f(3) =47 /. N p >4,N i >2故 N p +2N i >8 卒+3所以多项式在Q 上不可约。