最新数学建模(数学模型)期末考试题(试卷)及答案详解(附答案)

数学建模（数学模型）期末考试卷及答案详解

第一部分 基本理论和应用

1、计算题(满分10分)

设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率.

2、计算题（满分10分）

设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间

3、计算题（满分10分）

从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？

4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：

⎩

⎨⎧<<+=其他，,0,

10,)1();(x x x f θθθ )1(->θ

n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.

5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,

,n X X X 是来自X

的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？

6. （15分）设),(~2

σμN X ，n X X X ,,,21 是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2

n

S 为样本二阶中心矩，2

S 为样本方差，问下列统计量：（1）

2

2σn

nS ，（2）

1

/--n S X n μ，

（3）2

1

2

)(σ

μ∑=-n

i i

X

各服从什么分布？

7. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

9. （10分）某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内.

10. （15分）设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并

联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.

答案

第一部分 基本理论和应用 1、计算题(满分10分)

设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独

立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率. 解：设同时开着的灯数为X ，(10000,0.7)X

b ……………2分

(0,1)

N （近似） ……………3分 {69007100}210.971

P X ≤≤=Φ-= …………5分 2、计算题（满分10分）

设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测，得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间. 解： T =

(1)X t n - 0.005{(1)}0.99P T t n <-= ………4分

0.0050.005{(1)(1)}0.99P X n X X n -<<+-= ………………4分 所求为（1485.61，1514.39） …………2分

3、计算题（满分10分）

从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 解：(0,1)X N ………………3分

{1.4 5.4}21P X P <<=<=Φ- ……………4分

解210.95Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 ……………3分

4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：

⎩

⎨⎧<<+=其他，,0,

10,)1();(x x x f θθθ )1(->θ

n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.

解： 1

10

1

()(2

E X dx θθθθ++=

=

+⎰

+1)x ……………3分 解

1

2

X θθ+=+，得θ的矩估计量为

211X X -- ……………2分 1

()1(

)

n

i i L x θ

θθ=+∏n

＝（） 1

ln ln 1ln n

i

i L n x θθ

==+∑（）+ ……………2分

令

1

ln ln 01n

i i d L n

x d θθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为1

1ln n

i

i n

X

=--∑ …………3分

5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X

的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 解：（1）2

EX θ

=

，令

2

X θ

=，得θ的矩估计量1

ˆ2X θ=； ……………5分 似然函数为：()12121

,0,,,(,,

,;)0n n n x x x L x x x θ

θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩

，其它

其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212

()ˆmax ,,,n n X X X X θ==。

（2）因为1

ˆ2E EX θθ==，所以1ˆθ为θ的无偏估计量。 ……………5分 又因为()n X 的概率密度函数为：1()1

,0()0,n n x n x f x θθθ

-⎧⎛⎫<<⎪ ⎪

=⎨⎝⎭⎪⎩

其它 所以1

()0

1

1

n n x n EX xn dx n θ

θθθ

-⎛⎫

=

=

⎪+⎝⎭

⎰

因此2

ˆθ为θ的有偏估计量，而3()1

ˆn n X n

θ+=为θ的无偏估计量。 （3） 22

1/12ˆ443D DX n n

θθθ==⨯=， ……………5分