初中数学相似三角形模型(题型)大全-值得收藏

初中数学相似三角形模型（题型）大全-值得收藏

一、比的性质：

特征：比的基本性质，合比性质，等比性质 例1：已知

,3==d c b a ，则d

d

c b b a 22+=

+=（ ） 例2：如果P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，则下列各等式①AB 2=AP •PB ， ②AP 2=PB •AB ，③BP 2=AP •PB ，④AP ／AB=PB ／AP 中，正确的是（ ）

例3：已知

k c

b

a a c

b b

c a =+=+=+，则k 的值为（ ） 二、平行A 字型

如图（1）DE//BC ，则△ADE ∽△ABC 特征：△ADE ∽△ABC ⇒AD AE DE

AB AC BC

==

应用1：（求线段的长）

例1． 如图（2）DE//BC,且DB=AE,若AB=5，AC=10，则AE 的长为（103

） 角度：平行产生比例 DE ∥BC 51051010

,103

AB AC AE BD EC AE EC AE AE ⇒

=∴=∴==- PB

例2．如图（3）△ABC 中，BC = a 是AB 边的五等分点；1234,,,C C C C 是AC 边的五等分点，则

11223344B C B C B C B C +++=（2a ）

应用2：（证明比例线段）

例3．如图（4），DE//BC//AF ，求证：

111

DE AF BC

=+ 证明：分析：此题用了两个平行A 字型 在△ABC 中，DE//BC ，AD DE

⇒

= ①

在△ABF 中，DE//AF ，DB DE

AB AF

⇒

=

② ①+②得AD DB DE DE

AB BC AF

+=+

111(

)111DE BC AF

DE BC AF ∴=+∴=+

应用3：（证明线段相等） 例4．如图（5），一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D 、E 、F 。求证：若

AE BF

EC CF

=

，则D 是AB 的中点。 证明：作CM//BA 与EF 交于M ，则△ADE ∽△CME

//AD AE

AE BF AD BF

BD BF

CM BD CM EC

EC CF CM CF

CM CF

∴

==∴=∴

=

因此,.

AB AD BD

AD BD CM CM

D ==∴从而是的中点。

例5．如图（6）已知如图，在△ABC 中，∠BCA=0

90，以直角边AC 为一边向形外正方形ACEF ，连接

BF ，交AC 于P ，过P 作PQ//BC ，交AB 于Q,求证：PC=PQ 证明：

//ACEF CP EF ∴∴为正方形△BCP ∽△BEF

////PC BP

PQ BC FA EF BF ∴

=∴又△BPQ ∽△BFA BP PQ PC PQ EF FA PC PQ BF FA EF FA

∴==∴=∴= 例6．如图（7），在△ABC 中，∠C=0

90，以边向外作矩形ACDE,BE 于AC 交于F ，FG//CB 交AB 于G ，

如果CF=FG ，那么矩形ACDE 具有什么特征？

证明：

////ACDE CF

BF CF DE DE BE FG

BF

FG AE AE

BE CF FG DE AE

=∴=

=∴=∴矩形是正方形

例7：马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱AB 的高度为1.2米。 （1）若吊环高度为2米，支点A 为跷跷板的PQ 中点，狮子能否把公鸡送到吊环上？为 什么？

(1)

6050403020ABC E D C B

A (2)

h m 5m 10m 0.9m 的情况下移动支点，当支点A 移到跷跷

板PQ 的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？

平行A 字型的实际问题

1。如图（1）测量小玻璃管口的量具ABC 上，AB 的长为10毫米，AC 被分为60等份。如果小管口DE 正好对着量具上30份（DE 平行AB ），那么小管口径DE 的长是--5—毫米。

2。如图2小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度H 应为2.7米.

3、如图4已知BC 是圆O 的直径，线段MN//BC ，A 是MN 上任意一点，AF 与圆O 相切于F ，连结AB 与圆O 相交于Q ，D 是AB 上一点，且AD=AF ，DE ⊥AB 与AC 的延长线交于E 。

（1）求证：CD//BE （2）若MN 与BC 之间的距离为5，BC=4，求证：当点A 变动时，∆ADE 的面积是一个定值 （3）若AF ：AE=1：2，AC ：BC=2：3，求∠BCA 的度数 （1）证明：AF 2=AQ ⨯AB ，AD=AF ，AD 2=AQ ⨯AB ⇒AD AB =AQ

AD

又因为QC//EF ⇒

AQ AD =AC AE AD AB =AC

AE

⇒CD//BE （2）证明：BCD S ∆=DEC ABC S S ∆∆∴=ADE S ∆1

452

⨯⨯=20

所以∆ADE 的面积是一个定值。

（3）AC=2K ，QC=6

2

K ，BC=3K ，COS ∠QCB=623K K

=2/2 所以∠BCQ=045，所以∠BCA=075

三、平行X 字型

如图(1)DE//BC,则△AED ∽△ACB 特征：△ADE ∽△ACB ⇒

AE AD DE

AC AB BC

==

应用1：（证明比例线段）

例1． 已知，如图（2）一直线与四边形ABCD 的AB 、CD 边交于E 、H ，

与AC 交于G,与AD 、CB 的延长线交于P 、F ，求证：GP ·GH=EG ·FG

证明：（分析：此题应用两次X 字型）

Q 30︒

3

2K 3K

2K

30︒O F E

D C B