数学_2010年江苏省盐城市高考数学一模试卷(含答案)

2010年江苏省盐城市高考数学一模试卷

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1. 设集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|0≤x ≤4}，则A ∩B =________．

2. 若复数(a −i)(1+i)(i 是虚数单位，a ∈R)是纯虚数，则a =________．

3. 直线l 经过点(−2, 1)，且与直线2x −3y +5=0垂直，则l 的方程是________．

4. 命题“∀x ∈R ，cosx ≤1”的否定是________．

5. 函数y =x +2cosx 在(0, π)上的单调递减区间为________．

6. 已知平面向量a →

=(1, 2)，b →

=(−1, 3)，a →

与b →

夹角的余弦值为________．

7. 把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是________．（用分数表示）

8. 已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组(x, y)依次记为

(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，…，则程序运行结束时输出的最后一个数组为________． 9. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2

4．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．

10. 已知m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题： ①①若m // α，n // α，则m // n ；②若m ⊥α，n ⊥α，则m // n ； ③若m // α，n ⊥α，则m ⊥n ；④若m ⊥α，m ⊥n ，则n // α． 其中真命题的序号有________． （请将真命题的序号都填上）

11. 若函数y =x−b

x+2在(a, b +4)(b <−2)上的值域为(2, +∞)，则a b =________．

12.

如图，将正偶数排列如表，其中第i 行第j 个数表示为a ij (i, j ∈N ∗)，例如

a43=18，若a ij=2010，则i+j=________．

13. 椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，

则椭圆离心率的最小值为________．

14. 锐角△ABC的三边a，b，c和面积S满足条件S=c2−(a−b)2

4k

，又角C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，则实数k的取值范围是________．

二、解答题（共9小题，满分110分，21-23为附加题，其中21小题A，B，C，D中任选2道小题，每小题10分）

15. 已知角A，B，C是△ABC的内角，向量m→=(1, √3)，n→=（sin(π−A)），sin(A−π

2

)），m→⊥n→．

（1）求角A的大小；

（2）求函数y=2sin2B+cos(π

3

−2B)的值域．

16. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥A1B，D 为AC的中点．

（1）求证：B1C // 平面A1BD；

（2）求证：平面AB1C1⊥平面ABB1A1．

17. 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f(t)（万人）与

时间t（天）的函数关系近似满足f(t)=4+1

t

，人均消费g(t)（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g(t)=115−|t−15|．

(1)求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1≤t≤30, t∈N)的函数关系式；

(2)求该城市旅游日收益的最小值（万元）．

18. 已知⊙O:x2+y2=1和点M(4, 2)．

（1）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；

（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x−1截得的弦长为4的⊙M的方程；

（3）设P为（2）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否

存在一定点R，使得PQ

PR

为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请

说明理由．

19. 已知数列{a n}是以d为公差的等差数列，{b n}数列是以q为公比的等比数列．

（1）若数列的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3

续p(p∈N, p≥2)项的和？请说明理由；

（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t>s>r，且(s−r)是(t−r)的约数），求证：数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．

20. 已知函数f(x)＝a x+x2−xlna(a>0, a≠1)．

(Ⅰ)当a>1时，求证：函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；

(Ⅱ)若函数y＝|f(x)−t|−1有三个零点，求t的值；

(Ⅲ)若存在x1，x2∈[−1, 1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥e−1，试求a的取值范围．

21. 如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一

点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，求证：∠OBP+∠AQE=

45∘．

22. 如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，

∠ABC=π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．

（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（2）求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．

23. 点P n(x n, y n)在曲线C:y=e−x上，曲线C在点P n处的切线

l n与x轴相交于点Q n(x n+1, 0)，直线t n+1:x=x n+1与曲线C相交于点P n+1(x n+1, y n+1)，(n= 1, 2, 3,…)．由曲线C和直线l n，t n+1围成的图形面积记为S n，已知x1=1．

（1）证明：x n+1=x n+1；

（2）求S n关于n的表达式；

（3）记数列{S n}的前n项之和为T n，求证：T n+1

T n

x n

(n=1, 2, 3,…)．