数学_2010年江苏省盐城市高考数学一模试卷(含答案)

2010年江苏省盐城市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 设集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|0≤x ≤4}，则A ∩B =________．2. 若复数(a −i)(1+i)(i 是虚数单位，a ∈R)是纯虚数，则a =________．3. 直线l 经过点(−2, 1)，且与直线2x −3y +5=0垂直，则l 的方程是________．4. 命题“∀x ∈R ，cosx ≤1”的否定是________．5. 函数y =x +2cosx 在(0, π)上的单调递减区间为________．6. 已知平面向量a →=(1, 2)，b →=(−1, 3)，a →与b →夹角的余弦值为________．7. 把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是________．（用分数表示）8. 已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组(x, y)依次记为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，…，则程序运行结束时输出的最后一个数组为________． 9. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．10. 已知m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题： ①①若m // α，n // α，则m // n ；②若m ⊥α，n ⊥α，则m // n ； ③若m // α，n ⊥α，则m ⊥n ；④若m ⊥α，m ⊥n ，则n // α． 其中真命题的序号有________． （请将真命题的序号都填上）11. 若函数y =x−bx+2在(a, b +4)(b <−2)上的值域为(2, +∞)，则a b =________．12.如图，将正偶数排列如表，其中第i 行第j 个数表示为a ij (i, j ∈N ∗)，例如a43=18，若a ij=2010，则i+j=________．13. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________．14. 锐角△ABC的三边a，b，c和面积S满足条件S=c2−(a−b)24k，又角C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，则实数k的取值范围是________．二、解答题（共9小题，满分110分，21-23为附加题，其中21小题A，B，C，D中任选2道小题，每小题10分）15. 已知角A，B，C是△ABC的内角，向量m→=(1, √3)，n→=（sin(π−A)），sin(A−π2)），m→⊥n→．（1）求角A的大小；（2）求函数y=2sin2B+cos(π3−2B)的值域．16. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥A1B，D 为AC的中点．（1）求证：B1C // 平面A1BD；（2）求证：平面AB1C1⊥平面ABB1A1．17. 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f(t)（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)=4+1t，人均消费g(t)（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g(t)=115−|t−15|．(1)求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1≤t≤30, t∈N)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值（万元）．18. 已知⊙O:x2+y2=1和点M(4, 2)．（1）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x−1截得的弦长为4的⊙M的方程；（3）设P为（2）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．19. 已知数列{a n}是以d为公差的等差数列，{b n}数列是以q为公比的等比数列．（1）若数列的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3<a1003+5b2−2010，求整数q的值；（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p(p∈N, p≥2)项的和？请说明理由；（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t>s>r，且(s−r)是(t−r)的约数），求证：数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．20. 已知函数f(x)＝a x+x2−xlna(a>0, a≠1)．(Ⅰ)当a>1时，求证：函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；(Ⅱ)若函数y＝|f(x)−t|−1有三个零点，求t的值；(Ⅲ)若存在x1，x2∈[−1, 1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥e−1，试求a的取值范围．21. 如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，求证：∠OBP+∠AQE=45∘．22. 如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；（2）求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．23. 点P n(x n, y n)在曲线C:y=e−x上，曲线C在点P n处的切线l n与x轴相交于点Q n(x n+1, 0)，直线t n+1:x=x n+1与曲线C相交于点P n+1(x n+1, y n+1)，(n= 1, 2, 3,…)．由曲线C和直线l n，t n+1围成的图形面积记为S n，已知x1=1．（1）证明：x n+1=x n+1；（2）求S n关于n的表达式；（3）记数列{S n}的前n项之和为T n，求证：T n+1T n <x n+1x n(n=1, 2, 3,…)．2010年江苏省盐城市高考数学一模试卷答案1. {x|0≤x ≤2}2. −13. 3x +2y +4=04. ∃x ∈R ，cosx >15. (π6，5π6)6. √227. 138. (27, −6) 9. a 38 10. ②③ 11. 116 12. 60 13.√17−32 14. (√2−1，1)15. 解：（1）因为n →=(sinA, −cosA)，且m →⊥n →， 所以m →⋅n →=sinA −√3cosA =0， 则tanA =√3，又A ∈(0, π)，所以A =π3；（2）因为y =(1−cos2B)+(12cos2B +√32sin2B) =1+√32sin2B −12cos2B =1+sin(2B −π6)而A =π3，所以0<B <2π3，则−π6<2B −π6<7π6，所以sin(2B −π6)∈(−12,1] 故所求函数的值域为y ∈(12，2]．16. 解：（1）设AB 1∩A 1B =O ，连接OD ．由于点O 是AB 1的中点，又D 为AC 的中点，所以OD // B 1C 而B 1C ⊄平面A 1BD ，OD ⊂平面A 1BD ，所以B 1C // 平面A 1BD（2）因为AB =BB 1，所以是ABB 1A 1正方形，则A 1B ⊥AB 1，又A 1B ⊥AC 1，且AC 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1=A ，所以A 1B ⊥平面AB 1C 1 而A 1B ⊂平面ABB 1A 1，所以平面AB 1C 1⊥平面ABB 1A 117. 解：(1)由题意得，w(t)={(4+1t)(t +100)，(1≤t <15,t ∈N ∗)(4+1t )(130−t)，(15≤t ≤30,t ∈N ∗)； (2)因为w(t)={(4+1t )(t +100)，(1≤t <15,t ∈N ∗)(4+1t )(130−t)，(15≤t ≤30,t ∈N ∗)； ①当1≤t <15时，w(t)=(4+1t )(t +100)=4(t +25t)+401≥4×2√25+401=441当且仅当t =25t，即t =5时取等号②当15≤t ≤30时，w(t)=(4+1t)(130−t)=519+(130t−4t)，可证w(t)在t ∈[15, 30]上单调递减， 所以当t =30时，w(t)取最小值为40313由于40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元． 18. 解：（1）由⊙O:x 2+y 2=1得到圆心O(0, 0)半径r =1， 设切线l 方程为y −2=k(x −4)， 易得√k 2+1=1，解得k =8±√1915， ∴ 切线l 方程为y −2=8±√1915(x −4)；（2）圆心M 到直线y =2x −1的距离d =√1+4=√5，设圆的半径为r ，则r 2=22+(√5)2=9，∴ ⊙M 的方程为(x −4)2+(y −2)2=9；（3）假设存在这样的点R(a, b)，点P 的坐标为(x, y)，相应的定值为λ， 根据题意可得PQ =√x 2+y 2−1， ∴√x 2+y 2−1√(x−a)2+(y−b)2=λ，即x 2+y 2−1=λ2(x 2+y 2−2ax −2by +a 2+b 2)(∗)， 又点P 在圆上∴ (x −4)2+(y −2)2=9， 即x 2+y 2=8x +4y −11，代入(∗)式得：8x +4y −12=λ2[(8−2a)x +(4−2b)y +(a 2+b 2−11)]， 若系数对应相等，则等式恒成立，∴ {λ2(8−2a)=8λ2(4−2b)=4λ2(a 2+b 2−11)=−12， 解得a =2,b =1,λ=√2或a =25，b =15，λ=√103， ∴ 可以找到这样的定点R ，使得PQ PR 为定值．如点R的坐标为(2, 1)时，比值为√2；点R的坐标为(25，15)时，比值为√103．19. 2．（2）假设数列{b n}中存在一项b k，满足b k=b m+b m+1+b m+2++b m+p−1，因为b n=2n，∴ b k>b m+p−1⇒2k>2m+p−1⇒k>m+p−1⇒k≥m+p(∗)又b k=2k=b m+b m+1+b m+2++b m+p−1=2m+2m+1++2m+p−1=2m(2p−1)2−1=2m+p−2m<2m+p，所以k<m+p，此与(∗)式矛盾．所以，这样的项b k不存在；故答案为不存在．（3）由b1=a r，得b2=b1q=a r q=a s=a r+(s−r)d，则d=a r(q−1)s−r又b3=b1q2=a r q2=a t=a r+(t−r)d⇒a r q2−a r=(t−r)⋅a r(q−1)s−r，从而a r(q+1)(q−1)=a r(q−1)⋅t−rs−r，因为a s≠a r⇒b1≠b2，所以q≠1，又a r≠0，故q=t−rs−r−1．又t>s>r，且(s−r)是(t−r)的约数，所以q是整数，且q≥2，对于数列中任一项b i（这里只要讨论i>3的情形），有b i=a r q i−1=a r+a r(q i−1−1)=a r+a r(q−1)(1+q+q2++q i−2)=a r+d(s−r)(1+q+q2++q i−2)=a r+[((s−r)(1+q+q2++q i−2)+1)−1]•d，由于(s−r)(1+q+q2++q i−2)+1是正整数，所以b i一定是数列{a n}的项．故得证．20. （1）∵ 函数f(x)＝a x+x2−xlna，∴ f′(x)＝a x lna+2x−lna＝2x+(a x−1)lna，由于a>1，故当x∈(0, +∞)时，lna>0，a x−1>0，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(0, +∞)上单调递增．（2）当a>0，a≠1时，因为f′(0)＝0，且f(x)在(0, +∞)上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x＝0．所以x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：又函数y＝|f(x)−t|−1有三个零点，所以方程f(x)＝t±1有三个根，即y＝f(x)的图象与两条平行于x轴的两条直线y＝t±1共有三个交点．不妨取a>1，y＝f(x)在(−∞, 0)递减，在(0, +∞)递增，极小值f(0)＝1也是最小值，当x→±∞时，f(x)→+∞．∵ t−1<t+1，∴ f(x)＝t+1有两个根，f(x)＝t−1只有一个根．∴ t−1＝f min(x)＝f(0)＝1，∴ t＝2．(Ⅲ)因为存在x 1，x 2∈[−1, 1]，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥e −1，所以当x ∈[−1, 1]时，|（f(x)）max −（f(x)）min |＝（f(x)）max −（f(x)）min ≥e −1， 由(Ⅱ)知，f(x)在[−1, 0]上递减，在[0, 1]上递增， 所以当x ∈[−1, 1]时，（f(x)）min ＝f(0)＝1， （f(x)）max ＝max{f(−1), f(1)}，而f(1)−f(−1)=(a +1−lna)−(1a +1+lna)=a −1a −21na ，记g(t)=t −1t −21nt(t >0)，因为g ′(t)=1+1t 2−2t =(1t −1)2≥0（当t ＝1时取等号）， 所以g(t)=t −1t −21nt 在t ∈(0, +∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t >1时，g(t)>0；当0<t <1时，g(t)<0，也就是当a >1时，f(1)>f(−1)，当0<a <1时，f(1)<f(−1)．综合可得，①当a >1时，由f(1)−f(0)≥e −1，可得a −lna ≥e −1，求得a ≥e ． ②当0<a <1时，由f(−1)−f(0)≥e −1⇒1a+lna ≥e −1⇒0<a ≤1e，综上知，所求a 的取值范围为(0, 1e ]∪[e, +∞)． 21. 证明：连接AB ， 则∠AQE =∠ABP ， 而OA =OB ， 所以∠ABO =45∘ 所以∠OBP +∠AQE =∠OBP +∠ABP =∠ABO =45∘22. 解：作AP ⊥CD 于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,√22，0)，D(−√22,√22,0)， O(0, 0, 2)，M(0, 0, 1)(I)设AB 与MD 所成的角为θ， ∵ AB →=(1,0,0)，MD →=(−√22,√22,−1)， ∴ cosθ=|AB →|⋅|MD →|˙=12，∴ θ=π3， ∴ AB 与MD 所成角的大小为π3 （2）∵ OP →=(0,√22,−2)，OD→=(−√22,√22,−2)，∴ 设平面OCD 的法向量为n →1=(x,y,z)，则n →1⋅OP →=0，n 1→⋅OD →=0，即{√22y −2z =0−√22x +√22y −2z =0，取z =√2，解得n →1=(0,4,√2)．易知平面OAB 的一个法向量为n 2→=(0,1,0) cos <n →1，n 2→>=n →1.n 2→|n →1||n →2|=2√23． 由图形知，平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值为2√2323. （1）证明：因为y =e −x ，所以y ′=−e −x ，则切线l n 的斜率k n =−e −x n ，所以切线l n 的方程 为y −y n =−e −x n (x −x n )，令y =0， 得x Q n =x n +1，即x n+1=x n +1 （2）解：因为x 1=1，所以x n =n ，所以S n =∫e −x x n+1x ndx −12(x n+1−x n )⋅y n =(−e −x )|nn+1−12×e −n =(e−2)e −n2e，（3）Tn =e−22e(1e 1+1e 2+...+1e n )=e−22e(1e (1−1en )1−1e)=e−22e(e−1)(1−1e n )；T n+1T n=1−1e n+11−1en=1+e−1e n+1−e ， 而x n+1x n=n+1n=1+1n ， 要证T n+1T n<x n+1x n成立，只需证明e−1e n+1−e<1n即可；即只要证明e n+1>(e −1)n +e 证明；数学归纳法：①当n =1时，显然(e −1)2>0⇔e 2>2e −1⇔e 2>(e −1)+e 成立 ②假设n =k 时，有e k+1>(e −1)k +e当n =k +1时，e k+2=e ⋅e k+1>e[(e −1)k +e]而e[(e −1)k +e]−[(e −1)(k +1)+e]=(e −1)2(k +1)>0 ∴ e k+2=e ⋅e k+1>e[(e −1)k +e]>(e −1)(k +1)+e 这说明n =k +1时不等式也成立， 故T n+1T n<x n+1x n对一切正整数n 都成立．。