用柯西收敛准则证明确界原理

用柯西收敛准则证明确界原理
确界原理（Bolzano–Weierstrass theorem）是实数完备性的一个重
要结果之一，它表明，一个有界数列必然有收敛的子数列。

在证明确界原
理时，通常会使用柯西收敛准则（Cauchy convergence criterion）。

柯西收敛准则也被称为柯西准则，是一种用来判断数列是否收敛的方法。

准则的表述如下：对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，对于
所有的正整数m、n>N，当满足，m-n，<N时，必有，am-an，<ε。

现在，我们来证明确界原理。

假设我们有一个有界数列{an}，它的上界为M，下界为m。

根据确界的定义，我们可以找到一个M的上界m'，使得m' > m。

我
们可以将这个上界作为第一个数列中的一些项，将其他的项作为第二个数列。

前一个数列的上界是m'，下界是m，后一个数列的上界和下界与原有
数列的上界和下界相同。

所以，我们可以将问题简化为证明下列命题：如
果存在一个有界数列，其上界为M，且存在一个正整数N，使得当n>N时，有，a_N-an，<ε，则可以找到一个收敛的子数列，其极限为a_N。

根据柯西收敛准则，我们可以找到一个正整数N，满足当n,m>N时，有，an-am，<ε/2、（注意：这里的n和m是任意的正整数）注意到数列{an}是有界的，所以它至少有一个收敛子数列，我们将其
表示为{an_k}，极限为a。

由于{an_k}是一个收敛数列，根据收敛数列的
定义，对于给定的ε/2，我们可以找到一个正整数K，当k>K时，有，
an_k-a，<ε/2
现在我们来证明{an_k}的极限也是{an}的极限。

对于给定的ε，选
择N=max(N,K)，则当n>N时，有：
an-a，≤ ，an - an_k， + ，an_k - a，< ε/2 + ε/2 = ε
这证明了{an_k}的极限也是{an}的极限。

至此，我们证明了给定一个有界数列必然存在一个收敛的子数列，从
而证明了确界原理。

确界原理在实数完备性的证明中起着重要的作用，它表明在实数系统中，有界数列必然收敛。

这一结果对于分析学的发展具有重要意义，它确
保了实数系统的完备性，使我们能够进行收敛性的讨论和推导。

总结起来，通过使用柯西收敛准则，我们可以证明确界原理。

确界原
理是实数完备性的一个重要结果，它表明一个有界数列必然有收敛的子数列。

这一结果对于分析学的发展具有重要意义，确保了实数系统的完备性。