离心率的五种求法

离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、
直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a
=来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1b
y x 22
2
>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的
两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）
A. 10
B. 5
C.
3
10
D. 25
分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-
、C )1
b b
,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10a
c
e ==
，从而选A 。

二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e
例2. 已知双曲线22
221(0,0)
x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43
y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.
35 B. 3
4
C.
4
5
D.
2
3 分析：本题已知b a
=
3
4
，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

解：因为双曲线的一条渐近线方程为4
3y x =
，所以 43
b a =，则
5
3
c e a =
==，从而选A 。

1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )
A. C. D.
解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，
所以，即2
24b a =e ∴===
2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若
12
AB BC =uur uu u r
，则双曲线的离心率是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ． 答案：C
【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，
22
2,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即2
24b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．
【解析】因为，再由有即2
223b a =
从而可得e ∴===B
三、构造a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例3.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若
2AP PB =u u r u u r
，则椭圆的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【解析】对于椭圆，因为2AP PB =u u r u u r
，则
1.设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．3 【解析】由有,则,故选B.
2.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）
A 3 B
26 C 3
6
D 33
解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则
2221b c MF MF +==，又c F F 221=，
在21MF F ∆中， 由余弦定理，得2
12
2
12221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=
∠,
即(
)(
)
(
)
2
22
22222421b
c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵2
2
2
a c
b -=，∴2122
22-=--a c a ，∴2223c a =，∴232
=
e ，∴26=e ，故选B 3.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ B ） A ．
B ．
C ．
D ．
4.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那
么此双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.
解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：， 则一个焦点为
一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，， ，解得.
5.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若2
1PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ）
A.
2
2
B.
2
1
2- C. 22- D. 12-
解：由2
2222222101
b PF
c a c ac a
e e e ==⇒-=+-=⇒=化为齐次式
6.双曲线(0,0)a b >>的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A．B．C．D．
7.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，且，则双曲线的离心率为（ B ）A．B．C．D．
解122
222
12
22
2
()()(2)
AF AF AF a
a e
AF AF c
ì-==
ïï
??
íï
+=
ïî
8．如图，
1
F和
2
F分别是双曲线1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
（0
,0>
>b
a）的两个焦点，A和B是
以O为圆心，以
1
OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB
F
2
∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A 3
B 5 C
2
5
D 1
3+
6.解析：连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴，
双曲线的离心率为，选D。

9. 设
1
F、
2
F分别是椭圆1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
（0
>
>b
a）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c3（c为半焦距）的点，且P
F
F
F
2
2
1
=，则椭圆的离心率是（）
A
2
1
3-
B
2
1
C
2
1
5-
D
2
2
10.设双曲线1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
（b
a<
<
0）的半焦距为c，直线L过()0,a，()b,0两点.已
知原点到直线的距离为c
4
3
，则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
3
2
解：由已知，直线L的方程为0
=
-
+ab
ay
bx，由点到直线的距离公式，得
c
b
a
ab
4
3
2
2
=
+
，
又2
2
2b
a
c+
=, ∴2
3
4c
ab=,两边平方，得()4
2
2
23
16c
a
c
a=
-，整理得
16
16
32
4=
+
-e
e，
得4
2=
e或
3
4
2=
e，又b
a<
<
0，∴2
1
2
2
2
2
2
2
2
2>
+
=
+
=
=
a
b
a
b
a
a
c
e，∴4
2=
e，
∴2
=
e，故选A
11.知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段12F F 为边作正三
角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 324+
B. 13-
C. 2
1
3+ D. 13+ 解：如图，设1
MF 的中点为P
，01160,,,,P(,)
2222
P P c c OF P PF c x y ∠==∴=-=-Q 即
把P 点坐标代人双曲线方程，有22223=144c c a b
-， 化简得42840e e -+=
解得1e e ==，故选D 四、第二定义法
由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应
准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例4：设椭圆122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直
于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是
.
解：如图所示，AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，
∵1l AD ⊥于D ，∴AD 为1F 到准线1l 的距离，根据椭圆的第二定
义，2
1211===
AD AB AD AF e 1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该
椭圆的离心率为（ ） A 2 B
22 C 21 D
4
2
解：2
2
1222==
=
AD
AF e 2．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2
1
，则该双曲线的离心率为（ ） A
2
2
B 2
C 2
D 22 五、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围
1．已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为0
60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（ ）
A []2,1
B ()2,1
C [)+∞,2
D ()+∞,2
2．椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的焦点为1F 、2F ，两条准线与x 轴的交点分别为
M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦
⎤ ⎝⎛21,0
B ．⎥⎦
⎤ ⎝⎛22,0 C ．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,21
D ．⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,22 1.双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交
点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e 2=，∴ e ≥2，选C
2.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e ≥，选D
3.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）
A ．
B ．
C ．
D ．
解析：满足的点总在椭圆内部，所以c<b. 4.设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ） A ．
B ．
C ．
D ．。