概率论与数理统计 林文浩 第五章习题

习题五 大数定律与中心极限定理

B 组

1．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且具有相同分布，它们的均值与方差分别为μ

与2σ。试证随机变量1

1

n i i X X n ==∑（

X 称为样本

均值），满足

()E X μ=，2

()D X n σ=，2

2{}P X n σμεε

-≥≤。 证

111

111()()()n n n

i i i i i E X E X E X n n n μμ=======∑∑∑

22

221111111()()()n n n i i i i i D X D X D X n n n n

σσ=======∑∑∑

应用契比雪夫不等式，对于任意的0ε>，有

22

2()

{}D X P X n σμεεε

-≥≤

=

2．设()g x 是正值非减函数，并且{()}E g X 存在，证明

{()}

{}()E g X P X a g a ≥≤

。

证 因为()g x 是正值非减函数，故当x a ≥时，有

()()0g x g a ≥>，

或

()

1()g x g a ≥

所以

()

{}()()()

a

a

g x P X a f x dx f x dx g a +∞+∞

≥=≤⎰

⎰

1{()}()()()()

E g X g x f x dx g a g a +∞-∞≤=⎰

3．假设12,,,n X X X 是相互独立且在[,]a b 上服从均匀分布的随机变量，()f x 是在

[,]a b 上连续的函数，试证明

1

()()n b p

i n a i b a f X f x dx n →∞=-−−−→∑⎰ 证 设 ()(1,2,,)i i Y f X i n == ,由已知，i X 的概率密度为

1

,,()0,a x b g x b a ⎧<<⎪

=-⎨⎪⎩

其他.

则

11()()

()b

b

i a

a E Y f x dx f x dx

b a b a

==--⎰⎰ (1,2,,)i n = 且

11

1()()()n

n b b

i a a i i n E Y f x dx f x dx b a b a ====--∑∑⎰⎰ 于是由契比雪夫大数定律，对于任意的0ε>，有

11

11lim {()}1n n

i i n i i P Y E Y n n ε→∞==-<=∑∑ 即

111lim {()()}1n b

i a

n i P f X f x dx n b a ε→∞=-<=-∑⎰

这意味着，当n 充分大时，必有

111()()n b

i a i f X f x dx n b a

ε=-<-∑⎰ 即

111()()n b p

i n a i f X f x dx n b a

→∞=−−−→-∑⎰ 或

1

()()n b p

i n a i b a f X f x dx n →∞=-−−−→∑⎰

4．独立地测量一个物理量，每次测量产生的随机误差都服从[1,1]-的均匀分布。（1）如果取n 次测量的算术平均值作为测量结果，求它与真值的差小于一个小的正数ε的概率；（2）计算当1

36,6

n ε==时的近似值；（3）要使上述概率大于0.95α=，应进行多少次测量？

解 设该物理量为a ，i X 为第i 次测量的结果，则依题设有 ~[1,1](1,2,,)i i Y X a U i n =--= （1）所求的概率为：

111

111{}{()}{}n n n

i i i i i i P X a P X a P Y n n n εεε===-<=-<=<∑∑∑

因为

1()(11)02i E Y μ==

-+=，2211

()[1(1)]123

i D Y σ==--= 且(1,2,,)i Y i n = 独立同分布，利用列维-林德伯格中心极限定理，有

11

1{})}n n

i i i i P X a P Y n n εμ==-<=-<∑∑

1

{)}2)1n

i i P Y n μφ==<-<≈-∑

（2）当1

36,6

n ε==

时，所求概率的近似值为：

11{}2(16

n i i P X a n εφ=-<≈-∑2(1.7321)120.958210.9164φ=-=⨯-= （3）应进行测量次数n 的计算：依题设，有

11{}210.95n i i P X a n εφ=-<≈->∑

，即0.975φ> 查正态分布表，有(1.96)0.975φ=

1.96>，得212 1.9646.1n >⨯=，故应进行47次测量。

5．设某种电子器件的使用寿命服从参数10λ=（单位：小时）的指数分布，其使用情

况是第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等。已知每个器件为a 元，那么在年计划中一年至少需要多少元才能有95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）。

解 设需要n 个这样的器件，且第i 个器件的使用寿命为(1,2,,)i T i n = 小时，据已知有(1,2,,)i T i n = 独立同分布，而

()10i E T μλ===，22()100i D T σλ===

依题设，要求 1

{

8306}0.95n

i i P T =≥⨯

=∑，因为

11

{8306})n

n

i i i i P T P T n μ==≥⨯=-≥∑∑

11)n

i i P T n μ==--<∑

应有8306n μ⨯≤，即244810n ≤，于是利用列维-林德伯格中心极限定理，有

10102448

()})1)n

i

i P T n μ=-≈=-∑ 故

0.95Φ=

查正态分布表，有(1.645)0.95φ=

1.645=，即

244.80n --=

所以

1.645 1.64531.33516.4922

++===

即272n ≈，因此在年计划中一年至少需要272a 元。

6．设随机变量12,,,n X X X 相互独立同分布，()1,()16i i E X D X ==，