学而思初三数学暑假班第7讲.圆的概念及性质.提高班.学生版

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学而思中考数学同步圆的基本性质

第六章圆的有关性质本章进步目标★★★★☆☆Level 4通过对本节课的学习，你能够：1．对圆的有关概念及垂径定理达到【初级运用】级别；2．对弧、弦、圆心角关系达到【初级运用】级别；3．对圆周角定理达到【初级运用】级别。

VISIBLE PROGRESS SYSTEM进步可视化教学体系73VISIBLE PROGRESS SYSTEM74 VISIBLE PROGRESS SYSTEM第一关圆的有关概念及垂径定理★★★★☆☆Level 4本关进步目标★★☆☆☆☆你能够掌握圆有关的概念及性质；★★★★☆☆你能够理解垂径定理，会根据垂径定理解决运用问题。

75VISIBLE PROGRESS SYSTEM76VISIBLE PROGRESS SYSTEM学习重点：掌握与圆有关的概念以及性质．1．（1）弦是直径（）（2）半圆是弧（）（3）过圆心的线段是直径（）（4）过圆心的直线是直径（）（5）半圆是最长的弧（）（6）直径是最长的弦（）（7）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆（）（8）半径相等的两个圆是等圆（）（9）等弧就是拉直以后长度相等的弧（）2．下列说法正确的是（） A ．长度相等的弧是等弧B ．优弧大于劣弧C ．直径是一个圆中最长的弦D ．同圆或等圆中的弦一定相等圆的有关概念【初级理解】知道与圆有关的概念会识别并区分相关概念关卡1-1圆的有关概念过关指南Tips笔记★★☆☆☆☆ 初级理解例题77VISIBLE PROGRESS SYSTEM下列命题正确的有（）①半径是弦；②直径是最长的弦；③在同一平面内，到定点距离等于定长的点都在同一个圆上。

A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个．下列说法中正确的序号是_________________．①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．下列说法正确的是（） A ．弦是圆上两点间的部分 B ．弧比弦大 C ．劣弧比半圆小D ．.弧是半圆过关练习错题记录Exercise 2错题记录Exercise 1错题记录Exercise 378VISIBLE PROGRESS SYSTEM学习重点：理解垂径定理及其推论的内容，并运用垂径定理构造直角三角形解决相关问题．1．如图，在⊙O 中，弦AB=8cm ，OC ⊥AB 于C ，OC=3cm ，求⊙O 的半径长．2．如图，有一圆弧形门拱的拱高AB 为1m ，跨度CD 为4m ，求这个门拱的半径OA=_____．3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（） A ．6分米B ．8分米C ．10分米D ．12分米垂径定理【初级运用】理解垂径定理及其推论用垂径定理解决相关问题会构造直角三角形会运用勾股定理NM BA关卡1-2垂径定理★★★★☆☆ 初级运用过关指南Tips笔记例题79VISIBLE PROGRESS SYSTEM如图，P 为⊙O 的弦AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为5，则OP=______．如图，CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD 于E ，DE=8cm ，CE=2cm ，则AB=______cm ．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB 弧），点O 是这段弧的圆心，AB=120m ，C 是AB 弧是一点，OC ⊥AB 于D ，CD=20m ，则该弯路的半径为____________．已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为______．错题记录Exercise 3错题记录Exercise 4过关练习错题记录Exercise 2错题记录Exercise 1第二关弧、弦、圆心角关系★★★★☆☆Level 4本关进步目标★★★★☆☆你会掌握弧、弦、圆心角关系，并根据弧、弦、圆心角关系解题。

中考暑假班新课预习7【圆】

第七讲：初三预习圆的有关证明知识点讲义【知识梳理】【中考例题】（广州 2007）10．如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥AB 于点D 、交⊙O 于点E ， ∠C =60°，如果⊙O 的半径为2，那么下列结论中错误．．的是（）．（A ）AD DB =(B) AE EB = （C ）1OD =（D ）AB（广州 2007）21．（本小题满分12分）如图5，在△ABC 中，AB =AC ，内切圆O 与边BC 、AC 、AB 分别切于点D 、E 、F ．（1）求证：BF =CE ；（2）若∠C =30°，CE =AC 的长．ABO D CE图1图5C（广州 2008）23、（12分）如图9，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于点D 、E ，且»»BCDE = （1）求证：AC=AE（2）利用尺规作图，分别作线段CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线，两线交于点F （保留作图痕迹，不写作法）求证：EF 平分∠CEN（2008广州）24、（14分）如图10，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C 是»AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG=GH=HE （1）求证：四边形OGCH 是平行四边形（2）当点C 在»AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度（3）求证：223CD CH +是定值（2009广州）20.（本小题满分10分）如图10，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32，（1）求∠BAC 的度数；（2）求⊙O 的周长图9图10（广州 2010）14．一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为_______． (结果保留π)（广州 2010）24．24．（14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC 的面积为S ，若2SDE＝ABC 的周长.（广州 2011）10.如图，AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC//OA ，则劣弧BC 的弧长为（）A.π33 B. π23C. πD. π23（广州 2011）25. （14分）如图7，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上。

学而思中考数学第7讲.第二轮复习之中考中圆的热门考点.尖子班.学生版

`每年北京中考第20题中都会对圆的基本性质的进行考察，此题第⑴主要考察切线的证明，第⑵主要考察相似和解直角三角形与圆的结合．【例1】如图，已知ABC △，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为»CF的中点，连接BE 交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且AD BE ⊥，垂足为点H ． ⑴ 求证：AB 是半圆O 的切线；⑵ 若3AB =，4BC =，求BE 的长．典题精练7第二轮复习之中考中圆的热门考点题型一：圆中的计算A A H A C A E A M A FAAG OF EDC【例2】如图，Rt ABC △内接于O ⊙，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与O ⊙交于点D ，与BC交于点E ，延长BD 与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． ⑴ 判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明； ⑵ 求证：AE BF =； ⑶ 若(322OG DE ⋅=，求O ⊙的半径．辅助圆是平面几何的一种重要解题工具，巧妙地添加辅助圆，能够使得那些看似与圆无关的题目通过建立沟通条件和结论的联系，利用圆的性质或其它几何性质，从而通过简捷的方法把复杂的问题转化为较为简单的问题．中考中只能利用圆的定义来构造辅助圆，常见的有两种类型：一是多条等线段共端点，而是两个直角三角形共斜边．【例3】已知四边形ABCD ，AB CD ∥，且AB AC AD a ===，BC b =，且2a b >．求BD 的值．典题精练题型二：辅助圆A BCD【例4】如图，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 上一点，ME AM ⊥交BCD ∠的外角平分线于E ，求证：AM EM =．ABCDEM近年来，北京中考中对圆的考察，从分值和难度上都有相当程度的提升，其中近三年中考最后一题都是将圆放在平面直角坐标系中考察，主要考察对直线与圆各种位置关系的了解与掌握．【例5】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OCB △的外接圆与y 轴交于点()02A ，，6045OCB COB ∠=∠=°，°，求OC 的长．题型三：坐标系中的圆yxCB O A【例6】如图1，已知直线252+=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线b ax ax y ++=42经过A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B ．⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 若点Q 在抛物线上，且AQC ∆与BQC ∆面积相等，求点Q 的坐标；⑶ 如图2，P 为AOC ∆外接圆上¼ACO 的中点，直线PC 交x 轴于点D ， ACO EDF ∠=∠，当EDF ∠绕点D 旋转时，DE 交直线AC 于点M ，DF 交y 轴负半轴于点N ．请你探究：CM CN -的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．图2xyACPN DEMFO图1xyOBCA【例7】在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”，给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -；若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -. 例如：点1(12)P ，，点2(35)P ，，因为|13||25|-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|25|3-=，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）．（1）已知点1(0)2A -，，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；（2）已知C 是直线334y x =+上的一个动点， ①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．题型一圆的计算巩固练习【练习1】如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ．（1）求证：点E 为BC 中点；（2）若tan ∠EDC =25，AD =5，求DE 的长．题型二辅助圆巩固练习【练习2】如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为22013cm ，P 为正方形内一点，且45OPB ∠=︒，:5:6PA PB =，求PB 的长．OP DCB A复习巩固题型三坐标系中的圆巩固练习【练习3】如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．⑴ 求点C 的坐标；⑵ 点()8Q m ，在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB +的最小值；⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．y xABCD EMO第十八种品格：坚持终点就在眼前马拉松的比赛正在进行着，后来，有两个人逐渐地甩开了后面的人，跑到了前面。

第三章圆——圆的对称性及垂径定理讲义北师大版数学九年级下册

专题2 圆相关的概念及性质（一）圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.注：①确定圆需要两个因素，一是圆心，二是半径。

圆心确定位置，半径确定其大小。

②圆是一条封闭曲线，曲线是圆周，而不能认为是圆面.③“圆上的点”指圆周上的点。

（二）点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内⇔d ＜ r ；点P在圆上⇔d = r ；点P在圆外⇔d ＞r.说明：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.注：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；（三）与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆知识精讲弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.注：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.注：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.注：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心且角的两边与圆相交的角叫做圆心角.注：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.6.弧、弦、圆心角的关系（1）圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注：①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（四）确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；（3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.注：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在且唯一”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.（五）圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴。

初三数学总复习讲座七圆

初三数学总复习讲座(七)圆初三数学总复习讲座（七）——圆一、课程标准1、理解圆及其有关的概念,了解弧﹑弦﹑圆心角的关系，探索并了解点与圆﹑直线与圆以及圆与圆的位置关系．２、探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系,直径所对圆周角的特征．３、了解三角形的内心和外心 .4、了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线.5、会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积和全面积.6、探索圆的轴对称性及其相关性质,了解圆是中心对称图形,探索图形之间的变换关系,灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.二、09年中考考试说明▪C层次要求的知识点有:圆的性质,圆周角,直线与圆的位置关系.▪B层次要求的知识点有:圆的有关概念,垂径定理,切线长,弧长,扇形,圆锥的侧面积和全面积,圆与圆的位置关系.▪重点:圆的有关性质;圆周角的有关计算;直线与圆的位置关系.▪难点:综合运用所学知识解决有关问题.三、中考说明变化四、历年中考06—08中考分值圆锥侧面展开图切线的证明908年中考正多边形切线的证明907年中考圆锥侧面展开图切线的证明1006年中考知识点分值年份五、知识结构点与圆的直线与圆的圆与圆的圆的扇形面积,弧长,六、复习过程（一）圆的基本性质1、圆的概念:理解圆及其有关概念;会过一点和不在同一直线上的三点作圆;能利用圆的有关概念解决简单问题．2、垂径定理:会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论;能运用垂径定理解决有关问题.3、圆心角:能运用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题.4、圆周角:了解圆周角与圆心角的关系和直径所对圆周角的特征;会求圆周角的度数;能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题.5、中考题型：这部分题目变化灵活，在历年各地中考试题中均占有较大比例，就考查的内容和形式来看，不仅可以单独考查，而且往往与几何前几章知识以及方程、函数等知识相结合,1、(07山东）．如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB= 42，则⊙O的直径等于。

圆和扇形学而思讲义

就是重叠部分面积）
测试题
1.根据图中给出的数值，求这个图源自的周长和面积（）2.求下列各图中阴影部分的面积：
3.（实验中学07年期末考试题）
如下图，长方形ABCD，长是8cm，则阴影部分的面积。（）
4.在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。(圆周率取 )
D E
A B C
“谷子”的面积＝弓形面积×2
常用的思想方法：
１．转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）
２．等积变形（割补、平移、旋转等）
３．借来还去（加减法）
４．外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”。就是我们暑期学
习的“求反面”）
５．容斥（实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的。我们把两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的
5.如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC长。（取3.14）
6.用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板。问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
7.如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取 )
8.一只羊被拴在一个长为4米，宽为3米的长方形的羊圈内，在处有一个缺口，羊可以自由出入，拴绳长9米，那么羊能够到达的地方的面积约为平方米。( 取 )
答案
1．18.28；23.14
2．25；ab
3．3.44平方厘米
4．1.42
5．15
6．8
7．32.125
8．50.465
内容提要
圆形
周长和面积
扇形

学而思初中课程目录

学而思初中课程目录第一讲：数学一、分数与小数1. 分数的认识与运算2. 分数与小数的互化二、代数1. 代数基础知识2. 一元一次方程与不等式3. 二次根式与二次方程三、几何1. 直线、射线与线段2. 角的概念与性质3. 三角形的分类与性质4. 平行线与平行四边形5. 圆的认识与性质四、数据与概率1. 统计数据的收集与整理2. 数据的图表表示3. 概率的基本概念与计算第二讲：语文一、词语运用1. 词语的辨析与运用技巧2. 成语与俗语的理解与应用二、阅读理解1. 文章主旨与段落概括2. 阅读常见问答题解题技巧三、写作表达1. 作文结构与写作步骤2. 议论文与记叙文的写作技巧四、文学常识1. 古代文学名篇赏析2. 现代文学作品解读第三讲：英语一、基础语法运用1. 时态与语态的正确使用2. 名词、代词与形容词的用法二、听力与口语1. 听力技巧与短对话理解2. 日常口语表达与交流实践三、阅读与写作1. 阅读理解技巧与常见题型分析2. 书信写作与应用文练习四、文化与社交1. 英语国家文化与习俗2. 社交场合常用表达与礼仪第四讲：科学一、物质与能量1. 物质与化学变化2. 能量与能量转化二、生命与健康1. 细胞与生物多样性2. 健康与生长发育三、地球与宇宙1. 地球的结构与特点2. 太阳系与宇宙的奥秘四、科学探究1. 科学实验与观察方法2. 科学问题的提出与探索第五讲：历史一、中华文明1. 古代中国的起源与发展2. 中国古代文化的瑰宝二、世界史观1. 世界文明的交流与融合2. 世界历史重要事件与人物三、近现代史1. 近现代中国的社会变革2. 近现代世界的政治与经济四、历史思维与方法1. 历史资料的分析与运用2. 历史事件的评价与解读第六讲：地理一、自然地理1. 自然地理要素与特征2. 自然地理的作用与关系二、人文地理1. 人口与人口分布2. 城市与乡村的特点与变化三、地理知识与应用1. 地理信息系统与地图阅读2. 大气与水资源的保护与利用四、环境与可持续发展1. 环境问题与生态平衡2. 可持续发展的理念与实践以上是学而思初中阶段的课程目录，涵盖了数学、语文、英语、科学、历史和地理六个学科，旨在帮助学生全面发展各项能力。

2021年初三数学圆的知识点总结

初三数学圆的知识点总结圆是一种几何图形。

根据定义，通常用圆规来画圆。

同圆内圆的直径、半径的长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。

初三数学圆的知识点总结1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12.①直线L和⊙O相交d②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离dr13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上20.①两圆外离dR+r ②两圆外切d=R+r③.两圆相交R-rr④.两圆内切d=R-rRr ⑤两圆内含dr21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦22.定理把圆分成nn≥3:⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆24.正n边形的每个内角都等于n-2×180°/n25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长27.正三角形面积√3a/4 a表示边长28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×n-2180°/n=360°化为n-2k-2=429.弧长计算公式：L=n兀R/18030.扇形面积公式：S扇形=n兀R /360=LR/231.内公切线长= d-R-r 外公切线长= d-R+r32.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半33.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等34.推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径35.弧长公式l=ar a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式s=1/2lr初三数学复习方法一、回归课本，夯实基础，做好预习。

中考暑假班新课预习6【圆】

第六讲：初三预习圆的有关概念知识点讲义知识结构切线的判定和性质圆的性质垂径定理弧、弦、圆心角关系圆周角定理及推论点和圆的位置关系三点确定圆三角形外接圆直线和圆的位置关系三角形内切圆圆和圆的位置关系正多边形的计算弧长扇形面积圆锥的侧面积有关圆的计算圆与圆有关的位置关系知识要点一、圆、圆的有关性质二、过三点的圆l 、过三点的圆经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和＞180°与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

五、圆周角1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

人教版九年级数学上册暑假培训班讲义第3次课：圆的定义

第3次课：圆的定义1、圆的定义【讲授新知】1．圆的定义：动态定义：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心：固定的端点O叫做圆心。

半径：线段OA叫做半径，以O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

静态定义:圆又可以看成是所有到定点的距离等于定长r的点的集合。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

图中线段AB、AC。

经过圆心的弦叫直径。

图中线段AB圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”。

能够完全重合的弧是等弧。

圆中任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫优弧，用三个大写字母表示，如，小于半圆的弧叫劣弧，用两个字母表示，如。

【自我检测】1、判断题：直径是弦。

（）弦是直径。

（）半圆是弧，但弧不一定是半圆。

（）半径相等的两个半圆是等弧。

（）长度相等的弧是等弧。

（）2、如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点P是OB上的任一点 (不包括O，B)，CD，EF是过P的两条弦，则图中的弦有____________，以B为端点的劣弧有_________ ___________3．求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。

已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O。

求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上。

【例题精讲】知识点一圆的有关概念例1、如图，图中弦的条数为( )A．1条B．2条C．3条D．4条【练习】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．知识点二圆的半径相等【例2】如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( )A．38° B．52° C．76° D．104°【练习】如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.·解：由ASA证△BEO≌△CFO，∴OE＝OF，又∵OC＝OB，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF【练习】如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.求证：∠C＝∠D.解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC，即∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OD＝OC，∴△AOD≌△BOC，∴∠C＝∠D《圆的概念》检测题1、M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( )A．MN＞6 cm B．MN＝6 cmC．MN＜6 cm D．MN≤6 cm2、如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( )A．a＞b＞c B．a＝b＝cC．c＞a＞b D．b＞c＞a3、如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为_______．4、如图，AB，CD为圆O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．5、如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF6、如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E＝18°，∴∠OCE＝36°，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°7、如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．(1)求证：OC＝OF；(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF 上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：(1)连接OD，OE，则OD＝OE，又∠OCD＝∠OFE＝90°，CD＝EF，∴Rt△ODC ≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF (2)连接OH，∵CF＝EF＝2，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)，∴S正方形FGHK＝12＝1。

(完整版)初三数学圆知识精讲首师大版

初三数学圆知识精讲一. 本周教学内容：圆1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。

2. 主要定理：（1）垂径定理及其推论。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。

（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。

（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。

（5）切线的性质及判定。

（6）切线长定理。

（7）相交弦、切割线、割线定理。

（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。

（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。

（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。

（11）正n边形的有关计算。

圆这一章中的知识点包括5个B级，13个C级，3个D级水平的共21个知识点，多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要。

二. 中考聚焦：圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：内容圆的有关性质直线和圆的位置关系圆与圆的位置关系正多边形和圆所占分数百分比5%～15% 8%～16% 3%～12% 2%～8%圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。

三. 知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪【典型例题】例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。

第四章第一节圆的概念和性质(含答案)---九年级数学同步-学而思

第一节圆的概念和性质1.圆圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点0叫做圆心，线段OA叫做半径．记作⊙,O读作“圆0”，注：①圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．②圆心、半径是确定一个圆的两个条件，缺一不可，只有确定的圆心，而无确定半径的圆是同心圆；只有确定半径，而无确定圆心的圆都是等圆i因此，我们说：“圆心定位置，半径定大小”．2.与圆有关的概念(1)弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦是直径．（3）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．简称弧；半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．（4）同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．（6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．3.圆的对称性性（1)圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心，注：①不可以说圆的对称轴是直径．对称轴是直线．4.垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．（2)归纳新结论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．④圆的两条平行线所夹的弧相等，注：对于一个圆和一条直线，如果具备了下列五个条件中的任何两个，那么就一定可以推出其他三个：①垂直于弦；②过圆心；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，这样就一共可以得到垂径定理的九个推论．5.圆心角、弧、弦（1）圆心角的度数等于所对弧的度数．（2)圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距的其余各组量都相等．注：①圆心角的度数等于所对弧的度数，不能说圆心角等于它所对的弧．②圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等及线段相等的主要依据，同时圆心角和它所对的弧的对应相等关系，又是定义1。

学而思高中题库完整版圆.板块一.圆的方程.学生版

【例1】已知圆的方程为226490x y x y ++-+=，则圆心坐标为，圆的半径为．【例2】求圆心在直线23y x =+上，且过点(12)A ，，(2,3)B -的圆的方程．【例3】已知圆22:230()C x y x ay a +++-=∈R 上任意一点关于直线:20l x y -+=的对称点都在圆C 上，____a =．【例4】已知一圆的圆心为点(23)-，，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，求此圆的方程．【例5】圆22220x y x y +-+=的周长是（）A ．22πB ．2πC ．2πD ．4π【例6】如果圆的方程为22220x y kx y k ++++=，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（）．A ．(11)-，B ．(11)-，C ．(10)-，D ．(01)-，【例7】点（2,1a a -）在圆22240x y y +--=的内部，则a 的取值范围是．【例8】已知ABC ∆三边所在直线方程:60AB x -=，:280BC x y --=，:20CA x y +=，求此三角形外接圆的方程．【例9】以点(5,4)A -为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为（）A ．22(5)(4)16x y ++-=B ．22(5)(4)16x y -++= 典例分析板块一.圆的方程C ．22(5)(4)25x y ++-=D ．22(5)(4)25x y -++=【例10】若a ∈R ，则动圆22224510x y ax ay a +--+-=的圆心满足的方程为（）A ．221x y +=B ．222x y +=C ．20y x -=D ．20x y -=【例11】设0k >，则动圆22()(2)9x k y k +++=的圆心的轨迹恒过点（）A ．(1,2)B ．(1,2)--C ．(2,1)D ．(2,1)--【例12】方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（）A ．114m << B ．1m > C ．14m < D ．14m <或1m >【例13】求以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程【例14】半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线3(0)y x =≥相切，求这个圆的方程．【考点】圆的方程【例15】求过三点(0,0)O ，1(1,1)M ，2(4,2)M 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．【例16】已知圆C 的圆心是直线1,1x y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程为【例17】以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（） A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++=C ．220x y x +-=D ．2220x y x +-=【例18】若圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线0x y +=相切，则圆O 的方程是．【例19】圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为．【例20】求过点(5,2)A，(1,6)B，且圆心在直线:330l x y--=上的圆的方程．【例21】若圆C经过点(0,4)A，(4,6)B，且圆心C在直线220x y--=上．⑴求圆的方程；⑵若直线34y x b=-+和圆C相切，求直线的方程．。

九年级下册北师大数学圆的知识点

九年级下册北师大数学圆的知识点北师大数学圆的知识点圆是数学中一种特殊的几何形状，它在我们的日常生活中无处不在。

在九年级下册的北师大数学课程中，我们将学习关于圆的一系列知识点，包括圆的定义、性质以及相关的定理。

本文将对这些知识点进行介绍，帮助同学们更好地理解和应用圆的概念。

一、圆的定义和性质1. 定义：圆是平面上与给定点距离相等的所有点的集合。

这个给定点称为圆心，距离称为半径。

2. 性质一：圆的半径相等的两条弦相等。

也就是说，在一个圆上，若两条弦的两端点都在圆上，且弦的长度相等，那么这两条弦的中点肯定也在圆上。

3. 性质二：圆的半径垂直于弦。

对于一个圆，若弦的两端点在圆上，那么弦的中点和圆心连线一定垂直于弦。

二、圆的相关定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么它与半径的连线垂直。

2. 切圆定理：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么它与圆的切点和圆心连线垂直。

3. 正切定理：如果一条直线能同时切两个圆，并且两个切点分别位于两个圆心对连线的两侧，那么这条直线的两个切点和两个圆心连线的两个交点共圆。

三、圆的计算1. 弧长和扇形面积的计算：对于一个圆，我们可以通过已知半径和角度来计算弧长和扇形面积。

弧长的计算公式为l = rθ，其中l 代表弧长，r 代表半径，θ 代表圆心角的弧度。

扇形面积的计算公式为S = 1/2r²θ，其中 S 代表扇形面积。

2. 弧度和角度的转换：圆心角的弧度和角度之间存在一个转换关系，即角度 = 弧度× 180°/π，其中π 是一个无限不循环小数，它的近似值约为3.14。

四、应用实例1. 圆的应用：圆的应用非常广泛，它在建筑、艺术、科学等领域中都有重要的应用。

比如，我们常见的圆柱体、圆锥体和球体都是基于圆的形状构建的。

2. 弧长和扇形面积的实际问题：弧长和扇形面积的计算在实际生活中也有很多应用。

比如，在设计汽车驶过弯道的路径时，我们需要计算弧长和扇形面积来提供行驶的参考。

2024年中考数学复习-圆知识点复习讲义

圆知识点复习讲义第1 节圆的认识一、知识梳理1.圆的基本概念弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦.直径：经过圆心的弦叫作直径.圆弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧 .弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧.半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆.等圆：能够重合的两个圆叫作等圆.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧.2.圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆是中心对称图形，对称中心为圆心.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.3.点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔d<r.【例】如图1-1所示,AB是⊙O 的直径,四边形ABCD 内接于⊙O. 若BC=CD=DA=4cm,则⊙O的周长为( ).A. 5πcmB. 6πcmC. 9πcmD. 8πcm解:如图1-2所示,连接OD,OC.∵AB是⊙O的直径,四边形ABCD 内接于⊙O, BC=CD=DA=4cm,̂=CD̂=BĈ.∴AD∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°.又∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.∴OA=AD=4cm.∴⊙O 的周长=2π×4=8π(cm).故选 D.二、分层练习☆万丈高楼平地起1.下列命题正确的个数是( )个.①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④面积相等的两个圆是等圆；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧；A. 2B. 3C. 4D. 52.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1-3 所示 .为了在商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明要选择携带的应该是( ).A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块3. 如图1-4所示,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB,垂足为点D.已知CD=4,OD=3,则AB的长为 .4. 如图1-5所示,AB是⊙O的直径,点C,D在AB的异侧,连接AD,OD,OC. 若∠AOC=70°,且AD∥OC,则∠AOD的度数为 .欲穷千里目，更上一层楼5. 如图1-6所示,AB,CD是⊙O的直径, AÊ=BD̂.若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( ).A. 32°B. 60°C. 68°D. 64°6. 如图1-7所示,AB是⊙O的直径, BĈ=CD̂=DÊ,∠COD=35∘,则∠AOE 的度数是( ).A. 65°B. 70°C. 75°D. 85°̂=DĈ=CB̂,则四边7. 如图1-8所示,已知⊙O的半径为2cm,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O 上的两点，且AD形ABCD的周长为( ).A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm̂=2AĈ,那么( ).8. 如图1-9所示,在⊙O 中,如果ABA.AB=ACB.AB=2ACC.AB<2ACD.AB>2AC9. 如图1-10 所示,在矩形ABCD中, AB=8,BC=3√5,点 P 在边 AB 上,且BP=3AP.如果圆P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( ).A. 点B,C均在圆P外B. 点 B在圆 P 外,点 C在圆 P 内C. 点B在圆P内,点C在圆P外D. 点 B,C均在圆P内10. 如图1-11所示，城市A的正北方向50km的B处，有一无线电信号发射塔，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100km，AC 是一条直达C 城的公路，从A城开往C城的班车速度为60km/h.(1)当班车从A城出发开往C城时，有人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5h时接收信号最强，则此时班车到发射塔的距离是多少?(离发射塔越近，信号越强)(2)班车从 A城到C城共行驶2h，请你判断，班车到C城后还能接收到信号吗?请说明理由.会当凌绝顶，一览众山小̂的中点，点P 是直径MN上一动点，⊙O 的半径11.如图1-12所示，已知点A是半圆上的三等分点，点B是AN为1.请问：点 P 在MN上什么位置时，AP+BP的值最小?并给出AP+BP的最小值.第2 节垂径定理一、知识梳理(一)垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图2-1所示，垂径定理的条件与结论理解如下：∵AB是直径,AB⊥CD于点 E,∴CE=DE,CB̂=DB̂,AĈ=AD̂.(二)垂径定理推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.【例】如图2-2所示,AB是⊙O 的弦,点 C,D是直线AB上的两点,且AC=BD,求证:OC=OD.证明:如图2-3所示,过点O作OE⊥AB于点E.∵OE⊥AB,∴AE=BE.又∵AC=BD,∴CE=DE.∴OE是CD的中垂线.∴OC=OD.二、分层练习☆万丈高楼平地起1.下列判断中正确的是( ).A.长度相等的弧是等弧B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦2.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图2-4所示，已知AB=16m,,半径OA为10m,则中间柱CD的高度为( )m.A. 6B. 4C. 8D. 53. 如图2-5所示,点A,B是⊙O上的两点,AB=10,点P是⊙O上的动点(点 P与点A,B不重合). 连接AP,PB,过点O 分别作OE⊥AP于点E,( OF⊥PB于点F,连接EF,则EF长为( ).A. 4B. 5C. 5.5D. 64. 点P为⊙O内一点，且OP=4. 若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为( ).A. 12B.2√30C. 8D. 10.5欲穷千里目，更上一层楼5.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图2-6所示，设⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的面积来估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 (结果保留根号).6. 如图2-7所示，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AD=2√2,AB=2√3,则∠DAB的度数为( ).A.105°B.60°C.75°D.70°7. 如图2-8所示, ∠PAC=30°,，在射线AC 上顺次截取AD=3cm,DB=10cm,以DB为直径作⊙O 交射线AP于点 E,F.(1)求圆心 O到AP的距离;(2)求弦 EF的长.8. 如图2-9所示,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点 P, AP=2,BP=6,∠APC=30°,,则 CD的长为( ).A.√15B.2√5C.2√15D. 89. 如图2-10所示,在半径为√5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点 P,且AB=CD=4,则OP的长为( ).A. 1B.√2C. 2D.2√210. 如图2-11所示,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为y=x2√3,,则a的值是( ).A.2√2B.2+√2C.2√3D.2+√311. 如图2-12所示，△ABC外接圆的半径为5，其圆心O恰好在中线CD上.若AB=CD,则△ABC的面积为( ).A. 36B. 32C. 24D.1812.圆柱形油槽内装有一些油，截面如图2-13所示，油面宽AB 为6dm，再注入一些油后，油面 AB 上升1dm，油面宽变为 8dm，则圆柱形油槽直径 MN 为( ).A. 6dmB. 8dmC. 10dmD. 12dm会当凌绝顶，一览众山小13.如图2-14所示，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y=kx-3k+44与⊙O 相交于点B，C，则弦BC的长的最小值为 .第3 节圆周角定理(1)一、知识梳理圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.推论3：圆内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.【例】如图3-1所示,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),点B 是y轴右侧⊙A优弧上的一点，则∠OBC的余弦值为( ).A.12B.34C.√32D.54解:如图3-2 所示,连接CA 并延长交⊙A 于点D.∵CD为直径,∴∠COD=∠yOx=90°.∵直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),∴CD=10,CO=5.∴DO=√CD2−CO2=5√3.∵∠OBC=∠CDO,∴cos∠OBC=cos∠CDO=ODCD =5√310=√32.故选 C.二、分层练习☆万丈高楼平地起1. 如图3-3所示,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O 上的两点. 若∠CAB=25°,则∠ADC 的度数为 .2.如图3-4所示，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上,则tan∠CBD 的值等于( ).A.2√55B.3√55C. 2D.123. 如图3-5 所示,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AC是⊙O的直径, ∠C=50°,∠ABC的角平分线BD交⊙O 于点D,则∠BAD的度数为( ).A. 45°B. 85°C. 90°D. 95°4. 如图3-6所示,△ABC内接于⊙O, AB=AC,,连接BO 并延长交AC 于点 D. 若∠A=50°,,则∠BDC 的度数为( ).A. 75°B.76°C.65°D.70°5. 如图3-7所示,点A,B,C,D在⊙O上,直径AB交CD于点E. 已知∠C=57°,∠D=45°,则∠CEB=.6. 如图3-8所示，AB是半圆的直径，点D是AĈ的中点，∠ABC=50°,则∠DAB等于( ).A.55°B.60°C.65°D.70°欲穷千里目，更上一层楼7. 如图3-9所示,若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°,,连接OB,OC,则边 BC的长为( ).A.√2RRB.√32RC.√22D.√3R8. 如图3-10所示,在⊙O中, AC‖OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( ).A.25°B. 50°C. 60°D. 30°9. 如图3-11 所示,AD 是半圆的直径,点 C 是弧 BD 的中点, ∠ADC=55°,则∠BAD 等于( ).A. 50°B. 55°C. 65°D. 70°̂=2BĈ,∠C=20∘, 10. 如图3-12所示,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,连接AC,CD,CD交AB于点 E.若BD则∠AED的度数为( ).A. 50°B. 53°C. 55°D. 58°11. 如图3-13所示,AB是⊙O的弦,( OH⊥AB于点H，点P是优弧上的一点.若AB=2√3,OH=1,则∠APB的度数为 .12. 如图3-14所示,⊙O的半径为2,. △ABC是⊙O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC 与∠BOC 互补,则弦BC的长为( ).A.4√3B.3√3C.2√3D.√3☆会当凌绝顶，一览众山小13. 如图3-15所示,在Rt△ABC中,. ∠ACB=90°,∠A=56°.. 以 BC 为直径的⊙O交AB 于点 D. 点 E 是⊙O 上的一点,且CÊ=CD̂,连接 OE. 过点 E 作. EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( ).A. 92°B. 108°C. 112°D. 124°14. 如图3-16所示,点B,C在⊙A上,AB的垂直平分线交⊙A于点E,F,交线段AC 于点 D. 若∠BFC=20°,则∠DBC=(A. 30°B.29°C.28°D. 20°。

初三数学圆知识点集合

初三数学圆知识教案【知识点回顾】1.圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.⑵圆是到定点的距离等于定长的点的集合•2.判定一个点P是否在©0上•设C)O的半径为R, 0P = d,则有d>r点P在Θ0夕卜；d=r点P在Θ0上；d<r 点 P 在G)O •3.与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角・圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半•②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等•③90。

的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆接四边形的对角互补；外角等于它的对角.(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角•弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角•弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.4.圆的性质:(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等•(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴• 垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧•(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧•(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦•(5)平行弦夹的弧相等.5.三角形的心-外心、重心、垂心(1)三角形的心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形切圆的圆心，在三角形部，它到三角形三边的距离相等，通常用表示•(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用0表示•(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示•(4)垂心：是三角形三边高线的交点•6.切线的判定.性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质:①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心•(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长•(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角•7.圆接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的接四边形，圆接四边形对角互补，外角等于对角•(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等•8.直线和圆的位置关系：设C)O半径为R,点0到直线1的距离为d∙(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.(2)直线和C)O有唯一公共点直线1和Θ0相切d=R.(3)直线1和©0有两个公共点直线1和©0相交d<R.9.圆和圆的位置关系：10.两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线•(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点•11.圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C = 2πR.圆心角为n。