职高数学职业模块(理工类人教版)教案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)
【中职教案】两角和与差的正弦公式与余弦公式(一)
【中职教案】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到cos(6030)cos60cos30︒-︒≠︒-︒，然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广πsin()cos 2αα-=时，用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α-．逆向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用156045︒=︒-︒求解，还可以利用154530︒=︒-︒求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识，这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】*动脑思考 探索新知在单位圆（如图11-）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A （cos ,sin αα），点B （cos ,sin ββ）． 因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-， 又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅． （1） 又 []cos()cos ()αβαβ+=--【教师教学后记】。
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结=，(0,)=,(0,),［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+ktan( tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-)=来处理等=,sin(-),cos(+),tan(-=,=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C. D. 4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练3在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C七、课堂小结<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。
《6.1.2 两角和与差的正弦公式》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《两角和与差的正弦公式》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为《两角和与差的正弦公式》，是中职数学课程中的重要内容。
通过本课的学习，学生将掌握两角和与差的正弦公式的推导过程及运用方法，为后续的三角函数学习打下坚实的基础。
二、学习目标1. 知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦公式的推导过程，能够熟练运用公式进行计算。
2. 过程与方法目标：通过观察、分析、推导等过程，培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
3. 情感态度与价值观目标：通过小组合作、交流讨论等方式，培养学生的合作精神和交流能力，激发学生对数学学习的兴趣和热情。
三、评价任务1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与度、互动情况以及回答问题的情况，评价学生的学习态度和学习能力。
2. 作业评价：通过布置相关的练习题，评价学生对公式的掌握程度及运用能力。
3. 测验评价：通过定期的测验，评价学生对两角和与差的正弦公式的理解和运用水平。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的三角函数知识，引出两角和与差的正弦公式的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：通过推导两角和与差的正弦公式的过程，让学生了解公式的来源和推导方法。
重点讲解公式的形式及各部分的意义。
3. 公式运用：通过具体的例子，让学生掌握公式的运用方法，包括公式的正用、逆用及变形运用等。
4. 小组讨论：学生分组进行讨论，探讨公式的运用场景及实际问题中如何运用公式进行计算。
5. 教师总结：教师总结学生的讨论情况，强调公式的重点和难点，解答学生的疑问。
五、检测与作业1. 课堂检测：布置相关的练习题，让学生当场完成并进行讲解，检测学生对公式的掌握程度及运用能力。
2. 课后作业：布置适量的课后作业，包括公式记忆、简单运用及综合运用等类型的题目，让学生巩固所学知识。
3. 学习反馈：收集学生的作业情况及学习反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
六、学后反思1. 教师反思：教师反思本课的教学过程，总结学生的表现及学习效果，分析教学中存在的问题及原因，提出改进措施。
15.1(1)两角和与差的正弦、余弦公式教案
(3)
例4、化简，求值（公Leabharlann 逆用）(1) ；(2)
（3）cos215°-sin215°，
（4）cos80°cos35°+cos10°cos55°
巩固转化方法学生交流探讨
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段
与方式
课堂练习
课堂小结
课后作业
课本P4练习
1、掌握两角和与差的余弦公式
两角和的余弦公式：
由图可知： () , ( )则
问题1：
问题2：由 出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？
问题3：两角差的余弦公式推导
在平面直角坐标系 内作单位圆 ，以 为始边分别作角 ， ，其终边分别与单位圆交于 则
所以
引入法
学生思索，
讲述法
举例说明
学生记录交流
启发
观察
引导学生互动交流
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段
与方式
新授
如果 ，那么
两角差的余弦公式：
实际上，当 为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化 ，使 。
综上所述， ，对于任意的角 都成立。
将上述公式中的 用— 替代，得
两角和的余弦公式：
注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；
2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；
教学重点
两角差角的余弦公式的掌握与简单应用
教学难点
两角差角的余弦公式的推导
更新、补充、
删节内容
无
课前准备
预习
课外作业
教材P8 习题，练习册
板
书
设
计
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1.知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。
2.过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。
二、教学重点难点重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。
三、学情分析鉴于学生的基础一般，前面刚刚学习了两角差的余弦公式，学生对于该公式的简单应用，尚能掌握。
在教学的过程中，对比公式的内在联系，学生可能会在角的正弦与余弦能否建立联系上产生困难，教师应当在教学过程中有意识地对学生的思维进行引导；利用联系的观点和对比理解的办法让学生熟悉公式并逐步做到可以简单的应用。
四、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程。
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
五、设计思路本节课利用两角差的余弦公式推导出其它公式，并且运用两角和与差的三角函数公式解决一些相关的问题，运用公式的关键在于构造角的和差。
要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式。
在解题过程中注意角的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。
在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值。
灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式。
然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题。
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)
分子分母同时除以cos cos 当cos cos 0时，
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1- tanαtanβ
记：T( + )
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1- tanαtanβ
三 、公式应用
3 例 1. 已知sin , 是第四象限角 , 5 求 sin , cos , tan 4 4 4 的值.
在本题中 sin cos , , 4 4 那么对任意角 , 此等式成立吗？若成立 你能否证明？
a b 2 sin( ) . 2
2 2
思考3：根据两角和的正切公式 ，
tanα＋tanβ可变形为什么？ tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) 思考4：在△ABC中，tanA，tanB，tanC三者 有什么关系？ tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cos cos sin sin 2 2
sin cos cos sin
用 代
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) sin( ) sin cos cos sin
(1)tanα+ tanβ 答案:
tan(α-β)+ tanβ (2) 1- tan(α-β)tanβ
(2)tanα
3、求值： (1) tan71 - tan26
o o
1+ tan71o tan26o
教学设计1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． [试一试]1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为____________． 【答案】222．(2013·徐州摸底)已知cos ⎝⎛⎭⎫π－α2＝23，则cos α＝________.【解析】由cos ⎝⎛⎭⎫π－α2＝23得cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝23，则sin α2＝23，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫232＝19. 【答案】191．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 2．角的变换技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β. 3．三角公式关系[练一练]1．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为________． 【答案】12．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 【解析】法一：cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 法二：cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 【答案】16考点一三角函数公式的基本应用1.已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.【解析】cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.【答案】－752．(2013·苏北四市一调)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 【解析】由α为锐角，cos α＝55得sin α＝255，则tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝－3.【答案】－33．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 【解析】(1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013， f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. [备课札记] [类题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．三角函数公式的逆用与变形应用[ABC 中，若tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________． (2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为________． 【解析】 (1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得 tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50° ＝12sin 40°sin 40°＝12. [答案] (1)22 (2)12[备课札记] [类题通法]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． [针对训练]1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________．【解析】因为cos(75°＋α)＝13，所以sin(15°－α)＝13，所以cos(30°－2α)＝1－2sin 2(15°－α)＝1－2×19＝79.【答案】792．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．【解析】－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 【答案】2角的变换[典例] (2014·常州一模)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． [解] (1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010 ＝91050.[备课札记]【解析】∵sin(α－10cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.[类题通法]1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； 3．注意角变换技巧． [针对训练]1．(2014·盐城摸底)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4的值为________． 【解析】因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝31010. 令θ＋π4＝α，则sin α＝31010，cos α＝1010，于是sin 2α＝2sin αcos α＝35，cos 2α＝1－2sin 2 α＝－45，故sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－3π4＝22(－sin 2α－cos 2α)＝22×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝210. 【答案】2102．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 【解析】因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 【答案】17250[课堂练通考点]1．(2011·江苏高考)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________．【解析】因为tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＋11－tan x＝2，解得tan x ＝13，所以tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x 2＝1－⎝⎛⎭⎫1322＝49.【答案】492．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是________． 【解析】cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 【答案】－13．若f (α)＝2tan α－2sin 2α2－1sin α2cos α2，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝________. 【解析】∵f (α)＝2tan α－－cos α12sin α＝2sin αcos α＋2cos αsin α＝4sin 2α，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8. 【答案】84．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．【解析】因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.【答案】135．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求 cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 【解析】(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310.。
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角差的余弦公式- (新版)人教版高中数学必修一教案
教案
学科：数学年级：高一教师：授课时间：
2
2=32=否得()
cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于
cos 45cos30-呢？
根据第一章所学的知识可知猜想是错误的！
如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？
引入新课
（二）抽象新知，感受过程
活动二：探究究cos （α－β）与
角α，β的正弦、 余弦之间的
关系．
问题1:写出P,A 1,P 1的坐标，A 1P 1
与AP 相等吗？
提示：平面上任意两点,P 1
（x 1,y 1）, P 2（x 2,y 2）间的距离
公式为：
P 1P 2=2
12212)()(y y x x -+-
活动二：推导公式，
由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
（三）及时反馈，数学应用
活动三、公式的运用
例1：求cos15°（提示：15°=45°-30°= ）
例2：教材216页 例1
证明：（1）ααπ
sin )2
cos(=-
（2）ααπcos )cos(-=-
例3：教材216页 例2
已知sin α＝54，α∈（ππ,2），cos β＝－13
5
,β是第三象限
学生小组交流，讨论，师生共同总结，
典型例题剖析， 学生思考，
教师板书过程
（1），学生独立完成（2）黑板板演，
培养学生逻辑思维能力
培养学生分析问题能力，解决问题能力
合作学习促进学生发散思维形成
公式的运用，
cos80的值.
+
cos35cos10cos55。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿一．教材分析：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”. 它对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。
本课时主要以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式推导两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用。
二．教学目标：1.知识与技能:① 让学生学会用代换法，转化法推导公式 ；② 让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能。
2.过程与方法:① 通过公式的推导,着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力；② 通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力。
3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；在解决问题时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。
并唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。
三．教学重难点：教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用；教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简。
四．教学方法：由于新课程教学内容增多，传统教学已经不能满足教学需要，根据新课程教学理念，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，基于本节课的特点，利用导学案和多媒体相结合让学生自主探究的模式实现学生从被动学习到主动学习的一个转变从而创造高效课堂。
五．教学过程：一、复习准备，提出问题：1.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
如：cos(2) k πα+=， cos(90) oα-=， cos() α-=， sin() α-=2. 差角的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+3.差角的余弦公式的应用：例如：求cos15o 的值，分析：15o = 30o-， 解：cos15cos( 30) o o =-=问题提出：如何求cos()αβ+的值呢？（设计目的：唤起学生已有的知识和解题技巧。
3.1《两角和(差)的正弦、余弦、正切公式》教学设计
3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式（名师：余枝）一、教学目标：（一）核心素养本节课是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线、诱导公式的延伸，通过本节课的学习，了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的重要性，通过公式的推导，培养学生探索精神，进一步提高学生的推理能力和运算能力，使学生体会一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用.（二）教学目标1.两角和的余弦公式的推导及应用；2.两角和与差的正弦公式的推导及应用；3.两角和与差的正切公式的推导及应用；4.运用公式进行化简、求值、证明.（三）学习重点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导；2．熟练掌握公式的应用.（四）学习难点公式的推导及综合运用，合理选取公式，熟练掌握公式的逆用.二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第128页至第131页．（2）想一想：利用两角差的余弦公式如何推导两角和的余弦公式？如何熟记和角公式与差角公式？2．预习自测（1）sin(3045)________+=.．解析：【知识点】两角和的正弦公式的应用【数学思想】逻辑推理【解题过程】12sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 452+=+=⨯=点拨：熟记公式（2）cos55cos5sin 55sin 5________-=. 答案：12． 解析：【知识点】两角差的余弦公式 【数学思想】逻辑推理【解题过程】1cos55cos5sin 55sin 5cos(555)cos 602-=+== 点拨：熟记公式（3）若tan()24a π-=，则tan _______a =.答案：3-．解析：【知识点】两角差的正切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tantan 14tan()241tan 11tan tan 4παπααπαα---===+⨯+，所以tan 3α=- 点拨：注意公式的逆用（4）已知3sin 5α=-a 是第四象限角，求sin(),cos(),tan()444πππααα-+-的值.；7- 解析：【知识点】两角和与差的弦、切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】因为3sin 5α=- a 是第四象限角，所以43cos ,tan 54αα==-，利用公式可得：sin()4πα-=cos()4πα+=tan()74πα-=-点拨：熟记公式.(二)课堂设计 1．知识回顾（1）两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-的推导； （2）公式()C αβ-的应用. 2．问题探究探究一 从公式()C αβ-出发，如何探求两角和的余弦公式()C αβ+？ ●活动 从公式()C αβ-出发，引导学生推导余弦公式()C αβ+我们已经知道两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，其中αβ、是任意角.大胆猜想两角和的余弦公式呢？从角αβ+与αβ-的关系进行联想，我们容易知道()+=αβαβ--，再根据诱导公式，所以[]cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=- 于是我们得到了两角和的余弦公式，简记作()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-【设计意图】引导学生发现和探究新知，培养学生探索知识的能力． 探究二 如何用αβ、的正、余弦来表示()sin αβ± ●活动① 回顾两角和与差的余弦公式和诱导公式()C αβ-：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()cos ,cos()sin 22ππαααα-=-=【设计意图】引导学生思维上的转变.●活动② 利用两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式sin()cos ()cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦得到两角和与差的正弦公式，简记作()S αβ+；()S αβ-.()S αβ+：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ()S αβ-：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-【设计意图】让学生掌握公式的推导过程. 探究三 探究如何推导两角和与差的正切公式 ●活动① 怎样用αβ、的正切表示()tan αβ±()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-当cos cos 0αβ≠时，分子和分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 我们得到两角和与差的正切公式，简记作()T αβ+；()T αβ-.()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()T αβ-：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+注意：)(2,2,2z ∈+≠+≠+≠+k k k a k ππβππππβα【设计意图】引导学生探究：化切为弦，化未知为已知，再化弦为切，利用单角的正切来表示和差的正切.●活动② 理解6个和、差角公式的内在联系【设计意图】借助对公式的更深入的理解，是学生能更加灵活运用公式.●活动③ 巩固基础，检查反馈例1 ①已知3cos ,(,)52πθθπ=-∈，求sin()3πθ+的值②已知12sin ,13θθ=-是第三象限角，求cos()6πθ+的值【知识点】和角公式的正确使用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】①4sin 25πθπθ∈∴==（，）413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=②θ是第三象限角，5cos 13θ∴==-5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=【思路点拨】熟记公式 【答案】①sin()3πθ+=；②cos()6πθ+= 同类训练 已知tan 3α=，求tan()4πα+的值.【知识点】两角和的正切公式的应用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tan314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯- 点拨：熟记公式答案：tan()24πα+=-例2 求下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos 72sin 42- （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-（3）1tan151tan15+-【知识点】公式的逆用 【数学思想】归纳推理【解题过程】（1）sin 72cos 42cos 72sin 42-=1sin(7242)sin 302-== （2）cos 20cos 70sin 20sin 70-=cos(2070)cos900+==（3）1tan151tan15+-=tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan 45tan15+=+==-【思路点拨】正确认识公式的正用和逆用 【答案】12，0 同类训练 计算：（1）sin 7cos37sin 83sin 37︒︒-︒︒（2）21tan 75tan 75 -︒︒答案：12-；-解析：【知识点】和、差角公式 【数学思想】归纳推理 【解题过程】（1）sin 7cos37sin 83sin 37︒︒-︒︒=1sin 7cos37cos 7sin 37sin(737)sin(30)2︒︒-︒︒=︒-︒=-=-（2）tan 75tan(4530)2=+==原式=-点拨：利用公式可求特殊角的三角函数值 例3 化简：（1）1cos 2x x（2cos x x +【知识点】和、差角公式的逆用 【数学思想】转化思想【解题过程】1cos cos cos sin sin cos()2333x x x x x πππ-=-=+1cos cos )2(cos sin sin cos )2sin()2666x x x x x x x πππ+=+=+=+ 点拨：从题目所给是结构可以看出，它们呈现和（差）角公式的部分形态，所以可以考虑对公式进行变形使用，事实上，此处只需要进行逆用公式即可.答案：cos()3x π+；2sin()6x π+同类训练 化简（1cos )x x -（2x x -【知识点】公式的逆用 【数学思想】转化思想cos )2sin()4x x x π-=-)3x x x π-=+点拨：对和（差）角公式进行正确地逆用.事实上，对公式正确逆用，这是学好任何一个数学公式的必经之路.答案：2sin()4x π-；)3x π+●活动5 强化提升、灵活应用 例4 已知3123,cos(),sin()24135πβαπαβαβ<<<-=+=-，求cos 2α的值 答案：3365-解析：【知识点】使用和差角公式时，利用角的关系化异角为同角 【数学思想】化归思想【解题过程】33,2442ππβαππβ<<<∴-<-<- 30,42ππαβπαβ∴<-<<+<5sin()134cos()5αβαβ∴-==+= 33cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()65ααβαβαβαβαβαβ∴=-++=-+--+=-点拨：常见角的变换：2()()ααβαβ=++- ()ααββ=+-2(),2()αβαβααβαβα+=++-=-+()(),()()222222αββααββααβαβ+-=---=+-+同类训练 已知αβ、是锐角，且11sin )14ααβ=+=-，求sin β解析：【知识点】合理使用和差角公式 【数学思想】转化思想【解题过程】α是锐角，且sin α=1cos 7α∴== 又11cos(),014αβαβπ+=-<+<，sin()αβ∴+==sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα∴=+-=+-+=点拨：善于抓住角的关系进行角的转化 3.课堂总结 知识梳理两角和与差的正弦、余弦、正切公式及推导()C αβ-：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-()S αβ+：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ()S αβ-：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- ()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()T αβ-：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+重难点归纳（1）利用和差角公式求一些特殊角的三角函数值； （2）利用角的变换求值；（3）能解决形如：sin cos y a x b x =+的函数问题；（4）利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换 （三）课后作业 基础型 自主突破1．sin(17)cos(28)sin(28)cos(17)x x x x +-+-+的值是（ ）A ．12 B ．12-C ．D ．答案：D解析：【知识点】公式的简单应用【解题过程】原式=2sin(1728)sin 45x x ++-== 点拨：熟记公式2．已知123cos ,(,2)132πααπ=∈，则cos()4πα+等于（ ）ABCD ．答案：B解析：【知识点】公式的正用【解题过程】5sin 13α==-，cos()cos cos sin sin 444πππααα+=-=点拨：计算角的三角函数值时需注意角的范围3．在△ABC 中，sin sin cos cos A B A B <，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形 答案：B解析：【知识点】公式的灵活运用 【数学思想】逻辑推理【解题过程】cos cos sin sin 0A B A B -> cos()0A B ∴+>cos()0C π∴->，即cos 0,cos 0C C -><，2C ππ∴<<点拨：利用三角形内角和定理进行角的转换 4．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为1-B ．最大值为1，最小值为21- C ．最大值为2，最小值为2-D ．最大值为2，最小值为1-【知识点】公式的逆用【数学思想】归纳推理【解题过程】1()2(sin )2sin()23f x x x x π==+，[,]22x ππ∈-，则5[,]366x πππ+∈- ()f x ∴最大值为2，最小值为1-点拨：先转化成sin()y x ωϕ=+的形式答案：D5．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（ ） A ．21 B ．22 C ．22- D ．22±【知识点】公式的灵活运用【数学思想】转化的思想【解题过程】因为2tan()7,tan tan 3αβαβ+=⋅=所以tan tan tan(),1tan tan αβαβαβ++=-⋅ 7tan tan 3αβ+= 所以1tan 2,tan 3αβ==或1tan ,tan 23αβ==；所以tan()αβ-等于1或1-则cos()αβ-=点拨：利用切化弦解决问题答案：D6．已知tan()2,4πα+=则212sin cos cos ααα+的值为________. 答案：23解析：【知识点】三角函数中“1”的替换【数学思想】转化思想 【解题过程】1tan tan()241tan πααα++==- 1tan 3α∴= 222221sin cos tan 122sin cos cos 2sin cos cos 2tan 13αααααααααα++∴===+++ 点拨：熟悉齐次分式的切化弦能力型 师生共研7．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B =______. 答案：3π解析：【知识点】公式的灵活运用【数学思想】逻辑推理【解题过程】tan tan tan tan()(1tan tan )tan A B C A B AB C ++=+⨯-+ tan (1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan tan tan C A B CC A B C C A B C =-⨯-+=-++==2tan tan tan B A C ==tan 60B B ∴=∴=点拨：熟悉公式的变形8．若13cos cos sin sin ,cos(),55αβαβαβ-=-=则tan tan _______αβ=. 答案：12解析：【知识点】利用公式进行和差化积【数学思想】转化思想【解题过程】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin ,55αβαβαβαβ-=+= 两式相加得：2cos cos 5αβ=，两式相减得：1sin sin 5αβ=，sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ== 点拨：找到角的关系，进行恒等变换探究型 多维突破9．已知(0,)αβπ∈、且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值 答案：34π- 解析：【知识点】灵活运用公式【数学思想】归纳推理思想【解题过程】()1tan tan 3ααββ=-+=⎡⎤⎣⎦()tan(2)tan 1αβαβα∴-=-+=⎡⎤⎣⎦11tan tan (0,)37αβαβπ=<=->∈、 50,6622ππαβπππαβ∴<<<<∴-<-<-324παβ∴-=- 点拨：求三角函数值时要确定角的范围10．已知向量a =(cos ,sin )αα，b= (cos ,sin )ββ，|a -b |= (1)求cos()αβ-的值(2)若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α的值 答案：35；3365 解析：【知识点】灵活运用公式【数学思想】归纳推理思想【解题过程】由|a -b|==，即4322cos(),cos()55αβαβ--=-= 由0,022ππαβ<<-<<，得0αβπ<-<，又35cos(),sin ,513αββ-==- 所以412sin(),cos ,513αββ-==[]33sin sin ()sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-= 点拨：三角恒等变形与向量的紧密联系自助餐1．若sin()cos cos()sin ,m αβααβα---=且β为第三象限角，则cos β的值为（ ）AB．CD．答案：B解析：【知识点】公式的简单应用【数学思想】【解题过程】由题知：sin()sin ,cos mm αβαββ--=∴=-==点拨：正确使用诱导公式2．αβγ、、都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan （ ） A ．3π B ．4πC ．π65 D ．π45 答案：B解析：【知识点】两角和的正切公式【数学思想】整体代换 【解题过程】11tan ,tan 25αβ==7tan()1904αβπαβ∴+=<∴<+<tan()tan 3tan()1,(0,)1tan()tan 4αβγπαβγαβγαβγ++∴++==++∈-+ 4παβγ∴++=点拨：角的合理转化3．若A 、B 是△ABC 的内角，且(1tan )(1tan )2+A B +=，则A B +等于_____. 答案：4π解析：【知识点】两角和与差的正切公式的逆用【数学思想】转化思想【解题过程】由题知1tan tan tan tan 2+A B A B ++=，则tan tan 1tan tan A B A B +=- tan tan tan()11tan tan A B A B A B +∴+==-且A 、B 是 △ABC 的内角，故4A B π+=点拨：求角的大小可以先求这个角的某个三角函数值4．已知cos()sin 6παα-+=则7sin()________6πα+=. 答案：45- 解析：【知识点】和角公式的逆用【数学思想】建模思想【解题过程】13cos()sin sin sin sin 622πααααααα-+=++=+=14cos )sin()sin()266574sin()sin()sin()6665ππααααπππαπαα+=+=∴+=∴+=++=-+=- 点拨：学会处理sin cos y a x b x =+型的函数问题5．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π解析：【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用【数学思想】转化思想【解题过程】原式=sin[(3)]cos[(3)]cos(3)sin(3)242664cos(3)sin(3)cos(3)sin(3)46641sin[(3)(3)]sin()64642x x x x x x x x x x ππππππππππππππ-+⋅-+-++=++-++=+-+=-== 点拨：解题时诱导公式可帮助三角函数名的转化6．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.答案：2解析：【知识点】求根公式【数学思想】化归思想 【解题过程】设22150(2sin 50)4(sin 50)2sin(5045)x ±---==± 12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ点拨：利用本章的公式进行恒等变形.。
高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)教案新人教A版必修4
小结 此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
跟踪训练2 已知sin α＝35，cos β＝－5
13，α
为第二象限角，
β为第三象限角．求sin(α＋β)和sin (α－β)的值．
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
跟踪训练3 证明：sin
2α＋βsin α
－2cos(α＋
β)＝sin β
sin α
.。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式民族中学王克伟[教学目标]知识与技能目标：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.过程与方法目标：让学生亲身经历“从已知入手，研究对象的性质，再联系所学知识，推导出相应公式。
”这一研究过程，培养他们观察、分析、联想、归纳、推理的能力。
通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：通过对两角和与差的三角恒等变换特点的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。
[教学重难点]教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.[教学过程]一.新课引入创设情境引入课题：想一想：cos15?=由上一节所学的两角差的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，同学们很容易想到：那 这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式：二.、讲授新课探索新知一两角和的余弦公式思考：由cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，如何求cos()?αβ-= 分析：由于加法与减法互为逆运算，()αβαβ+=--，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以??代?得 26cos15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 304+=-=+=cos75=cos(3045)?+=cos75?=1、 上述公式就是两角和的余弦公式，记作()c αβ+。
由两角和的余弦公式：()c αβ+，我们现在完成课前的想一想：探索新知二思考：前面我们学习了两角和与差的余弦，请同学们猜想一下：会不会有两角和与差的正弦公式呢？如果有，又该如何推导呢？在第一章中，我们学习了三角函数的诱导公式，同学们是否还记得如何实现由余弦到正弦的转化呢？结合()c αβ+与()cαβ-，我们可以得到2、 上述公式就是两角和的正弦公式，记作()s αβ+。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教、优秀教案)
3.1.2两角和与差地正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节地主要内容是两角和与差地正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章地兴趣，理解以两角差地余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式地方法，体会三角恒等变换特点地过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容地学习兴趣和求知欲.二、教学目标⒈掌握两角和与差公式地推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简地分析、转化、推理能力； ⒊发展学生地正、逆向思维能力，构建良好地思维品质. 三、教学重点难点重点：两角和与差公式地应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角地三角函数地形式. 四、学情分析 五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2．学案导学：见后面地学案.3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备 多媒体课件七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差地余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差地余弦公式，下面大家思考一下两角和与差地正弦公式是怎样地呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦地互化，这对我们解决今天地问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式地特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面地式子化成只含有tan α、tan β地形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和地正切公式，我们能否推倒出两角差地正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭地值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===-，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例2、利用和（差）角公式计算下列各式地值： （1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给地式子与我们所学地两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==；（3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学地两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到地？=分别等于12.（三）反思总结，当堂检测.本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.教师组织学生反思总结本节课地主要内容，并进行当堂检测.设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单地反馈纠正.（课堂实录） （四）发导学案、布置预习.设计意图：布置下节课地预习作业，并对本节课巩固提高.教师课后及时批阅本节地延伸拓展训练.九、板书设计 十、教学反思⑴注重教学过程，注重探索，应贯穿于每一节课地始终.⑵充分挖掘知识之间、例题之间、例题与练习之间地内在联系，创设问题情景，激发学生地学习兴趣.⑶通过不断地提出问题、解决问题，逐步培养学生地分析问题解决问题地能力.在后面地教学过程中会继续研究本节课，争取设计地更科学，更有利于学生地学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!十一、学案设计(见下页)3.1.2 两角和与差地正弦、余弦、正切公式课前预习学案一、预习目标1.理解并掌握两角和与差地正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角地三角函数值；2.经历两角和与差地三角公式地探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题地能力； 二、预习内容1、在一般情况下sin(α+β)≠sin α+sin β,cos(α+β)≠cos α+cos β.3sin ,sin()_________;sin()_________.544ππθθθθ=-=-=则若是第四象限角，则.___________)6tan(,2tan =-=πθθθ是第三象限角，求2、等。
最新中职数学授课教案：两角和与差的正弦、余弦公式数学
15.1 两角和与差的正弦、余弦公式教学案1.掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用；2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；3.用余弦的和差角公式推导正弦的和差角公式，了解公式间的内在联系。
4.能用正余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明..一、学习过程（一）教材核心知识及推导过程cos()αβ-=cos()αβ+==+)sin(βαsin()αβ-= 自我总结4个公式的特点(二)预习自测：（1） 42sin 72cos 42cos 72sin -（2） 70sin 20sin 70cos 20cos -（三）自主探究---三角函数的求值1．________75cos = ; _________15cos = 。
2．________75sin = ; _________15sin = 。
3．已知)23,(,1312cos ππθθ∈-=，那么.____________)4cos(的值等于πθ+ 4．已知,43cos -=α且α是第二象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3cos 的值.5.已知,23,,53sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=ππαα求⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ3sin 的值.6．已知,,2,54sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα求,3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3sin 的值.（四）自主发展1---配凑角求值 例1、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。
求sin()αβ+和sin()αβ-的值.分析解答(五)当堂检测1 sin 7cos37sin83sin37︒︒-︒︒、的值为_______()()._________sin sin cos cos 2=+++ββαββα、3 sin 2sin 3cos 2cos3, ______x x x x x =、若则的值是.________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、5、α为第二象限角， ）的值。
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(人教版)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，其中α，β∈R，简记作S(α－β).
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
公式巩固
利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值：
(1) sin15°
(2) cos75°
例2
3
5
已知 sin α＝5，cos β＝－13，且 α 为第一象限角，β 为第二象限角，
求 sin(α＋β)的值.
3
5
因为 α 为第一象限角，β 为第二象限角，sin α＝5，cos β＝－13，
4
12
所以 cos α＝5，sin β＝13，
A. 3
√
3
B. 3
C.3
D.1
1－tan 15° tan 45°－tan 15°
3
＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ 3 .
1＋tan 15° 1＋tan 45°tan 15°
例2
√
π
3
1
已知 sin α＝5，α∈2，π，tan(π－β)＝2，则 tan(α－β)的值为
3
，(
4
− ) =
12
， (
13
+ ) =
3
− ，
5
跟 踪 训 练 2
已知 ∈
整体法给值求值问题
( , )，(
2
+
)
4
=
3
，则
5
=________.
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》说课稿(教学设计)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿两角和与差的正弦、余弦、正切公式共分为三个课时，本节内容是第二课时，本课时重点是公式的推导，其次是公式的运用，至于公式的变形、灵活应用等则在下一课时讲解. 一.教材分析1.教材的地位和作用：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的 基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”. 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式是本章的重要内容,对于三角变换、三角恒等式的证 明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用.本课 时主要讲授两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用.2. 教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用；3.教学难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 二.教学目标分析 1.知识目标:① 用代换法推导)cos(βα+，用转化法推导)tan()sin(βαβα±±、. ② 让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能. 2.能力目标:① 通过公式的推导,着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能 力.② 通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力. 3.情感目标:①通过学习、观察、对比体会公式的线形美，对称美.②通过教师的启发诱导,培养学生不怕困难,勇于探索勇于创新的求知精神. 三.学情分析:根据学生现在知识迁移能力差、计算能力差的特点,本节课主要是如何 获取公式,不要太多的公式应用,公式的应用主要放在下节学习上.四.教法分析:1.思路： 复习引入——提出问题——探索尝试——启发引导——解决问题——练习巩固.2.教具：多媒体投影系统.五.学法指导:1.让学生能灵活的根据)cos(βα-求出)cos(βα+.2.本节内容的中心公式是：)cos(βα-、)sin(βα±、)tan(βα±，然后对βα、 作不同的特值代换可得其他公式，故灵活适当的代换是学好本节内容的基础.3.让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序，角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美.六.教学过程:1.复习导入：同学们先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 由公式)cos(βα-出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 2. 讲授新课:思考：(1).()cos ?αβ+=()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ ）（和的余弦公式，简记作于是，我们得到了两角βα+C(2). 问题：上面我们得到了两角和与差的余弦公式，那么如何得到两角和与差的正弦公式呢？即思考cos sin =α？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 探究3、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈探究4、我们能否推导出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈3. 将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式.4. 例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α==，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有：43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭思考：在本题中，)4cos()4sin(απαπ+=-，那么对任意角α，此等式成立吗？若成立你能否证明？练习：教材P131页练习1、2、3、4题.例2. 利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-； （2）、co s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-．解：（1）、()1s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()co s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==；（3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．练习：教材P131页练习第5题.5. 课堂小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式并学会灵活运用.6. 作业布置：(1).阅读教材P.128到P.131; (2).教材P.137页A 组3、5、6题； (3).课时详解P.92到P.95. 补充练习: 1.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（322） 2.已知33350,c o s ,s i n 4445413ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()s i n αβ+的值．7.板书设计()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+例题讲解例1 例2 练习 课时小结 作业布置 补充练习§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
学案1：5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
5.5.1 第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)【导学聚焦】【问题导学】预习教材，并思考以下问题：1．两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不同？2．两角和与差的正弦、正切公式是什么？【新知初探】两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式■名师点拨公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β)，C (α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”． 对于公式S (α－β)，S (α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．(3)两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z )，这是由正切函数的定义域决定的．【自我检测】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (5)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )已知tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－4D ．4cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于( ) A.12B ．－12C ．0D ．1设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.725 B.25C.75D.43sin 75°＝________，tanπ12＝________． 【探究互动】探究点一 给角求值 【例1】求值：(1)cos 105°； (2)tan 75°；(3)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°.【规律方法】解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 【跟踪训练】 求下列各式的值．(1)sin 105°；(2)tan 165°；(3)sin 47°－sin 17°cos 30°sin 73°.探究点二 给值求值【例2】 已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．[互动探究](变问法)若本例的条件不变，求sin 2α的值．【规律方法】给值(式)求值的解题策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 【跟踪训练】1．已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A ．－17 B ．－7C.17D ．72．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则sin α＝( ) A.210B.7210 C ．－210或7210D ．－72103．已知cos α＝55，cos β＝35，其中α，β都是锐角．求： (1)sin(α－β)的值； (2)tan(α＋β)的值．探究点三 给值求角(值)【例3】已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0＜α＜π2，π2＜β＜π.(1)求tan(α－β)； (2)求α＋β的值．【规律方法】解决给值求角(值)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 【跟踪训练】 若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－12，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝32，其中π4<α<π2，π4<β<π2，求α＋β的值．【达标反馈】1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．3B ．－3 C.13D ．－132．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为( ) A. 2B ．－2C ．－ 2D.33．若cos α＝－513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________．4．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝13，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3.【巩固提升】[A 基础达标]1．下面各式中，不正确的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋32cos π4 B ．cos5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C ．cos ⎝⎛⎭⎫－π12＝cos π4cos π3＋64D ．cosπ12＝cos π3－cos π42．已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.25 B ．－25 C.210D ．－2103．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2cos(π－α)，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A ．－4 B ．4 C ．－13D.134．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan 2α的值为( ) A ．－47B.47C.18D ．－185．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形6．cos 105°＋sin 195°的值为________．7．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3，则tan α＝________． 8．已知tan α＝13，tan(β－α)＝－2，且π2<β<π，求β.9．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求sin α.[B 能力提升]10．下列四个式子中是恒等式的为( ) A ．sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．tan(α－β)＝tan α－tan β1－tan αtan βD ．sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β 11.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________． 12．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6.13．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．[C拓展探究]14．在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，且3tan A＋3tan B＋1＝tan A tan B，试判断△ABC的形状．【参考答案】【新知初探】两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 cos__αcos__β－sin__αsin__β sin__αcos__β＋cos__αsin__β sin__αcos__β－cos__αsin__β tan α＋tan β1－tan αtan βtan α－tan β1＋tan αtan β【自我检测】答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 答案：A 答案：C 答案：A 答案：6＋242－3 【探究互动】探究点一 给角求值 【例1】【解】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋ 3.(3)原式＝sin （20°＋30°）－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.【跟踪训练】解：(1)sin 105°＝sin(45°＋60°) ＝sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60° ＝22×12＋22×32＝6＋24. (2)tan 165°＝tan(180°－15°) ＝－tan 15°＝－tan(45°－30°) ＝－tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝－1－331＋33＝3－2.(3)sin 47°－sin 17°cos 30°sin 73°＝sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.探究点二 给值求值 【例2】【解】 因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2.所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365. [互动探究]解：由本例解析可知sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－5665. 【跟踪训练】1．解析：选D.由cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－341－34＝7.故选D. 2．解析：选B.由已知，可得3π4<α＋π4<5π4，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45， 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4· sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫35＋45＝7210.故选B. 3．解：因为cos α＝55，cos β＝35且α、β都是锐角． 所以sin α＝1－cos 2 α＝255， sin β＝1－cos 2 β＝45. (1)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35×255－45×55＝2525. (2)tan α＝sin αcos α＝2，tan β＝sin βcos β＝43. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2. 探究点三 给值求角(值)【例3】【解】 (1)因为tan α＝2，tan β＝－13，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7. (2)因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1， 又因为0＜α＜π2，π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2， 在π2与3π2之间，只有5π4的正切值等于1.所以α＋β＝5π4. 【跟踪训练】解：因为π4<α<π2，π4<β<π2，所以－π4<π4－α<0，π2<π4＋β<34π. 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝32， cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋β＝－12， 所以cos (α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋βsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝⎝⎛⎭⎫－12×32＋32×⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 又因为π2<α＋β<π，所以α＋β＝56π. 【达标反馈】1．解析：选C.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 2．解析：选C.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin 2x cos π4＋cos 2x ·sin π4＋sin 2x cos π4－ cos 2x sin π4＝2sin 2x ，所以所求函数的最小值为－ 2. 3．解析：因为cos α＝－513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos αcos π6－sin α·sin π6＝－513×32－1213×12＝－53＋1226. 答案：－53＋12264．解：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎫β－π31＋tan （α＋β）tan ⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝35－131＋35×13＝29. 【巩固提升】[A 基础达标]1．解析：选D.因为sin π3＝32，所以A 正确； 因为cos 5π12＝－cos 7π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π4，所以B 正确； cos ⎝⎛⎭⎫－π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π3，所以C 正确； 因为cos π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－π4≠cos π3－cos π4，所以D 不正确． 2．解析：选C.因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝45，cos α＝－35， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝45×22－35×22＝210. 3．解析：选C.因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2cos(π－α)，所以－sin α＝－2cos α⇒tan α＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝－13. 4．解析：选A.tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β）＝3＋51－3×5＝8－14＝－47. 5．解析：选B.由题意得sin A ＝255，sin B ＝1010，所以cos C ＝cos(π－A －B )＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－55×31010＋255×1010＝－5050＝－5250＝－210<0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．6．解析：cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2⎝⎛⎭⎫－22×32＋22×12 ＝2－62. 答案：2－62 7．解析：cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，所以⎝⎛⎭⎫12＋32sin α＝⎝⎛⎭⎫12＋32cos α，故tan α＝1. 答案：18．解：tan β＝tan[α＋(β－α)]＝tan α＋tan （β－α）1－tan α·tan （β－α）＝13－21＋23＝－1. 又因为π2<β<π，所以β＝3π4. 9．解：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以α－β∈(0，π)． 因为cos(α－β)＝35，所以sin(α－β)＝45. 因为β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin β＝－210，所以cos β＝7210. 所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝⎛⎭⎫－210＝22. [B 能力提升]10．解析：选D.sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，故A 错误；cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，故B 错误；tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，故C 错误； sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(sin 2αcos 2β＋sin 2αsin 2β)－(sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β)＝sin 2α－sin 2β，故D 正确．11. 解析：原式＝sin （15°－8°）＋cos 15°sin 8°cos （15°－8°）－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15° ＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3. 答案：2－312．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－π12＝2cos π4＝1. (2)因为cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， sin θ＝－1－cos 2θ＝－45， 所以f ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ＝2⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4 ＝2×35×22＋2×⎝⎛⎭⎫－45×22＝－15. 13．解：(1)因为cos α＝55，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝255， 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以－π2＜α－β＜π2， 所以cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝31010， 所以cos(2α－β)＝cos[(α－β)＋α]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. [C 拓展探究]14．解：tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3－3tan B tan C tan B tan C －1＝－3， 而0°<A <180°，所以A ＝120°.tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B tan A tan B －1＝tan A ＋tan B 3tan A ＋3tan B ＝33， 而0°<C <180°，所以C ＝30°.所以B ＝180°－120°－30°＝30°.所以△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．。
5.5.1-2两角和差的正弦、余弦、正切公式教案
5.5.1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学必修第一册第五章三角函数第五节三角恒等变换的第2小节，是在学习了两角差的余弦公式的知识后，对其它三角函数公式内容的再学习，它与前面所学习的两角差的余弦公式有着密切的联系，是在两角差的余弦公式的基础上推导出来的结果，而且与更早之前学习的诱导公式、同角三角函数关系有着密切的联系；同时又是后面将要学习二倍角公式的基础，因此学好本节内容知识，不仅可对以前所学的相关知识进行加深理解和巩固，而且为后面将要学习的知识作了很好的铺垫.课时分配本节内容用2课时的时间完成，本节是第一课时,主要讲解两角差的正弦、余弦、正切公式的推导及简单应用.课程目标与学科素养教学目标重点:两角和的余弦公式以及两角和或差的正弦、正切公式的推导，公式的内在联系．公式的结构及特点.12难点:应用公式解决一些简单的三角恒等变换问题，认识三角恒等变换的特点.教具准备 多媒体课件和投影仪课堂模式 学案导学、自主学习、小组研讨 一、导入新课（1）复习导入1.两角差的余弦公式及其结构特征：()():cos cos cos sin sin C αβαβαβαβ--=+，口诀：余余正正，符号相反.2.cos15______________;cos 75_______________.==那么cos 75，它应当如何计算？类比是否有:？推广到一般，引入课题.【设计意图】 通过复习引入cos75︒的求法与cos15︒的类比，易引发学生的学习兴趣．通过利用45、30三角函数值表示出，体会特殊到一般的转化,引出本课题．（2）学习目标导入:同前面教学目标.【设计意图】 让学生知晓本节课目标，带着目标更能有的放矢的学习．同时对自己的学习效果有一个直观的评价标准.二、探究新知1.【探究1】()cos αβ+公式的推导教师：为了推导公式，引导:已知条件有什么？推导目标是什么？()cos αβ-与()cos αβ+的区别和联系是什么？学生：已知两角差的余弦公式，发现两者的区别，角的形式不同，寻找它们的联系，从运算和换元的角度建立联系，推得公式.()62cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30+=-=+=()62cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 304-=+=-=3()[]()()cos cos ()cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-教师：这样得到了两角和的余弦公式，它的结构特点是什么？学生回答，得到口诀:余余正正，符号相反.【设计意图】 通过教师的引导，学生思考问题，回答问题，经历思考问题的逻辑顺序，为后面的自主学习奠定基础.2.请阅读教材P217-218第2个探究之前的内容，参考上面的推导过程,自主学习,尝试解决学案中探究2-3，并将答案写在学案上，时间3分钟.【探究2】()cos αβ-与()sin αβ-有何区别与联系？这些能帮助我们推导()sin αβ-的公式吗？ 【探究3】()sin +αβ的公式又如何推导呢？请组长主持小组交流讨论探究2-3，形成自己小组的结论，并选出中心发言人，展示小组结论或上交疑问，时间2分钟.师生活动:学生先自主学习,后经过交流研讨,得到小组答案,然后小组展示.教师适时追问:已知条件,推导的公式,两者的区别,利用诱导公式建立联系, 学生利用投影仪展示,讲解推导的过程.()()sin cos cos 22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=--=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin sin cos cos sin 22ππαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭用β-换β得到:()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+教师:引导学生点评,教师点评,追问,那么两角和差的正弦公式的结构特征是什么?学生回答,得到口诀:正余余正,符号相同.【设计意图】 设计学生自主学习活动,通过两角和差的正弦公式的推导过程,培养数学思维的有序性,发展学生的逻辑推理素养.3.依据前面的推导过程及结论,哪个小组的同学来帮助我们推导正切两角和差的公式?【探究4】你能从正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从()(),C S αβαβ±±出发，推导出任意角,αβ的正切表示的tan(),tan()αβαβ+-的公式吗？师生活动:教师引导学生上台讲解,若没有,则给出两分钟进行小组讨论准备,然后小组成员上台讲解.4学生点评补充,教师点评总结.()()sin sin cos cos sin tan()cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin 1tan tan cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβ++==-- 用β-换β得到: ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.注意引导学生关注角的范围.( ).教师:引导学生观察两角和差的正切公式的结构特点是什么?【设计意图】学生在教师带领下经历推导的思维过程，通过自主学习和上台讲解,利用这种推导的思维,学以致用，逐渐养成数学思维的有序性,发展学生的逻辑推理素养，经历学习的乐趣，体验成功的感觉，培养自信心.三、理解新知1.分析两角和差的正弦、余弦、正切公式的内在联系.教师引导学生回顾公式推导过程,展示内在联系.2.探究5.和差角公式中,,αβ都是任意角，如果令α为某些特殊角，你能推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？师生活动:教师提问学生回答,举例推导,余下的部分课下继续推导.发现两角和差公式与诱导公式是一般与特殊的关系,所以在应用中一样考虑使用.【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知,,αβαβαβ-+，5例3.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan .444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解:由3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos ,5α===所以 3sin 35tan ,4cos 45ααα-===-于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3tan tan1tan 144tan 7.341tan 1tan tan 144παπααπαα----⎛⎫-====- ⎪+⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭变式训练：若把α是第四象限角这个条件去掉？结果或过程会怎样？【设计意图】熟练公式的正用.变式训练的目的是:符号问题是学生易犯错点,引导学生注意求解中符号的确定问题,同时提高学生严谨的表述和对分类讨论思想的应用. 提高学生表述能力，培养学生思维有序性.思考:由以上解答可以看到,在本题条件下有sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.那么对于任意角α,此等式成立吗?,若成立,你会有几种方法予以证明?师生活动:教师引导学生观察,提问,学生回答.追问:有什么意义呢?诱导公式是两角和差公式的特殊形式，当满足条件时，可以直接使用诱导公式，简化计算. 【设计意图】进一步体验一般到特殊的转化,在符合条件下,特殊情况可以简化计算过程. 例4.利用和（差）公式计算下列各式的值：6（1）sin 72cos 42cos 72sin 42;-（2）cos 20cos 70sin 20sin 70;-(3)1tan15.1tan15+-解: (1)由公式(),S αβ-得 (2)有公式(),S αβ-得sin 72cos 42cos72sin 42-cos 20cos70sin 20sin 70-()sin 7242=sin301=.2=-()cos2070=cos90=0.=+(3)由()tan 451,T αβ+=及得1tan15tan 45tan151tan151tan 45tan15++=--()tan 4515=+tan 60==追问:针对(3)你还有其它的解法吗?( 引导学生思考体会恒等变换的特点)巩固练习:1.P220页3（1）（3）（6） 2.tan17tan 28tan17tan 28++【设计意图】公式的逆用.培养逆向思维意识及思维的灵活性,追问的目的:让学生体会恒等变换的特点.五、达标检测3. 【设计意图】检验学生学习效果.六、小结及作业教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：tan17tan 433tan17tan 43++52.cos cos cos sin126126ππππ+=41.cos ,5αα=-若是第二象限角，则sin ________.6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭71.知识上：两角和差的正弦、余弦、正切公式推导、结构特征2.思想方法上：分类讨论的思想、特殊与一般的思想、转化与化归的思想教师总结布置作业： 必做作业：课本练习P220 2,5, P229 4, 5,6. 选做作业：（1）化简2sin()2sin()cos().333x x x πππ++-- （2）函数3sin 221y x x =++的最小值为___,对应的x 的值是___最大值是____,对应的x 的值是___.预习作业：课本P220—P222内容七、板书设计)八、教学反思。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案新部编本
精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan教师学科教课方案[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校两角和与差的正弦、余弦、正切公式教课方案三维教课目的1.知识与技术能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，认识公式间的内在联系.能应用公式解决比较简单的相关应用的问题.2. 过程与方法经过层层研究领会数学思想的形成特色.3. 感情目标与价值观经过公式变形领会转变与化归的思想方法.教课要点 :推导两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式,并能差别两角和与差的正弦、余弦、正切公式．教课难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解和灵巧运用．打破举措：学生在前方引诱公式及两角差的余弦公式的基础上，比较自然的推出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式．学情剖析：三角函数是高考的要点内容，本节主假如公式的推导和应用，难度不大，要让学生增强记忆，且娴熟应用．教课方案：复习回首１．几个诱导公式：熟记公式sin() __,cos()= ___, tan() ___.sin()_____,cos()= ________.22公式 C():______________________________________增强落实！cos15o_____情形导入有了两角差的余弦公式，我们能解决一些问题，但范围有限，所以自然想获得两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐一进行研究，让希望成为现实 .新课研究二、自主学习，合作研究研究一：研究两角和的余弦公式思虑 1：注意与间的关系，联合两角差的余弦公式及引诱公式，推导 cos() 等于什么？利用公式仔细推导，cos() =_____________________学生独立达成 .思虑2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作C( )，该公式有什么特色？怎样记忆？总结特色_____________________________________________________发现记忆方法试一试：求 cos75研究二：研究两角和与差的正弦公式思虑 3：引诱公式sincos() 能够实现由正弦到余弦2的转变，联合 C()和C() , 你能推导出sin() ，sin() 分别等于什么吗？仔细推导，并与同学沟通，sin() =________________________________得出结论 .sin() =_______________________________思虑 4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作 S() ，S( )，这两个公式有什么特色？怎样记忆？总结特色发现记忆方法____________________________________________________练习：求 sin 15 , sin 75 .研究三：研究两角和与差的正切公式可否借助 tan sin及两角和与差的正余弦公式推导出costan(), tan() ？tan()___________________________. tan()____________________________.注：（１）公式合用范围：________________________分组议论，把自己的看法展示出来 .(2) 公式变形：tan tan____________.tan tan____________.精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan练习：tan 20tan 40 3 tan 20 tan 40______.2. 理论迁徙例1：已知 sin3,是第四象限角，求 sin(),54cos(), tan(4)的值 .4思虑：经过计算 sin()cos() ，能否关于随意的角44都建立？并说明原因．3,(, ), 求 sin()的值 .练习： 1.已知cos5232.已知 tan3,求 tan()的值 .4例 2. 公式的逆用利用和（差）角公式计算以下各式的值：（１）． sin 72o cos42o cos72o sin 42oo ）．cos 20o cos70o sin 20o sin 70o；（3）．1 tan15o1 tan15练习：求以下各式的值：学生自己剖析，要解决这个问题需做什么准备工作.学生直接回答cos()6发现式子的形式切合什么公式，从右向左利用公式.1 sin 72o cos18o cos72o sin18oo otan12 tan332o o1 tan12 tan333sin 34o sin 26o cos34 o cos26o4sin 20o cos40o cos 20o cos50o133 sin x化简 : 1 cos x sin x(2) cos x22思虑 :一般地 , a sin x b cosx 能否都能够化成Asin( x ) 的独立研究，发现规律 .形式 ?精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan稳固练习：1. 已知cos3,0, 求 cos()的值.512，62. 已知 cos(4)，求 sin的值 .13 42学生独立达成，稳固知识3. 已知 sin 5, sin10,且 ,0, , 5102求角的大小 .讲堂小结1.方法由公式 C()出发推导 C()，S()，S()的方法 .2.知识：公式及公式的记忆方法C() =_______________________________.C() =________________________________.仔细总结，在总结中提高对知识的认知S() =________________________________. S() =________________________________. T()___________________________. T()____________________________.部署作业：题案板书设计：板书设计 :课题 :例题解说两角和的余弦公式 :两角和与差的正弦公式：两角和与差的正切公式：。
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职高数学职业模块（理工类人教版）教案：两角和与差的正弦、余弦、正切公
式（1）
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、教学设想：
（一）复习式导入：
（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．
（2）cos sin =α？
（二）新课讲授
问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？
探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.
()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
sin cos cos sin αβαβ=+．
()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．
探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+
探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？
（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ++=
-． 注意：,,()222k k k k z ππ
π
αβπαπβπ+≠+≠+≠+∈
5、将
)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差
角公式。
（三）例题讲解
例1、已知
3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-
是第四象限角，得4cos 5α===， 3
sin 35tan 4cos 4
5ααα-
===- ，
于是有：
43sin sin cos cos sin 4
44252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 3tan tan 144tan 7341tan tan 144π
απαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 思考：在本题中，)4cos()4sin(απ
απ+=-，那么对任意角α，此等式成立吗？若
成立你能否证明？
例2、已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（322）
例3、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-．
解：（1）、()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==；
（2）、()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；
（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--
（四）小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，学会灵活运用.。