泛函分析期末试题及答案
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题20211．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量空间，p 为何值时，R 是赋范空间。
解：假设R 是度量空间，所以R z y x ∈∀,,，必须有：),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤ppp，所以，1≤p假设R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈∀,， 必须有：||||||||||x k kx ⋅=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，假设R 是度量空间，1=p 时，假设R 是赋范空间。
2．假设),(d X 是度量空间，则)1,min(1d d =，ddd +=12也是使X 成为度量空间。
解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈∀,,有： 1〕0),(≥y x d ，因此0)1),,(min(),(1≥=y x d y x d和0),(1),(),(2≥+=y x d y x d y x d且当y x =时0),(=y x d ，于是0)1),,(min(),(1==y x d y x d 和0),(1),(),(2=+=y x d y x d y x d以及假设0)1),,(min(),(1==y x d y x d 或0),(1),(),(2=+=y x d y x d y x d均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2〕),(),(y x d x y d =，因此),()1),,(min()1),,(min(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),(),(1),(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=3〕),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 以及设x x x f +=1)(，0)1(1)(2>+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以),(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+=综上所述)1,min(1d d =和ddd +=12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
(完整word版)泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
(完整word版)泛函分析试题B
(完整word 版)泛函分析试题B试卷第 1 页 共 1 页 泛函分析期末考试试卷 （B ）卷一、填空题（每小题3分，共15分）1.设X =(,)X d 是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果____________________________, 则称{}n x 是X 中的收敛点列。
2. 设X 是赋范线性空间，f 是X 上线性泛函，那么f 的零空间()N f 是X 中的闭子空间的充要条件为_____________________________。
3. T 为赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子， 如果_________________, 则称T 是同构映射。
4. 设X 是实Hilbert 空间，对X 中任何两个向量,x y X ∈满足的极化恒等式公式为：___________________________________________。
5. 设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈=，如果_______________________________________________,则称点列{}n f 强收敛于f 。
二、计算题（共20分）叙述(1)p l p <<+∞空间的定义，并求p l 的共轭空间。
三、证明题（共65分）1、（12分）叙述并证明空间(1)p l p >中的Holder 不等式。
2、（15分）设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间，证明M M ⊥⊥=。
3、（14分）Hilbert 空间X 是可分的，证明X 任何规范正交系至多为可数集。
4、（12分） 证明Banach 空间X 自反的充要条件是X 的共轭空间自反。
5、（12分）叙述l ∞空间的定义，并证明l ∞空间是不可分的。
(完整)实变与泛函期末试题答案
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数， 则对于任意常数a ， })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分)证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分)证明一 设E x ∈0，则a x f >)(0，由)(x f 在),(+∞-∞上连续，知0>∃δ，使得),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(， 即E x U ⊂),(0δ,故0x 为E 的内点。
由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集.证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并（由证明一前半部分)， 由定理可知E 为开集.(2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集。
（7分)证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点， 则E ∃中互异点列},{n x 使得)(0∞→→n x x n . ………………………..2分由E x n ∈知a x f n ≥)(， 因为f 连续, 所以a x f x f x f n n n n ≥==∞→∞→)(lim )lim ()(0，即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ∂⊂=⊂，……………………… 5分 知E E E E =∂= ,E 为闭集。
…………………………………………………… 7分 证明三 由(1）知，})(|{a x f x E >=为开集， 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集， 得证。
泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
《 泛函分析》期末试题
存在 xn X , xn 0 使得 Txn . 3 （15 分） 设 X 是 Banach 空间， An , A B( X ), 则 An x Ax, x X 当且仅当{ An }
有界并且存在子集合 G 使得 spanG X ，在 G 上 An x Ax. 4 （15 分） 对于内积空间 H 中的规范正交集{e1, , en}和 H 中的 x ，证明函数
n
f (1, , n ) x iei 当且仅当 i (x, ei ) （ i 1, , n) 时达到 i1
极小值。
5 （15 分） 设 H 是 Hilbet 空间，{en , n 1}是其中的规范正交系。证明级数 nen 按 n1 H 的范数收敛等价于弱收敛。
《 泛函分析》期末试题
1（20 分） 证明非ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性积分方程
b
x(t) a K (t, s, x(s))ds y(t), t [a,b]
在 足够小时有唯一连续解。这里 y(t) C[a,b], K : [a,b][a,b] R R
连续并且满足
K(t, s,1) K(t, s, 2 ) L1 2 , t, s [a,b]. 2 (15 分) 设 X ,Y 是线性赋范空间，T : X Y 是线性算子, 则T 不是有界的当且仅当
泛函分析试卷与答案
泛函分析试卷与答案【篇一：泛函分析习题参考答案】证明：显然为空间x上的距离，试证：~d(y,x)也是xd(y,x)?1?d(y,x)上的距离。
~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0d(x,y)0xy。
~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)d(x,y)；1?d(y,x)1?d(x,y)t1?1?1?t1?t的单调增加性及再者，最后，由d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)~~d(x,z)d(z,y)d(x,z)?d(z,y)。
1?d(x,z)1?d(z,y)、设二p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),?)?lp，n?1,2,?，x?(?1,?,?i,?)?lp，则n??时，p??d(xn,x)i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?；(2)0，i1存在n?0，使得i?n?1i(n)p对任何自然数n成立。
(n)(n)必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,?。
i1p由x?(?1,?,?i,?)?l。
p可知，，存在n1?0，使得i?n1?1p?(n)ii?(p?i?1pi(p2，并且n?n1时，2p由此可得，i?n1?1i(n)ppppi(n)??ii????p对n?n1成立。
i?n1?1i?n1?1p对于n?1,2,?n1，存在n2?0，i?n2?1i(n)pp。
取n?max?n1,n2?，则i?n?1(n)pip对任何自然数n成立。
0，存在k?0，使得充分性证明：由条件可知，i?k?1时，k(n)pi(2ip对任何自然数n成立，并且i?k?1pi(p2。
由(n)i??i可知，存在n?0，使得n?n i?1(n)ipp，并且d(xn,x)pi?1(n)i??ipi?1k(n)i??i?pi?k?1pi(n)ipi(n)??ii?1kp(n)ppp?(i)?(i)p2?p。
(完整word版)泛函分析试题A及答案
莆期末考试一试卷（A）卷2010—— 2011 学年第1学期课程名称：泛函剖析合用年级 / 专业07数学试卷类型：开卷（√）闭卷（）学历层次：本科考试用时：120 分钟《考生注意：答案要所有抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、填空题（每题 3 分，共 15 分）%是胸怀空间， T 是 X 到 Y 中的映照，x0X ,1. 设 X = ( X , d)， Y = (Y, d)假如 _________________________________________________则,称 T 在x0连续。
2.设 X 和 Y 是两个赋范线性空间， T 是 X 到 Y 中的线性算子，假如 _______________, 则称 T 是 X 到 Y 中的无界限性算子。
3.设 X 是赋范线性空间，称为 X 的 Hilbert 空间。
4.设 M 是 Hilbert 空间 X 中的规范正交系，若___________________________________则称 M 是 X 中的完整规范正交系。
5.设 X 是赋范线性空间， X 是 X 的共轭空间，泛函列 f n X (n1,2,L ) ，假如则,称点列 f n弱*收敛于f。
二、计算题（ 20 分）表达 l1空间的定义，并求 l 1上连续线性泛函全体所成的空间？。
三、证明题（共65 分）1 、（ 14分）设 C[0,1] 表示闭区间 [0,1] 上连续函数全体，对任何 x, y C[0,1]，令d ( x, y)1y(t ) | dt , 证明 ( x, d ) 成为胸怀空间。
| x(t)n2、（12 分）证明R n按范数|| x || max |i|构成的赋范线性空间X与R n按范数|| x ||| i |i i1试卷第 1 页共 2 页构成的赋范线性空间Y 共轭。
3、（ 15 分）设X是可分Banach空间，M是X中的有界集，证明M中每个点列含有一个弱 * 收敛子列4、（ 12 分）设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的公理之一？A. 封闭性B. 加法结合律C. 交换律D. 分配律答案：A2. 一个线性泛函在定义域内是连续的，那么它在定义域内也是：A. 有界的B. 无界的C. 可微的D. 可导的答案：A3. 紧算子一定是：A. 有界算子B. 单射算子C. 满射算子D. 可逆算子答案：A4. 希尔伯特空间中，下列哪个性质不是正交性的定义？A. 正交向量的长度不为零B. 正交向量的内积为零C. 正交向量的数量可以是无限的D. 正交向量在同一个空间中答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是巴拿赫空间，并给出一个例子。
答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，即在该空间中，任何柯西序列都收敛于该空间中的一个点。
一个典型的例子是所有连续函数构成的空间，赋予最大范数。
2. 什么是紧算子？请解释其性质。
答案：紧算子是定义在巴拿赫空间上的有界线性算子，其值域是原空间的一个闭子空间，并且是可分的。
紧算子的一个重要性质是它们将单位球面映射到一个相对紧集。
三、计算题（每题20分，共40分）1. 设线性算子A在希尔伯特空间H上定义，且满足A^*A = I，证明A是单射的。
答案：设x, y属于H，且Ax = Ay，那么A^*(Ax) = A^*(Ay)，即x = y。
因此，A是单射的。
2. 给定线性泛函f在希尔伯特空间H上定义，且满足f(x) = <x, y>，其中y是H中的一个固定向量。
证明f是连续的。
答案：由于f(x) = <x, y>，根据内积的性质，|f(x)| ≤ ||x||||y||，其中||y||是y的范数。
因此，f在H上是连续的。
四、论述题（每题20分，共20分）1. 论述希尔伯特空间中正交投影算子的性质。
答案：希尔伯特空间中的正交投影算子P具有以下性质：- P是线性的。
- P是自伴的，即P^* = P。
华南师范大学2012级研究生泛函分析期末考试试题参考解答
15华南师范大学2012级研究生泛函分析期末考试试题参考解答1.(10分)设1ăpă8,定义算子T为T(x1,¨¨¨,x k,¨¨¨)=(0,12x1,23x2,¨¨¨,kk+1x k,¨¨¨), @x=(x1,¨¨¨,x k,¨¨¨)Pℓp.证明:算子T:ℓpÑℓp是有界线性算子,求T的共轭算子T˚.解.(1)由}T x}=(8ÿk=1ˇˇˇˇkk+1x kˇˇˇˇp)1pď(8ÿk=1|x k|p)1p=}x}知T是有界线性算子.(2)(ℓp)˚=ℓq,其中1p+1q=1.对@x Pℓp,y Pℓq,⟨x,T y⟩=⟨(x1,x2,x3,¨¨¨,x k,¨¨¨,(0,12y1,23y2,¨¨¨,k´1ky k´1,¨¨¨)⟩=x2¨12y1+x3¨23y2+¨¨¨+x k¨k´1ky k´1+¨¨¨=12x2¨y1+23x3¨y2+¨¨¨+k´1kx k¨y k´1+¨¨¨=⟨(12x2,23x3,¨¨¨,k´1kx k,¨¨¨),y⟩=⟨T˚x,y⟩.故T˚x=(12x2,23x3,¨¨¨,k´1kx k,¨¨¨),@x Pℓp.■2.(15分)定义算子T:C[0,1]ÑC[0,1]为(T x)(t)=ż1x(s)1+std s,@x(t)P C[0,1].试证:T是有界线性算子,并求算子范数}T}.证明T将C[0,1]中的有界集映成C[0,1]中的列紧集.解.(1)由}T x }=max 0ďt ď1|(T x )(t )|=max 0ďt ď1ˇˇˇˇż10x (s )1+std s ˇˇˇˇďmax 0ďs ď1|x (s )|¨max 0ďt ď1ż1011+std s =}x }¨max "1,sup 0ăt ď11t żt011+ud u*=}x }¨max "1,sup0ăt ď1ln (1+t )t *=}x }即知T 是有界线性算子,且}T }ď1.进一步,}T }ěmax 0ďt ď1}(T x n )(t )}x n (t )=$’&’%nt,0ďt ď1n 1,1n ďt ď1=max 0ďt ď1ˇˇˇˇˇż1n 0ns 1+st d s +ż11n11+st d s ˇˇˇˇˇ=max 0ďt ď1t +t ln n (1+t )n +t ´n ln n +tnt 2ět +t ln n (1+t )n +t ´n ln n +tnt 2,@0ăt ď1.令n Ñ8得}T }ěln (1+t )t,@0ăt ď1.再令t Ñ0+得}T }ě1.这就证明了}T }=1.(2)设A 是C [0,1]中的有界集,则D M ą0,s .t .@x P A,}x }ďM.由第1步知@x P A,}T x }ď}x }ďM.而T (A )一致有界.又由|(T x )(t )´(T x )(t 1)|=ˇˇˇˇż10x (s )[11+st ´11+st 1]d s ˇˇˇˇď}x }ż10s |t ´t 1|(1+st )(1+st 1)d s ďM |t ´t 1|ż1s d s =M2|t ´t 1|知@εą0,D δ=2εMą0,s .t .@t,t 1P [0,1]:|t ´t 1|ăδ,@x P A,|(T x )(t )´(T x )(t 1)|ăε.故T (A )等度连续.据Ascoli-Arzela 定理即知T (A )是列紧集.■3.(15分)设X 是线性赋范空间,x 和y 是X 中两个线性无关的元,证明:存在f,g P X ˚,使得f (x )=1,f (y )=0,g (x )=0,g (y )=1;进而证明:如果z P X 满足:对于h P X ˚,只要h (z )=0必有h (x )=h (y )=0,则存在常数a 和b ,使得z =ax +by .解.(1)设Y =span t x,y u ,定义Y 上的有界线性泛函f 1(αx +βy )=α.由Hahn-Banach 定理,f 1可保范延拓为f P X ˚.此f 就满足f (x )=1,f (y )=0.同理可得到满足题意的g .(2)用反证法证明D a,b P F ,s .t .z =ax +by ôz P Y.若z R Y ,考虑W =t w =y +αz ;y P Y,αP F u及W 上的有界线性泛函f 1(w )=α,@αP W.由Hahn-Banach 定理,f 1可保范延拓为f P X ˚.于是f (x )=f (y )=0,f (z )=1.与题设矛盾.故有结论.■4.(15分)设(H,(¨,¨))是实Hilbert 空间,M 是H 的非空子集,证明:M KK =span M,M KKK =M K .解.(1)@x P M,@y P M K ,⟨x,y ⟩=0ñM ĂM KK ñspan M ĂM KK (MKK是子空间)ñspan M ĂMKK(M KK是闭的).往用反证法证明span M =M KK .若span M ĹM KK ,则由正交分解定理,D 0‰x P M KK ,s .t .x K span M ñ#x P M KK X span M K=M KK X M K =t 0u x ‰0ñ矛盾.故有结论.(2)M K 是闭的线性子空间,而由第1步,M KKK =span M K =M K =M K .■5.(15分)设(H,(¨,¨))是实Hilbert 空间,t e k u 8k =1是H 的正交规范基,t x n u 8n =0和t y n u 8n =0是H 中的两列元,其中t}x n }u 8n =0有界并且y n Ñy 0.证明:(1)当k Ñ8时,t e k u 在H 中弱收敛于零,但不强收敛于零.(2)如果对于每一个k ,当n Ñ8时有(x n ,e k )Ñ(x 0,e k ),则(x n ,y n )Ñ(x 0,y 0).解.(1)由Parseval 等式知8ÿn =1|(x,e n )|2=}x }2ñlim n Ñ8(x,e n )=0,@x P H.故e n á0.又由}e n }=1知e n Ñ0不成立.(2)由t}x n }u 有界知D M ą0,s .t .@n ě1,}x n }ďM.于是|(x n ,y n )´(x 0,y 0)|ď|(x n ,y n ´y 0)|+|(x n ´x 0,y 0)|ďM }y n ´y 0}+ˇˇˇˇˇ8ÿk =1y 0k (x n ´x 0,e k )ˇˇˇˇˇ(y =8ÿk =1y 0k e k)ďM }y n ´y 0}+(8ÿk =1|y 0k |2)12[8ÿk =1|(x n ´x 0,e k )|2]12.令n Ñ8即得结论.这里我们利用了实变函数中Levi 定理的类比.极限和求和可以交换次序!■6.(15分)设X 是实线性赋范空间,t x λ;λP Λu 是X 中的一个子集,其中Λ为指标集.证明:如果对于每一个f P X ˚,t f (x λ);λP Λu 是有界集,则t x λ;λP Λu 也是有界集.解.将x λ看作是X ˚˚中的元,则sup λP Λ⟨x λ,f ⟩=sup λP Λf (x λ)ă8ñsup λP Λ}x λ}ă8(共鸣定理).■7.(15分)设t (X k ,}¨}k )u 8k =1是一列实Banach 空间.记U =!x =(x 1,¨¨¨,x k ,¨¨¨);x k P X k ,k =1,2,¨¨¨,lim k Ñ8}x k }k =0).对于x =(x 1,¨¨¨,x k ,¨¨¨),y =(y 1,¨¨¨,y k ,¨¨¨),αP R ,在U中定义线性运算和范数分别为x+y=(x1+y1,¨¨¨,x k+y k,¨¨¨),αx=(αx1,¨¨¨,αx k,¨¨¨),}x}=supkě1}x k}k.(1)证明:(U,}¨})在如上定义的线性运算和范数的意义下是一个实Banach空间.(2)设每个X k均为可分空间,问U是否也是可分空间,为什么?解.(1)易知(U,}¨})是赋范线性空间.设t x n u是U中Cauchy列,则@εą0,D N,s.t.@mąněN,εą}x m´x n}=supkě1}x m k´x n k}.特别地,对@kě1,@mąněN,εą}x m k´x n k}k.(1)故t x n k u8n=1是X k中Cauchy列.由X k完备知D x k P X k,s.t.limnÑ8x n k=x k.在(1)中mÑ8得@kě1,@něN,εě}x n k´x k}kñ@něN,εě}x n´x}.这表明x nÑx=(x1,¨¨¨,x k,¨¨¨).进一步,}x k}kď››x N k´x k››k+››x N k››kďε+››x N k››k.令kÑ8得limnÑ8}x k}kďε.再令εÑ0+得limkÑ8}x k}k=0.故U完备,是Banach空间.(2)U是可分的.设D k是X k的可数稠密子集,则8ďn=1t(d1,¨¨¨,d n,0,¨¨¨);d i P D i,1ďiďn u是U 的可数稠密子集.事实上,对@x P U,εą0,由lim k Ñ8}x k }k =0知D K ą0,s .t .@k ąK,}x k }k ăε.又由D k 在X k 中稠密知@1ďk ďK,D d k P D k ,s .t .}d k ´x k }ăε.于是}(d 1,¨¨¨,d n ,0,¨¨¨)´x }=max "sup 1ďk ďK}d k ´x k }k ,sup k ąK}x k }*ăε.■。
泛函分析考试试卷.doc
泛函分析考试试卷选择题。
1、下列说法不正确的是（）A、n维欧式空间疋是可分空间B、全体有理数集为疋的可数稠密了集C、严是不可分空间D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的答案：D2、设T是度量空间（X,d）到度量空间（Y, d~）的映射，那么T在xocx连续的充要条件是（）A、：1 2 3 4 51 x n—x° (n-co)时,B、当Xn—Xo (mcc)时,C、当x0—>x n (n—)时,D、当x n—Xg(n—0)时，答案:D必有TxnfTxo (n—xx) 必有Tx()—>Tx n(n—>oo)必有Txn—>Tx°(n—>oo)必有Txn- T XQ(n—0)答案：原像是X中的开集2设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y屮的线性算了，则T为有界算子的充要条件是T是X上的____ 匚答案：连续算子。
3若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是対一切xCX有 _________________________________________________________________________ 匚答案：（Tx, x）=04有界线性算子T的共馳算子尸也是有界线性算子，并且_『11。
答案：=5设仏｝是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果仏｝在X的每点X处有界，那么｛仏｝ _______________________________________________________________________ o_答案：一致有界B 、(A*)*=A** D 、(aA)*=aA* 3、在度量空间屮有（）A 、 柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B 、 柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案:C4、 关于巴拿赫空间叙述不正确的是（）A 、 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B 、 L p [a, b] （p>l ）是巴拿赫空间C 、 空间卩是巴拿赫空间D 、 赋范线性空间的共轨空间不是巴拿赫空间 答案：D5、 下列对共純算子性质描述错误的是（）A 、(A+B)*=A*+B*; C^ 当 X=Y 时,(AB)*=B*A* 答案：B 二、填空题1、度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中的任意开集M 为三、判断题1、 自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的基本元素？A. 向量B. 线性组合C. 线性映射D. 拓扑结构答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个性质不是内积空间必须具备的？A. 正定性B. 线性C. 对称性D. 交换性答案：D3. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. 赫尔德不等式B. 闵可夫斯基不等式C. 贝叶斯定理D. 一致有界性原理答案：C4. 巴拿赫空间是指完备的赋范线性空间，以下哪个条件不是巴拿赫空间必须满足的？A. 线性B. 赋范C. 完备性D. 有限维答案：D5. 在泛函分析中，紧算子是指将有界集映射到相对紧集的线性算子，以下哪个性质不是紧算子必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 单射性答案：D6. 下列哪个概念不是泛函分析中的拓扑概念？A. 开集B. 闭集C. 连续性D. 线性映射答案：D7. 泛函分析中，下列哪个概念与巴拿赫空间无关？A. 赋范线性空间B. 完备性C. 紧性D. 线性答案：C8. 在泛函分析中，下列哪个性质不是线性泛函必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 单射性D. 连续性答案：C9. 下列哪个定理不是泛函分析中解决方程问题的基本定理？A. 赫尔德定理B. 拉克斯-米尔格拉姆定理C. 贝祖定理D. 弗雷德霍姆选择定理答案：C10. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子的基本性质？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 可逆性答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中的线性空间必须满足向量加法和标量乘法的______性。
答案：封闭2. 希尔伯特空间中的内积必须满足正定性、线性、对称性和______性。
答案：共轭对称3. 巴拿赫空间是完备的______线性空间。
答案：赋范4. 紧算子将有界集映射到______集。
答案：相对紧5. 巴拿赫空间中的完备性是指空间中的每个柯西序列都收敛到空间内的某个元素，这种性质也称为______性。
（完整word版）泛函分析习题标准答案
（完整word版）泛函分析习题标准答案第⼆章度量空间作业题答案提⽰ 1、试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-能定义度量吗？答：不能，因为三⾓不等式不成⽴。
如取则有(),4x y ρ=,⽽(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、试证明：（1）()12,x y x y ρ=-;(2)(),1x y x y x yρ-=+-在R 上都定义了度量。
证：（1）仅证明三⾓不等式。
注意到21122x y x z z y x z z y ??-≤-+-≤-+- ?故有111222x yx z z y-≤-+-（2）仅证明三⾓不等式易证函数()1xx x=+在R +上是单调增加的，所以有()()a b a b ??+≤+,从⽽有1111a b a b a b++≤≤+++++++令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y zy x z x y z---≤++-+-+-4.试证明在[]b a C ,1上，)12.3.2()()(),(?-=ba dt t y t x y x ρ定义了度量。
证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成⽴。
[]),(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dtt y t z dt t z t x dtt y t z dt t z t x dtt y t x y x bab ab aba ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明∑∑==≤??ni in i i x n x 1221证：∑∑∑∑=====?≤??ni in i n i i n i i x n x x 1212122118.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积21R R R ?=上定义了度量{}212/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三⾓不等式。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案### 泛函分析试题及答案#### 一、选择题（每题5分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的概念？A. 线性组合B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性变换答案：D2. 在Banach空间中，以下哪个条件不是完备性的必要条件？A. 空间中的每个Cauchy序列都收敛于空间内B. 空间是完备的C. 空间中存在一个完备的度量D. 空间中的每个有界序列都有一个收敛的子序列答案：C3. 泛函分析中，Hilbert空间的完备性是相对于哪种范数？A. 欧几里得范数B. 赋范范数C. 内积诱导的范数D. 以上都是答案：C4. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. Hahn-Banach定理B. Riesz表示定理C. 闭图定理D. 微积分基本定理答案：D#### 二、填空题（每题5分，共20分）1. 线性泛函在定义域上的连续性等价于其在定义域的原点处的连续性，这是基于泛函分析中的________定理。
答案：Hahn-Banach2. 在Hilbert空间中，任意两个向量的内积满足平行四边形法则，即对于任意向量\( u \)和\( v \)，有\( \|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 =2(\|u\|^2 + \|v\|^2) \)，这是基于________定理。
答案：平行四边形3. 线性算子的谱半径公式为\( r(T) = \lim_{n \to \infty}\|T^n\|^{1/n} \)，其中\( T \)是Banach空间上的有界线性算子，这是基于________定理。
答案：Gelfand公式4. 在泛函分析中，紧算子的定义是：如果对于空间中的每一个有界序列，其在算子下的像序列都有一个收敛的子序列，则称该算子为紧算子，这是基于________定理。
答案：Arzelà-Ascoli#### 三、简答题（每题15分，共30分）1. 简述Riesz表示定理的内容及其在泛函分析中的意义。
泛函分析期末考试题库及答案
泛函分析期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是泛函分析中的基本概念？A. 线性空间B. 线性算子C. 微分方程D. 范数答案：C2. 希尔伯特空间中的内积满足的性质不包括以下哪一项？A. 线性B. 对称性C. 正定性D. 可逆性答案：D3. 以下哪个是紧算子的性质？A. 有界B. 可逆C. 连续D. 可微答案：A4. 以下哪个定理是泛函分析中的基本定理？A. 泰勒定理B. 格林定理C. 里斯表示定理D. 牛顿-莱布尼茨定理答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，一个线性空间的基是一组线性______的向量。
答案：无关2. 一个线性算子是______的，如果它将一个有界集映射到一个有界集。
答案：有界3. 一个线性算子是______的，如果它将一个紧集映射到一个紧集。
答案：紧4. 一个线性算子是______的，如果它在某个线性空间上是连续的。
答案：连续三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是线性空间，并给出其基本性质。
答案：线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足加法和数乘两种运算，并且满足加法交换律、加法结合律、数乘分配律等性质。
2. 解释什么是紧算子，并给出一个例子。
答案：紧算子是一个线性算子，它将任意有界序列映射到一个收敛序列。
例如，考虑在L^2空间上的算子K，定义为K(f)(x) =∫f(t)sin(x-t)dt，它是一个紧算子。
3. 描述什么是希尔伯特空间，并说明其与欧几里得空间的关系。
答案：希尔伯特空间是一个完备的内积空间，它允许无限维向量的存在。
希尔伯特空间是欧几里得空间的推广，其中欧几里得空间是有限维的希尔伯特空间。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性算子A: L^2(0,1) → L^2(0,1)，定义为A(f)(x) =∫₀^x f(t)dt，证明A是一个紧算子。
答案：略2. 考虑在L^2(-1,1)上的算子B，定义为B(f)(x) = xf(x)，证明B是一个有界算子，并求出其范数。
泛函分析之期末考习题解答-实变函数与泛函分析概要第二册
证：令Fn(x)= ηnζn
x={ζn} L,Lim|Fn|<∞ ||Fn||=sup|ηk|≤M
{ηn}有界
35.求出c,c0,L[a,b]的对偶空间
解：以c0为例，其他类似
f c0*,令ck=f(ek), x={ξk} c0时x= ξkek f(x)= ξkck
证：
取基本点列｛xn｝ L∞[a,b]
ε>0, N Ν,m,n≥N时||xm-xn||<ε
故 [a,b]中的Lebesgue集{Emn}ST||xm-xn||=SUP{xm-xn|x [a,b]/Emn}
Set E= Emn [a,b],则x [a,b]/E，m,n≥N时
|xm-xn|≤SUP{xm-xn|x [a,b]/E}≤||xm-xn||<ε
然后用||Tx(t1)-Tx(t2)||≤……≤转化为一个可用|t1-t2|<δ判断
||Tx(t1)-Tx(t2)||<ε成立的式子，以此来证明等度连续
P305
1.f是H空间U的子空间G上的有界线性泛函，则f在U存在唯一延拓F,ST,||F||=||f||G.
证：
由Lisez定理， u G,ST,f(x)=(x,u),||f||=||u||,令F(x)=(x,u),则
(a) k>0,ST, x={ξ1,ξ2…ξn…} A, <k
(b) ε>0, N>0,ST,m>N时， x A, <ε
(a).证：
→A准紧，则A全有界，则A有界可分（对应定理4.1，4.2）
← k>0,ST, x={ξ1,ξ2…ξn…} A, <k,即 收敛
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泛函分析期末试题及答案
一、选择题
1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 点集
答案：D
2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。
以下哪个选项是泛函的定义？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 函数空间的对偶空间
答案：C
3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。
以下哪个选项是范数的定义？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 函数空间的对偶范数
答案：B
4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？
A. 嵌入定理
B. 开铃定理
C. Hahn-Banach定理
D. Banach-Steinhaus定理
答案：B
5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。
以下哪个选项是内积的定义？
A. 函数空间
B. 向量空间
C. 线性映射
D. 内积空间
答案：D
二、填空题
1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：
(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；
(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；
(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
三、计算题
1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：
(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；
(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；
(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
对于函数f(x) = x^2，我们可以计算其范数：
||f|| = √∫(0,1)x^4 dx = √(1/5) = 1/√5。
因此，函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数为1/√5。
2. 对于给定的函数空间L²[0,1]，计算函数f(x) = sin(x)在L²[0,1]上的范数。
解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：
(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；
(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；
(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。
对于函数f(x) = sin(x)，我们可以计算其范数：
||f|| = √∫(0,1)sin^2(x) dx = √(1/2) = 1/√2。
因此，函数f(x) = sin(x)在L²[0,1]上的范数为1/√2。
四、证明题
1. 证明Hahn-Banach定理的限制形式：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，并且满足f(y) ≤ p(y)对所有的y∈Y成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
证明：首先，我们定义线性空间V = X/Y，即X模去Y所得到的商空间。
对于y∈Y，我们可以定义映射g：V→R或C为g([x]) = f(x)，其中[x]表示属于X/Y的一个向量，x∈X，且x∈[x]，即[x]是[x]中元素的代表。
我们需要证明：
(1) 定义的映射g是良定义的。
(2) 定义的映射g是线性的。
(3) 对于所有的x∈X，有g([x]) ≤ p(x)成立。
(1) 良定义性证明：
设[x']∈[x]，则[x'] = [x] + [y']，其中y'∈Y。
由于f是定义在Y上的线性泛函，我们有f(y') ≤ p(y')。
又因为f(x) = g([x])，f(x') = g([x'])，则f(x) ≤ f(x')。
因此，定义的映射g在商空间V上是良定义的。
(2) 线性性证明：
设[x_1],[x_2]∈V，有[x_1] = [x] + [y_1]，[x_2] = [x] + [y_2]，其中y_1,y_2∈Y。
对于任意实数或复数a，我们有：
g([ax_1 + x_2]) = g(a[x_1] + [x_2]) = g(a[x] + a[y_1] + [x] + [y_2]) = g((a+1)[x] + a[y_1] + [y_2])
= (a+1)f(x) + af(y_1) + f(y_2) = a(g([x_1])) + g([x_2])。
因此，定义的映射g在商空间V上是线性的。
(3) 不等式成立性证明：
对于任意的x∈X，我们有[x] = [x] + [0]，其中[0]表示零向量在商空间V中的表示。
由于f(y) ≤ p(y)对所有的y∈Y成立，我们有f(x) ≤ f(x) + f(0) = g([x]) + f(0) ≤ p(x) + p(0) = p(x)。
因此，对于所有的x∈X，有
g([x]) ≤ p(x)成立。
综上所述，存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。
综合以上证明，我们完成了Hahn-Banach定理的限制形式的证明。
以上为泛函分析期末试题及答案，希望能对您有所帮助。