反证法

反证法及其运用

在初中阶段的很多几何证明题目中，我们大多是由题目所给的条件出发，通过以学习的基本知识一步步推导从而证明所要证明的结论的成立。例如：已知：，O是对角线AC和BD的交点。求证：CA=OC、OB=OD；而对于有些几

何证明题直接由条件出发证明并不容易得到所要证明的结论，例如：已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦，求证AB与CD不能互相平分。而对于这类题目常常采用间接证明方法反证法证明。

1．反证法的概念

不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。为帮助理解反证法可以先看看下面两个小故事。

故事一：

南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。”

实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。

这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。

如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二。

故事二：

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动。等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这是很著名的“道旁苦李”的故事。实质上王戎的论述，也正是运用了反证法。

2．反证法的基本思路

首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。

3．反证法的一般步骤

(1)假设命题的结论不成立；

(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。

4．反证法的应用

现在已经有了反证法应用的基本步骤，那么现在回头解决开头提出的问题例1: 已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦，

求证AB与CD不能互相平分。

证

明：假设AB与CD互相平分于点M、则由

已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定

M不是圆心O，连结OA、OB、OM。

∵OA＝OB，M是AB中点

∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂

直于底边）

同理可得：OM⊥CD，

从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于

OM 这与已知的定理相矛盾。故AB与CD

不能互相平分。

例2: 求证：是无理数。

n

m

=，即最简分数的形式。

则

2

22

2

22

n

m n

m

==

，

所以2n为偶数，则n为偶数，可表示为2

n x

=

则22

24

m x

=

所以22

2

m x

=

则m也为偶数

所以m和n有公因数2，与

n

m

为最简分数矛盾

试一试：

1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。

2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。

3．求证：直线与圆最多只有两个交点。

4．求证：等腰三角形的底角必为锐角。

参考答案：

1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°

则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°

这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。

故三角形中至少有一个角不大于60°

2．已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线，垂足为A，斜足为B

求证：m和n必相交。

证明：假设m和n不相交则m∥n

∵m⊥l

∴n⊥l

这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。

故m和n必相交。

3．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，

M、N分别是弦AB、BC的中点。

∵OA＝OB＝OC

∴在等腰△OAB和△OBC中OM⊥AB，ON⊥BC

从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。

因此直线与圆最多只有两个交点。

4．已知：△ABC中，AB＝AC

求证：∠B、∠C必为锐角。

证明：假设∠B、∠C不是锐角，则可能有两种情况：

(1)∠B＝∠C＝90°

(2)∠B＝∠C＞90°

若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾。

若∠B＝∠C＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾。

所以假设不能成立。故∠B、∠C必为锐角。