高中数学第2章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修2_2

§1 变化的快慢与变化率

1．函数的平均变化率

(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为

f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，

记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

.

(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？

[提示] 不一定．当x 0取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值，x 0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定．

2．函数的瞬时变化率

(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－

x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是

Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

. 当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． (2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．

1．如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( )

A ．1

B ．－1

C ．2

D ．－2

B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1

＝－1．]

2．一质点运动规律是s ＝t 2

＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.

2 [Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2

＋3－(12

＋3)＝2Δt ＋(Δt )2

，∴Δs

Δt

＝2Δt ＋(Δt )2

Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，Δs

Δt

趋于2．]

3．一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)从x 1到x 2的平均变化率为________．

a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在

定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a .]

A ．0.40

B ．0.41

C ．0.43

D ．0.44

(2)已知函数f (x )＝x ＋1

x

，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均

变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．

思路探究：(1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算Δy

Δx

B [(1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2．1)－f (2)＝2．12

－22

＝0.41．] (2)[解] 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋1

2－(1＋1)1＝12

；

自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫

3＋132＝1415

.

因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1

x

在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．

1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1． 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1.

2．求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

的形式．

1．函数y ＝x 2

＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋Δx

D ．2＋(Δx )2

C [∵Δy ＝(1＋Δx )2

＋1－(12

＋1)＝2Δx ＋(Δx )2

， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2

Δx

＝2＋Δx ，故选C.]

12速度哪个快？

思路探究：比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果． [解] 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1(t 0－Δt )>s 2(t 0－Δt )， 故

s 1(t 0)－s 1(t 0－Δt )Δt

Δt

.

所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．

平均变化率的意义

1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．

2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．