高中数学第2章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修2_2

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高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率2.1.2瞬时变化率教案北师大版选修2_2

1.变化的快慢与变化率—瞬时变化率一、回忆旧知对于函数y＝f(x)，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f(x)的函数值由f(x1)变化到f(x2)，它的平均变化率为，把自变量的变化x2－x1称作，记作，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作的改变量，记作，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 .二、探究新知(一) 自学探究：认真阅读课本27-30页的内容，回答对一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是ΔyΔx ＝＝。

而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处 .（二）典例精析例1.求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2， Δx ＝0.1时平均变化率的值．变式训练：分别求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在x ＝1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1，k 2，k 3，并比较其大小．例2.已知s (t )＝12gt 2，其中g ＝10 m/s 2.(1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t 在t ＝3秒时的瞬时速度．变式训练；以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．三、课堂检测1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.442．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9Δt C ．3＋Δt D ．9＋Δt3.课本30页练习题24. 专家伴读18页打基础4、5、6四、知识小结1．函数的平均变化率的概念2. 平均变化率与瞬时变化率的关系。

高中数学选修2-2 北师大版变化的快慢与变化率学生版学案

1.2变化的快慢与变化率（第二课时）一、学习目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。

3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。

二、学习重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。

三、学习难点：平均变化率到额瞬时变化率的实际意义四、学法指导：由于平均变化率不能精确反映函数在某一点的变化情况，因此，我们设想不断减少自变量的改变量，借助计算器、电脑等对平均变化率进行直接计算，体会随着t ∆的减小，st∆∆的值越来越趋于稳定状态，从而建立瞬时速度可以用平均速度逼近的直接体验，并最终形成用“平均变化率”逐渐“逼近”函数在某一点的变化率，即“瞬时变化率”的观念，并在计算过程中体会瞬时速度、瞬时变化率的实际意义。

五、学习内容：一)复习：函数平均变化率的计算公式.二)亲自计算，体会逐渐逼近的过程，理解瞬时速度，线密度的意义。

例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

指导：教材的分析过程体现了用平均速度逼近瞬时速度的思想。

表2-2显示了时间1t 5s >且不断逼近5s 时，平均速度趋于49m/s.那么，当时间t 1<5s 且不断趋紧5s 时，平均速度的变化趋势是怎样的？填写下表,分析平均速度的变化趋势。

（教师用excel 计算）10时，平均速仍然趋于，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的为49m/s 。

从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s 的物理意义是，，每秒将要运动49m 。

例2：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m 。

x （单位：m ）表示OX 这段棒长，y （单位：kg ）表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系：x x f y 2)(==。

高中数学北师大版选修2-2教案-§1 变化的快慢与变化率_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标1、理解函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。

2. 教学重点/难点教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。

教学难点：对平均速度的数学意义的认识3. 教学用具4. 标签教学过程(二)、探析新课问题1：物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s=s(t)在运动的过程中测得了一些数据，如下表：物体在0～2s和10～13s这两段时间内，那一段时间运动得快？分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢。

在0～2s这段时间内，物体的平均速度为；在10～13s这段时间内，物体的平均速度。

显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快。

问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如下图所示：比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？分析：根据图像可以看出：当时间x从0min到20min时，体温y从39℃变为38.5℃，下降了0.5℃；当时间x从20min到30min时，体温y从38.5℃变为38℃，下降了0.5℃。

两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段时间短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快。

我们也可以比较在这两段时间中，单位时间内体温的平均变化量，于是当时间x从0min到20min时，体温y相对于时间x的平均变化率为（℃/min）当时间x从20min到30min时，体温y相对于时间x的平均变化率为（℃/min）这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降的越快，这里体温从20min到30min这段时间下降的比0min到20min这段时间要快。

（四）、练习：P27页练习1，2，3，4题；习题2-1中 1（五）作业布置：1、已知曲线上两点的横坐标是和，求过两点的直线斜率。

北师大版高中数学选修2-2《变化的快慢与变化率》第二课时教案-新版

1变化的快慢与变化率第二课时变化的快慢与变化率——瞬时变化率一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。

3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。

二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。

教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：函数平均变化率的概念1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。

平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率。

2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。

（二）、探究新课例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式101)()(t t t s t s t s --=∆∆，可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度9.5315.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）。

我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度5.491.05.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。

用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

解：我们将时间间隔每次缩短为前面的101，计算出相应的平均速度得到下表：t 0/s t 1/s 时间的改变量（Δt ）/s 路程的改变量（Δs ）/m 平均速度⎪⎭⎫⎝⎛∆∆t s /（m/s ）5 5.1 0.1 4.95 49.5 5 5.01 0.01 0.49 49.049 5 5.001 0.001 0.049 49.0049 5 5.0001 0.0001 0.0049 49.00049 5…………可以看出，当时间t 1趋于t 0=5s 时，平均速度趋于49m/s ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的瞬时速度为49m/s 。

高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第二章变化的快慢与变化率(第1讲)

1．自变量x 从0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（）
A.在区间[0x ，1x ]上的平均变化率
B.在0x 处的变化率
C.在1x 处的变化量
D.在区间[0x ，1x ]上的瞬时变化率
2．在求平均变化率时，自变量的增量△x 满足（）
A. △x>0
B. △x<0
C. △x=0
D. △x ≠0
3.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是（）
A.5
B.-5
C.4
D.-4
4.若质点A 按规律32t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（）
A.6
B.18
C.54
D.81
5.已知函数y=x 3-2,则当x=2时的瞬时变化率是。

6.已知物体运动的速度与时间的关系是v(t)=t 2+2t+2，则在时间间隔[1，1+△t]内的平均加速度是。

7.求函数y=x 1
在x=2处的瞬时变化率。

8.求函数y=x 在x=4处的瞬时变化率。

9.求函数y=x+x 1
在x=1处的瞬时变化率。

答案ADAC 5.12;6.4t +∆；7.14-；8.1
4；9.0。

高二北师大数学选修22第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率导学案

第二章变化率与导数第一节变化的快慢与变化率学习目标1．理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某个区间上变化的快慢；3．会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢；4．理解瞬时速度，线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题；学法指导平均变化率、瞬时变化率是本节中的重要概念，是学习导数的前提和基础，要通过例题讲解学会求平均变化率和瞬时变化率，理解平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系，并理解平均变化率、瞬时变化率的几何意义。

知识点归纳1．平均变化率对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，它的平均变化率为：。

通常我们把自变量的变化12x x -称作：，记为：。

函数值的变化()()21x f x f -称作：，记为：，这样，函数的平均变化率就可以表示为：；平均变化率的几何意义是：。

2．瞬时变化率对于一般的函数，在自变量x 从1x 变到2x 的过程中，若设,12x x x -=∆ ()()12x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是，而当时，平均变化率就趋于函数在点的；瞬时变化率的几何意义是：。

重难点剖析重点：理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；难点：对平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系的正确理解；剖析：1．平均变化率在理解平均变化率时应注意以下几点：（1）1212)()(x x x f x f x f --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(11式子中的f x ∆∆,的值可正，可负，但x ∆的值不能为0，f ∆的值可以为0，若函数()x f 为常函数时，0=∆f 。

（2）平均变化率是指函数值的“增量”f ∆与相应自变量的“增量” x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。

数学北师大版高中选修2-2北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》教案

北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》全部教案§1变化的快慢与变化率第一课时变化的快慢与变化率——平均变化率一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。

二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。

教学难点：对平均速度的数学意义的认识三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。

为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

2019-2020年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第二章 §1 变化的快慢与变化率

2019-2020年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第二章 §1 变化的快慢与变化率一、归纳和类比1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法．(1)综合法证明数学问题是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，二者一正一反，各有特点．综合法的特点是表述简单、条理清楚，分析法则便于解题思路的探寻．(2)分析法与综合法往往结合起来使用，即用分析法探寻解题思路，而用综合法书写过程，即“两头凑”，可使问题便于解决．2．间接证明主要是反证法．反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤．这两步缺一不可．第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n ＝( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D.2n ＋1答案：B2．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z )有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数解析：命题“a ，b ，c 中至少有一个是奇数”的否定是“a ，b ，c 都不是奇数”，故选B.答案：B3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)， x >0，0， x ＝0，x (x －1)， x <0是奇函数(小前提)，所以f (x )的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：因为f (1)＝f (－1)＝2，所以f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错．答案：B4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“”：★★★★★★……依此规律继续打下去，那么在前2 014个图形中的“★”的个数是( ) A ．60 B ．61 C ．62D.63解析：第一次出现“★”在第一个位置，第二次出现“★”在第(1＋2)个位置，第三次出现“★”在第(1＋2＋3)个位置，…，第n 次出现“★”在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1 953,2 014－1 953＝61<63，∴在前2 014个图形中的“★”的个数是62.答案：C5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )A ．各正三角形内的任一点B ．各正三角形的中心C ．各正三角形边上的任一点D ．各正三角形的某中线的中点解析：正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．答案：B6．已知函数f (x )＝5x ，则f (2 014)的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D.8 125解析：因为f (5)＝55＝3 125的末四位数字为3 125，f (6)＝56＝15 625的末四位数字为5 625，f (7)＝57＝78 125的末四位数字为8 125，f (8)＝58＝390 625的末四位数字为0 625，f (9)＝59＝1 953 125的末四位数字为3 125，故周期T ＝4.又由于2 014＝503×4＋2，因此f (2 014)的末四位数字与f (6)的末四位数字相同，即f (2 014)的末四位数字是5 625.答案：B7．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证( )A ．1＋12≤12＋1B ．1≤12＋1C ．1＋12＋13＋14≤12＋2D.1＜12＋1解析：当n ＝1时不等式左边为1＋12，右边为12＋1，即需要验证：1＋12≤12＋1.答案：A8．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)，所以，增乘的式子为 (2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：B9．对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“友好点”．现给出下列四对函数：①f (x )＝x 2，g (x )＝2x －3； ②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2； ③f (x )＝e －x ，g (x )＝－1x ；④f (x )＝ln x ，g (x )＝x －12.其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D.①④解析：对于①，|f (x )－g (x )|＝|x 2－(2x －3)|＝|(x －1)2＋2|≥2，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上不存在“友好点”，故①错，应排除A ，D ；对于②，|f (x )－g (x )|＝|x －(x ＋2)|＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －122＋74≥74，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”，故②错，排除B ；同理，可知③④均正确．答案：C10．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零D.正负都有可能解析：∵f (x )＝x 3＋x ，∴f (x )是增函数且是奇函数． ∵a ＋b >0，∴a >－b ， ∴f (a )>f (－b )，∴f (a )＋f (b )>0.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.答案：12n ＋12n ＋112．已知点A (x 1，3x 1)，B (x 2，3x 2)是函数y ＝3x 的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论3x 1＋3x 22>3x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0的图像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．解析：因为y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0图像是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0图像上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 22成立．答案：tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 2213．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下： 1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为： 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．(福建高考)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：201三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .解：(1)证明：采用反证法．假设a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0或a n ＝1，从而a 1＝0或a 1＝1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾，故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B 为锐角．证明：法一(分析法)：要证明B 为锐角，因为B 为三角形的内角，则只需证cos B >0. 又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴只需证明a 2＋c 2－b 2>0. ∴即证a 2＋c 2>b 2.∵a 2＋c 2≥2ac ，∴只需证明2ac >b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，∴只需证明b (a ＋c )>b 2，即证a ＋c >b 成立，在△ABC 中，最后一个不等式显然成立． ∴B 为锐角．法二(综合法)：由题意得：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋cac ，则b ＝2aca ＋c ，b (a ＋c )＝2ac >b 2(∵a ＋c >b )．∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >0，又y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴0<B <π2，即B 为锐角．17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1,0<c <1，所以1－a >0.由基本不等式，得 (1－a )＋b2≥(1－a )b >14＝12. 同理，(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 将这三个不等式两边分别相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>12＋12＋12，即32>32，这是不成立的，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.18．(本小题满分14分)是否存在二次函数f (x )，使得对于任意n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立，若存在，求出f (x )；若不存在，说明理由．解：假设存在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．当n ＝1时，a ＋b ＋c ＝1， ① 当n ＝2时，4a ＋2b ＋c ＝12＋222， ②当n ＝3时，9a ＋3b ＋c ＝12＋22＋323， ③联立①②③式得a ＝13，b ＝12，c ＝16，则由以上可假设存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，121＝1，f (1)＝13＋12＋16＝1，所以121＝f (1)成立；(2)假设当n ＝k 时，12＋22＋32＋…＋k 2k ＝f (k )成立，那么，当n ＝k ＋1时， 12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝12＋22＋32＋…＋k 2k ·k k ＋1＋(k ＋1)＝f (k )·kk ＋1＋(k ＋1)＝⎝⎛⎭⎫13k 2＋12k ＋16·k k ＋1＋(k ＋1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)6·k k ＋1＋(k ＋1)＝k (2k ＋1)6＋(k ＋1) ＝k 23＋76k ＋1＝13(k ＋1)2＋12(k ＋1)＋16 ＝f (k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝f (k ＋1)也成立．由(1)(2)知，对于∀n ∈N ＋，12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )都成立．即存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n ＝f (n )成立．。

高中数学2.1变化的快慢与变化率一教学案无答案北师大版选修22

课题陕西省渭南市澄城县寺前中学高中数学 2.1 变化的快慢与变化率一教学案（无答案）北师版选修2-2班级高二授课（完成）时间教师（学生）教学目标知识与技能 1、理解函数平均变化率的概念；2、会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能按照函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.过程与方式经历平均变化率的探索过程，理解由具体到抽象、由特殊到一般、由静态到动态的数学研究方式感情态度与价值观通过认识平均变化率在科学和工程技术、人文、经济及办理学等各学科中的感化，体会数学在解决实际问题中的应用。

重点难点重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述.难点：对平均变化率的数学意义的认识。

教学方式先学后教、探析归纳、讲练结合学生自学反馈教学过程新知导学（B ）备注问题1：物体从某一时刻开始运动，设s 暗示此物体经过时间t 走过的路程，显然s 是时间t 的函数，暗示为s=s(t) ，在运动的过程中测得了一些数据，如下表：t/s 0 2 5 10 13 15 … s/m69203244…物体在0～2s 和10～13s 这两段时间内，那一段时间运动得快？结论：1.物体在一段时间内运动的快慢可以用这段时间内的平均速度来刻画，当时间从t 变为1t 时，物体所走过的路程从变为，这段时间内物体的平均速度为 .问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如下图所示：比力时间x 从0min 到20min 和从20min 到30min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？注明知识要求：A “识记类” B “理解类” C “应用类” D “能力提升类”结论：人的体温在一段时间内变化的快慢可以用这段时间内体温的平均变化率来刻画。

当时间从x 变为1x 时，体温从变为，则体温的平均变化率为 . 抽象概括：1.对一般的函数y f (x)=来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从变为，则y f (x)=在区间12[x ,x ]上的平均变化率为，凡是把叫做自变量的改变量，把叫做函数值的改变量，则函数的平均变化率可以暗示为与之比，即，我们用它来暗示函数在区间上变化的快慢。

高中数学第二章变化率与导数1变化的快慢与变化率教案含解析北师大版选修2_2

1变化的快慢与变化率下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：问题1：观察上表，每10分钟病人体温变化相同吗？提示：不相同．问题2：哪段时间体温变化较快？提示：从20 min 到30 min 变化快．问题3：如何刻画体温变化的快慢？提示：用单位时间内的温度变化的大小，即体温的平均变化率．平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.一质点的运动方程为s ＝10t 2，其中s 表示位移，t 表示时间．问题1：求该质点从t 1＝1到t 2＝2的平均速度v 1. 提示：v 1＝10×4－10×12－1＝30.问题2：问题1中所求得的速度是t ＝1或t ＝2时的速度吗？提示：不是，是平均速度．问题3：求该质点从t 1＝1到t 1＝1.1的平均速度v 2.提示：v 2＝10×1.12－10×11.1－1＝21.问题4：v 1，v 2中哪一个值较接近t ＝1时的瞬时速度？提示：v 2，因为从t 1＝1到t 2＝1.1的时间差短．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．(1)函数的平均变化率可正可负，反映函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．(2)平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．[例1] (1)求函数f (x )在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．[思路点拨] 先求Δx ，Δy ，再利用平均变化率的定义求解． [精解详析] (1)由f (x )＝2x 2＋1，得Δy ＝f (2.01)－f (2)＝0.080 2， Δx ＝2.01－2＝0.01， ∴Δy Δx ＝0.080 20.01＝8.02. (2)∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1 ＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx x 0＋ΔxΔx＝4x 0＋2Δx .[一点通] 求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)求平均变化率Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0.[注意] Δx ，Δy 的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 可为零，若函数f (x )为常值函数，则Δy ＝0.1．在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：选C ∵x 1＝1，x 2＝1＋Δx ，即Δx ＝x 2－x 1，∴Δy ＝(x 22＋1)－(x 21＋1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋Δx .2．已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较在两个区间上变化的快慢．解：自变量x 从1变化到2时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f－f 2－1＝12. 自变量x 从3变化到5时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f－f 5－3＝1415.由于12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在[1,2]的平均变化比在[3,5]的平均变化慢．[例2] (1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t ＝3秒时的瞬时速度．[精解详析] (1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1， Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝5×(3.1)2－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01， Δs ＝s (3.01)－s (3)，＝5×(3.01)2－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴Δs Δt ＝5×0.01×6.010.01＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个小时间段Δt ，即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32＝5·Δt ·(6＋Δt )， ∴Δs Δt ＝5Δt ＋Δt Δt＝30＋5Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30.∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.[一点通] 在某一时间段内的平均速度与时间段Δt 有关，随Δt 变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt 是趋于0，而不是Δt ＝0，此处Δt 是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0.3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3 C ．4D ．4.1 解析：选D Δs Δt ＝3＋2.12－＋222.1－2＝4.1.4．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，求a . 解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2.∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋aΔt2Δt＝4a ＋a ·Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a .依据题意有4a ＝12，∴a ＝3.(1)瞬时变化率的绝对值度量函数在某点处变化的快慢．(2)当瞬时变化率大于0时，说明函数值在增加；当瞬时变化率小于0时，说明函数值在减小；其绝对值大小才能说明变化的快慢．(3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0 解析：选AΔy Δx＝f －f 1.1－1＝0.210.1＝2.1. 2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，ΔsΔt为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 B ．在t 时刻物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度解析：选BΔsΔt中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度． 3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )A ．4B ．13C ．15D ．28解析：选C Δs ＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15. ∴Δs Δt ＝153－2＝15. 4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选C 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt无限趋近于0时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12，故选C.5．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝－2＋Δx2－－2＋Δx ＋1－＋4＋Δx＝Δx －6.答案：Δx －66．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．解析：因为Δs Δt ＝s＋Δt －sΔt＝1＋Δt 2－14Δt＝－4＋Δt ＋Δt2，当Δt →0时，Δs Δt →－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14.答案：－147．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx .解：f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2×x 21＋3×x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . (1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴Δy Δx ＝211＝21. (2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，Δy ＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴Δy Δx ＝1.920.1＝19.2. 8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋t －2， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt＝29＋＋Δt －2－29－－2Δt＝3Δt －18，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －12，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.。

北师大版数学高二-【北师大版】选修2学案变化的快慢与变化率(2)

变化的快慢与变化率（第二课时）教学目标知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学重点平均变化率的含义教学难点会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

一、课前准备f x的平均变化率是1.函数()f x的平均变化率的步骤：2.求函数()（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率3、自己做动手实践(28页表2-3)4、什么是瞬时变化率？二、新课导学例1 例2的学习三、练习30页练习21、2、四、学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测：1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（）A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（）A ．6t +∆B ．96t t +∆+∆C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是6、求2x y =在0x x =附近的平均变化率.7、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy ∆∆8、已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆x y9已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。

10国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？。

高中数学：2.1《变化的快慢与变化率》教案(北师大版选修2-2)

课题：教材：普通高中课程标准实验教科书〔北师大版〕〔选修2-2〕第25-27页[教材分析]1、本节教材的地位与作用：变化率对理解导数概念及其几何意义有着重要作用.是导数概念产生的基础.充分掌握好变化率这个概念,为顺利过渡瞬时变化率,体会导数思想与内涵做好准备工作.通过对大量实例的分析，引导学生经历由物理学中的平均速度到其它事例的平均变化率过程.所以变化率是一个重要的过渡性概念.对变化率概念意义的建构对导数概念的学习有重要影响.2、教学重点：平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解.3、教学难点：平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释.4、教学关键：将学生头脑中的感性认知,通过多个事例,在不同的情境下,进行相同的计算程序.由此学生类比建构出变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法,特别是数形结合的数学能力和以直代曲的转化能力.[教学目标]基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：〔1〕知识与技能目标:通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义及其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.〔2〕过程与方法目标:体会平均变化率的思想及内涵，培养学生观察、分析、比较和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.〔3〕情感态度与价值观:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神.领悟到具体到抽象，特殊到一般的逻辑关系.感受到数学的应用价值.[教学过程]⒈情境创设，激发热情导言:1.讲解青蛙扔过一锅热水和放进一锅冷水后然后再慢慢加热得到两个不同结果.与学生一起分析实验告诉我们:变化有快有慢之分,有些变化不被人们所发觉,有些变化却让人感慨和惊呀!2.由学生列举一些变化快慢的事例.(如果事例适当,教师引导学生设置数据,建构平均变化率计算程序)⒉过程感知，意义建构实例分析1银杏树1500米，树龄1000年，雨后春笋两天后长高15厘米.实便分析2物体从某一时刻开始运动，设s 表示此物体经过时间t 走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如下表.实便分析3 这是我市今年3月18日至4月20日其中三天最高气温表和每天最高气温的变化图〔以3月18日为第一天,曲线图〕．⒊归纳概括，建立概念 1.如果将上述气温曲线看成是函数)(x f y =的图像，则函数)(x f y =在区间［1,34］上的平均变化率是多少？2.)(x f 在区间],1[1x 上的平均变化率为多少？3.)(x f 在区间]34,[2x 上的平均变化率为多少？4.你能否归纳出“函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率”的一般性定义吗？平均变化率的定义：一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为1212)()(x x x f x f -- 通常把自变量的变化12x x -称作自变量的改变量，记作x ∆，函数值的变化)()(12x f x f -称作函数值的改变量，记作y ∆．这样，函数的平均变化率就可以表示为：函数值的改变量与自变量的改变量之比，即1212)()(x x x f x f x y --=∆∆ 它的几何意义是曲线上经过Ａ、Ｂ两点的直线的斜率．我们用直线的斜率来刻画直线的(d )倾斜程度，同样，我们用平均变化率来近似地量化曲线在某一个区间上的“陡峭”程度，具体地说：曲线越“陡峭”，说明变量变化越快；曲线越“平缓”，说明变量变化越慢． ⒋例题讲解，尝试应用1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如下图，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.该婴儿体重的平均变化率的实际意义？2.某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x 从0min 到20min 和从20min 到30min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？这里出现了“负号”，你怎样理解“—”号？它表示体温下降了，绝对值越大，下降得越快，所以，体温从20min 到30min 这段时间下降得比从0min 到20min 这段时间要快.5.变式练习，稳固提炼○1假设函数f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[-1,1]和[0,5]上的平均变化率函数f (x )在这两个区间上的平均变化率都是2.○2变式一：求f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[m,n ](m<n )上的平均变化率还是2，丨③变式二：求f (x )=kx +b ,试求函数f(x)在区间[m,n ](m<n )上的平均变化率是k .一般地，一次函数f(x)=kx+b 〔k 0≠〕在任意区间[m,n ](m<n )上的平均变化率等于k . ○4变式三：求2)(x x f =在区间[-1，1]上的平均变化率. 是0. 提出问题:变化率为0是不是说明没有变化呢?⑤变式四：求2)(x x f =在区间[1，3]，[1，2]，[]，[]，[]上的平均变化率. 函数)(x f 在这5个区间上的平均变化率分别是4、3、2.1、2.01、2.001.从上面计算的结果，你发现了什么？当区间的右端点逐渐接近1时，平均变化率逐渐接近2.6.回忆反思，设问结课3.如果闭区间固定左端点，让右端点逐渐接近左端点，平均变化率有什么变化？这个变化有什么重大意义？我们下节课再讲.谢谢大家! §1变化的快慢与变化率·教案说明一．【授课内容的数学本质与教学目标定位】学好本节内容最主要的目的就是为理解导数的概念做好准备工作，从变化的快慢到变化率概念的形成，是把一种感性认知上升到理论形成的过程.这也是基本的数学建模能力的培养.通过一些实际的事例,和学生对物理知识的掌握情况,由学生类比归纳变化率的数学概念,并从中体会到重要的数形结合和以直代曲等数学思想.基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：〔1〕知识与技能目标:通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义及其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.〔2〕过程与方法目标:体会平均变化率的思想及内涵，培养学生观察、分析、比较和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.〔3〕情感态度与价值观:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。

2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2课件：第二章变化率与导数 2.1

第二章变化率与导数
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§1 变化的快慢与变化率
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1.函数的平均变化率函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率 (1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为 f(x2).记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1).
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
(4)改变量并不一定都是正值,也可以是负值,函数值的改变量还可以是0,比如常数函数,其函数值的改变量就是0.
(5)注意变量的对应,若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),而不是 Δy=f(x1)=f(x2).
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平均变化率
【例1】求函数y=3x2+2在下列区间上的平均变化率. (1)[2,2.1];(2)[2,2+Δx]. 分析:可以先求自变量的增量和函数值的增量,再代入公式求解.
解:(1)Δt=3.1-3=0.1 (s),Δt指时间改变量,
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【精品】高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率瞬时速度与瞬时加速度教案北师大版选修2_2

瞬时速度与瞬时加速度一、教学目标：了解平均速度的概念，掌握运动物体的瞬时速度瞬时加速度的概念及求法．二、教学重点，难点：瞬时速度瞬时加速度的概念及求法．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）．问题情境1．情境：一质点运动方程为210s t =+，（其中s 表示在时刻t 的位移，时间单位：秒，位移单位：米）；求质点在时刻3t =处的切线的斜率．2．问题：在时刻3t =处的切线的斜率有什么物理意义？（二）、学生活动解：222(3)103106s t t t ∆=+∆+--=∆+∆，∴6s t t ∆=+∆∆，当t ∆趋近于0时，6s t t∆=+∆∆趋近于6，质点在时刻3t =处的切线的斜率为6；它的物理意义时刻3t =时的瞬时速度．（三）．建构数学1．平均速度：物理学中，运动的物体的位移与所用时间比称为平均速度．若位移s 与所经过时间t 的规律是)(t s s =，设t ∆为时间改变量，从0t 到0t t +∆这段时间内，物体的位移是00()()s s t t s t ∆=+∆-，那么位移的改变量s ∆与时间改变量t ∆的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即：00()()s t t s t s v t t +∆-∆==∆∆，平均变化率反映了物体在某一时间段内运动快慢程度的物理量。

2．瞬时速度：物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻0t 的“速度”，即0t 的瞬时速度，用v 表示，物体在0t 时的瞬时速度v （即0t t =时()s t 对于时间的瞬时变化率），运动物体在0t 到0t t +∆这一段时间内的平均速度v ，当t ∆无限趋近于0时，00()()s t t s t s t t+∆-∆=∆∆趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在0t t =时的瞬时速度．3．瞬时加速度物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻0t 的“加速度”，即0t 的瞬时加速度，用a 表示，物体在0t 时的瞬时加速度a （即0t t =时速度()v t 对于时间的瞬时变化率），运动物体在0t 到0t t +∆这一段时间内的平均加速度a ，当t ∆无限趋近于0时，有00()()v t t v t v a t t+∆-∆==∆∆趋近于常数a ．（四）．知识运用：1．例题：例1．设质点按函数216015s t t =-所表示的规律运动，求质点在时刻3t =时的瞬时速度（其中s 表示在时刻t 的位移，时间单位：秒，位移单位：米）．解：从03t =到03t t t +∆=+∆这段时间内，物体的位移是(3)(3)16015(6)s s t s t t t ∆=+∆-=⨯∆-⨯∆+∆，那么位移的改变量s ∆与时间改变量t ∆的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即7015s v t t ∆==-∆∆，当t ∆无限趋近于0时，有7015s v t t∆==-∆∆趋近于常数70，∴质点在时刻3t =时的瞬时速度为70v =．例2．跳水运动员从10m 高的跳台腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度，t s 后运动员相对于水面的高度为2() 4.9 6.510H t t t =-++，确定2t s =时运动员的速度．解：从02t =到02t t t +∆=+∆这段时间内的平均变化率为，(2)(2)13.1 4.9H t H t t+∆-=--∆∆，当t ∆无限趋近于0时，有(2)(2)13.1 4.9H t H t t+∆-=--∆∆趋近于常数13.1-，∴当2t s =时运动员的瞬时速度为13.1-．例3．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为2()3v t t =+，求0t t s = 时轿车的加速度．解：在0t 到0t t +∆的时间间隔内，轿车的平均加速度为000()()2v t t v t v a t t t t+∆-∆===+∆∆∆，当t ∆趋近于常数0时，有a 趋近于常数02t ，所以0t t s =时轿车的加速度为02t ．2．练习：课本P30页第 1，2题．（五）．回顾小结：运动物体的瞬时速度的一般步骤是：①求位移增量与时间增量的比s t ∆∆； ②判断当t ∆趋近于常数0时，s t∆∆是否无限趋近于一常数；③求出这个常数．（六）、作业：习题2-1中 A组第3题 B组1、2 五、教后反思。

2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2__第二章变化率与导数2.1

14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
易错分析:在函数的平均变化率的求法公式中,Δy必须对应Δx,即
若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)-f(x2).
∴当t=3 s时的瞬时速度为30 m/s.
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反思感悟根据条件求瞬时速度的步骤
(1)探究非匀速直线运动的规律s=s(t); (2)由时间改变量Δt确定位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0); (3)求平均速度�� = ΔΔ��; (4)运用逼近思想求瞬时速度:当 Δt 趋于 0 时,ΔΔ��趋于 v(常数).
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平均变化率的应用
【例3】求函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并结合图像探讨当Δx取定值后,随x0取值不同,该函数的平均变化率的变化特点及其含义.
分析:由题目可获取以下主要信息:①已知函数的解析式;②求该
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
分析:函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度.
解:(1)Δt=3.1-3=0.1 (s),Δt指时间改变量,
Δs=s(3.1)-s(3)=12·g·(3.1)2-12·g·32=3.05(m),Δs 指位移改变量,