三角恒等变换(测试题及答案)

三角恒等变换(测试题及答案)

三角恒等变换测试题

第I卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1.求cos24cos36-cos66cos54的值。

A。0.B。1/2.C。1/4.D。1/8

2.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：

A。1/2.B。2/3.C。3/4.D。4/5

3.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：

A。π。B。2π。C。4π。D。π/2

4.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：

A。3/5.B。4/5.C。5/6.D。5/4

5.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：

A。-2/3.B。-1/3.C。1/3.D。2/3

6.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：

A。-7/24.B。-1/8.C。1/8.D。7/24

7.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：

A。[0,1]。B。[-1,1]。C。[-1/2,1/2]。D。[1/2,√2]

8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到

y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：

A。向右平移π/4个单位。B。向左平移π/4个单位

C。向右平移π/2个单位。D。向左平移π/2个单位

9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：

A。3/5.B。4/5.C。5/6.D。5/4

10.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：

A。x=π/4.B。x=π/6.C。x=π/2.D。x=π/3

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）

11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。

12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。

13.若角的终边经过点P(1，-2)，则sin^2的值为__ 5/13 __。

14.已知tanx=2，则(3sin^2x+2cos^2x)/(cos^2x-3sin^2x)的

值为__ -1/2 __。

关于函数$f(x)=\cos2x-2\sqrt3\sin x\cos x$，下列命题：

①若存在$x_1,x_2$有$x_1-x_2=\pi$时，$f(x_1)=f(x_2)$成立；

②$f(x)$在区间$\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)$上

是单调递增；

③函数$f(x)$的图像关于点$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$对称；

④将函数$f(x)$的图像向左平移$\frac{5\pi}{2}$个单位后

将与$y=2\sin2x$的图像重合．

其中正确的命题序号为①、②、③。

解答题：

17.已知$\frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{3\pi}{2}$，

$\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{3}$，$\sin(\alpha+\beta)=-

\frac{1}{3}$，求$\sin2\alpha$。

解：由$\cos(\alpha-\beta)=\frac{4}{3}$得$\sin(\alpha-

\beta)=-\frac{\sqrt{5}}{3}$，再由$\sin(\alpha+\beta)=-

\frac{1}{3}$得$\cos(\alpha+\beta)=-\frac{2\sqrt{5}}{3}$。

because \frac{\pi}{2}<\beta<\alpha<\frac{3\pi}{2}$。

XXX$ $\alpha+\beta$ 和 $\alpha-\beta$ 都在第二象限。

XXX$ $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin(\alpha+\beta-\beta)\cos(\alpha-\beta)$

2\left(\sin(\alpha+\beta)\cos\beta-

\cos(\alpha+\beta)\sin\beta\right)\left(\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

2\left(-

\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{5}}{3}\cdot\frac {2}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{16}{25}-

\frac{9}{25}\right)=\frac{28}{25}$。

答案：$\frac{28}{25}$。

18.求$\frac{2\sin\frac{1}{2}(4\cos\frac{1}{2}-

2)}{\cos\frac{1}{2}-1}$的值。

解：$\frac{2\sin\frac{1}{2}(4\cos\frac{1}{2}-

2)}{\cos\frac{1}{2}-1}=\frac{4\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}-

2\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$

2\cdot\frac{2\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2 }-1}-2\cdot\frac{\sin\frac{1}{2}}{\cos\frac{1}{2}-1}$