捕食偏微分方程

具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析

第38卷第1期2021年02月工程数学学报CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSVol.38No.1Feb.2021doi:10.3969/j.issn.1005-3085.2021.01.008文章编号:1005-3085(2021)01-0085-12具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析李海侠(宝鸡文理学院数学与信息科学学院，宝鸡721013)摘要:本文讨论一类具有B-D反应函数和Allee效应的捕食-食饵扩散模型正解的存在性、唯一性和多重性．首先运用不动点指数理论得到了正解存在的充分条件．接着利用特征值的变分原理给出了正解的唯一性条件．最后通过分析极限系统的正解，运用不动点指数理论、分歧理论和扰动理论确定了正解的确切重数和稳定性．讨论结果表明：只要Allee效应常量满足适当关系且捕食者的增长率较大，当参数满足适当条件时系统存在唯一正解，当食饵的增长率在一定范围内时系统恰好存在两个正解．关键词:捕食-食饵模型；Allee效应；唯一性；不动点指数理论；扰动理论；确切重数；稳定性分类号:AMS(2010)35K57;35B35中图分类号:O175.26文献标识码:A1引言1931年Allee在研究过程中发现群居的生活状态有利于种群的增长，但是密度太大又会抑制种群的生长甚至会因为资源争夺而走向灭绝．对于每一个种群来说，必定存在着它独立的最适合自身生长繁殖的最佳密度，这就是Allee效应．已有大量的理论和实验证明，Allee效应与种群的灭绝密切相关，在很大程度上能增加低密度种群的灭绝风险，尤其对小种群、分散种群、稀有种群以及濒临灭绝种群的动力学行为具有非常大的影响．因此，研究具有Allee效应的生物模型对生物保护具有很重要的意义，近年来受到了生物学家和数学家的很大关注[1-10]．本文在齐次Dirichlet边界条件下考虑如下具有B-D反应函数和Allee效应捕食-食饵扩散模型−∆u=u(a1−u−mu+k1)−p1uvb+cu+dv,x∈Ω,−∆v=v(a2−p2vu+k2),x∈Ω,u=v=0,x∈∂Ω,(1)其中Ω是R N中带有光滑边界∂Ω的有界区域，u和v分别表示食饵和捕食者的浓度，a1和a2分别是u和v的最大增长率．mu+k1是加法Allee效应项，m和k1是Allee效应常量，反映了Allee效应的强弱程度．p2表示捕食者获得的平均减少率的最大值，k2表示环境对捕收稿日期:2018-08-27.作者简介:李海侠(1977年8月生)，女，博士，副教授.研究方向：偏微分方程计算及其可视化.基金项目:国家自然科学基金(61672021;11801013)；陕西省自然科学基础研究计划项目(2018JQ1066)；宝鸡市科技计划项目(2018JH-20)；宝鸡文理学院博士科研项目(ZK2018069).86工程数学学报第38卷食者的保护程度．(1)中的参数a1,a2,k1,k2,p1,p2,m,b,c,d都是正常数且m<a1k1．当c=d=0时，文献[3]在齐次Neumann边界条件下讨论了系统唯一正常数解的稳定性以及非常数正解的存在性和不存在性．当d=0时，文献[4]在齐次Neumann边界条件下讨论了不具有扩散系统和具有扩散系统的定性性质．不考虑扩散的情形下文献[8]在齐次Neumann边界条件下研究了系统非常数正解的存在性和不存在性．然而，由于加法Allee效应项的引入使得系统的研究变得复杂，所以目前在齐次Dirichlet边界条件下对具有加法Allee效应捕食-食饵扩散模型的研究很少见．文献[6]利用稳定性理论和度理论考察了系统(1)参数p1充分小时正解的唯一性和稳定性，接着分析了参数c充分大时正则扰动下正解的多重性，此扰动的分析较简单．而本文除了利用特征值变分原理得到系统(1)正解的唯一性条件外，主要讨论参数c充分大时奇异扰动下正解的稳定性和确切重数，而且此情形的讨论比文献[6]的正则扰动复杂的多．本文的工作是对文献[6]的补充和完善．为了得到重要的结论，这节最后我们给出一些预备知识．令q(x)∈C(Ω),λ1(q)是如下特征值问题的主特征值−∆ψ+q(x)ψ=λψ,x∈Ω,ψ=0,x∈∂Ω,则λ1(q)连续依赖q，λ1(q)是简单的．而且，如果q1≤q2,q1≡q2，则λ1(q1)<λ1(q2)．为了简单起见，定义λ1(0)为λ1，相应于λ1的主特征函数记为ψ1．非线性问题−∆u=u(a−ru),x∈Ω,u=0,x∈∂Ω.(2)众所周知，若a>λ1，则(2)存在唯一正解．我们定义唯一正解为θ(a,r)．特别地，记θ(a,1)为θa，则θa<a且θa连续依赖a．2正解的存在性、不存在性和唯一性考虑单物种问题−∆u=u (a1−u−mu+k1),x∈Ω,u=0,x∈∂Ω,(3)易知，当m<k21,a1>λ1+mk1时，(3)存在唯一正解，记为u∗．而且u∗<θa1<a1．因此，在一定条件下系统(1)存在半平凡解(u∗,0)和(0,θ(a2,p2k2))．简单起见记θ(a2,p2k2)为v∗．根据文献[6]可得如下引理．引理1[6]系统(1)的任意正解(u,v)有先验估计u(x)<a1,v∗<v(x)<Q,Q=a2(k2+a1)p2.引理2[6]如果系统(1)有正解，则a1>λ1,a2>λ1．第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析87为了计算不动点指数，引入以下记号C0(Ω)={u∈C(Ω):u=0,x∈∂Ω},E=C0(Ω)⊕C0(Ω),K={u∈C(Ω):u≥0,x∈Ω},W=K⊕K,D={(u,v)∈W:u≤a1+1,v≤Q+1}.取q充分大，使得q>max{m/k1+p1/d,a2(a1+k2)/k2}．定义算子A:E→E为A(u,v)=(−∆+q)−1u(a1−u−mu+k1)−p1uvb+cu+dv+quv(a2−p2vu+k2)+qv.引理3[6](i)设a1=λ1+m k1,a2=λ1．若a1>λ1+mk1或a2>λ1，则index W(A,(0,0))=0；若a1<λ1+mk1且a2<λ1，则index W(A,(0,0))=1；(ii)index W(A,D)=1；(iii)设m<k21,a1>λ1+mk1．若a2>λ1，则index W(A,(u∗,0))=0；若a2<λ1，则index W(A,(u∗,0))=1；(iv)设a2>λ1．若a1>λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1，则index W(A,(0,v∗))=0；若a1<λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1，则index W(A,(0,v∗))=1．最后由引理3并结合度的可加性可得系统(1)正解存在的充分条件，证明省略．定理1若m<k21,a1>λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1,a2>λ1,则系统(1)至少存在一个正解．由引理2可得系统(1)正解的不存在性．定理2如果下面的条件之一成立，则系统(1)没有正解．(i)a1≤λ1；(ii)a1>λ1且a2≤λ1；(iii)a2>λ1且a1≤λ1(k2p1θa2bp2+cp2a1+k2dθa2)．证明只证明(iii)．首先根据最值原理易证得v>k2p2θa2．于是−∆u<u (a1−u−k2p1p2θa2b+cu+k2dp2θa2)<u[a1−k2p1θa2bp2+cp2a1+k2dθa2].故当a1≤λ1(k2p1θa2bp2+cp2a1+k2dθa2)时，系统(1)无正解．这节最后利用特征值的变分原理给出系统(1)正解存在的唯一性条件．定理3设a1>λ1+p1Qb+dQ +mk1,a2>λ1．令 =max{supΩu∗v∗,supΩv∗u∗}．若p1cQ b(b+dQ)+mk21≤1且p21(a1+k2)b2p2+p2Q2k32+4mk21+4p1cbd≤4,则系统(1)存在唯一正解．88工程数学学报第38卷证明根据已知条件和定理1可知系统(1)存在正解．采用反证法证明唯一性．假设系统(1)存在两个不同的正解(u 1,v 1)和(u 2,v 2)，其中u i >0,v i >0(i =1,2)．由比较原理和引理1可知u ∗≤u i ≤u ∗,v ∗≤v i ≤v ∗，这里u ∗,v ∗分别为如下问题的唯一正解−∆u =u (a 1−u −mk 1−p 1Q b +dQ),x ∈Ω,u =0,x ∈∂Ω,−∆v =v (a 2−p 2v a 1+k 2),x ∈Ω,v =0,x ∈∂Ω.令Φ=u 1−u 2,Ψ=v 1−v 2，则−∆Φ−(a 1−u 1−m u 1+k 1−p 1v 1b +cu 1+dv 1)Φ+u 2Φ−mu 2Φ(u 1+k 1)(u 2+k 1)+p 1u 2[(b +cu 2)Ψ−cv 2Φ](b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)=0,(4)−∆Ψ−(a 2−p 2v 1u 1+k 2)Ψ+p 2v 2[(u 2+k 2)Ψ−v 2Φ](u 1+k 2)(u 2+k 2)=0.(5)因为(u 1,v 1)是系统(1)的正解，所以根据特征值的变分原理可知∫Ω[−∆φ−(a 1−u 1−mu 1+k 1−p 1v 1b +cu 1+dv 1)φ]φ≥0,∀φ∈C 20(Ω),∫Ω[−∆ψ−(a 2−p 2v 1u 1+k 2)ψ]ψ≥0,∀ψ∈C 20(Ω).于是，公式(4)表明∫Ω[1−m (u 1+k 1)(u 2+k 1)−p 1cv 2(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)]u 2Φ2d x+∫Ωp 1u 2(b +cu 2)(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)ΦΨd x ≤0.(6)同理，由(5)式有∫Ωp 2v 2u 1+k 2Ψ2d x −∫Ωp 2v 22(u 1+k 2)(u 2+k 2)ΦΨd x ≤0.(7)令Γ=∫Ω[1−m (u 1+k 1)(u 2+k 1)−p 1cv 2(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)]u 2Φ2d x+∫Ω[p 1u 2(b +cu 2)(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)−p 2v 22(u 1+k 2)(u 2+k 2)]ΦΨd x+∫Ωp 2v 2u 1+k 2Ψ2d x.第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析89由假设p1cQb(b+dQ)+mk21≤1可推出1−m(u1+k1)(u2+k1)−p1cv2(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)>0.最后，令∆=[p1u2(b+cu2)(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)−p2v22(u1+k2)(u2+k2)]2−4[1−m(u1+k1)(u2+k1)−p1cv2(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)]p2v2u2u1+k2.经过计算并结合已知条件可得∆=p2v2u2u1+k2[p21u2(b+cu2)2(u1+k2)(b+cu1+dv1)2(b+cu2+dv2)2v2p2−2p1v2(b+cu2)(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)(u2+k2)+p2v32(u1+k2)(u2+k2)2u2]−4[1−m(u1+k1)(u2+k1)−p1cv2(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)]<p2v2u2u1+k2[p21(a1+k2)b2p2u2v2+p2Q2k32v2u2−4+4mk21+4p1cbd]<p2v2u2u1+k2[p21(a1+k2)b2p2+p2Q2k32−4+4mk21+4p1cbd]≤0.故Γ>0．而式(6)和(7)可知Γ≤0，矛盾．因此结论成立．3正解的确切重数和稳定性本小节应用扰动理论和不动点指数理论讨论参数c→∞时，系统(1)正解的确切重数和稳定性．易看出当c→∞时，系统(1)的正解有两种类型，即如果(u,v)是系统(1)的任意正解，则对于充分大的c，(u,v)趋于如下问题的正解−∆u=u(a1−u−mu+k1),x∈Ω,−∆v=v(a2−p2vu+k2),x∈Ω,u=v=0,x∈∂Ω,(8)或者(cu,v)趋于如下问题的正解−∆w=w(a1−mk1−p1vb+w+dv),x∈Ω,−∆v=v(a2−p2vk2),x∈Ω,w=v=0,x∈∂Ω.(9)引理4[6]如果m<k21,a1>λ1+mk1,a2>λ1，则(8)有唯一非退化且线性稳定的正解．90工程数学学报第38卷定理4[6]设m <k 21,a 2>λ1．对于任意小的ϵ>0，存在充分大的C (ϵ)，使得当c ≥C (ϵ)时，若λ1+m k 1+ϵ≤a 1<λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1,则系统(1)至少存在两个正解．如果a 2>λ1，则问题(9)等价于如下问题−∆w =w (a 1−m k 1−p 1v ∗b +w +dv ∗),x ∈Ω,w =0,x ∈∂Ω.(10)对于问题(10)，用类似文献[11]的证明方法有如下引理．引理5设a 2>λ1，则(10)存在正解当且仅当λ1+m k 1≤a 1≤λ1(p 1v∗b +dv ∗)+mk 1且所有正解不稳定．而且存在充分小的ϵ0，使得当a 1∈(λ1+m k 1,λ2+m k 1]∪[λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1−ϵ0,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1)时，(10)的正解(若存在)唯一且非退化．引理6若λ1+mk 1≤a 1≤λ1(p 1v∗b +dv ∗)+m k 1,a 2>λ1，则(9)存在正解且不稳定．引理2和定理1表明系统(1)正解存在的必要条件和充分条件存在代沟．下面的引理给出当a 1∈[λ1+m k 1+ϵ,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1)且c 充分大时，系统(1)恰好有两种类型的正解．引理7设m <k 21,a 2>λ1．对任意小的ϵ,δ>0，存在充分大的C (ϵ,δ)，使得若c ≥C (ϵ,δ),a 1∈[λ1+m k 1+ϵ,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1)且(u,v )是(1)的正解，则：(a)∥u −u ∗∥C 1+∥v −v ∗∗∥C 1≤δ；(b)∥cu −w ∥C 1+∥v −v ∗∥C 1≤δ；这里w 是(10)的正解，v ∗∗为如下问题的正解−∆v =v (a 2−p 2v u ∗+k 2),x ∈Ω,v =0,x ∈∂Ω.而且，若(a)情形出现，则正解(u,v )非退化且线性稳定．证明采用反证法证明．假设存在a 1,i →a 1∈[λ1+m k 1+ϵ,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1),c i →∞,以及(1)的正解(u i ,v i )远离(u ∗,v ∗∗)且(c i u i ,v i )远离(9)的任意正解．根据L p 估计和So-bolev 嵌入定理假定在C 1(Ω)中u i →u,v i →v ．分析以下两种情况：(i)若c i ∥u i ∥∞→∞，则当i →∞时，u i →u ∗．因此v i →0或v i →v ∗∗．而a 2>λ1，所以必有v i →v ∗∗，即(u i ,v i )→(u ∗,v ∗∗)．这与假设(u i ,v i )远离(u ∗,v ∗∗)矛盾；(ii)若c i ∥u i ∥∞一致有界，则当i →∞时，u i →0．于是v i →v ∗．设c i u i =w i ，则w i 满足−∆w i =w i (a 1,i −u i −m u i +k 1−p 1v ib +w i +dv i),x ∈Ω,w i =0,x ∈∂Ω.(11)第1期李海侠：具有Allee 效应的捕食-食饵扩散模型定性分析91∥w i ∥∞一致有界，所以由L p 估计和Sobolev 嵌入定理假定在C 1(Ω)中w i →w ．对(11)式取极限，不难看出w 满足(10)式．如果w ≥0,≡0，则由Harnack 不等式可知w >0．因此，(w,v ∗)是(9)的正解，这与假设(c i u i ,v i )远离(9)的任意正解矛盾．因此，w ≡0，则(w i ,v i )→(0,v ∗)．令˜w i =w i∥w i ∥∞，则−∆˜w i =˜w i (a 1,i −u i −m u i +k 1−p 1v ib +w i +dv i),x ∈Ω,˜w i =0,x ∈∂Ω.故a 1,i →λ1(p1v∗b +dv ∗)+m k 1．利用局部分歧定理[12]易验证(λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1,0,v ∗)是(9)的分歧点，则在(λ1(p 1v∗b +dv ∗)+m k 1,0,v ∗)的邻域内(9)存在正解．因此存在ˆa 1,i →λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1，使得系统(9)有正解(ˆw i ,v ∗)→(0,v ∗)．于是，当i →∞时，(a 1,i ,c i u i ,v i )接近于(ˆa 1,i ,ˆw i ,v ∗)，又与假设(c i u i ,v i )远离(9)的正解矛盾．故定理的第一部分成立．接下来证明剩余部分．易看出当情形(a)发生时，(1)是(8)的正则扰动．于是通过引理4和标准的扰动理论可知正解(u,v )非退化且线性稳定．引理8设m <k 21,a 2>λ1．存在充分小的ϵ1>0(ϵ1<ϵ0)和充分大的C 1>0，使得如果c ≥C 1,a 1∈[λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1−ϵ1,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1),则系统(1)恰好有两个正解，一个渐近稳定而另一个不稳定，这里ϵ0在引理5中给出．证明根据引理7分两步证明．首先证明当c 充分大时，(1)接近(u ∗,v ∗∗)的正解唯一且渐近稳定．引理7可知系统(1)接近(u ∗,v ∗∗)的任意正解非退化且渐近稳定．故只需证明接近(u ∗,v ∗∗)的正解(u,v )唯一．取δ′>δ充分小，这里δ在引理7中给出．设ˆD={(u,v )∈E :u ∗−δ′<u <u ∗+δ′,v ∗∗−δ′<v <v ∗∗+δ′},取τ∈[0,1]和充分大的常数P ．定义算子F τ:ˆD→W 为F τ(u,v )=(−∆+P )−1 u (a 1−u −mu +k 1)−τp 1uv b +cu +dv +P u v (a 2−p 2vu +k 2)+P v.显然，F τ是紧的连续可微算子．(u,v )是系统(1)在ˆD中的正解当且仅当它是F 1的正不动点．另外，由引理7可知F τ在∂ˆD上没有不动点，因而由不动点指数的同伦不变性有index W (F τ,ˆD)≡常数，且index W (F 1,ˆD )=index W (F 0,ˆD )．因为F 0在ˆD 内有唯一不动点(u ∗,v ∗∗)且(u ∗,v ∗∗)稳定，所以index W (F 0,ˆD )=index W (F 0,(u ∗,v ∗∗))=1.故index W (F 1,ˆD)=1．另一方面，由引理7可知F 1在ˆD 内的所有正不动点非退化且线性稳定．因此根据紧算子理论可得F 1至多有有限个正解．记为{(u i ,v i ):0≤i ≤n }．于是I −F ′1(u i ,v i )在W (u i ,v i )上可逆且F ′1(u i ,v i )没有大于1的实特征根．又因为W (u i ,v i )=S (u i ,v i )，所以F ′1(u i ,v i )在W (u i ,v i )上不具有性质α．故根据文献[13]的定理1有index W (F 1,(u i ,v i ))=1．最后利用引理3和度的可加性得1=index W (F 1,ˆD )=∑1≤i ≤nindex W (F 1,(u i ,v i ))=n.92工程数学学报第38卷由此证明了系统(1)接近(u ∗,v ∗∗)的正解(u,v )唯一．接下来证明(1)存在唯一且不稳定的类型(b)的正解．首先证明唯一性．设˜u =cu,µ=1/c ．考虑如下问题−∆˜u =˜u (a 1−µ˜u −m µ˜u +k 1)−p 1˜u v b +˜u +dv ,x ∈Ω,−∆v =v (a 2−p 2vµ˜u +k 2),x ∈Ω,˜u =v =0,x ∈∂Ω.(12)显然，(u,v )是(1)的正解当且仅当(cu,v )是(12)带有µ=1/c 的正解．因此，只要证明(12)的正解(˜u ,v )唯一即可．对于固定的µ≥0，以a 1作为分歧参数再由局部分歧定理可知(λ1(p1v∗b +dv ∗)+mk 1,0,v ∗)是(12)的单重分歧点，则存在σ>0和正分歧解曲线Υµ={(a 1(µ,s ),˜u (µ,s ),v (µ,s )):0<s ≤σ},0≤µ≤σ,其中˜u (µ,s )=s (φ1+κ1(µ,s )),v (µ,s )=v ∗+s (ψ1(µ)+κ2(µ,s )),φ1是λ1(p 1v∗b +dv ∗)+mk 1所对应的特征函数，ψ1(µ)=(−∆−(a 2−2p 2v ∗k 2))−1µp 2k 22(v ∗)2φ1>0,a 1(0,0)=λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1,κ1(0,0)=κ2(0,0)=0.而且，(12)在(λ1(p 1v∗b +dv ∗)+mk 1,0,v ∗)附近的所有解都在曲线Υµ上．于是只需证明对于固定的µ≥0和适当的ϵ1，曲线Υµ一致覆盖a 1-区域[λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1−ϵ1,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1)仅一次即可．将分歧正解(a 1(µ,s ),˜u (µ,s ),v (µ,s ))代入到(12)的第一个方程中，两边同除以s 关于s 在s =0处微分并在Ω上积分得∂a 1∂s (0,0)=−∫Ωp 1v ∗b +dv∗φ31d x <0.(13)选择σ充分小，使得∂a 1∂s(µ,s )<0．因而λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1−a 1(0,σ)=a 1(0,0)−a 1(0,σ)>0.因为a 1(µ,s )连续，所以存在σ1∈(0,σ]，使得ϵ1=min 0≤µ≤σ1(λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1−a 1(µ,σ))>0.于是若a 1≥λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+mk 1−ϵ1,第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析93则对于任意µ∈[0,σ1],a1(µ,σ)≤a1．这样我们得到对于任意的µ∈[0,σ1],Υµ一致覆盖a1-区域[λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ1,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1).又因为∂a1∂s(µ,s)<0，所以每条曲线覆盖区域仅一次．取C1=1/σ1，如果c≥C1,a1∈[λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ1,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1),则(1)恰好有唯一(b)类型的正解．最后，我们证明(b)类型的正解不稳定．令L1是(1)在(u,v)处带有特征值η1和特征函数(ξ1,ζ1)的线性化算子．令L2是(12)在(cu,v)处带有特征值η2和特征函数(ξ2,ζ2)的线性化算子．易证ξ1=ξ2,ζ1=cζ2,η1=η2．于是证明(12)于(cu,v)处的线性化算子在分歧曲线Υµ的任意点处有负的特征值γ即可．通过文献[14]可得存在ν>0和C1函数α:(−ν,ν)×(λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ν,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1+ν)→R1,β:(−ν,ν)×(−ν,ν)→R1,使得α(µ,a1)是(12)在(a1,0,v∗)处线性化算子的特征值，β(µ,s)是(12)在(a1(µ,s),˜u(µ, s),v(µ,s))(0≤µ,s≤ν)处线性化算子的特征值．进而，如果∂α∂a1(0,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1)=0,则lim s→0s∂a1∂s(0,s)∂α∂a1(0,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1)β(0,s)=−1.(14)下面，我们证明∂α∂a1(µ,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1)<0．从上面的讨论很容易看出α(µ,a1)是如下特征值问题−∆χ−(a1−p1v∗b+dv∗−mk1)χ=α(µ,a1)χ,x∈Ω,χ=0,x∈∂Ω的一个特征值．于是∂α∂a1(µ,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1)<0．最后结合(13)和(14)，可得β(0,s)<0．这表明类型(b)的正解不稳定．基于上面引理，这节最后给出c充分大时确定(1)正解确切个数的重要结果．定理5设m<k21,a2>λ1固定．任意ϵ∈(0,ϵ2)，存在充分大的C=C(ϵ)，如果c≥C且a1∈[λ1+ϵ,λ1+ϵ2]∪[λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ0,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1),则系统(1)恰好有两个正解，一个渐近稳定另一个不稳定．其中ϵ2=min {λ2+mk1,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ02}−λ1.94工程数学学报第38卷证明令E=[λ1+ϵ,λ1+ϵ2]∪[λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ0,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ1].引理8可知只需证明当a1∈E时，(1)恰好有一个渐近稳定的正解和另一个不稳定的正解即可．引理7表明如果c充分大且a1∈[λ1+mk1+ϵ,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1),则(1)存在两类形式的正解．采用类似引理8的证明过程易证得，若a1∈E，则(1)存在唯一接近(u∗,v∗∗)类型(a)的渐近稳定的正解．其次，证明若a1∈E，则(1)存在唯一不稳定的类型(b)的正解．再次讨论问题(12)．设˜a1∈E．由引理5可知(10)带有a1=˜a1的唯一正解w˜a1非退化．于是，(w˜a1, v∗)是(12)带有(a1,µ)=(˜a1,0)的非退化正解．显然，对于小的µ>0，(12)是(9)的正则扰动．因此，根据隐函数定理可得存在小的δ,˜ϵ>0，使得(12)有唯一正解(˜u a1,v a1)，且对任意a1∈E和0≤µ≤˜ϵ，有∥˜u a1−w a1∥C1+∥v a1−v∗∥C1≤δ.设C(ϵ)=max{1/˜ϵ,C(ϵ,δ)}，这里C(ϵ,δ)在引理7给出．于是对于任意ϵ∈(0,ϵ2)，存在C=C(ϵ)，使得如果c≥C和a1∈E，则(1)存在唯一类型(b)的正解．接下来，证明(1)具有类型(b)的正解不稳定．定义算子B和B0分别如下Bωχ=−∆ω−[a1−2u−mk1(u+k1)2−p1v(b+dv)(b+cu+dv)2]ω+p1u(b+cu)(b+cu+dv)2χ−∆χ−(a2−2p2vu+k2)χ−p2v2(u+k2)2ω,B0ωχ=−∆ω−[a1−mk1−p1v∗(b+dv∗)(b+w a1+dv∗)2]ω−∆χ−(a2−2p2v∗k2)χ−p2k22(v∗)2ω.考虑如下特征值问题B(ω,χ)T=ˆη(ω,χ)T,B0(ω,χ)T=ˆη0(ω,χ)T.容易验证当c→∞，对于趋于(0,v∗)的(u,v)，其中cu→w a1，B以算子范数一致地趋向于B0．通过算子的特征值理论有B0的特征值是ˆη0=λ1(−a1+mk1+p1v∗(b+dv∗)(b+w a1+dv∗)2)<λ1(−a1+mk1+p1v∗b+w a1+dv∗)=0.根据标准的扰动理论可知B有特征值ˆη接近ˆη0且Reˆη<0．因此，对于充分大的c和a1∈E，(1)具有类型(b)的正解不稳定．第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析95 4讨论与结论本文在齐次Dirichlet边界条件下研究了具有Allee效应和B-D反应函数的捕食-食饵扩散模型．通过分析得到：当Allee效应常量m,k1满足m<k21且食饵和捕食者的增长率较大a1>λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1,a2>λ1时，食饵和捕食者能够共存；当食饵或捕食者的增长率过小时，食饵或捕食者将灭绝；只要捕食者的增长率a2>λ1且Allee效应常量m,k1满足m<k21，当食饵的增长率a1∈[λ1+ϵ,λ1+ϵ2]∪[λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1−ϵ0,λ1(p1v∗b+dv∗)+mk1),且捕食者对食饵的处理时间c的影响充分大时食饵和捕食者不但能够共存，而且系统恰好存在两个正解．从生物意义上来讲，研究结果表明当参数满足一定条件时系统出现了生物上所谓的多态性，而且食饵和捕食者将会以稳定均衡的形式共存．这说明保持适合种群自身生长繁殖的最佳密度、控制种群适当的增长率以及合理地开发和利用生物资源对生物种群保护和维持生态平衡具有非常重要的意义．Allee效应增加了系统动力学行为的复杂性，本文得到的主要结论既补充和完善了以往相关文献的结果，又丰富了齐次Dirichlet边界条件下具有Allee效应的生物扩散模型的研究内容．参考文献：[1]SHI J P,SHIVAJI R.Persistence in reaction diﬀusion models with weak Allee eﬀect[J].Journal of Mathe-matical Biology,2006,52(6):807-829.[2]WANG J F,SHI J P,WEI J J.Dynamics and pattern formation in a diﬀusive predator-prey system withstrong Allee eﬀect in prey[J].Journal of Diﬀerential Equations,2011,251(4-5):1276-1304.[3]YANG L,ZHONG S M.Dynamics of a diﬀusive predator-prey model with modiﬁed Leslie-Gower schemesand additive Allee eﬀect[J].Computational and Applied Mathematics,2014,34(2):671-690.[4]WANG W M,ZHU Y N,CAI Y L,et al.Dynamical complexity induced by Allee eﬀect in a predator-preymodel[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2014,16(1):103-119.[5]WANG X C,WEI J J.Dynamics in a diﬀusive predator-prey system with strong Allee eﬀect and Ivlev-typefunctional response[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2015,422(2):1447-1462. [6]李海侠.带有加法Allee效应的捕食-食饵模型共存解的惟一性和多解性[J].武汉大学学报(理学版)，2015,61(4):319-322.LI H X.Uniqueness and multiplicity of coexistence solutions for a predator-prey model with additive Allee eﬀect[J].Journal of Wuhan University(Natural Science Edition),2015,61(4):319-322.[7]李海侠.带有保护区域的加法Allee效应捕食-食饵模型的共存解[J].山东大学学报(理学版)，2015,50(9):88-94.LI H X.Coexistence solutions for a predator-prey model with additive Allee eﬀect and a protection zone[J].Journal of Shandong University(Natural Science),2015,50(9):88-94.96工程数学学报第38卷[8]INDRAJAYA D,SURYANTO A,ALGHOFARI A R.Dynamics of modiﬁed Leslie-Gower predator-preymodel with Beddington-DeAngelis functional response and additive Allee eﬀect[J].International Journal of Ecology&Development,2016,31(3):60-71.[9]NI W J,WANG M X.Dynamical properties of a Leslie-Gower prey-predator model with strong Allee eﬀectin prey[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems–Series B,2017,22(9):3409-3420.[10]MIN N,WANG M X.Dynamics of a diﬀusive prey-predator system with strong Allee eﬀect growth rateand a protection zone for the prey[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems–Series B,2018,23(4): 1721-1737.[11]DU Y H,LOU Y.Some uniqueness and exact multiplicity results for a predator-prey model[J].Transactionsof the American Mathematical Society,1997,349(6):2443-2475.[12]CRANDALL M G,RABINOWITZ P H.Bifurcation from simple eigenvalues[J].Journal of FunctionalAnalysis,1971,8(2):321-340.[13]DANCER E N.On the indices ofﬁxed points of mappings in cones and applications[J].Journal of Mathe-matical Analysis and Applications,1983,91(1):131-151.[14]SMOLLER J.Shock waves and reaction-diﬀusion equations[M].New York:Springer-Verlag,1983.Qualitative Analysis of a Diﬀusive Predator-prey Modelwith Allee EﬀectLI Hai-xia(Institute of Mathematics and Information Science,Baoji Universityof Arts and Sciences,Baoji721013)Abstract:The existence,uniqueness and multiplicity of positive solutions to a diﬀusive predator-prey model with B-D functional response and Allee eﬀect are discussed.By theﬁxed point index theory,the suﬃcient conditions for the existence of positive solutions are obtained. Secondly,the conditions for the uniqueness of positive solutions are given by the variational characterization of the lowest eigenvalue.Finally,based on the analysis of positive solutions to two limiting systems,the exact multiplicity and stability of positive solutions are determined by means of the combination of theﬁxed point index theory,bifurcation theory and perturbation theory of eigenvalues.When the Allee eﬀect constants meet appropriate relationship and the growth rate of the predator is large,the results show that the system has only a unique positive solution when the parameters satisfy certain conditions,and has exactly two positive solutions when the growth rate of the prey lies in a certain range.Keywords:predator-prey model;Allee eﬀect;uniqueness;ﬁxed point index theory;perturba-tion theory;exact multiplicity;stabilityReceived:27Aug2018.Accepted:06Mar2020.Foundation item:The National Natural Science Foundation of China(61672021;11801013);the Natural Science Basic Research Plan in Shaanxi Province of China(2018JQ1066);the Science and Technology Program of Baoji(2018JH-20);the Doctoral Scientiﬁc Research Starting Foundation of Baoji University of Arts and Sciences(ZK2018069).。

一类捕食模型正平衡解的局部分歧及稳定性

（）２
必要条件，以及多解存在性及稳定性的必要条件。文献［］中讨论了具有双饱和项的互惠系统模型，４利用微分算子的谱性质和计算不动点指标的方法得到了正解存在的充分条件，文献［］讨论了一般形式５的捕食．饵模型，食利用解耦和全局分歧理论得到
以第二边界条件为例，到了非常数正解的存在性得
＝
＋６一
， ∈
＞０，
及其一些性质。文献［］中，扩散系数相同，在３若得
到了正解存在性的充分必要条件，一正解的充分惟
Ｂ（ｔｕ，）＝０Ｂ（ｔ＝０， ∈ ａｔ≥ ０，ｖ，），，ｕｘ０＝Ｕ（（，）ｏ）≥ ０，≠ ０ ∈ ，，（０＝Ｖ（，）０）≥ ０，≠ ０ ∈ 。，
文献［］１中给出如下一类在空间中分布均匀的
捕食．饵生态模型食ｄ－ Nhomakorabea（ｘｒ
－
ｂｘ一ｌ
ｔ＞。，
＿２燕），（一ｙｒ＇
（）＞０Ｙ０＞０，０，（）
主要以第一边界条件为例讨论系统（）的平衡态系２
了正解存在的充分条件。文讨论系统（）在半平本３凡解处的分歧解及其稳定性。
其中：是
中具有光滑边界ａ的有界区域；，Ｕ
分别表示在区域内中食饵（ｒｙ和捕食者ｐｅ）（ｒｄｔｒｐｅａｏ）的密度；参数ａａ，２ｂｋ，２都是正常，１ａ，，１ｋ

一类带Holling Ⅳ型功能反应函数的捕食者-食饵模型的整体解

收稿日期：ｏ９ｌ－０２ｏ一１２
作者简介：芬（９６一，，李１８）女硕士研究生，主要从事偏微分方程及其应用研究
第１期
李
芬：类带Ｈｌｎ一ｏｉｇⅣ型功能反应函数的捕食者一饵模型的整体解ｌ食
３３
解的整体存在性．以下为方便起见，．＝｜（Ｉ），Ｉｉ＝ｌ。约定ｃ，Ｓｂｌｖ入常数记『『。・．『．Ｋ是ｏｏｅ嵌
，．
或其他绝对常数．问题（．）的局部解的存在唯一性是Ａｎ１１ｍａｎ的系列论文定理１１设非负函数 ‰ ，。∈ ．的直接推论，简述如下：（，＞ｎ则问题（．）存在唯一非负解ｕ ∈ Ｃ［，）力）Ｐ，１１，（０Ｔ，
１引
言
本文讨论如下带自扩散和交错扩散的捕食者一饵模型食
“ ＝△［＋１＋２）］＋“ １一Ｍ（ＭＡｄ “ ２］一］［２２＋２卢，（＋１）
：＝
中图分类号：７．６０１５２文献标识码：Ａ
ＧｌｂｌＳｌｔｏｓｆｒａＰｒｄｔｒｐｅｏｅｏａｏｕｉｎｏｅａｏ－ｒｙＭｄｌ
ｗｉｈＨｏｌｇＴｙｅＩｎｔｏａｓｏｓｔｌｎｐＶＦｕｃｉｎｌＲｅｐｎｅｉ
第１１卷第１期
２１００年２月
北华大学学报（自然科学版）
ＪＵＮＬＯＥＨＡＵＩＥＳＴＮｔｒｌｃｎｅＯＲＡＦＢＩＵＮＶＲＩＹ（ａａＳｉｃ）ｕｅ

偏微分方程模型在生态系统研究中的应用

偏微分方程模型在生态系统研究中的应用生态系统是由各种生物体及其周围环境相互作用而形成的一个动态平衡系统。

为了更好地理解和预测生态系统中的变化，科学家们通过运用数学模型来模拟和分析各种生态过程。

而偏微分方程模型作为一种强大的工具，在生态系统研究中发挥着重要作用。

一、物种扩散模型物种的扩散是生态系统中一个重要的现象，它关系到生物在空间上的分布和演化。

偏微分方程模型可以用来描述物种的扩散过程。

典型的例子是 Fisher 方程，它描述了一个物种在空间中的扩散和繁殖，可以用来预测物种在不同环境条件下的扩散速度和范围。

二、捕食者-猎物模型捕食者-猎物系统是生态系统中一个典型的相互作用模式，捕食者和猎物之间的关系影响着整个生态系统的平衡。

通过建立偏微分方程模型，可以模拟捕食者和猎物之间的数量动态变化，研究二者之间的稳定性和周期性，进而预测整个生态系统的稳定性。

三、生态位模型生态位是描述一个生物在其生态系统中所占据的生活方式和作用的概念。

通过偏微分方程模型，可以从数学上描述各个生物种群在生态位上的分布和竞争关系。

这有助于我们理解生物群落内的种群结构和相互作用，为生态保护和管理提供科学依据。

四、栖息地模型栖息地是生物生存和繁殖的场所，栖息地的变化直接影响着生物种群的数量和分布。

利用偏微分方程模型可以描述栖息地的空间变化和动态过程，预测栖息地的退化和扩展对生态系统的影响，为自然保护和栖息地恢复提供理论支持。

五、气候变化模型气候变化对生态系统的影响是全面的，从环境温度到降水量，都会直接影响生物的生长和繁殖。

通过建立偏微分方程模型，可以模拟气候变化对生态系统的影响，预测生物种群对气候变化的适应性和生态系统的稳定性，为全球变暖和生态环境保护提供科学依据。

总之，偏微分方程模型在生态系统研究中发挥着不可替代的作用，它通过数学建模的方式，帮助我们深入理解生物群落的结构与功能，预测生态系统的动态变化，为保护生物多样性和生态平衡提供科学支持。

一类具有比例依赖型捕食者-食饵扩散模型的定性分析

４６
关时，模型（２）所对应的反应扩散问题为：
温州大学学报・自然科学版（２０１３）第３４卷第３期
詈一Ａｕ＝ｕ（１一）一ＵＶ
８ｖ
一，
∈Ｑ，一
∈Ｑ，ｔ＞０
衡点的全局渐近稳定性．
关键词：捕食者一食饵模型；比例依赖；正平衡点；全局渐近稳定
中图分类号：Ｏ１７５．２６文献标志码：Ａ文章编号：１６７４ — ３５６３（２０１３）０３－００４５－０７本文的ＰＤＦ文件－－－Ｊ－￣Ｘ．ｔ，ｋｘｕｅｂａｏ．ＷＺＵ．ｅｄｕ．ｃｎ获得
，
（１）
则模型（１）约化为：
（＿南，） ’
一
其中，
：，：一ｓｈ
，
ｍ：＿
．
收稿日期：２０１２．１００９
基金项目：甘肃省自然科学基金（１１０７ＲＪＺＡ１９７）；甘肃省教育厅硕导项目（Ｉ１０４一Ｉ１）作者简介：刘志琳（１９８７－），女，甘肃会宁人，硕士研究生，研究方向：偏微分方程及其应用
Ａｕｇ，２０１３
一
类具有比例依赖型捕食者一食饵扩散模型的定性分析
刘志琳，张睿，李奋强，苗亮英
（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：应用线性化方法、上下解方法和迭代方法证明了具有比例依赖型的捕食者一食饵扩散模型正平

一种Volterra捕食模型的稳态解

＝ｚ（ｎｚ— Ｌ）志ｘ）ｂｙ（－一ｘ（）１一Ｙ＝ｆｙ＋ｙ口一ｙ
本文首先利用正性引理和上下解方法给出了解的全局存在性和唯一性，着给出了常微分系统和偏微分系统接稳定性的结果。其结论对生态系统的研究有一定的意义。
（，）∈ Ｑ × （０，＋。。），
（．）１３
ａ筹＿，ｙａｏｙ一
一
（，）∈ ａＱ × （０，＋。。），
．
“（，０一声（ ≥ ０，））
３∈ Ｑ，ｉ１，２．２一
其中，Ｑ是尺中的有界区域，界ａ光滑，边Ｑ７是单位外法向量，Ｄ，Ｄ。为扩散系数。本文主要讨论
［稿日期］０７一ｏ —３收２０６ｏ［者简介］飞（９９作许１７一）男，苏扬州人，京审计学院应用数学系讲师，，江南主要研究方向为偏微分方程；来（９２张１８一）男，苏徐州，江
人，州大学数学科学学院研究生，要研究方向为偏微分方程。扬主
在考虑空间位置对种群密度有影响的情况下，讨论下列反应扩散系统
一
Ｄ一 “ “ △“ （一户）１ “ 一 “ “。，（一）
（，）∈ Ｑ × （０，＋。。），
一
Ｄ。 △“。－？２１一－（＋ “ ＋ｒ “ 。，Ｕ “
许飞，张来
（．南京审计学院应用数学系，江苏南京２０２；１１０９２．扬州大学数学科学学院，江苏扬州２５０）２０２

几类生态学模型的定性分析

妒㈣２而，
表示捕食者的捕食量随食饵的增加而上升，直到饱和水平．当食物多时，由于捕食者饥饿
程度降低而出现负加速．此类功能反应多见于无脊椎动物和某些食肉鱼类．
Ｈｏｌｌｉｎｇ－ＩＩＩ型响应函数为
ａｘ２
，、
妒【ｚＪ
２—１＋—ｂｘ２，
这类功能反应为具有复杂行为的脊椎动物所特有．在食物较少时，学习捕捉，随着食物的
§１．１相关生态学微分方程模型的背景和发展概况
设食饵种群的密度为ｚ，捕食者种群的密度为Ｙ，捕食者不存在时，食饵按指数方式增长，捕食者在无食饵时，按指数方式减少．如果这两个种群生活在同一空间，由于捕食作用，食饵的增长率随着捕食者的增多而下降，而捕食者的增长率随着食饵的增多而上升．于是经典的Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ捕食模型可以写成
ＩｎＣｈａｐｔｅｒ５，ａｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ—ｓｔａｇｅｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙｍｏｄｅｌｗｉｔｈｃｒｏｓｓ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｎｏｎ－ｃｏｎｓｔａｎｔｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｃｒｏｓｓ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｃａｎｃｒｅａｔｅＴｕｒｉｎｇＰａｔｔｅｒｎ．
，面ｄ２７＝（ｒｔ－ｂｔｘ－ｃｌｙ）％１面ｄｙ＝ｒ２－－ｃ２》
Ｈｏｌｌｉｎｇ在实验研究的基础上，对不同类型的捕食者提出了三种不同的响应函数．Ｈｏｌｌｉｎｇ－Ｉ型响应函数为
妒ｃｚ，＝｛孑’ｚ０＜三ｘ。，≤口，
２
东南大学博士学位论文
多见于滤食性捕食动物（如多数软体动物）．
Ｈｏｌｌｉｎｇ－ＩＩ型响应函数为
ａｂｓｏｌｕｔｅｖａｌｕｅｓｏｆｃｒｏｓｓ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓａｒｅｓｍａｌｌｅｎｏｕｇｈａｎｄｔｈｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｓａｔｉｓｆｙｓｏｍｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｓｇａｉｎｅｄｗｈｅｎｔｈｅｔｗｏｃｒｏｓｓ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓａｒｅｎｅｇａｔｉｖｅｃｏｎｓｔａｎｔｓｗｉｔｈｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ．

捕食模型微分方程

捕食模型微分方程
捕食模型是一种数学模型，它是由微分方程来描述捕食者和被捕食者之间的相互作用的。

这个模型的最早的形式是 Lotka-Volterra模型。

在这个模型中，存在一条捕食者和一条被捕食者的动物，它们之间形成了一个特定的相互作用。

Lotka-Volterra模型能够使用两个微分方程来描述捕食者和被捕食者的数量变化情况，这两个微分方程要求捕食者和被捕食者的数量会根据时间做出动态的变化。

捕食者的数量一般是由捕食的数量和死亡率（包括无可捕食的情况）来控制的，而被捕食者的数量是由出生率和捕食者捕食的数量来控制的。

此外，还有一些新的模型，它们比Lotka-Volterra模型更加精细，能够更好的模拟出捕食者和被捕食者之间的相互作用。

如Holling模型，它是一个三维微分方程，它包含三个变量：捕食者、被捕食者和捕食者活动等级，而不仅仅是捕食者和被捕食者的数量，模拟的情况也更加复杂和精确。

捕食模型的应用范围很广泛，它们可以被用来模拟海洋生态系统中动物数量的变化，也可以被用在植物有害有益昆虫的控制上，可以用来研究工业资源的投入和产出关系。

总而言之，捕食模型是一种由微分方程构造而成的模型，它对捕食者和被捕食者之间的相互作用有着良好的模拟能力，由于它能够把这类生态系统的变化简化，所以它几乎应用于各行各业，从工业资源投入到海洋生态系统，几乎任何一个需要模拟捕食者和被捕食者之间的关系的问题，都可以采用捕食模型来解决。

带有Sigmoidal型响应函数反应扩散模型的正解

Ｌ，．２
（
∈ａ力，
＝＝０，
其中，ａ，Ａ、Ｂ、ｂ、ｒ都是正常数．容易证明，若、是问题（２）的非负解，并且Ｍ０，移 ≠０，那么一定有
ｕ（ｘ）＞Ｏ，（）＞０在上成立，这种解称为问题
第４期
邵
翠，等：带有Ｓｉｇｍｏｉｄａｌ型响应函数反应扩散模型的正解
５３５
Ａ（０）．考虑下面的半线性椭圆型方程：
一
里采用文献［１８］的框架来讨论问题（２）．为此，引
Ａｗ：ａＷ一１，０，
Ｅ
；
入一些记号．Ｅ＝［（）］，其中（）＝｛Ｗ∈
（４）
Ｗ＝０，戈∈ ａ
Ｃ（）：ｌｍ＝０｝；ｍ－．ＫＸＫ，其中Ｋ＝｛Ｗ∈ ｃ（）：ｔｔＪ（戈）１０＞｝；Ｄ＝｛（，口） ∈ＩＶ：Ｍ＜ｎ，＜Ｒ｝．
Ｊｕｌｙ，２０１３
Ｖ０１．３６．Ｎｏ．４
带有Ｓｉｇｍｏｉｄａｌ型响应函数反应扩散模型的正解
邵翠，陈文彦
（安徽工业大学工商学院，安徽马鞍山２４３０００）
摘要：利用偏微分方程研究生物种群动力学，已成为非线性偏微分方程研究领域中的一个重要研究方向．针对具体的捕食模型，一个关键因素是响应函数．主要考虑了一类带有Ｓｉｇｍｏｉｄａｌ型响应函数的捕食模

食饵捕食者研究

具有干扰因素的食饵-捕食者模型分析目录目录摘要…………………………………………………………………第一部分前言………………………………………………………1.1 生态数学的的研究背景及发展…………………………………1.2 基础知识…………………………………………………………第二部分 Lotka-Volterra模型的改进及其稳定性的研究…………2.1Lotka-Volterra模型………………………………………………2.2模型的研究对象及改进…………………………………………2.3 模型的稳定性的研究……………………………………………第三部分数值模拟3.1利用matlab对模型进行了数值模拟……………………………3.2模型缺陷…………………………………………………………第四部分总结………………………………………………………致谢…………………………………………………………………参考文献………………………………………………………………第一部分前言1.1 生态数学的的研究背景及发展生态系统具有稳定性、可测性和可控性三大属性，是多层次的、多因子的、多变量的系统，只用常规的定性描述和一般的数理统计，搞不清楚它的内在规律，运用数学模型对生态系统实行管理、预测和调控，使其持续稳定发展是现代生态学研究的重要领域。

种群动力学是生态学的一个重要分支.它广泛地利用数学思想加积分方程、差分方程、泛函微分方程、偏微分方程、算子理论等数学学科中的理论和方法，通过数学建模研究生物种群的生存条件、生物种群与环境之间相互作用的过程、生物种群的演变和发展趋势.揭示生物种群的变化规律，合理利用资源，促进生态平衡这是迄今为止数学在生态学中应用深入，发展最为系统和成熟的分支，种群动力学的研究有着悠久的历史.早在1798年，Malthus 在研究人类的增长时，他引入数学方法，建立了最早的连续确定模型一一Malth 。

模型)(/)(t rN dt t dN =这是一个单种群模型.它反应了人类数量的变化，在t 不很长时是比较符合实际的，但当+∞→t 时种群规模将无限增长是不合实际的，究其原因在于它没有考虑到有限的资源对种群增长的制约作用.针对这个模型，后人不断分析各种因素的影响，完善和改进这一模型，使之能较好地反应人口(单种群)的变化规律，如P. F.Verhulst(1938年)建立的Logistic 模型)/)(1)((/)(k t N t rN dt t dN -=E.M .W right(1945年)建立的有确定时滞的Logistic 模型)/)(1)((/)(k r t N t rN dt t dN --=P. M. Nisbet 和W. S. C. Gurney(1984年)建立的具有生理阶段结构(stagestructure) 模型以及H. 1. Freedman 研究的具有斑块迁移的单种群模型等，无一不是对Malthus 模型的完善和扩展，极大地推动了种群动力学的发展现实世界中种群不可能单独存在，它必与相关种群相互作用，相互依存.Lotka-Volterra 模型是种群动力学中最为经典和重要的两种群相互作用的动力学模型，该模型分别由意大利数学家Volterra(1923年)解释鱼群变化规律和美国种群学家Lotka(1921年)在研究化学反应时提出。

微分方程的分类

微分方程的分类微分方程是数学中非常重要的一部分，它是研究变化的数学工具。

微分方程可以分为很多种，下面将详细介绍几种常见的微分方程及其应用。

一、一阶微分方程一阶微分方程是指方程中只有一阶导数的微分方程，比较常见的形式是dy/dx=f(x)，其中f(x)是x的函数。

一阶微分方程的求解需要使用分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等方法。

一阶微分方程的应用非常广泛，如物理学中的运动方程、化学反应动力学方程等。

二、二阶线性微分方程二阶线性微分方程是指方程中只有二阶导数的微分方程，常见的形式是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，其中p(x)、q(x)、f(x)都是x的函数。

二阶线性微分方程的求解需要使用常系数齐次线性微分方程法、常系数非齐次线性微分方程法等方法。

二阶线性微分方程的应用非常广泛，如物理学中的谐振子方程、电路中的振荡电路方程等。

三、偏微分方程偏微分方程是指方程中包含多个自变量的微分方程，常见的形式是u_t=k(u_xx+u_yy)，其中u是未知函数，t是时间，x、y是空间坐标，k是常数。

偏微分方程的求解需要使用分离变量法、变量代换法、特征线法等方法。

偏微分方程的应用广泛，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。

四、常微分方程组常微分方程组是指包含多个未知函数的微分方程组，比较常见的形式是x' = f(x, y), y' = g(x, y)，其中x、y是未知函数，f(x,y)、g(x,y)是x、y的函数。

常微分方程组的求解需要使用线性代数、矩阵论等方法。

常微分方程组的应用非常广泛，如经济学中的IS-LM模型、生态学中的捕食-被捕食者模型等。

五、随机微分方程随机微分方程是指微分方程中包含随机项的微分方程，常见的形式是dx=f(x,t)dt+g(x,t)dw，其中dw是随机项，f(x,t)、g(x,t)是x、t 的函数。

随机微分方程的求解需要使用随机分析等方法。

捕食模型反应扩散方程组的有限差分法

格式解存在的唯一性、收敛性、稳定性，并证明了在无穷范数意义下的收敛阶为０（。ｒ＋＾）关键词：反应扩散模型；差分格式；存在唯一性中图分类号：Ｏ４．２２１８文献标志码：Ａ文章编号：１７ —３４２１）３０６ — ６６４１７（０２０ — ２３０
在文献Ｅ３，者讨论了捕食模型的反应扩１中作散方程组：
ａ — ｌｔ △“ 一一口一 “
“（ｔ０，）一１）（ “（ｆ１，）一１ｔ（）
（）一２￡０，（）
（ｆ１，）一 ’ （）ｔ
（）３
ｌｈｕ＠ａａ．ｄ．ｎｉｏｚｈｕｅｕｃ．
２４６
长春工业大学学报（自然科学版）
第３３卷
的解的动力学性质。
文献［ —］别对三级食物链反应扩散模型２３分
和具有有限时滞的种群扩散方程进行了定性分析，由于生物学中大多数现实模型都是非线性而
Ｖｏ１３Ｎｏ．．３３
Ｊｎ２１ｕ．Ｏ２
捕食模型反应扩散方程组的有限差分法
周丽
（徽农业大学理学院，徽合肥安安２０３）３０１
摘要：对一个捕食模型的反应扩散方程组建立了一个线性化的二层差分格式，明了差分证
ｆｒｕｌｒｏｍａｇｏｕｐＴｈｘｉｔｎｅ，ｕｎｑｕｎｅｓａｄｓａｌｔｆｔｉｆｒｎｃｏｕｔｏｎａｅｐｏｖｄ，ａｄｔ．ｅｅｓｅｃｉｅｓｎｔｂｉｉｙｏｈｅｄｆｅｅｅｓｌｉｒｒｅｎｈｅｃｎｖｒｅｅｏｒｅｎｄｒｎｍｓＯ（＾．ｏｅｇｎｃｄｒｕｅｏｒｉｒ＋）

带扩散的具有Holling Ⅲ类功能性反应的捕食模型的性质

一
∈ ．ｔ＞０
∈ ．０＞
∈ａ．ｔ＞０
（）１
ａｕ：ａ＝０
式中：（ｔ、（ｔ分别表示种群中的食饵及捕食者在ｔｕ，），）时刻的空间分布密度；ｄｄ、分别表示食饵和捕食者的空间扩散率；为整个系统对食饵的最大承受能力；为食饵净增长率；ｒ为系统中的响应
带扩散的具有Ｈｌｎ类功能性ｏｉｇ１ｌ１１
反应的捕食模型的性质
周桦，刘佳
（江苏工业学院信息科学系，江苏常州２３６）１１４
摘要：建立了带扩散的具有Ｈｌｎｍ类功能性反应的捕食模型，论了模型的一致持久性，用特征子空间分ｏｉｌｇ讨应
文献标识码：Ａ
文章编号：１７ — ６７２０）５～０６— ４６１７２（０７００６０
ＡｎｌｓｓｏｌｎｙｅｍｒｄｔｒｐｅｔａｙｉｎＨｏｌｇｔｐｐｅａｏ－ｒｙｗｉｉｈ
ｄｆｕｉｎｍｏｅｕａｉｉｆｓｏｄｌｑｌｙｔ
Ｋｅｒｓｇｏａｓｂｌｙｒｄｔｒｐｅｄｌｅｓｔｎｅｙｗｏｄ：ｌｂｌｔｉｔ；ｐｅａｏ— ｒｙｍｏｅ；ｐｒｉｅｃ；Ｈｏｌｇｔｐａｉｓｌｎｙｅｍｉ
近年来，Ｖｈｒ和Ｌｔａ以ｏｅｒａｏｋ为代表的种群动力学有了很大的发展，特别是对具有Ｈｌｎｏｉｇ型功能性反应的ｌ捕食系统已进行大量研究．文献［］６考虑了具有Ｈｌｎｍ类功能性反应的Ｈｌｎ—ａｎｒｏｉｇｌｏｉｇＴｎｅ型常微分方程组ｌ

食饵具有强Allee效应且捕食者有合作的扩散Leslie-Gower捕食-食饵模型的动力学性质

(ⅲ )对所有 d1 ,
d2 ,常数平衡解(
u
2 u2 )
3
μ

注在定理 1.
1(ⅱ )中,(
u ,
u )的稳定性和不稳定性之间有间断,对于该间隙中的参数值,稳定性取决
{
于 d1 ,
d2 .
证明
2
}
2
1
æ
=(
)= ç1-b
对U
1,
0),
GU (
U
çç
è 0
ö
-1÷
1
)对应于特征向
,当 0<b<1 时,
d1 和 d2 分别为猎物和捕食者的扩散系数;
b∈ (
0,
1)为
Al
l
e
e阈值,
α 表示捕食者在狩猎中合作的参数,
α 越大 (越小),捕食者合作越强 (弱).假设参数 μ>0 为常
数,表示捕食者内在增长率 .(
1)式的非空间的 ODE 模型在文献[
),
de
tQij = (
αu
i
μjd1 -Ai)(
μjd2 +μ)+μui(
所以ξ2 -t
rQijξ+de
tQij =0.
对i=1,
j=0,有
2
1+2
) ,
rQ10ξ +de
tQ10 =ξ2 + (
αu
-A1 +μ)
1 =0
ξ -t
ξ -μA1 +μu1(
+
rQ10 =A1 -μ,
ξ0 +ξ0 =t

偏微分方程和常微分方程

偏微分方程和常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是研究只依赖于一个独立自变量的未知函数的微分方程。

常微分方程的最一般形式可以写成：$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$，其中$y$是关于$t$的未知函数，$f(t,y)$是已知的函数。

常微分方程研究的是连续变量之间的关系，比如物理中的运动学方程、生态学中的捕食-被捕食关系、经济学中的供求关系等。

而偏微分方程（Partial Differential Equations，PDE）是研究依赖于两个或多个独立自变量的未知函数的微分方程。

偏微分方程的最一般形式可以写成：$F(t,x_i,u_{x_i},u_{x_i,x_j},u_{x_i,x_j,x_k},\cdots)=0$，其中$u$是关于$t,x_i$的未知函数，$F$是已知的函数。

偏微分方程研究的是包含多个变量的函数的性质，比如热传导方程、波动方程、电场方程等。

常微分方程与偏微分方程之间的主要区别在于独立变量的个数不同。

常微分方程通常有一个独立变量，而偏微分方程有两个或多个独立变量。

这一差异导致了两者的求解方法和应用领域上的一些不同。

在求解方面，常微分方程一般可以通过积分、变量分离、分步逼近等方法求解。

常微分方程的解通常是关于时间的函数，表示出随时间变化的系统状态。

而偏微分方程的求解则需要考虑多个变量之间的相互关系，在数学上通常需要借助于分离变量、变换坐标、傅里叶变换等方法才能得到解析解。

在应用上，常微分方程广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域中对连续变量的建模和分析。

它可以描述物理系统的运动、生物种群的演化、经济系统的供求关系等。

而偏微分方程则更多地应用于描述波动、传热传质、电磁场等能量传递与转换的过程。

比如，热传导方程可以用来描述物体的温度分布随时间的变化，波动方程可以用来描述机械波的传播过程。

在数学理论研究上，偏微分方程的性质更加复杂。

微积分方法建模11食饵—捕食者系统--数学建模案例分析

§11 食饵—捕食者系统一个包含两个群体的系统，其中一个群体紧密地依赖于另一个群体。

例如：害虫与其天敌、肿瘤细胞与正常细胞等。

称为一个食饵—捕食者系统。

设()t x —t 时刻食饵数量 ()t y —t 时刻捕食者数量如果各自独立生活，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-==y dtdy xdt dx μλ ()0,>μλ 现在两者生活在一起，则有 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--=-=)2()1(0,βαβμαλy x dt dy xy dt dx 称为Volterra —Lotka 方程，初始条件()00x x =，()00y y =，()()21÷得到 ()()xy y x dx dy αλμβ--= 得通解c x y x y ln ln ln =++--μλβα 或 c ex e y x y =⋅βμαλ 以初始条件代入，可得到特解，它是xoy 平面上的一条闭轨线，见下图。

当食饵较多时，捕食者增多因而食饵必定减少，使得捕食者也随之减少，从而食饵又会增多。

两者的数量如此起伏，周而复始，维持着生态平衡。

现在来考虑一个有趣的问题，例如食饵和捕食者由于别的因素（如狩猎或火灾）同时按比例消亡。

一旦这种因素作用停止，谁恢复得较快？我们用方程组（1）、（2）来回答这个问题。

当()t x 和()t y 都减小时，乘积项xy 也减小（例如，x 和y 减半,x λ和y μ都减半，xy α和xy β却减为1/4）。

乘积项对捕食者是生长项，而对食饵来说是消亡项，xy 的减小使捕食者受到较大的损失，所以这场悲剧过后，食饵恢复较快，称为Volterra 原理。

这个原理已在许多方面得到证实：如杀虫剂的使用、临床医学中用化疗抑制癌细胞生长等。

一类捕食与被捕食模型的平衡态局部分歧解及稳定性

维偏微分方程组的情形，到形如式（）的反应得１扩散系统，而使系统更具有实际生物意义．文从本
注的是两个物种能否共存或一种持续存在而另一
种消亡的情形．从数学角度讲，反应扩散方程的是
平衡态系统正解的存在性与稳定性的研究．
考察如下的反应扩散系统 ¨ ：５］
主要对式（）的平衡态系统（１长时行为）的共存解
的存在性及稳定性进行了研究，得到了两个半平凡解（，）（，）部分歧解存在的充分条件，Ｏ和Ｏ局并
｛一 △一一干Ｕ，ｎ＞且证明了半平凡解（ｒＯ生的局部分歧解是无 “ 一＇ｚ，ｏＵ ∈￡干Ｏ，）产
ｒ走，，，ｃ，ａｂ，ｄ，ｅ，ａ卢为正常数，食者以，捕
且证明了半平凡解（Ｏ，）产生的局部分歧解是无
条件稳定的．明在空间的子区域ｎ中，说满足式
（）１两种捕食与被捕食的生物经过长时间相互作
Ｊ一。６干，ｎ＞条件稳定的．一ｚ一一ｚ，ｏ △ Ｕ ∈ “ Ｖ
ｘｏ一ｏｚ ≥ ，ｌ（，） “（）０ ≠ ０ｕ；
ｘ０ｌ（，）一Ｖ（）≥ ０ ≠ ０ｚ∈ ｎｖｏｚ，，
ｌ “＝＝０ ∈ ａｔ０，ｎ，＞
文献Ｅ－讨论了这类带Ｂｄｉｇｏ — ｓ１只ｅｄｎｔｎＤＡｎｅｓｅｇｌ反应项的一维常微分方程组捕食模型ｉ

具有阶段结构的三次捕食者—食饵系统的稳定性

曹怀火
（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州７０７；３００
池州学院数学与计算机科学系，安徽池州２７０４００）
【摘要】本文主要考虑一类具有阶段结构的－Ｚ次捕食者一食饵模型的方程组正解的动力学性态，明了解的有界性。并利用线性化方法和证
Ｌａｕ０ｙｐｎｖ函数讨论其非负平衡点的局部稳定性与全局稳定性。
【关键词】阶段结构；Ｚ次捕食者一－食饵系统；平衡点；稳定性
【，ｍ９￣］１５０７
【文献标识码】Ａ
【文章编号】６４１０（０８０ — ０１０１７ — １２２０）３００ — ５
＝３（ｒｋ３ｘ３ｘ一＋・一＋１・），
符号不定，。ｂ表示食饵种群的内禀增长率，是捕ｃ其中ＸＸ分别是食饵种群的幼年种群和成年Ｉ２￣食者的净死亡率，捕食者的生存依赖于食饵的生存种群的密度函数，是捕食者种群的密度函数，Ｘ３捕状况，ｘｂ２１分别为食饵与捕食者的密度食者仅对幼年种群进行捕食，ｂ —ａ与３ｚｘＹ捕食者的生存依赖于制约项，４表示捕食者对食饵的捕食率，ｔｂ）【ＯＸ表示幼年种群的生存状况，ｔ。２，。１，１，ｋＯ，，１１，１１。，都ｒｒ３３，ｒ食饵转化为捕食者自身的增长率。
＝
｛＝ｘ２ｂ一ｘｌｂｂ一ｘ４ｌｘ３ｂ，ｄ＋。ｙｘ
（．１１）
Ｌ＋Ｏ一ＹＩＬｙ（ｘ１）一ｃｔ３，ｕＹ

带有交错扩散的捕食模型的非常数正解的存在性

定理２３设Ｐ＝（，， ∈（，）为已知常数，＞０．６Ｏ）０ｃ。／ｏｄ为一固定常数，１ｄ１ｄ，３ｄ＞ｏ则ｄ，２＞ｄ，．ｊ
一
定存在不依赖于ｄ，，ｄ的常数＝Ｐ，１）（ｄ，以及＝Ｐ，）使得稳态问题（．）＂２（ｄ，，１２的任意正
２正解的先验估计
我们首先引用下面的两个引理．引理２１Ｈａｎｃ．（ｒａｋ不等式）设 ∞∈Ｃ（ｎＣ（） △ ｚ）ｎ）是叫（＋Ｃ（叫（＝０带有齐次Ｎｅ— ｚ）ｚ）ｕ
ｍｎ边界条件的正解．ｎ其中ｃｚ ∈ｃｂ）则存在依赖于ｌｆ的正数ｃ。（）（，ｃｌ使得
力ｎ
ｖｙ ≤ Ｃ［＋ｕｙ］（）Ｖｚ， ∈ ．（）１１（）ｖｘ，（）令ｌ（＋ｄ）ｇ＝Ｕ１一“ ／１ｚ）．２＝ｄＵ１３，ｌ［一口（＋口］设存在一点ｚ， ‘ ｏ使得１ｏ，（（）
收稿日期：０８１３２０ —０ —２
基金项目：州建筑学院基金项目（Ｙ３８徐ＪＡ —１）
作者简介：任￣
（９０一）女，１７，吉林人，讲师，硕士，研究方向：偏微分方程及应用
第３期
任丽萍：有交错扩散的捕食模型的非常数正解的存在性带
＝
所以
）詈１１ ≤ （，＋）
且
ｍ
≤。＋１＋）ｃ１Ｃ１吾，－（］［（
西
ａｚｃ＋（吉ｍ ≤，号＋）≤ ［詈＋）ｘ）。詈１）力ｃ＋（吉嚣＋（古． ≤ ［＋］ｎ［］］（－＿１ｉｖ

描述寄生关系的数学模型

描述寄生关系的数学模型
在生态学中，寄生关系是生物之间相互作用的一种重要形式。

寄生关系通常包括寄主和寄生者两个角色，寄生者从寄主身上获取营养或资源，并对寄主造成损害。

数学模型可以帮助我们更好地理解和描述寄生关系的动态过程。

寄生关系的数学模型通常基于捕食-被捕食者模型（Predator-Prey Model）进行拓展。

在捕食-被捕食者模型中，捕食者和被捕食者之间存在着相互作用，它们的数量随时间的推移而发生变化。

类似地，寄生者和寄主之间的数量也随时间发生变化，因此可以使用类似的数学模型来描述寄生关系。

一个常见的寄生关系数学模型是Lotka-Volterra方程的拓展，其中引入了寄生者和寄主的数量变化。

该模型通常包括两个微分方程，分别描述寄主和寄生者的数量随时间的变化。

这些方程考虑了寄生者对寄主的损害和寄主对寄生者的抵抗能力，从而可以预测寄主和寄生者数量的动态变化。

除了数量变化，寄生关系的数学模型还可以考虑寄主和寄生者的空间分布、种群结构、环境因素等因素。

这些因素可以通过偏微
分方程或代理基础模型来描述，从而更加全面地理解寄生关系的动态过程。

通过数学模型，我们可以定量地分析寄生关系中的各种因素对种群数量和空间分布的影响，预测寄生关系的动态变化，甚至设计控制措施来管理寄生关系对生态系统的影响。

因此，数学模型为我们研究和理解寄生关系提供了重要的工具和方法。

总之，寄生关系的数学模型为我们提供了一种定量分析和描述寄生关系动态过程的工具，帮助我们更好地理解和预测寄生关系在生态系统中的影响。

通过数学模型，我们可以更好地保护生态系统的稳定性和多样性，促进生物多样性的保护和可持续发展。