第二章矩阵分解4 矩阵的奇异值分解

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矩阵的奇异值分解

非对称矩阵分解
非对称矩阵的特征值分解
对于非对称矩阵，其特征值可能是复数，因此不能直接进行实数域上的特征值分解。但是，可以通过引入复数域上的特征向量和特征值，将非对称矩阵分解为复数域上的特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积。
非对称矩阵的奇异值分解
对于任意实非对称矩阵，都可以进行奇异值分解，即$A = USigma V^T$，其中 $U$和$V$是正交矩阵，$Sigma$是对角矩阵，对角线上的元素是$A$的奇异值。非对称矩阵的奇异值分解在数据降维、图像处理等领域有广泛应用。
通信信道均衡策略
信道均衡原理
在通信系统中，信道均衡是一种用于补偿信道失真、提高通信质量的技术。奇异值分解可用于信道均衡中的信道矩阵分解，从而实现对信道特性的准确估计和补偿。
基于奇异值分解的信道均衡算法
利用奇异值分解对信道矩阵进行分解，根据得到的奇异值和左右奇异向量设计均衡器，实现对信道失真的有效补偿。
3
个性化推荐
结合用户历史行为数据和相似度计算结果，为用户推荐与其兴趣相似的物品或服务。
05 奇异值分解在信号处理和通信中应用
信号降噪与重构技术
基于奇异值分解的信号降噪
利用奇异值分解能够将信号分解为多个独立成分的特点，对含噪信号进行降噪处理，提高信号质量。
信号重构技术
通过保留奇异值分解得到的主要成分，对信号进行重构，实现信号的压缩和恢复。
特殊类型矩阵分解
正定矩阵的Cholesky分解
对于正定矩阵，可以进行Cholesky分解，即$A = LL^T$，其中$L$是下三角矩阵。Cholesky分解在求解线性方程组、最优化问题等场景中具有重要作用。
稀疏矩阵的分解
对于稀疏矩阵，可以采用特定的分解方法，如LU分解、QR分解等，以便更有效地进行存储和计算。这些分解方法在数值计算、科学计算等领域有广泛应用。

矩阵论-奇异值分解

0
0
1
0
0 0 0
2 13 3 13
3
13
-2
13
例：求A=
-1 2
0 0
1 -2
的奇异值分解.(课本例题)
1 2
解：令B=AH
0
1
0 2
,
则BH
B=
2 -4
-4
8
,
I BHB 2
4
( 10), =10, 0
4 8
故B的奇异值为
10，B H
1
例：A=
0
2
0
1 0
，则AH
A=
5 0
0 1
，奇异值为
5，1
1 0 2
而AAH
=
0
1
0 ，I-AAH =( 1)( 5).
2 0 4
定理1：若A与B酉相抵，则A与B有相同的奇异值.
证明：因A与B酉相抵，所以存在酉阵U与V，使B=UAV. 所以BH B=VH AH UH UAV=VH AH AV，所以BH B与AH A相似，所以它们的特征值相同，所以A与B有相同的奇异值.
2
0
极分解：设A Cmr n，则A有以下分解，A=GU，G为半正定 Hermite矩阵，U为酉阵，特别地，当A 满秩时，G为正定 Hermite矩阵, 且分解唯一.
证明：由奇异值分解：
1
A=U1
0
r
0 0
V1H
=
U1
1
0
r
0
U1H
U1V1H
0
同理，r( AAH ) r( AH )=r( A).
引理2：设A Cmn，则 1）AH A与AAH的特征值均为非负实数. 2）AH A与AAH的非零特征值相同且非零特征值的个数为r(A).

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从而 AV A(v1, v2 ,, vn ) ( Av1,, Avr , 0,, 0)
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

[整理]矩阵的奇异值分解

§2 矩阵的奇异值分解定义设A 是秩为r 的m n ⨯复矩阵，T A A 的特征值为1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== .则称i σ=(1,2,,)i n = 为A 的奇异值.易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵A 的奇异值的个数等于A 的列数，A 的非零奇异值的个数等于其秩.矩阵的奇异值具有如下性质：（1）A 为正规矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值的模；（2）A 为半正定的Hermite 矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值；（3）若存在酉矩阵,m m n n ⨯⨯∈∈U V C C ，矩阵m n ⨯∈B C ，使=UAV B ，则称A 和B 酉等价.酉等价的矩阵A 和B 有相同的奇异值.奇异值分解定理设A 是秩为r (0)r >的m n ⨯复矩阵，则存在m 阶酉矩阵U 与n 阶酉矩阵V ，使得H⎡⎤==⎢⎥⎣⎦O U AV O O ∑∆. ①其中12diag(,,,)r σσσ= ∑，i σ(1,2,,)i r = 为矩阵A 的全部非零奇异值.证明设Hermite 矩阵H A A 的n 个特征值按大小排列为1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== .则存在n 阶酉矩阵V ，使得12H H()n λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦O V A A V OO ∑. ②将V 分块为 12()=V V V ，其中1V ，2V 分别是V 的前r 列与后n r -列.并改写②式为2H⎡⎤=⎢⎥⎣⎦O A AV V O O ∑.则有H 2H 112==A AV V A AV O ， ∑. ③由③的第一式可得H H 2H 1111()()r ==V A AV AV AV E ，或者∑∑∑.由③的第二式可得H 222()() ==AV AV O AV O 或者.令111-=U AV ∑，则H 11r =U U E ，即1U 的r 个列是两两正交的单位向量.记作112(,,,)r =U u u u ，因此可将12,,,r u u u 扩充成m C 的标准正交基，记增添的向量为1,,r m +u u ，并构造矩阵21(,,)r m +=U u u ，则12121(,)(,,,,,,)r r m +==U U U u u u u u是m 阶酉矩阵,且有 H H1121 r ==U U E U U O ，.于是可得H HH1121H 2()()⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O U U AV U AV AV U O O O U ，，∑∑.由①式可得H H HH 111222r r r σσσ⎡⎤==+++⎢⎥⎣⎦O A U V u v u v u v O O ∑. ④称④式为矩阵A 的奇异值分解.值得注意的是：在奇异值分解中121,,,,,,r r m +u u u u u 是H AA 的特征向量，而V 的列向量是H A A 的特征向量，并且H AA 与H A A 的非零特征值完全相同.但矩阵A 的奇异值分解不惟一.证明2 设Hermite 矩阵H A A 的n 个特征值按大小排列为1210r r n λλλ>λλ+≥≥≥=== .则存在n 阶酉矩阵V ，使得12H H()n λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦O V A A V OO ∑. ②将V 分块为12(,,,)n =V v v v ，它的n 个列12,,,n v v v 是对应于特征值12,,,n λλλ 的标准正交的特征向量.为了得到酉矩阵U ，首先考察m C 中的向量组12,,,r Av Av Av ，由于当i 不等于j 时有H H H H H (,)()()0i j j i j i j i i i j i λλ=====Av Av Av Av v A Av v v v v所以向量组12,,,r Av Av Av 是m C 中的正交向量组.又 2H H H 2||||i i i i i i iλσ===Av v A Av v v ，所以 ||||i i i σ=Av .令1i i i=u Av σ，1,2,,i r = ，则得到m C 中的标准正交向量组12,,,r u u u ，把它扩充成为m C 中的标准正交基11,,,,r r m +u u u u ，令11(,,,,)r r m +=U u u u u则U 是m 阶酉矩阵.由已知及前面的推导可得i i i σ=Av u ，1,2,,i r = ；i =Av 0，1,,i r n =+ ；从而 121(,,,)(,,,,,)n r ==AV A v v v Av Av 0011120(,,,,,)(,,,)0r m r σσσσ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O u u u u u O O 00 ⎛⎫= ⎪⎝⎭ΣO U O O故有=AV U Δ，即H =U AV Δ.例1 求矩阵120202⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的奇异值分解.解 T52424044⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A 的特征值为1239,4,0λλλ===，对应的单位特征向量依次为T T T 1231,1),(2,1,2)3==-=-v v v .所以5052643⎡-⎢=⎥⎥-⎥⎣⎦V .于是可得()2r =A ，3002∑⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.计算111221∑-⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦U AV ，则A 的奇异值分解为T 300020⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A U V .在A 的奇异值分解中，酉矩阵V 的列向量称为A 的右奇异向量，V 的前r 列是H A A 的r 个非零特征值所对应的特征向量，将他们取为矩阵V 1，则12(,)=V V V .酉矩阵U 的列向量被称为A 的左奇异向量，将U 从前r 列处分块为12(,)=U U U ，由分块运算，有H H H H1111212H H H22122()⎡⎤⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭O U U AV U AV U AV AV AV O O U U AV U AV ，∑ 从而 211=A V A V U Σ，=0.正交基；（2）1U 的列向量组是矩阵A 的列空间(){}R =A Ax 的一组标准正交基；（1）1V 的列向量组是矩阵A 的零空间(){}N ==A x Ax 0正交补H ()R A 的一组标准正交基；（1）2U 的列向量组是矩阵A 的列空间(){}R =A Ax 正交补H ()N A 的一组标准正交基.在A 的奇异值分解中，酉矩阵U 和V 不是惟一的.A 的奇异值分解给出了矩阵A 的许多重要信息.更进一步，由于12(,,)m =U u u u ，12(,,,)n =V v v v ，可借助于奇异值分解，将A 表示为H 11H 212H 0(,,,)0m r n σσ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v O v A u u u O O v H HH 111222r r r σσσ=+++u v u v u v归纳这一结果，有如下定理.定理设m n ⨯∈A C ，A 的非零奇异值为12r σσσ≥≥≥ ，12,,ru u u 是应于奇异值的左奇异向量，12,,,r v v v 是应于奇异值的右奇异向量，则T TT 111222r r r σσσ=+++A u v u v u v .上式给出的形式被称为矩阵A 的奇异值展开式，对一个k r ≤，略去A 的一些小的奇异值对应的项，去矩阵k A 为T T T111222k k k kσσσ=+++A u v u v u v .则k A 是一个秩为k 的m ×n 矩阵.可以证明，k A 是在所有秩为k 的m ×n 矩阵中，从Frobenius 范数的意义下，与矩阵A 距离最近的一个矩阵.这在实际中应用广泛.例如，在图像数字化技术中，一副图片可以转换成一个m ×n 阶像素矩阵来储存，存储量m ×n 是个数.如果利用矩阵的奇异值展开式，则只要存储A 的奇异值i σ，奇异向量,i i u v 的分量，总计r （m +n +1）个数.取m =n =1000，r =100作一个比较， m ×n =1000000，r （m +n +1）=100（1000+1000+1）=200100.取A 的奇异值展开式，，存储量较A 的元素情形减少了80%.另外，可取k r <，用k A 逼近A ，能够达到既压缩图像的存储量，又保持图像不失真的目的.由矩阵A 的奇异值分解可得T TT 111222r r r σσσ=+++A u v u v u v可见，A 是矩阵T TT 1122,,,r r u v u v u v 的加权和，其中权系数按递减排列120r σσσ≥≥≥> .显然，权系数大的那些项对矩阵A 的贡献大，因此当舍去权系数小的一些项后，仍然能较好的“逼近”矩阵A ，这一点在数字图像处理方面非常有用.矩阵的秩k 逼近定义为T T T111222 1k k k k r σσσ=+++≤≤A u v u v u v秩r 逼近就精确等于A ，而秩1逼近的误差最大.矩阵的奇异值分解不但在线性方程组，矩阵范数，广义逆，最优化等方面有着广泛的应用.而且在数字计算，数字图像处理，信息检索，心里学等领域也有着极重要的应用.有兴趣的读者可参阅有关教科书，如Steven J.Leon 的《线性代数》.３矩阵Ａ的奇异值分解与线性变换T A设A 是一个秩为r 的m ×n 复矩阵，即m n⨯∈A C，rank()r =A ，则由()T ==A A βαα可以定义线性变换:n m T →A C C .设矩阵A 有奇异值分解H=A U ΣV ，则将矩阵n n⨯∈V C 的列向量组12,,,n v v v 取作空间nC 的标准正交基；则将矩阵m m⨯∈U C的列向量组12,,m u u u 取作空间mC的标准正交基，则在所取的基下，线性变换T A 对应的变换矩阵就是Σ.设n ∈C α，α在基12,,,n v v v 下坐标向量为T12(,,,)n x x x =x ，=Vx α.那么α在线性变换T A 下的像β具有形式：11H()()()00r r x x T σσ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A U ΣV Vx U Σx U βαα.其中12,,,r σσσ 是A 的非零奇异值，所以，α的像()T =A βα在m C 中基12,,m u u u 下的坐标是T 11(00)r rx x σσ==y Σx .从中可以看出，当rank()r =A 时，在取定的基下，线性变换()T A α的作用是将原像坐标中的前r 个分量分别乘以A 的非零奇异值12,,,r σσσ ，后（n-r ）分量化为零.如果原像坐标满足条件：222121n x x x +++= ，则像坐标满足条件：2221212()()()1rry y y σσσ+++≤ .在rank()r n ==A 时，等式成立.因此，有如下定理.定理设H=A U ΣV 是m ×n 实矩阵A 的奇异值分解，rank()r =A ，则nR 中的单位圆球面在线性变换T A 下的像集合是：（1）若r n =，则像集合是mR 中的椭球面；（2）若r n <，则像集合是mR 中的椭球体.例2 设矩阵120202⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，求3R 中的单位圆球面在线性变换:T A y =Ax 下的像的几何图形.解由例1，矩阵A 有如下奇异值分解T5012300262102043⎛⎫⎡-⎪⎢⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎪=⎥⎪⎢⎥⎢⎥-⎪⎣⎦⎣⎦⎥⎭⎪-⎥⎣⎦⎝⎭A. rank()23,n=<=A由定理，单位球面的像满足不等式221222132y y+≤.即单位球面的像是实心椭圆2212194y y+≤.。

矩阵的奇异值分解及其应用

在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。

特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。

而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。

奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。

就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。

在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing）另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。

想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。

国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。

真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。

矩阵的分解分析

矩阵的奇异值分解
H mn 定义 2.2.5 设 A Cr ，A A 的特征值为
1 2 r r 1 n 0
则称 i i (i 1,2,, n) 为 A的奇异值；当 A为零矩阵时，它的奇异值都是0. 定理 2.2.6 设 A Crmn (r 0) ，则存在m 阶酉阵 U 和 n阶酉矩阵 V ， 0 U H AV 使得（2-2-5）
矩阵QR分解的求法
（1）Schmidt正交化法
（2）用初等旋转矩阵左乘矩阵A （3）用初等反射矩阵左乘矩阵 A
矩阵的满秩分解
定理 2.2.4设 m n 矩阵 A C mn ， rankA r (r 0) .如果存在一个列满秩矩阵 C C mr (rankC r )
D C rn (rankD r ) 使得
矩阵的分解及其应用
内容简介
矩阵分解对矩阵理论及近世计算数学的发展起了关键作用 .矩阵分解是把一个矩阵写成性质比较熟悉或结构比较简单的另一些矩阵的乘积，其本质是通过建立相应的矩阵分解使有些问题能够得以简化和分解，从而更加清晰地得到矩阵的相关特性.本文的具体安排如下：
（1）第一章的主要内容是矩阵的概念、分类、运算以及矩阵的秩及其特征值和特征向量的等；
V ；
（2）求 A的秩
1 , 2 ,, r diag
r ，奇异值
i
i (i 1,2,, n) 及
（3）计算 i
1 Ai (i 1,2,, n) ，从而得正交矩阵U ； i
A U 0 0 T V 0
(4)的奇异值分解为
矩阵分解的应用
5 0 0 0
2 1 5 2 5 1

奇异值分解定理

奇异值分解定理奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，常用于数据分析、信号处理、图像压缩等领域。

SVD的定理表明，任何矩阵都可以分解成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵是对角矩阵，且对角线上的元素称为奇异值。

奇异值分解定理的数学概念比较复杂，需要一定的线性代数基础。

下面将对奇异值分解定理进行详细解释。

给定一个m行n列的实数矩阵A，假设rank(A)为r.那么存在两个实数方阵U(m×r)和V(n×r)，使得：A = UΣV^T其中，U的每一列是A^TA的特征向量，V的每一列是AA^T的特征向量，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

奇异值分解定理的证明比较复杂，这里只给出一个简要的证明思路。

假设A的列向量为{a1, a2, ..., an}，它们构成了一个n维向量空间的一组基。

我们可以将这组基转化为标准正交基，得到一组正交矩阵U和V。

然后我们可以通过对U和V进行一些数学操作，得到UΣV^T形式的矩阵。

最后，我们可以证明这个矩阵确实满足奇异值分解定理的要求。

奇异值分解定理在数据分析中有广泛的应用。

例如，在推荐系统中，我们可以通过SVD将用户对物品的评分矩阵分解，得到用户和物品的特征矩阵，从而进行个性化推荐。

在语音识别中，我们可以通过SVD将语音信号分解成一组基本声音的叠加，从而实现语音信号的降噪和特征提取。

在图像压缩中，我们可以通过SVD将图像分解成一组基本的图像模式，从而实现图像的降噪和压缩。

奇异值分解定理的应用不仅局限于上述领域，还可以应用于信号处理、图像处理、文本处理等其他领域。

通过奇异值分解，我们可以将复杂的问题转化为简单的线性代数运算，从而大大简化问题的求解过程。

然而，奇异值分解也有一些限制。

首先，奇异值分解是一种数值方法，对计算精度要求较高。

其次，奇异值分解的计算复杂度较高，对于大规模矩阵的分解可能会很耗时。

矩阵分解4矩阵的奇异值分解

，
1
1
1
x1 1, x2 1, x3 1
2
0
1
从而正交矩阵
1
6
V
1
6 2
6
1 2 1 2
0
1
3
1
3 1
3
,
，
以及
rankA
2, Σ
3 0
10
计算
U1
AV1 Σ
1
1 0
0
0 1 0
1
11 0
6 1
6 2
6
1 1
6 2
，V1
1
6 2
6
1
2
1 2
例10 求矩阵 A 0 0 的奇异值分解.
0 0
解: 可以求得矩阵
1 2
A
H
A
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
1 2
42
的特征值是 1 5, 2 0 ,对应的特征向量可取为
x1 (1, 2)T , x2 (2,1)T，于是可得 rankA rankAH A 1
，奇异值为 1 5, 2 0 ， Σ ( 5)11 ，且使得
A Pdiag (1 , 2 , , n )Q 1
称上式是A的正交对角分解.
性质4 (1) 设 AC mn ,则A酉相似于对角阵的充分必要条件
是A为正规矩阵;
(2) 设 A R nn ,且A的特征值都是实数,则正交相似于对角矩
阵的充要条件A是为正规矩阵.
二.矩阵的奇异值分解
现在开始论述矩阵的奇异值分解。
λ1 V H ( AH A)V
成立的正交矩阵为
λn

矩阵分解

矩阵分解奇异值分解法SVD分解作者：XIAOFU 发表时间：九月- 13 - 2009 | 人气: 2,451 VIEWS |矩阵分解(decomposition, factorization), 顾名思义, 就是将矩阵进行适当的分解, 使得进一步的处理更加便利。

矩阵分解多数情况下是将一个矩阵分解成数个三角阵(triangular matrix)。

依使用目的的不同，一般有三种矩阵分解方法：1)三角分解法(Triangular decomposition)，2)QR 分解法(QR decomposition)，3)奇异值分解法(Singular Value Decompostion)。

1) 三角分解法(Triangular decomposition)三角分解法是将方阵(square matrix)分解成一个上三角矩阵﹝或是排列(permuted) 的上三角矩阵﹞和一个下三角矩阵，该方法又被称为LU分解法。

例如, 矩阵X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9], 运用该分解方法可以得到:上三角矩阵L=[0.1429 1.0000 00.5714 0.5000 1.00001.0000 0 0]和下三角矩阵U=[7.0000 8.0000 9.00000 0.8571 1.71430 0 0.0000]不难验证L* U = X.该分解方法的用途主要在简化大矩阵的行列式值的计算,矩阵求逆运算和求解联立方程组。

需要注意的是, 这种分解方法所得到的上下三角形矩阵不是唯一的，我们还可找到若干对不同的上下三角矩阵对，它们的乘积也会得到原矩阵。

对应MATLAB命令: lu2) QR分解法QR分解法是将矩阵分解成一个单位正交矩阵(自身与其转置乘积为单位阵I)和一个上三角矩阵。

对应MATLAB命令: qr3) 奇异值分解法(SVD)奇异值分解(sigular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。

奇异值分解公式

奇异值分解公式
奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种矩阵分解的方法，用于将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。

其公式如下：
假设有一个 m × n 的实数矩阵 A，则它的奇异值分解可以表示为：A = UΣV^T
其中，U 是一个 m × m 的正交矩阵，Σ是一个 m × n 的对角矩阵，V 是一个 n × n 的正交矩阵。

^T 表示矩阵的转置。

对角矩阵Σ的对角线上的元素称为奇异值（singular values），按照从大到小的顺序排列。

U 的列向量称为左奇异向量（left singular vectors），V 的列向量称为右奇异向量（right singular vectors）。

奇异值分解在数据压缩、降维、推荐系统等领域具有广泛应用，可以帮助我们提取出矩阵的主要特征，并且能够有效地减少数据的维度。

矩阵奇异值分解

1 5 2 5
2 5 1 5

因此 A UAV
H
1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 5 2 5
2 5 1 5

酉等价：设 A, B C mn , 若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵
U H AV B, 则称A与B酉等价。 V，使得
矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。
引理1
设A C
则
mn
, A A与AA 的特征值均为非负实数。
H H
证明设是AHA的特征值，x是相应的特征向量， AHAx= x
由于AHA为Hermite 矩阵，故是实数。又
0 ( Ax, Ax) ( Ax) ( Ax) x x
H H
x x 0, 0
H
同理可证AAH的特征值也是非负实数。
引理2
设A C
证明
mn r
, 则rank( A A) rank( AA ) rank( A)
T T T x1 1,1,2 ,x2 1,1,0 , x3 1,1,1 ,
3 0 0 1 ,
令 V V1 , V2 ,
1 2 1 2 0 1 2 1 2 0
1 1 1 x3 V1 x1 , x2 , V2 2 3 6
H H
设x是方程组AHAx=0的非0解，
H H
Ax C
m
则由 ( Ax, Ax) x ( A Ax) 0 得 Ax 0; 反之，Ax 0的解也是AH Ax 0的解；
因此, 线性方程组Ax 0与AH Ax 0同解。

矩阵的奇异值分解及其应用

在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。

特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。

而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。

想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。

国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。

北航硕士研究生矩阵理论2.4 矩阵的奇异值分解

例设矩阵A 的奇异值分解，证明：U
的列向量是 AAH 的特征向量，V 的列向量是
AHA 的特征向量.
证因为
所以记
2 Σ AA H U O
O H U O
AA H U Udiag 1 r ,0 , ,0
U u1 ,u2 , ,um
，则有
N A Lv r 1 ,v r 2 , ,v n
H A 1u1v1H 2 u2v 2 r ur v rH
证因为
所以
H O V 1 H U1V1 A U1 U 2 H O O V2
H
y AA y ( A y) ( A y) ( A y, A y) 0
H H H H H H H
,
2.4 矩阵的奇异值分解证明：
x N ( AH A) AH Ax 0 x H AH Ax ( Ax, Ax) 0 Ax 0 x N ( A)
N ( AH A) N ( A)
1 1 0 0 2 2 0 1 U 2 0 , U U1 U 2 1 2 2 1 1 0 0
则A 的奇异值分解为
3 0 0 T A U 0 1 0 V 0 0 0
AA H ui iui (i 1,2,, m)
所以U 的列向量是 AAH 的特征向量.
同理V的列向量是 AHA 的特征向量.
例：在奇异值分解中，设U和V的列向量分别为 u1 ,u2 ,,um 和 v1 ,v2 ,,vn ，则有
R A Lu1 ,u2 , ,ur
1 0 1 T B A A 0 1 1 1 1 2

《矩阵的奇异值分解》课件

求解线性方程组：通过奇异值分解可以快速求解线性方程组
矩阵分解：奇异值分解可以将矩阵分解为三个矩阵的乘积，
便于分析和计算
数据压缩和降维：奇异值分解可以用于数据压缩和降维，提
高数据处理效率
图像压缩：通过奇异值分解，可以减少图像的存储空间，同时保持图像的质量
图像去噪：奇异值分解可以用于去除图像中的噪声，提高图像的清晰度
直接法：通过求解 A ^ TA 和 A ^ TA ^ T 的特征值和特征向量，得到 A 的奇异值和奇异向量
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
步骤： a. 计算A^TA和A^TA^T b. 求解A^TA和A^TA^T的特征值和特征向量 c. 计算A的奇异值和奇异向量
矩阵的奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，这三个矩阵分别是左奇异矩阵、对角矩阵和右奇异矩阵。
左奇异矩阵的每一列都是矩阵的左奇异向量，右奇异矩阵的每一行都是矩阵的右奇异向量。
对角矩阵的每个元素都是矩阵的奇异值，这些奇异值按照从大到小的顺序排列。
奇异值分解的几何意义在于，它可以将矩阵分解为三个矩阵的乘积，这三个矩阵分别代表了矩阵的左奇异向量、右奇异向量和奇异值。
优势：提高推荐系统的效率和准确性，降低计算复杂度
矩阵的奇异值分解的实现方法
迭代法简介：一种通过迭代求解线性方程组的方法迭代法步骤：选择初始值，进行迭代，直到满足收敛条件迭代法应用：在矩阵的奇异值分解中，可以通过迭代法求解迭代法优缺点：优点是计算简单，缺点是收敛速度较慢，需要选择合适的初始值和迭代参数
矩阵的奇异值分解的性质
奇异值是矩阵的特征值奇异值是矩阵的线性变换的度量奇异值是矩阵的线性变换的基向量奇异值是矩阵的线性变换的投影矩阵

矩阵的奇异值分解

矩阵的奇异值分解（singular value decomposition, SVD）是线性代数中的一种重要的矩阵分解方法，它在很多领域中都具有广泛应用，包括图像处理、数据压缩、信号处理等。

奇异值分解不仅是矩阵的一种表达形式，还可以帮助我们理解矩阵的结构，从而更好地应用于实际问题中。

奇异值分解的基本思想是将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。

对于一个m×n的矩阵A，它的奇异值分解可以表示为A=UΣV^T，其中U和V是m×m和n×n维的酉矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

通常情况下，奇异值按照从大到小的顺序排列。

奇异值分解的一个重要应用是矩阵的降维。

对于一个m×n的矩阵A，我们可以选择保留其中最大的k个奇异值，然后将矩阵A分解为UkΣkVk^T，其中Uk、Σk和Vk分别是U、Σ和V的前k列构成的矩阵。

这样得到的矩阵Ak=UkΣkVk^T可以近似地表示原始矩阵A，且Ak是一个更低维度的矩阵。

通过选择合适的k值，可以在保留较高精度的情况下大大降低矩阵的存储和计算复杂度。

奇异值分解还可以用来解决线性方程组的最小二乘解问题。

对于一个m×n的矩阵A和一个m维的向量b，我们可以将矩阵A分解为A=UΣV^T，然后将方程组Ax=b转化为Σy=Ub，其中y=V^Tx。

求解线性方程组Σy=Ub相对简单，通过计算得到向量y后，再通过y=V^Tx计算得到向量x，就得到了原始线性方程组的最小二乘解。

此外，奇异值分解还可以用于计算矩阵的伪逆。

对于一个m×n的矩阵A，它的伪逆A^+可以通过奇异值分解得到。

具体地，如果A的奇异值分解为A=UΣV^T，那么A^+可以表示为A^+=VΣ^+U^T，其中Σ^+是Σ的逆矩阵的转置。

伪逆矩阵在很多问题中都有重要应用，比如在解决过约束线性方程组和最小二乘解的问题中。

总之，矩阵的奇异值分解是线性代数中的一种重要的矩阵分解方法，它具有广泛的应用价值。

矩阵的奇异值分解高等代数知识点详解

矩阵的奇异值分解高等代数知识点详解矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种重要的矩阵分解方法，它在高等代数中具有广泛应用。

本文将详细介绍矩阵的奇异值分解原理、性质以及在实际问题中的应用。

一、奇异值分解的原理奇异值分解是将一个复杂的矩阵分解为三个简单矩阵的乘积，其基本原理可以用以下公式表示：A = UΣV^T在公式中，A是一个m×n的实数矩阵，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V^T是一个n×n的正交矩阵，其中^T表示转置。

二、奇异值分解的性质1.奇异值在奇异值分解中，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

奇异值是非负实数，按照大小排列，通常用σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr来表示。

其中r是矩阵A的秩。

2.奇异向量在奇异值分解中，U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量。

左奇异向量和右奇异向量都是单位向量，且对应不同的奇异值。

3.特征值与奇异值对于一个方阵A，奇异值与它的特征值有一定的联系。

若A是一个n×n的方阵，那么它的非零奇异值是A^T × A的非零特征值的平方根。

三、奇异值分解的应用奇异值分解在数据降维、图像压缩、推荐系统等领域具有广泛的应用。

1.数据降维在高维数据分析中，经常需要将高维数据转化为低维，以便于可视化和分析。

奇异值分解可以对数据矩阵进行降维，得到矩阵的主要特征。

通过保留较大的奇异值和对应的奇异向量，可以实现对数据的有效降维。

2.图像压缩奇异值分解可以对图像进行压缩，将原始图像表示为几个主要特征的叠加。

通过保留较大的奇异值和对应的奇异向量，可以在减小图像存储空间的同时，尽可能地保留图像的主要信息。

3.推荐系统在推荐系统中，奇异值分解可以对用户-物品评分矩阵进行分解，得到用户和物品的隐含特征。

通过计算用户-物品评分的近似矩阵，可以预测用户对未评分物品的评分，从而实现个性化推荐。

线性代数中的矩阵分解与奇异值分解-教案

线性代数中的矩阵分解与奇异值分解-教案一、引言1.1矩阵分解与奇异值分解的重要性1.1.1矩阵分解是线性代数中的核心概念之一，它将复杂的矩阵问题转化为更易处理的形式。

1.1.2奇异值分解（SVD）是矩阵分解的一种，它对于数据压缩、信号处理等领域至关重要。

1.1.3理解矩阵分解和奇异值分解有助于深入掌握线性代数的应用，尤其是在工程和科学领域。

1.2教学目标1.2.1使学生理解矩阵分解的基本概念和性质。

1.2.2培养学生运用奇异值分解解决实际问题的能力。

1.2.3强化学生对线性代数理论在实际应用中的认识。

1.3教学难点与重点1.3.1教学难点：矩阵分解的数学推导和奇异值分解的物理意义。

1.3.2教学重点：矩阵分解的类型和奇异值分解的应用。

二、知识点讲解2.1矩阵分解的类型2.1.1对角化分解：将矩阵分解为对角矩阵和可逆矩阵的乘积。

2.1.2QR分解：将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积。

2.1.3LU分解：将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。

2.1.4奇异值分解：将矩阵分解为正交矩阵、对角矩阵和另一个正交矩阵的乘积。

2.2奇异值分解的数学原理2.2.1奇异值分解的定义：任何矩阵都可以分解为三个矩阵的乘积。

2.2.2奇异值的物理意义：奇异值表示矩阵变换的强度。

2.2.3奇异值分解的计算方法：使用特征值分解和正交变换。

2.2.4奇异值分解的应用：数据压缩、图像处理、信号处理等。

2.3矩阵分解与奇异值分解的应用实例2.3.1数据压缩：通过奇异值分解减少数据维度，去除噪声。

2.3.2图像处理：利用奇异值分解进行图像重建和增强。

2.3.3信号处理：通过奇异值分解提取信号的主要成分。

2.3.4机器学习：奇异值分解用于特征提取和降维。

三、教学内容3.1矩阵分解的基本概念和性质3.1.1矩阵分解的定义：将一个矩阵表示为若干个简单矩阵的乘积。

3.1.2矩阵分解的性质：保持矩阵的秩和行列式不变。

3.1.3矩阵分解的应用：简化计算、解决方程组、分析矩阵特性等。

矩阵奇异值分解算法及应用研究

矩阵奇异值分解算法及应用研究一、本文概述本文旨在深入探讨矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）算法的理论基础及其在多个领域的应用。

奇异值分解作为一种重要的矩阵分析技术，不仅在数学理论上具有深厚的根基，而且在实际应用中展现出强大的功能。

通过对SVD算法的深入研究，我们可以更好地理解矩阵的内在性质，揭示隐藏在数据背后的规律，从而在各种实际问题中找到有效的解决方案。

本文首先回顾了奇异值分解算法的基本概念和性质，包括其数学定义、存在条件以及计算过程。

在此基础上，我们详细阐述了SVD算法的理论依据和实现方法，包括数值稳定性和计算复杂度等关键问题。

通过理论分析和实验验证，我们验证了SVD算法在处理矩阵问题时的有效性和可靠性。

随后，本文将重点介绍SVD算法在多个领域的应用案例。

包括但不限于图像处理、自然语言处理、机器学习、推荐系统、社交网络分析以及生物信息学等领域。

在这些领域中，SVD算法被广泛应用于数据降维、特征提取、信息融合、噪声去除以及模式识别等任务。

通过具体案例的分析和讨论，我们将展示SVD算法在实际问题中的广泛应用和重要作用。

本文还将探讨SVD算法的未来发展趋势和研究方向。

随着大数据时代的到来，SVD算法在处理大规模矩阵数据方面的潜力和挑战将越来越突出。

因此，我们需要进一步研究和改进SVD算法的性能和效率，以适应日益复杂的数据处理需求。

我们还将关注SVD算法在其他新兴领域的应用前景，如深度学习、和量子计算等。

通过不断的研究和创新，我们期待SVD算法能够在未来的科学研究和实际应用中发挥更大的作用。

二、矩阵奇异值分解算法原理矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个复杂矩阵分解为三个简单的矩阵的乘积，从而简化了矩阵的计算和分析。

奇异值分解的原理和应用在信号处理、图像处理、自然语言处理、机器学习等领域具有广泛的应用。

矩阵奇异分解

矩阵奇异分解
矩阵奇异值分解（SingularValueDecomposition,SVD）是一种数学分解，可以将矩阵分解为三个不同矩阵的乘积，即M=UΣVT。

其中，U是一个正交矩阵；Σ是一个对角矩阵；V也是一个正交矩阵。

它常用于推荐系统、自然语言处理、机器学习和数据挖掘中，用于特征向量提取、降维、数据可视化等。

SVD有很多有用的应用，包括搜索引擎中的用户查询排序、图像处理和改善、视频和音频压缩、特征脸识别、数据挖掘和机器学习等。

SVD在文本挖掘、自然语言处理、机器学习等应用领域中有广泛应用，因为它可以提取文本中的内容特征，把文本中的“有效”信息抽取出来，用于计算机的处理。

此外，SVD在电影推荐系统、压缩感知、复原矩阵和复原图像、信号处理等领域也有应用。

- 1 -。

第二章矩阵分解4 矩阵的奇异值分解

矩阵的奇异值分解

矩阵论-奇异值分解

矩阵的奇异值分解-推荐下载

[整理]矩阵的奇异值分解

矩阵的奇异值分解及其应用

矩阵的分解分析

奇异值分解定理

矩阵分解4矩阵的奇异值分解

矩阵分解

奇异值分解公式

矩阵奇异值分解

矩阵的奇异值分解及其应用

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矩阵的奇异值分解

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矩阵奇异值分解算法及应用研究

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矩阵的奇异值分解高等代数知识点详解