电动力学高教第三版4

E, B
的实部。
k
3．平面电磁波的能量和能流
w
1 2
ED H B
1 2
E
2
1
B2
E v 1
B
w E2 B2
电场能等 于磁场能
r S
rr EH
r E
r k
r E
r rr (E E)k
r rr (E k)E
E2
r ek
r vwek
r S
r E
r H
r vwek
电磁能量传播方向与电磁 波传播方向一致
者超前 ，求合成波的偏振。
2
解：设两个电磁波分别为
E1
E0
ex
ei
kz
t
E2
i kzt
2
E e e 0 y
iE0ey
ei
kz
t
E
E1 E2
E0
ex
iey
eikzt
合成波为
E
Re
E0
ex
iey
cos(kz t) i sin( kz t)
E0
[cos(
k
电磁波在空间传播有各 种各样的形式，最简单、 最基本的波型是平面电 磁波。
1．自由空间电磁场的 基本方程
2．真空中的波动方程
r E
r B
r H
r t D
r
t
D 0
r
B 0
c 1
00
2E
1
2
E
0
c2 t 2
2
B
1
2B 0
c2 t 2
能否直接用到介质中？
由此可知，由于
D
E
以及
B
5．偏振问题
（1）入射为自然光（两种偏振光的等量混合，在各
个方向上
E
均相同， 即
E E∥ ）
但由于垂直入射面的分量与平行入射面的分量，其
反射和折射行为不同
由菲涅尔公式
E E∥
E E∥
这样，反射和折射波就被变为部分偏振光（各个方
向上 E大小不完全相同）。
（2）布儒斯特定律：若
E与E也总是同相位；
若＋ ,
2
E∥与E∥ 反相位，
若＋ ,
2
E∥与E∥ 同相位。
但
E//与E
相位总是相同
//
结论：（1）折射波与入射波相位相同，没有相位突变；
（2）反射波与入射波在一定条件下有相位突变。
对于 E 垂直入射情况：当波从疏介质入射到密介质时，反射波
电场与入射波电场反向，即相位差 ，这种现象称为半波损失
Re(
f
*g)
例一：有一平面电磁波，其电场强度为
r E
xr ,
t
100
r ex
exp[i(2

102
z
2
106 t )]
（1）判断电场强度的方向和波传播的方向；
（2）确定频率、波长和波速；
（3）若介质的磁导率 4 107 (亨米) 求磁场强度；
（4）求在单位时间内从一个与 x y 平面平行的单位
① n 1, E∥ 0, E 0 ② n 1, E∥ 0, E 0
E 1
B
B H
H E
1 2 0
2 sin 1 sin
E E E
①
2 Ecos 1E cos 1Ecos ③
E
E
E
E
1 cos 2 cos sin( ) 1 cos 2 cos sin( )
2 1 cos
2 cos sin
1 cos 2 cos sin( )
第四章 电磁波的传播
本章重点： 1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波 2、反射和折射定律的导出、振幅和相位关系 3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应 4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式
本章难点： 1、振幅和相位关系 2、导体内的电磁波 3、谐振腔和波导中电磁波求解
随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空 间互相激发，在空间以波动的形式存在，这就是电磁波。
波长、波速、 频率间的关
k
v
k 2
Rs
Rs
2
k
v f
2
系
T 1 2 v
f
T
（3）横波特性(TEM波） k E k B 0
r 证明： E
(
r E0
r
)eik
xr
r
(eik
xr
)
r
E0
r ik
Er 0eikr xr
0
k E 0 同理 k B 0
（4） B 与 E 的关系
2
E
k
2E
0
2B k2B 0
波动方程的推导过程中利用了条件
E
0
B 0
因而波动方程的解应满足以上条件
对时谐波
B
iB
t
E iB iH
r B
i
r E
（或者 H
i
E
）
同样
D
iD
t
E
i
H
H iD iE
r
r
2E k2E 0
r B
i
r E
称 为 时谐 波 的 亥 姆 霍 兹 方 程 （其中 k 称为波矢量）
H，而不能将真空中的
波动方程简单地用 代 0 、代 0 转化为介质中的波
动方程。
4．时谐波及其方程
时谐波是指以单一频率 做正弦（或余弦）振荡的电磁波
（又称为单色波或者定态电磁波）。
这种波的空间分布与时间t无关，时间部分可以表示为
eit cost i sin t，因此有以下关系成立：
r E
xr ,
1．E垂直入射面（ x z 平面）
E E
(E|| 0)
erernn[[HErr
r (E
r (H
r E)] 0 r H)] 0
②
ern
z
k
E
H
Et Et Et H t H t H t
E
① k
H
H
E
k
x
E E E
①
H cosθ H cosθ H cosθ ②
B
k
E
证明：
r
r
B
i
r E
i
(
rr E0eik
xr
)
i
r
eik
xr
r E0
k
r E
平面波特性总结：
a)
b)
横波， B
EB
与
E
BE都E与 k传播E方 0向垂直
E, B, k 构成右手螺旋关系
c)
E 与 B 同相位；振幅比为波速
E B
v k
（5）波形图
假定在某一时刻（
t t0 ），取
t
r E
xr
ei
t
DBxx,, tt
DBxxee
it it
Hx, t Hxeit
对单一频率 D E 、B H成立。介质中波动方程为：
r 2E
1 v2
r 2E t 2
0
2
r B
1 v2
r 2B t 2
0
E
iE,
t
2E t 2
2E
同样
2B t 2
2 B
令 k
v
介质中波动方程化为：
2
z
2
10
6
t
)]
（ H 与 E 同相位同频率，与 k 垂直且与 E 垂直，
故它在 y 轴方向）。
（4）
S
：单位时间垂直通过单位横向截面的能量
S vw
w E2 B2
H 2 250 107
r
S 2500
例2. 两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z轴传播，
一个波沿x方向偏振，另一个波y 沿方向偏振，但其相位比前
2
r B
k
2
r B
0
同理可以导出磁感应 强度满足的方程
r E
i
r B
二、平面电磁波
研究平面波解的意义：
1．平面波解的形式
①简单、直观、物理意义 明显；②一般形式的波都
亥姆霍兹方程有多种解：平面波 可以视为不同频率平面波
解，球面波解，高斯波解等等。 的线性叠加。
其中最简单、最基本的形式为平
面波解。
即反射波只有 E 分量； 2
则反射波
E∥
0，
若自然光入射，则反射波为完全线偏振波。
6．正入射（ 0， 0， 0 ）的菲涅耳公式
E 1 2 1 n E 1 2 1 n
E∥ ＝ 2－ 1 ＝ n 1 E∥ 2＋ 1 n 1
E 2 1 2 E 1 2 1 n
E∥ ＝ 2 1 ＝ 2 E∥ 2＋ 1 n 1
垂直的平面。在S 面
x kRs 常数
平面波：波前或等相 面为平面，且波沿等 相面法线方向传播。
x
k
因此在同一时刻，S 平面为等相 面，而波沿 k 方向传播。
o
Rs S
（2）波长与周期
波长 2 周期 T 1 2
k
f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差： k(Rs Rs ) 2
（4）入射角、反射角、折射角之间的关系
kx k sin kx ksin kx ksin
k sin ksin k sin ksin
及
sin v1 sin v2
22 11
n1 sin n2 sin