模糊数学(模糊聚类、模糊映射与变换)
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模糊数学——模糊映射与模糊变换教学课件
f R 是X到Y的模糊映射。
。
于是，也确定了模糊映射 f R
模糊变换
定义4.3.2 称映射 T : F ( X ) F (Y ), A T ( A) B
为X到Y得模糊变换。
由定义可知，模糊变换是集合变换的推广，即 在影射T下，将模糊集A变成模糊集B. 若模糊变换T满足
T ( A B) T ( A) T ( B), T (A) T ( A),
因为Tf是由f诱导出的，所以 :Tf(A)=A•Rf .
r11 r12 令R r21 r22 , r r r 1,1,0 r 31 32 r
r 11 1 有，,0,0 r21 r 31
11 21
r 12 r22 0.2,0.5 , r32
例4. 3. 1 设 X x1 , x2 , x3 , x4 , Y y1, y2, y3 , 令
f1 : x1 f1 ( x1 ) x2 f1 ( x2 ) x3 f1 ( x3 ) x4 f1 ( x4 ) 1 y1 , y1 1 1 y1 , y2 , y1 y2 1 y3 , y3 1 1 1 y1 , y2 , y3 ; y1 y2 y3 0.2 0.3 0.8 , y1 y2 y3
B是Y上的模糊子集。 因此，T是X到Y的一个模糊变换。
模糊变换
例4.3.3
f : X Y,
T : F ( X ) F (Y ),
由1.4节的扩张原理知
A T ( A) f ( A), T 1 : F (Y ) F ( X ), B T ( B) f ( B)
则T是X到Y的模糊线性变换，
模糊数学_3第五章 模糊映射与变换,模糊关系方程
f fR : u V
满足：
{ f (u)} R | u
f (u ) vu
反之任给一普通映射 f : U V 也可确定普通关系
R {(u,v) | v f (u )}
或
1 当v f (u ) X R (u ,v) 0 当v f (u )
普通关系的映射象和原象都是清晰的。
~
R | u 4 f (u4 ) (0.7,0,0.4)
~
R | u1 0.4 0.7 0 ~ R | u 2 0.1 0.4 0.3 R ~ u R|u ~ 3 0 0.5 0 R | u 4 0.7 0 0.4 ~ v
对于模糊集合普通映射， f : U V 给定 A F (U )，在 f 之下的象应当是什么？ ~ 给定 B F (V )，在 f 之下的原象应当是什么？ ~ 普通集合 f 怎样扩展到 F (U ) 与 F (V ) 之间去。 • 定义5.６ 设 f : U V ，所谓 f 在模糊集类上的扩展， 1 乃是指这样两个映射，仍记为 f 与 f
f : U V
设 A 1, 0, 0.2, 0, 0.1,， 0.9
~
由扩展原理： f ( A) (v1) A (u1 ) A (u2 ) A (u3 )
~ ~ ~ ~
1 0 0.2 1
f ( A) (v2 ) 0.1
f ( A) (v3 ) 0.9
在身高论域V上应表现为
0 .1 0 .2 1 . 5 1 .6
b a R (0.8,1,0.8,0.6,0.2) 0.8 1 0.8 0.6 0.2 1.4m 1.5m 1.6m 1.7m 1.8m
模糊数学
模糊性与随机性的区别
事物 事物分确定性现象与非确定性现象
- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象
* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义， 只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性 * 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模 糊的
A : U {0,1} u A ( u),
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
Ⅱ、模糊集合及其运算
美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的 “非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。
ab ab a b ,a b 1 ab 1 (1 a )(1 b)
模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ；
模糊集合及其运算
u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
x 140 A( x) 190 140
也可用Zadeh表示法：
第四章 模糊数学
（可多位专家取其平均值，如体操比赛打分） 3 描点( xi， A ( xi ))，作出 A ( xi )的曲线。
例2：考虑年龄论域X 上的模糊子集A 青年人的年龄， 请专家评定结果如表：
0-14 0
15 18-28 30 35 38 40 45-200 0.5 1 0.9 0.6 0.5 0.3 0
A ( x4 ) 0，则有：
1 0.6 0.1 0 A （最后一项可不写） x1 x2 x3 x4
3、隶属函数的确定 这里介绍两种常用的确定方法，以R1中的模糊 集为例： （1）专家评定法（德尔菲法） 步骤： 1 给定论域X 及其模糊子集A； 2 适当选取X 中若干点xi，请专家评定其 A ( xi )；
第四章 模糊数学(Fuzzy Maths)
第一节 模糊集(Fuzzy Sets)
一、模糊现象与模糊集
有些概念，其外延是清楚的，如男人、女人。
而有些概念，其外延不很清楚，如青年人、老年人。 于是我们有如下定义： 模糊集—边界不清楚的集合。 例如：
雨天是清晰集（普通集），而晴天是模糊集；
青年人、老年人也是模糊集。 事实上，“青年”变为“老年”是一个连续的 过程。因此，处于中间过渡阶段年龄的人，自然就 具有“亦此亦彼”的属性。我们把这种属性称为：
书159～161页给出了一个模糊统计的例子。 有时候我们得到的 A ( x)的图形是不规则的，很难
写出其精确的数学表达式。有时为了计算、编程的需 要，我们希望得到 A的函数表达式，可根据估计的 A
进行适当修正，得到与其最接近的函数表达式。下面 介绍几种常见的模糊分布曲线： 4、几种常见的 A ( x)类型（论域为R1）：
模糊数学方法
。 在实际处理过程中，R的收敛速度是比较快的。为进一步加快收敛速
度，通常采取如下处理方法： R→R2→R4→R8→…→R2k
即先将R自乘改造为R2，再自乘得R4，如此继续下去，直到某一步出现 R2k=Rk=R*。此时R*满足了传递性, 于是模糊相似矩阵(R)就被改造成了 一个模糊等价关系矩阵(R*)。
糊变量，相应的参数分别为
,
,
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，
,
,
,而
是xij的方差。待判别对象B的m个指标分别具有参数aj , bj (j=1, 2, …, m)，且为正态型模糊变量，则B与各个类型的贴近度为
记Si=
，又有Si0=
，按贴近原则可认为B与Ai 0最贴近。
注意事项：系统最多可处理20个因子，100个样本。 例如，在“有序样本最优分割”一节中，我们将历年三化螟发生动态 根据最优分割结果分成3类, 即将三化螟种群消长过程划分为猖獗缓和猖 獗三个阶段, 这样的划分结果与该县历年水稻种植制度(一季中稻为主纯 双季稻单双季混栽)的变化是相吻合的。为识别1988 年之后三化螟发生 动态，我们也可以应用模糊识别方法进行分析。现将待识别数据和原来
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。 实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育 等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信 息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋 势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别 和综合评判等方法。在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般 常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能 模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
度，通常采取如下处理方法： R→R2→R4→R8→…→R2k
即先将R自乘改造为R2，再自乘得R4，如此继续下去，直到某一步出现 R2k=Rk=R*。此时R*满足了传递性, 于是模糊相似矩阵(R)就被改造成了 一个模糊等价关系矩阵(R*)。
糊变量，相应的参数分别为
,
,
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，
,
,
,而
是xij的方差。待判别对象B的m个指标分别具有参数aj , bj (j=1, 2, …, m)，且为正态型模糊变量，则B与各个类型的贴近度为
记Si=
，又有Si0=
，按贴近原则可认为B与Ai 0最贴近。
注意事项：系统最多可处理20个因子，100个样本。 例如，在“有序样本最优分割”一节中，我们将历年三化螟发生动态 根据最优分割结果分成3类, 即将三化螟种群消长过程划分为猖獗缓和猖 獗三个阶段, 这样的划分结果与该县历年水稻种植制度(一季中稻为主纯 双季稻单双季混栽)的变化是相吻合的。为识别1988 年之后三化螟发生 动态，我们也可以应用模糊识别方法进行分析。现将待识别数据和原来
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。 实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育 等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信 息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋 势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别 和综合评判等方法。在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般 常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能 模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
模糊数学简介
§1.4 模糊等价关系与经典等价关系
模糊等价关系
若模糊关系R是 上各元素之间的模糊关系 模糊关系， 若模糊关系 是X上各元素之间的模糊关系， 且满足： 且满足： (1)自反性 自反性： (1)自反性：R(x, x) =1； I ≤R (⇔ rii =1 ) ； ⇔ (2)对称性 对称性： (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； T=R(⇔ rij= rji) ； R ⇔ (3)传递性 传递性： (3)传递性：R2⊆R, R2≤R. 则称模糊关系 模糊关系R是 上的一个模糊等价关系 模糊等价关系. 则称模糊关系 是X上的一个模糊等价关系.
模糊等价关系与经典等价关系的联系
若R是X 上的模糊等价关系，当且仅当， ∀λ ∈ [0,1], R λ 是X 上的经典等价关系。
第二部分 模糊数学的基本应用
2. 1 模糊聚类分析基础 2.2 模糊模式识别基础 2.3 模糊综合评判基础 2.4 模糊线性规划
y
§2.1 模糊聚类分析
数据标准化
设论域X 为被分类对象, 设论域 = {x1, x2, …, xn}为被分类对象,每个 为被分类对象 对象又由m个指标表示其形状 个指标表示其形状: 对象又由 个指标表示其形状: xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n 于是,得到原始数据矩阵为 于是,
, sj = 1 n
1 其中 x j = n
∑x
ij
∑ (x
i =1
n
ij
− xj)
2
平移 • 极差变换 xij − min{ xij | 1 ≤ i ≤ n} ′ xij = max{ xij | 1 ≤ i ≤ n} − min{ xij | 1 ≤ i ≤ n}
模糊数学理论
2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念 1）模糊关系
2) 模糊矩阵
2.2模糊等价关系与模糊相似关系 模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价关系 ）
2）模糊等价矩阵 ）
3）模糊相似关系与模糊相似矩阵 ）
2.3 截矩阵与传递矩阵 1）截矩阵 ）
Байду номын сангаас
2）模糊传递矩阵 ）
3 模糊聚类分析
所谓聚类分析，就是用数学的方法把事物按一定要求 和规律进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生 之前，聚类分析已是是数理统计中研究“物以类聚”的一 种多元分析方法，它通过数学工具定量地确定、划分样品 的亲疏关系，从而客观地、合理地分型划类。由于客观事 物之间在很多情况下并没有一个截然区别的界限，又由于 分类时所依据的数据指标的变化也大都是连续的，同时许 多客观事物之间的界限往往不一定很清晰，使传统的基于 数理统计原理的聚类分析方法遇到了困难。因此用模糊数 学观点解决聚类分析问题，必然会更符合于实际情况。这 种基于建立模糊相似关系对客观事物进行分类的方法，称 为模糊聚类分析。
注明： 统计量确定满意分类 注明：用F统计量确定满意分类
• 3.1 模糊聚类分析理论：
1)
2)
3)
4)
3.2 基于模糊等价关系的动态聚类分析
例题
此例题可以用截矩阵的方法来实现
3.3 基于模糊相似关系的聚类分析 1）建立模糊相似矩阵 ）
2）传递闭包法 ）
此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。 此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。
3）模糊集的表示
4）模糊集的运算 ） 模糊集与普通集一样， 模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。 算规律。
A与B的并集、交集及 的补集定义如下： 与 的并集 交集及A的补集定义如下 的并集、 的补集定义如下：
2) 模糊矩阵
2.2模糊等价关系与模糊相似关系 模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价关系 ）
2）模糊等价矩阵 ）
3）模糊相似关系与模糊相似矩阵 ）
2.3 截矩阵与传递矩阵 1）截矩阵 ）
Байду номын сангаас
2）模糊传递矩阵 ）
3 模糊聚类分析
所谓聚类分析，就是用数学的方法把事物按一定要求 和规律进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生 之前，聚类分析已是是数理统计中研究“物以类聚”的一 种多元分析方法，它通过数学工具定量地确定、划分样品 的亲疏关系，从而客观地、合理地分型划类。由于客观事 物之间在很多情况下并没有一个截然区别的界限，又由于 分类时所依据的数据指标的变化也大都是连续的，同时许 多客观事物之间的界限往往不一定很清晰，使传统的基于 数理统计原理的聚类分析方法遇到了困难。因此用模糊数 学观点解决聚类分析问题，必然会更符合于实际情况。这 种基于建立模糊相似关系对客观事物进行分类的方法，称 为模糊聚类分析。
注明： 统计量确定满意分类 注明：用F统计量确定满意分类
• 3.1 模糊聚类分析理论：
1)
2)
3)
4)
3.2 基于模糊等价关系的动态聚类分析
例题
此例题可以用截矩阵的方法来实现
3.3 基于模糊相似关系的聚类分析 1）建立模糊相似矩阵 ）
2）传递闭包法 ）
此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。 此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。
3）模糊集的表示
4）模糊集的运算 ） 模糊集与普通集一样， 模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。 算规律。
A与B的并集、交集及 的补集定义如下： 与 的并集 交集及A的补集定义如下 的并集、 的补集定义如下：
模糊数学第六章
一、模糊意见集中决策
对集合U＝{u1,u2,…,un}中的元素进行排序，可由专家小组M分别对U中的元素排序，
则得到m种意见：
V={v1,v2,…,vm}
将这m种意见集中为一个比较合理的意见，称之为“模糊意见集中决策”。
例如：评选先进工作者、评选获奖项目等，传统的集体表决、领导裁决等办法都有 不合理之处。
TR(A)= A °R = B, 它是评判集V 的一个模糊子集,即为综合评判.
(U, V, R )构成模糊综合评判决策模型, U合评判决策的方法与步骤是：
⑴ 建立因素集U ={u1, u2, … , un}与决断集V ={v1, v2, … , vm}.
⑵ 建立模糊综合评判矩阵. 对于每一个因素ui ,先建立单因素评判： (ri1, ri2, … , rim) 即rij(0≤rij≤1)表示vj对因素ui所作的评判,这样就得到单因素评判矩阵R =(rij)n×m.
r11 r12 r13 ... r1m
综合评判：BR=A。R，r2A1 为权重r。22
r23 ... r2m
... ... ... ... ....
rn1
rn2 rn3 ... rnm
3、模糊综合评判决策的数学模型
由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可用权重A = (a1, a2, … , an )来描述,它是 因素集U 的一个模糊子集.对于每一个因素ui ,单独作出的一个评判 f (ui),可看作是U到V 的一个模糊映射 f ,由 f 可诱导出U 到V 的一个模糊关系 Rf ,由Rf可诱导出U 到V 的一个 模糊线性变换
u1, u2, u3, u4, u6, u5
模糊意见集中决策
例：某公司营销部决定在今年十一国庆节由公司报销，集体到外地旅游，营销部经理决 定让营销部全体成员用Borda法则投票表决来选择最终的旅游目的地。 不妨假设营销部 所有员工为60人，有去黄山、张家界、泰山3个方案供大家选择。这个时候在60人中3个 方案的排序如下。 根据Borda法则，去黄山这个方案排在倒数第三位（也就是第一位） 的次数是23次，得23×3＝69票，排在倒数第二位的次数是2次，得2×2＝4票，排在倒 数第一位的次数是19次，得19×1＝19票，因此去黄山整个方案最终的得票数位为19＋4 ＋69＝92票。 同样的算法，可以得到去张家界的总票数为67票，去泰山的总票数为103 票。因此该营销部全体员工最终选择的旅游目的地是泰山。
模糊数学-模糊数学基本知识
而直积
A
B
0.5 0.4
0.3 0.8
0.8 0.3
0.5 0.7
0.5 0.4
0.8 0.3
模糊矩阵: A aij
aij bij
B bij
A B
例2
0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 0.7 0.8 0.9
AB
（c）模糊矩阵的和:
cij max aij , bij aij bij
模糊矩阵C称为A与B的和的表示:
C cij A B
（d）模糊矩阵的直积
A aij
❖ 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A 0.2 0.7 1 0.5 , B 0.5 0.3 0.1 0.7
u1 u2 u3 u5
u1 u2 u4 u5
求AB、 AB ， AC
解：
A(u1)B(u1)
AU B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
身高与体重的普通关系
R(A,B) Bi
40
50
60
70
80
Ai
140
1
0
0
0
0
150
0
1
0
0
0
160
0
0
1
模糊数学方法
数为 R：U V 0,1 , ( x, y ) R ( x, y )
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
模糊数学基本知识
一．模糊数学的基础知识1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。
模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。
即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。
（1）模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射： ))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。
)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。
映射所表示的函数称为隶属函数。
例如：设论域U=[0，100]，U 上的老年人这个集合就是模糊集合：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A 若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。
（2）模糊集合的表示：},.....,,{21n u u u U =，)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度；则模糊集可以表示为：nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。
或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =，（3）模糊集合的运算：)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂，补集：)}(1),.....,(1),(1{21n c u A u A u A A ---=，包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,，2．模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ，则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集； 称})(,{λλ>∈=u A U u u A s 为模糊集A 的λ-强截集；λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。
数学建模——模糊数学方法
• 模糊矩阵的λ－截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中
当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0
1 1 0 0
A
0.5 0.2 0
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为
（0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为： （0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵：
0.3 0.5 0.2 0 P 0.4 0.3 0.2 0.1
0.1 0.1 0.3 0.5
设三个指标的权系数向量： A ＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝ ＝（0.5, 0.3, 0.2)
B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的 不同定义，可得到不同的模型
模型1 M（Λ，V）——主因素决定型
bj max{( ai pij ) |1 i n}( j 1,2,, n)
模型2 M（٠，ν）——主因素突出型
bj max{(ai pi j )1 i n}( j 1,2,, m)
例4： 利用模糊综合评判对20加制药厂经 济效益的好坏进行排序
因素集：
U={u1,u2,u3,u4}为反映企业经济效益的主 要指标
模糊数学中的模糊分类与模糊聚类
模糊数学中的模糊分类与模糊聚类模糊数学是一种旨在处理模糊或不确定信息的数学分支。
在日常生活中，我们经常会遇到无法明确划分的情况，例如对于颜色、温度、评价等概念，很难用确定的数值来量化描述。
为了更好地研究和解决这些模糊问题，模糊数学提供了一种有效的工具。
本文将重点介绍模糊数学中的模糊分类与模糊聚类两个主要概念。
一、模糊分类1.1 概述模糊分类是指将对象根据其模糊属性划分为不同的类别或群组。
与传统分类不同，模糊分类允许对象被同时归属于多个类别，而不是严格地属于某一个类别。
这一特点使得模糊分类能够更好地应对现实生活中的模糊性和不确定性。
1.2 模糊分类方法模糊分类的方法主要包括模糊关联、模糊决策树和模糊聚类等。
1.2.1 模糊关联模糊关联是通过建立一个关联矩阵来进行模糊分类的方法。
关联矩阵中的每个元素表示对象与类别之间的隶属度关系，该关系通常用一个介于0和1之间的实数值来表示。
通过对关联矩阵进行模糊运算，可以得到对象所属于不同类别的隶属度，从而实现模糊分类。
1.2.2 模糊决策树模糊决策树将传统决策树中的确切节点替换为模糊节点，从而实现对对象的模糊分类。
模糊节点表示对应分支的隶属度，可以有多个分支与之对应。
通过对模糊决策树进行模糊运算，可以得到对象所属于不同类别的隶属度，从而实现模糊分类。
二、模糊聚类2.1 概述模糊聚类是指将具有相似特征的对象自动聚合到一起形成群组的过程。
与传统聚类算法不同，模糊聚类允许对象被同时归属于多个群组，而不是严格地属于某一个群组。
这一特点使得模糊聚类能够更好地处理模糊性和不确定性。
2.2 模糊聚类方法模糊聚类的方法主要包括模糊C均值聚类、模糊聚类算法和模糊关联聚类等。
2.2.1 模糊C均值聚类模糊C均值聚类是一种常用的模糊聚类方法，它通过计算对象与聚类中心之间的隶属度关系来实现聚类。
该方法假设每个对象属于不同聚类的隶属度之和为1，通过迭代计算，可以得到每个对象所属于不同聚类的隶属度。
数学建模 模糊数学
模糊集的运算性质基本上与 经典集合一致，除了排中律以外， 即 A∪Ac U， A∩Ac . 模糊集不再具有“非此即彼” 的特点，这正是模糊性带来的本 质特征.
-截集：
模糊集的 - 截集 A 是一个经典 集合，由隶属度不小于 的成员构 成.即：
A= {x | A(x) ≥ }
模糊相似矩阵的性质
上述定理表明，任一个模 糊相似矩阵可诱导出一个模 糊等价矩阵.
平方法求传递闭包 t (R)： RR2R4R8R16…
有限步之内可以求出
最后由模糊等价关系的-截集得到 等价关系，从而分类。不同的得 到的分类可能是不一样的。
在模糊聚类分析中，对于各个不同 的 ∈ [0,1] ，可得到不同的分类，从而 形成一种动态聚类图，这对全面了解样 本分类情况是比较形象和直观的.
经典二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二 元关系，特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系，简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系， 记为R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系， 记为R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R的特征函数.
模糊数学基础
Fuzzy Mathematics
主讲人：韩邦合
实际生活中充满了模糊概念， 例如 , 要你某时到飞机场去迎接一个 “大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼 镜的中年男人”. 精确概念：时间、地点、男人
模糊概念：大胡子、高个子、 长头发、宽边眼镜、中年人
模糊概念是存在的，也是 必须的，更是重要的。 人类大脑对于模糊性概念 具有较强的处理能力，模糊数学 研究处理模糊概念的理论和方法， 从而让机器人具有人一样的思维 能力，是人工智能的重要学科之 一。
模糊数学简介
晰”, 有许多概念没有明确的界限, 特别是在
人类的思维与语言中，例如: 高矮、胖瘦、美 丑等. 模糊数学的出现与计算机智能模拟密切
1965年, 美国加利福尼亚大学自动控制专
家L. A. Zadeh第一次提出了模糊性问题, 从不
同于经典数学的角度, 研究数学的基础集合论,
给出了模糊概念的定量表示方法, 发表了著名
模糊数学简介
模糊数学(Fuzzy mathematics, 弗晰数学 )
是解决模糊性问题的数学分支. 这里所谓的
“模糊”是相对于“明晰”而言的, 而所谓的
“明晰”即非此即彼.明晰数学数学的基础是
经典集合论: 一个元素a, 要么属于集合A, 要么
要么属于A的余集, 二者必居其一. 但是并非
所有的现象和概念都象经典集合论这样“明
R1 R2={(x, z) | x + z = 5}={(2,3), (3,2), (4,1)}.
○
0 0 R1 0 1
0 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 R2 0 1 0 0 0 1
等价关系：设R为 X 上的关系, 如果满足
(1) 自反性： X 中的任何元素都与自己有
关系，即R(x, x) =1；
(2) 对称性：对X中的两个元素x, y, 若x
与y有关系,则y与x有关系,即若R(x, y) =1，则
R(y, x) = 1；
(3) 传递性：对于X中的三个元素x, y, z，
若x与y有关系，y与z有关系，则x与z有关系， 即若R(x, y) = 1,R (y, z) =1，则R(x, z) = 1. 则称R为X上的等价关系.
设 R为 X 上的等价关系. 如果(x, y) R, 即x与y有关系R, 则记为 x y. 集合上的等价类 设 R是X 上的等价关系， xX. 定义x的等价类： [x]R = { y | yX , y x }. 集合的分类 设 X 是非空集合，{Xi }是 X 的 非空子集族，若
本科数学专业课程中思政元素的实践探索——以“模糊数学”为例
本科数学专业课程中思政元素的实践探索——以“模糊数学”为例近几年，在国家政策的指导下，课程思政建设正在全国各个高校如火如荼地展开，其效果也在高等教育中凸显出来［1］。
课程思政作为立德树人根本任务的重要举措，已经成为各类专业课程与思政元素有机结合的完美体现。
要将思政元素和专业知识双重目标分解落实，明确实施途径和方式，才能切实达到育人、育才统一的建设效果。
数学专业课程以其严谨的逻辑思维要求和独特的课程体系，使得与思政元素结合的切入点尤其关键。
如何将晦涩难懂的数学知识与鲜活高尚的思政元素融为一体，是很多大学数学教师潜心摸索的问题［2］。
笔者以数学专业课程——“模糊数学”的讲授过程为例，谈几点自己的看法。
一、课程思政引入数学类专业课中存在的问题（一）重视程度不足教育部颁布的《国家中长期教育改革和发展规划（2010-2020年）》中指出，高校教师的80%是专业教师，课程的80%是专业课程，学生学习时间的80%用于专业学习，专业课程教学是课程思政的最主要的依托。
但是目前高校中仍有少数专业教师在思想政治教育的认识上存在误区，导致对思政元素引入专业课堂的积极性不高、针对性不强。
同时，也有部分教师对教学中思政元素的引入一带而过，敷衍了事，这样的教学既没有达到思想政治育人的目的，也降低了专业知识传授的效果。
（二）课程体系不完善高校专业课程的培养目标通常强调提升学生的专业技能，在教学设计环节弱化了思想政治教育设计的周密性和科学性；在开展教学过程中，思想政治教育与专业教育出现了较大的脱节。
特别是数学类专业课程，专业知识中思政元素的挖掘不够全面，与专业课程结合比较片面，没有将专业教育与思想政治教育紧密融合，形成协同效应。
由于高校数学类专业课程具有较为完备的课程标准，尤其在基本概念、理论推导、计算过程等方面都已经形成了完善的教学体系和考核标准，因此，教师在教学过程中，往往只在标准框架下进行基本规范的教学活动，更加注重基本知识的讲解和逻辑思维的培养，对课程思政考虑不足，更没有在教学设计和教学对策中更好地融入思政元素，这不利于教学质量更好的提升，在一定程度上也阻碍了课程思政的顺利进行。
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利用λ ＝0.8时的截关系，将X分成4
个等价类：
{x1, x3}, {x2}, {x4}, {x5}
吉林大学计算机科学与技术学院
19
λ ＝0.6
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4
1
0.4
0.4
0.4
1 0 1 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
t(R)0.6 1 0
0
0
0 0
1 0 0
0 0
1 1
1 1
利用λ ＝0.6时的截关系，将X分成3
个等价类：
{x1, x3}, {x2}, {x4, x5}
吉林大学计算机科学与技术学院
20
λ ＝0.5
1 0.4 0.8 0.5 0.5
r ij
1
0.1
m k 1
xik
x jk
,i
j
“环境”例中，采用“绝对值减数法” 问：得到的相似矩阵的维数是多少？
9
模糊相似矩阵
10
步骤2：相似关系等价关系
步骤1得到的矩阵一般满足自反性和 对称性
将模糊相似矩阵改造成模糊等价矩 阵
平方法 求传递闭包
11
至多计算多少次？
模糊相似矩阵5×5
1 1
1 1
11
利用λ ＝0.4时的截关系，将X分成1
个等价类：
{x1, x2, x3, x4, x5}
吉林大学计算机科学与技术学院
22
动态聚类图
λ由1变到0，Rλ的分类由细到粗
λ =1
λ =0.8 λ =0.6 λ =0.5 λ =0.4
x1 x2 x3 x4 x5
吉林大学计算机科学与技术学院
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
吉林大学计算机科学与技术学院
16
R的传递闭包t(R)=R4 对于t(R)，依次取截关系
吉林大学计算机科学与技术学院
17
λ ＝1
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4
1
0.4
0.4
0.4
t(R) 0.8 0.4 1 0.5 0.5
λ ＝0.8
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4
1
0.4
0.4
0.4
1 0 1 0 0
0
1
0
0
0
t(R) 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
t(R)0.8 1 0
0
0
0 0
1 0 0
0 0
1 0
0 1
境污染分类”、“岩石分类”等 用到模糊聚类分析
4
分类问题
设U ={u1, u2, …, un }为待分类的全体 对象，其中每个待分类对象由一组数 据表征如下：
ui {xi1, xi2 ,..., xim}
问题转化为：如何建立对象ui与uj之 间的相似关系
5
何谓数据表征
例如，要对一些环境单元进行分类，判 断它们的污染程度
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25
直接聚类法
建立模糊相似矩阵R后，无需求出 其传递闭包t(R)
直接从R出发，可以求得同样的聚
类图
x1 x2 x3 x4 x5
λ =1
λ =0.8
λ =0.6
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λ ＝0.4
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4
1
0.4
0.4
0.4
1 1 1 1 1
1
1
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1
t(R) 0.8
0.5
0.5
0.4 0.4 0.4
1 0.5 0.5
0.5 0.5
1
0.6
0.6 1
t(R)0.4 1 1 1
1 1 1
1 1 1
7
步骤1：建立模糊相似关系
如何建立对象ui与uj之间的相似关系？ 有许多方法，应用时根据实际情况，
选择一种方法来求ui与uj的相似关系 R(ui, uj)=rij 在“环境污染”的例子中，如何给 出模糊相似矩阵？
8
建立相似矩阵
建立模糊相似矩阵的注意事项：
rij∈[0,1]
1,i j
自反 对称
0.4
1
0.4
0.4
0.4
1 0 1 1 1
0
1
0
0
0
t(R) 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
t(R)0.5 1 0 1 0 1 0
1 1 1
1 1
1 1
11
利用λ ＝0.5时的截关系，将X分成2
个等价类：
{x1, x3, x4, x5}, {x2}
k=[log25]+1=2+1=3 最坏情况下，RR2R4R8，计
算到R8
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12
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13
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14
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15
模糊等价矩阵
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4
1
0.4
0.4
0.4
t(R) R4 0.8 0.4 1 0.5 0.5
0.5
0.4
0.5
1
0.6
0.5 0.4 0.5 0.6 1
1 0 0
0
1
0
t(R)1 0 0 1
0
0
0
0 0 0
0 0
0
0
0 0
1 0
0 1
利用λ ＝1时的截关系，将X分成5个
等价类：
{x1}, {x2}, {x3}, {x4}, {x5}
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18
模糊数学 8
1
上次课堂作业
设 1 0.1 0.2
R
0.1 0.2
1 0.3
0.3 1
请问至多几次平方可以到达传递闭 包？
请给出传递闭包t(R)
2
3-9 聚类分析
3
聚类分析
所谓聚类分析，就是用数学方法对 事物进行分类
应用十分广泛 模糊数学产生之前，聚类分析是数理
统计多元分析的一个分支 现实分类问题具有模糊性，例如“环
23
其他建立相似矩阵的方法
非常多！主要分为3类
相似系数法 距离法（绝对值减数法就是距离法之
一） 主观法
在后面的附录中给出
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24
聚类分析的步骤
建立初始矩阵
利用某个建立相似矩阵的方法，建 立相似矩阵
利用平方法，相似矩阵等价矩阵
若相似矩阵的维数较大，需要多次自 乘，工作量大
每个环境单元包括四个要素：空气、水 分、土壤、作物
环境单元的污染状况由污染物在四个要 素中含量的超限度来描述
《北京市东南郊环境污染治理》，获北 京市科技成果一等奖
6
现有5个污染单元， U={Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ}
它们的污染数据如下: Ⅰ=(5,5,3,2),Ⅱ=(2,3,4,5), Ⅲ=(5,5,2,3),Ⅳ=(1,5,3,1), Ⅴ=(2,4,5,1)