第20讲 对数函数的性质及反函数

（一）教学目标1.教学知识点1． 对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小； ４．对数形式的复合函数的定义域、值域； ５．对数形式的复合函数的单调性． 2.能力训练要求1． 掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法；３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域； 5．掌握对数形式的复合函数的单调性； 6．培养学生的数学应用意识． 3.众优渗透目标1．用联系的观点分析问题、解决问题； ２．认识事物之间的相互转化．教学重点1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小； 2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法； 3．求对数形式的复合函数的单调性的方法．教学难点1．不同底数的对数比较大小；２．对数形式的复合函数的单调性的讨论．教学过程一、 复习引入： 1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．2、2． 函数y =x +a 与x y a log =的图象可能是__________二、新授内容：例1．比较下列各组中两个值的大小：⑴6log ,7log 76； ⑵8.0log ,log 23π． （3）6log ,7.0,67.067.0解：⑴16log 7log 66=> ，17log 6log 77=<，6log 7log 76>∴．⑵01log log 33=>π ，01log 8.0log 22=<，8.0log log 23>∴π．小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小． 练习： 1．比较大小（备用题）⑴3.0log 7.0log 4.03.0<； ⑵216.04.3318.0log7.0log -⎪⎭⎫⎝⎛<<； ⑶1.0log 1.0log 2.03.0> ． 例2．已知x =49时，不等式 log a (x 2 – x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )3492)49(1[2+⋅+⋅ 即log a1613＞log a 1639. 而1613＜1639. 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->-<2513121x x x x 或.故使不等式成立的x 的取值范围是)25,2( 例3．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍，③求a 的值。

（42=a ） 例4．求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅∵0＜x 1＜x 2＜1，∴12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2112211log x x x x --⋅＞0，∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数例5．已知f (x ) = log a (a – a x ) (a ＞1).（1）求f (x )的定义域和值域； （2）判证并证明f (x )的单调性.解：（1）由a ＞1，a – a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为(1, +∞)， 而a x ＜a ，可知0＜a – a x ＜a ， 又a ＞1. 则log a (a – a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1).（2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1， ∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a ＜2x a ，∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )，即f (x 1)＜ f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数. 例6．书P72面例9。

指导学生看书。

例7．（备选题） 求下列函数的定义域、值域：⑴)52(log 22++=x x y ； ⑵)54(log 231++-=x x y ；解：⑴∵44)1(5222≥++=++x x x 对一切实数都恒成立， ∴函数定义域为R ． 从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为),2[+∞．⑵要使函数有意义，则须： 5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x ，由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x ， ∴ 95402≤++-≤x x ．从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y ，∴定义域为[-1,5]，值域为),2[+∞-．例8．（备选题）已知f (x ) = log a x (a ＞0，a ≠1)，当0＜x 1＜x 2时， 试比较)2(21x x f +与)]()([2121x f x f +的大小，并利用函数图象给予几何解释.【解析】因为12121()[()()]22x x f f x f x +-+12121log [log log ]22a a a x x x x +=-+ =212121212log log 2log x x x x x x x x aa a+=-+ 又0＜x 1＜x 2，∴x 1 + x 2 – 222121)(x x x x -=＞0， 即x 1 + x 2＞221x x ， ∴21212x x x x +＞1.于是当a ＞1时，21212log x x x x a+＞0. 此时)2(21x x f +＞)]()([2121x f x f + 同理0＜a ＜1时)2(21x x f +＜)]()([2121x f x f + 或：当a ＞1时，此时函数y = log a x 的图象向上凸. 显然，P 点坐标为)2(21x x f +，又A 、B 两点的中点Q 的纵坐标为21[ f (x 1) + f (x 2)]， 由几何性质可知 )2(21x x f +＞)]()([2121x f x f +. 当0＜a ＜1时，函数图象向下凹. 从几何角度可知21212log x x x x a+＜0，此时)2(21x x f +＜)]()([2121x f x f +四、课堂小结：2． 比较对数大小的方法；2．对数复合函数单调性的判断；3五、课后作业 1．《习案》P193与P195面。

备选题2．讨论函数)1(log )(22+=x x f 在)0,(-∞上的单调性．（减函数） 3.已知函数y=a log (2-xa )在［0，1］上是减函数，求a 的取值范围．解：∵a ＞0且a ≠1,当a ＞1时， ∴1＜a ＜2. 当0<a<1时， ∴0<a<1，综上述，0<a<1或1＜a ＜2．（二）教学目标（一）教学知识点1．了解反函数的概念，加深对函数思想的理解 2．反函数的求法． （二）能力训练要求1．使学生了解反函数的概念； 2．使学生会求一些简单函数的反函数．x)])2x（三）众优渗透目标培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力．教学重点1．反函数的概念； 2．反函数的求法．教学难点反函数的概念．教学过程一、复习引入：1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s =vt ，其中速度v 是常量，定义域t ≥0，值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vst =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数，定义域s ≥0，值域t ≥0．问题１：函数s =vt 的定义域、值域分别是什么？问题２：函数vst =中，谁是谁的函数？ 问题３：函数s =vt 与函数vst =之间有什么关系？2、又如，在函数y ＝2x ＋6中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R ． 我们从函数y ＝2x ＋6中解出x ，就可以得到式子32-=yx ． 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32-=yx ，x 在R 中都有唯一的值和它对应． 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R ．3、再如：指数函数x a y =中，x 是自变量，y 是x 的函数，由指数式与对数式的互化有：y x a log = 对于y 在（0，+∞）中任何一个值，通过式子y x a log =，x 在R 中都有唯一的值和它对应． 因此，它也确定了一个函数：y x a log =，y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈（0，+∞），值域是x ∈R ． 二、讲解新课：新课标第一网 1．反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x =ϕ(y )． 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ(y )，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ(y )就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x =ϕ(y ) (y ∈C )叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y fx -=，习惯上改写成)(1x f y -=开始的两个例子：s =vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为vtt f=-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-xx f ． 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，2x y =，),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2：互为反函数定义域、值域的关系探讨3：)(1x fy -=的反函数是什么？若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数探讨4：探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：（1）函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称．（2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性． 三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数：①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=.解：①由13-=x y 解得31+=y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y ，∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-= 小结：求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明．例2． 函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求a 的值. 【解析】根据反函数的概念，知函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（4，1），∴1log 3a =， ∴3a =.【小结】若函数()y f x =的图象经过点(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a .例3．已知函数1)(+==x x f y ，求)3(1-f的值．解：方法一：∵0≥x ∴1≥y 由1+=x y 解得：2)1(-=y x∴)1()1()(21≥-=x x x f 为原函数的反函数， ∴)3(1-f ＝4．方法二：由反函数的定义得：13+=x ， 解得：x ＝4， 即)3(1-f ＝4．练习1．求下列函数的反函数：（1）y =x 4(x ∈R ), (2)y =x25.0(x ∈R ), (3)y =x)31((x ∈R ),(4)y =x)2((x ∈R ), (5)y =lg x (x ＞0), (6)y =24log x (x ＞0)(7)y =a log (2x )(a ＞0,且a ≠1,x ＞0) (8)y=alog 2x(a ＞0,a ≠1,x ＞0) 解：（1）所求反函数为：y =4log x(x ＞0), (2)所求反函数为：y =25.0log x(x ＞0) (3)所求反函数为：y =x 31log (x ＞0), (4)所求反函数为：y =x 2log(x ＞0)(5)所求反函数为：y =x10 (x ∈R), (6)所求反函数为：y =24x=x2 (x ∈R) (7)所求反函数为:y =xa 21(a ＞0,且a ≠1,x ∈R ) (8)所求反函数为：y =2xa (a ＞0,且a ≠1,x ∈R )练习2．函数y =3x的图象与函数3log y x =的图象关于（D ）A.y 轴对称B. x 轴对称C. 原点对称D. y x =直线对称 （备选题）3．求函数2385-+=x x y 的值域．解：∵2385-+=x x y ∴5382-+=y y x ∴ y ≠35 ∴函数的值域为{y|y ≠35}（备选题）4．利用互为反函数的图像的性质求参数()n mx y +=既在函数若点2,1.,,,n m 求又在其反函数图象上上解：由已知得：⎩⎨⎧=+=+122n m n m ，即⎩⎨⎧=-=73n m ， 故m 、n 的值分别是－3、7．（备选题）5．mx x x f +-=25)(已知的值求对称的图象关于直线m x y ,=．解：由已知可知，)(x f 的反函数是它的本身，即)()(1x f x f -=．由m x x x f +-=25)(得,125)(1---=-x mx x f 所以12525---=+-x mx m x x 恒成立． 比较对应系数得.1-=m五、课堂小结1．反函数的定义；求反函数的步骤． 2．互为反函数的函数图象间关系；3．互为反函数的两个函数具有相同的增减性． 六、课外作业：。