剩余类与完全剩余系ppt课件

§3.2 剩余类百度文库完全剩余系
一、剩余类 ——按余数的不同对整数分类
一个整数被正整数n除后，余数有n种情形：0，1，2， 3，…，n-1，它们彼此对模n不同余。这表明，每个 整数恰与这n个整数中某一个对模n同余。这样一来， 按模n是否同余对整数集进行分类，可以将整数集分 成n个两两不相交的子集。
定义1 给定m Z ,对每个r Z,0 r m 1,称集合
m 6,b 2 m 5,b 2 m 5,a 2 m 6,a 2
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定理3 设m 1，a，b是整数，(a, m) = 1，{x1, x2, , xm} 是模m的一个完全剩余系，则
{ax1 b, ax2 b, , axm b}也是模m的完全剩余系。 证明 由定理2，只需证明：若xi xj，1 i, j m
Kr (m) n : n r(mod m) 是模m的一个剩余类，
即 余数相同的整数构成m的一个剩余类。
一个剩余类中任意一个数称为它同类的数的剩余。
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定理1 设m Z ，则全部整数分别在模m的m个剩余类Kr (m)里.
其中，Kr (m) n : n r(mod m) 0 r m 1,
并且 (1)任一整数n必包含且仅包含在某个Kr (m)里； (2)设 a,b Z，则a,b Kr (m) a b(mod m).
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二、完全剩余系
1.定义2设m Z ，从模m的每一个剩余类里各取一个
数xi ,0 i m 1,称集合x0, x1,L , xm1 是模m的一个
完全剩余系，简称完全系.
Ax Ax (mod m1) x x (mod m1) x = x ，
由x = x ，Ax m1y Ax m1y (mod m1m2)，
则 axi b axj b (mod m)。 假设 axi b axj b (mod m)， 则 axi axj (mod m)， 且(a, m) = 1，
由§3.1中的结论,P50第三行知：xi xj (mod m)
xi x j .
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注意：
(1)在定理3中，条件(a, m) = 1不可缺少，否则不能 成立；
X { x1, x2 ,L , xm1 } ,Y { y1, y2,L , ym2 } 分别是模m1与模m2的完全剩余系，
则 R = { Ax m1y：xX，yY }是模m1m2的一个
证：Ax m1y Ax m1y (mod m1m2)， Ax m1y Ax m1y (mod m1)， 由m1 m1 y'，m1 m1 y''，所以
① A中含有m个整数； ② A中任何两个整数对模m不同余。 注：由定理1及定义2易得证。 思考：1、既然完全剩余系是不唯一的，不同的剩余系 之间存在什么关系呢？
2、一个完全剩余系的所有元素通过线性变化 后，还是完全剩余系吗？
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检验：设{x1, x2, , xm}是模m的一个完全剩余系， 那么，{b+x1, b+x2, , b+ xm}和 {ax1, ax2, ,a xm} 是模m的一个完全剩余系吗？
当 2 | m时，{ m 1, L , 1, 0, 1, L , m }
2
2
和{ m , L , 1, 0, 1, L , m 1 }
2
2
都是模m的绝对最小完全剩余系。
当 2 Œm时，{ m 1 , L , 1, 0, 1, L , m 1}
2
2
是模m的绝对最小完全剩余系。
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2、完全剩余系的构造 定理2 整数集合A是模m的完全剩余系的充要条件是
证明 由定理3只需证明：若x , x X，y , y Y，且 Ax m1y Ax m1y (mod m1m2)，
则 x' x", y' y" [R中有m1m2个元素].
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例1 设p 5是素数，a{ 2, 3, , p 1}，则 在数列a，2a，3a， ，(p 1)a，pa中有且仅有 一个数b，满足 b 1 (mod p)；
注：① 完全剩余系不唯一；
② {0, 1, 2, , m 1}是模m的最小非负完全剩余系； ③ 若把剩余系作为一个集合，则可以把对模m的余 数相同的整数——即同一剩余类里的整数，看作同 一元素。
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完全剩余系举例：
集合{0, 6, 7, 13, 24}是模5的一个完全剩余系，
集合{0, 1, 2, 3, 4}是模5的最小非负完全剩余系。
从而
axi b
m
k j
m
j
m1 j
i 1
m
j 1
m j1 m
j1 m
m1 j
1 m(m 1) m 1 .
j1 m m
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3、剩余系间的联系 定理4 设m1, m2N，AZ，(A, m1) = 1，
X { x1, x2 ,L , xm1 } ,Y { y1, y2,L , ym2 } 分别是模m1与模m2的完全剩余系， 则 R = { Ax m1y：xX，yY }是模m1m2的一个 完全剩余系。
证 ： 因为｛1，2，3， ，(p 1)，p｝是模p的 一个完全剩余系，
p是素数，a p (a, p) 1
所以｛a，2a，3a， ，(p 1)a，pa｝构成模p的 一个完全剩余系。
因此必有唯一的数b满足式b 1 (mod p)。
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定理4 设m1, m2N，AZ，(A, m1) = 1，
{ } m axi b 1 (m 1)
i 1
m
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证： 当x通过模m的完全剩余系时，ax b也通过 模m的完全剩余系，
因此对于任意的i（1 i m），axi b一定且只与 某个整数j（1 j m）同余，
即存在整数k，使得 axi b = km j，（1 j m）
{ } { } { } { } m
(2) 定理3也可以叙述为：设m 1，a，b是整数， (a, m) = 1，若x通过模m的一个完全剩余系， 则ax+b也通过模m的一个完全剩余系；
（3）特别地，若x通过模m的一个完全剩余系， (a, m) = 1，，则ax和x+b也分别通过模m的一 个完全剩余系。
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例2 设A = {x1, x2, , xm}是模m的一个完全剩余系， 以{x}表示x的小数部分，证明：若(a, m) = 1，则