解直角三角形(培优)

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人教版九年级数学下册28.2-1-3：解直角三角形(培优训练)学案设计

28.2解直角三角形培优一知识要点：1. 解直角三角形的依据：①．三边之间关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理) ②．锐角之间关系：∠A ＋∠B ＝90°. ③．边角之间关系正弦函数：sin A ＝∠A 的对边斜边余弦函数：cos A ＝∠A 的邻边斜边正切函数：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边2、解直角三角形的类型：根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：（1）已知两边：①两条直角边a 、b ．其解法：c=22b a +，用tanA=ba,求得∠A ，∠B=90°－∠A ． ②斜边和一条直角边c 、a ．其解法：b=22a c -，用sinA=ca，求得∠A ，∠B=90°－∠A ．（2）一边和一锐角：①一条直角边a 和锐角A ：∠B=90°－∠A ；用tanA=b a ,求得b=A a tan ；用sinA=ca ，求得c=Aasin ． ②斜边c 和锐角A ：∠B=90°－∠A ；用sianA=c a ,求得a=csianA ；用cosA=cb ,求得b=ccosA ． 3、解直角三角形的方法（口诀）：“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中．”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．二例题教学：一）利用解直角三角形求边或角例1：已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=45°，D 是BC 上的点，BD=10．∠ADC=60°．求AC （3≈1.73，结果保留整数）．二）构造直角三角形求线段的长度或面积例2：如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC＝22，求BC 的长例3. 如图，在四边形ABCD 中， CD=2，AB=1， ∠C= 60°，∠D= ∠B= 90°，求此四边形ABCD 的面积。

初三数学---解直角三角形---培优班

ABE F QP 初三数学解三角形1.（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为米.2．如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ．（1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到）．（参考数据：3≈，sin74°≈，cos74°≈，tan74°≈，sin76°≈，cos76°≈）3. (2010年兰州市)如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：2≈，3≈，5≈，6≈4.（2007台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为米. （注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用）5. （2010楚雄）如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD ＝50米，某人在河岸MN 的A 处测的∠DAN ＝35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测的∠CBN ＝70°，求河流的宽度CE （结果保留两个有效数字）．（参考数据：si n 35°≈，co s35°≈，t an 35°≈Si n 70°≈，co s70°≈，t an 70°≈）6. （2010扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：2≈，3≈）7. (2010年绍兴市)如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气球的仰角为45°.（1）求气球的高度（结果精确到ｍ）；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）. 8．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在DCN︒35︒70A B CDE 45°60°同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ．（1）求ADB ∠的度数；（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）9.（苏州）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D ，C)，且∠DAB=66. 5°． (1)求点D 与点C 的高度差DH ；(2)求所用不锈钢材料的总长度l (即AD+AB+BC ，结果精确到米)．(参考数据：°≈，°≈，°≈10.（2007山东威海）如图，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈，cos 400.7660≈，tan 400.8391≈，3 1.732≈．11.（2009年江苏省）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）CQ BA P北 40 30 AC DE FB 北东C DBE60°76°O12.（2010株洲市）如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin 5B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ．（1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．13.（2009年泸州）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时(即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少14.(2009年黄冈市)如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M ）位于海滨城市（记作点A ）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B ）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市．临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？DCBA15．（2010义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ °，猜想∠QFC ＝ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．图2ABEQPFC图1ACBEQF。

九年级(上)培优讲义：第2讲解直角三角形

第2讲：解直角三角形一、建构新知1.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°, BC=2, 则AB= , AC= ,∠B= °.2.阅读教材后回答。

（1）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=α, BC=a, 则AB= , AC= , ∠B= °. （2）解直角三角形至少需要个条件，其中关于的条件必须有.（3）课本例题1中给出了一种解的直角三角形的方法，除此之外有没有其它的解法了，请你试着解一下，并且请你比较一下哪种解法更好，为什么？3.填写下表：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ,b , c.已知条件已知条件解法一边一角一条直角边和一个锐角（a, ∠A）斜边和一个锐角（c, ∠A）两边两条直角边（a,b）斜边和一条直角边（a ,c）4.阅读教材后回答.（1）如图，在斜坡AB上，坡角为, 坡度等于与的比（或叫坡比），其实质就是坡角的值，可用字母表示. （2）若∠B逐渐变大，坡度是如何变化的？BACABC北北二、经典例题例1. 将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD ,求∠ADB 的正弦值．例2．由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C =90°：（1）已知a =4，b =8，求c ．（2）已知b =10，∠B =60°，求a ，c ．例3.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A 、B 两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索.接到通知后，“华意”轮测得出事地点C 在A 的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C 在B 的南偏东30°.已知B 在A 的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C 的距离.ABD C A BDCQPCBA例4. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，sinB =53. 一只蚂蚁从点B 开始沿BC 方向向点C 以2cm /s 的速度移动，另一只蚂蚁从C 点开始以1cm /s 的速度向点A 移动. 如果两只蚂蚁分别从B 、C 点同时出发各自运动到P 、Q （如图），问：第几秒时△PCQ 与△ABC 相似？例5. 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上. 动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连接OD ，过点D 作DE ⊥OD ，交边AB 于点E ，连接OE ．记CD 的长为t ．（1）当t ＝31时，求tan ∠EDB ；（2）如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时∠EOA 的度数．（精确到1度）三、基础演练1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列式子中必定成立的是（）.A . c =asinAB . c =acosAC . c =cos a A D . c =sin aA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c .根据条件完成填空.c =10,∠A = 45°，则a = ,b = ，∠B = . a =5,b =15,则∠B = ，∠A = ，c = . c =3， sinA =63，则a = ,b = .3. 在Rt △ABC 中，∠A 的对边为a ，∠C ＝90°，cosA =25，a =12, 则斜边AB 上的中线长为 .4. 等腰△ABC 中，底边BC =20，sinC =35, 则AB = . 5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c .请根据已知条件解直角三角形.（角度精确到1°，长度精确到0.1）(1) ∠B =72°，c =14；（2）a = 26,b = 62；（3）sinB =45，a =126. 已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长和面积．7. 如图所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC =4，求△ABC 的面积.ABC8. 如图，大坝的横断面为梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角B 为30°，背水坡AD 的坡度为1:1.2，坝顶宽DC =2.5m ，坝高4.5m .求：（1）迎水坡BC 的坡比；（2）坝底AB 的长.9. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰，便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位．参考数据：2 1.43 1.7≈，≈）10.已知：如图在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与y x 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE ⊥x 轴于点E ，21tan =∠ABO ，OB =4，OE =2。

九年级奥数培优解直角三角形

A 卷一、填空题1.一个三角形的一边长为2，这条边上的中线是11，则这个三角形的另两边之长分别是和。

2.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=6，CA 的平分线AD=则AB = 。

3.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，BC=AC=A = ，外接圆的半径是。

4.梯形的两底长分别等于13厘米和5厘米，两底角分别是30°和60°，则梯形的周长是厘米。

5.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=2，cosB=35，则ABC S ∆= 。

6.已知直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形的两个锐角度数分别是度和度。

7.若0°<α <90°，那么以sin α、cos α、tan α·cot α为三边的三角形ABC 的内切圆半径和外接圆半径这和等于。

8.计算200120001(tan 60)(3tan 30)3= 。

9.已知tan α＝2，α为锐角，4cos 5sin 2cos 3sin αααα-=+ 。

10.如果等腰三角形ABC 中，底角是30°，面积为3，那么ABC ∆的周长是。

二、解答题11.已知等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，点D 在直线BC 上，且BD = AB ，求∠ADB 的余切值。

12.如图，已知△ABC 中，∠C = 90°，E 、F 在AB 边上，AF=EF=EB ，且CF = sin α，CE ＝cos α，求斜边AB 的长。

B 卷一、填空题1.在△ABC 中，有一个角为60°，S ∆=20，则它的三边之长分别为、和。

2.如图，在Rt △ABC 中，E 、D 分别是边AC 、BC 的中点，BE=AB =10，∠C =90°，则AD = 。

3.计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝。

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲解直角三角形(含答案)

第十一讲解直角三角形趣题引路】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220kmB 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响，若你是该市气象局的首席气象专家，请你对此次台风对该市的影响情况作出预测。

（1）该市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ABCD E F图11-1解析（1）作AD BC ⊥于点D ，（如图11-1）， °220,30111.2AD B AD AB km =∠=∴==，由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，就会受台风影响.由于AD=110＜160，所以A 市会受这次台风影响；（2）在BD 及BD 的延长线上分别取E 、F 两点，使AE=AF=160km ，则当台风中心从到达E 点时起，直到离开F 点，该市都会受到这次台风的影响，),2).DE AE km EF DE km ===∴==∴)h =；（3）当台风中心位于D 时，A 市所受这次这次台风的风力最大，其最大风力为()11012 6.520-=级知识延伸】解三角形，除运用锐角三角函数知识，往往还要用到我们已经学过的勾股定理，以及另两个非常重要的定理：正弦定理和余弦定理.C图11-2如图11-2，在△ABC 中，AC=b ,AB=c ,BC=a .过A 作BC 上的高，长为ha ，则有sin ,ha B c =sin ,ha C b =于是有sin sin ,c B b C ⋅=⋅于是，得sin sin b cB C=，同理可得,sin sin a b A B =因此 ,sin sin sin a b cA B C==这就是正弦定理，推而广之可得一个重要的三角形面积计算公式 111sin sin sin .222ABC S ab C ac B bc A ∆===在上图中，222cos cos ,cos ,BD AB B c B CD BC BD a c B AB BD AD =⋅=⋅=-=-⋅-= ()()222222,cos cos ,AC DC c c B b a c B =-∴-⋅=--⋅得2222cos b a c ac B =+-，同理可得2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.这就是余弦定理.运用正弦定理和余弦定理可以将三角形的范围由直角三角形扩充到斜三角形.例1 已知，如图11-3，在四边形ABCD 中AD=CD,AB=7,tan 2,A B D =∠=∠=90°，求BC 的长.ABD CE图11-3解析延长AB 与DC 交于点E ，∠D=90°，tan 2,DEA AD∴==得DE=2AD,CD AD = .EC DC AD ∴==∠BCE=180°-∠BCD=∠A ,tan 2.BEBCE BC∴∠== 设BC=x ，则BE=2x ，因而,又222,AE AD DE =+()))()222127772,1.33x x x BC ∴+=+==-=解得或舍去，故点评：一般图形化为直角三角形，结合方程或二次函数，往往能够简捷地解决问题.例2 在四边形ABCD 中，AB=4,BC=3,CD=12,∠B=90°，36S =四边形ABCD ,求AD 的长.DC图11-4解析如图11-4，连接AC ，则△ABC 为Rt △，于是AC=5,1136363430.sin 22ACD ABC S S AC CD ACD ∆∆∴=-=-⨯⨯=∴⋅⋅∠=30°，即1512sin ACD 2⨯⨯⋅∠=30°，sin 1,ACD ACD ∴∠=∴∠=90°. ∴由勾股定理知13.AD ==点评：运用公式1sin 2ABC S ab C ∆=不但可以求三角形的面积，而且可以由面积求边角的大小好题引路】佳题新题品味.例1 如图11-5，河对岸有A 、B 两目标，但不能到达，在河这边沿着与AB 平行的方向取相距40m 的C 、D 两点（点A 、B 、C 、D 在同一平面内），并测得∠ACB=70°，∠BCD=65°，∠ADC=30°，求A 、B 两目标之间的距离.（结果不取近似值，用含有锐角三角函数的式子表示.）DBAC EF图11-5解析作AE ⊥CD,BF ⊥CD,垂足分别为点E 、F ，∵AB ∥CD,∴四边形ABFE 为矩形，∴AB=EF. ∵∠ACE=180°-∠ACB -∠BCD=180°-70°-65°=45° ∴∠EAC=45°，AE=EC.设EC=x m ， ∵∠ADE=30°，且DE=AE·cot ∠ADE.又∵DE=x +40，∴x +40=x ·cot30°，解得x =20， ∴AE=EC=BF=20,在Rt △BFC 中，cot ∠BCF=CFBF,即CF=BF·cot ∠65°=（20）cot65°，∴AB=EF=EC+CF=(20)+(20)cot ∠65°（m ）点评：本题体现了两种数学方法的应用，①构建数学几何模型，把一般三角形转化为解直角三角形；②通过设未知数，结合几何图形构建方程，将未知量与已知量联系起来.例2 如图11-6，E 是四边形ABCD 的DC 边上一点，CE=,AB=2,BC=1,∠D=90°, ∠B=60°,ABCE S =四边形（1）求AC 的长；（2）求∠ACD 的度数. ABCDEF图11-6解析（1）过点A 作AF ⊥BC,垂足为F,则AF=AB·sin ∠B=2·sin60°BF=AB·cos ∠B=2·cos60°=1.∴CF=B C －BF=)11-在R t △ACF 中，由勾股定理，得(2)∵ABCE S 四边形=ABC ACE S S ∆∆+而11=,,22ABC ACE S AF BC S CE AD ∆∆⋅=⋅∴)11122+∴又sin ∠ACD=1,2AD AC == 故∠ACD=30°.点评：本题求AC 也可直接利用余弦定理：2222cos ,AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅直接求得.中考真题欣赏例1（辽宁省中考）如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得.从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形（如果测A 、D 间距离，用m 表示；测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ、、等表示，测倾器高度不计）.(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示）. 解析 (1)如图11-7，测三个数据：DC 间距离n ，∠HDM ()α,∠HCG ()β； (2)设HG=x .在Rt △CHG 中，CG=cot x β⋅,在Rt △DHM 中，DM=()cot x n α-⋅，∴cotxβ⋅=()cotx nα-⋅. ∴cot.cot cotnxααβ⋅=-点评：本题是一道较为开放的题目，方案很多，但要求抓住题目的要求：“尽可能少”四个字，否则影响得分.例2（南京市）如图11-8，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，分别求点A、D到OP的距离.ABCDFGO图11-8解析过点A、D分别作AE⊥OP,DF⊥OP,DG⊥OQ,垂足分别为E、F、G.在正方形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°.∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°.在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2·33cm）∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO，∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°.在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2·33cm）在Rt△BOC中，OC=12BC=1（cm）. ∴3∴点A到OP3cm），点D到OP的距离为3点评：本题是一道正方形、矩形与解直角三角形相结合的试题，难度不大，关键是通过作辅助线合理构造直角三角形来解答.竞赛样题展示例1.（1999年全国联赛）如图11-9在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC,求tan ∠ABM.ABCDEFMN图11-9解析延长BC 、MN 交于点E ，作EF ⊥BM 于F.设AB=a ,AM=()x x a <,则MD=a x -，.由正方形ABCD 及N 为DC 的中点，知∠MDN=∠NCE, ∠DNM=∠CNE,ND=CN,故MDN ECN ∆≅∆，可知CE=MD=a x -，BE=2a x -，由∠NMB=∠MBC,知EB=EM.由EF ⊥BM 知∠FEB=90°-∠FBE=∠ABM,BF=12BM,且∠A=∠BFE.故△AB M ～△FEB .∴BM AMBE BF=,即22BM AM BE =⋅.∴()2222a x x a x +=-.即22340x ax a -+=∴11,.33x a AM AB ==即∴1tan .3AM ABM AB ∠== 点评：本题的解决充分利用了“∠NMB=∠MBC”这个条件来构建等腰三角形，利用等腰三角形的性质及相似三角形列方程求解，本题的解法很多，还可以过点N 作平行线来解决.例2（2000年全国竞赛）如图11-10，四边形EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹得锐角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角.已知EG=k ，FH=l ，四边形EFGH 的面积为S ，求证：sin θ=2S kl. ABCDEFGHMNO图11-10证明过F 、H 分别作EG 的垂线，垂足分别为M 、N ，EG 和FH 的交点为O .∴sin θ=FM HNFO HO=,即FM=FO·sin θ;HN=HO·sin θ. ∴S=EFG EHG S S ∆∆+=()1111sin sin .2222EG FM EG HN EG FO HO GE FH θθ⋅+⋅=+=⋅∴22sin .S S EG FH klθ==⋅点评：准确使用锐角三角函数的定义是解答本题的关键.过关检测】A 级1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且AD=BD=5,CD=3,则sinA=______.2.等腰三角形的面积为2，底角为α，则tan α=_______.3.在△ABC ，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=1,已知AD 、BD 的长是关于x 的方程20x px q ++=的两个根，且tanA-tanB=2.则_____,_______.p q ==4.已知△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，D 是AC 上一点，且AD:DC=1:2,则tan ∠DBC=________,cos ∠DBC=________.5.如图11-11，在△ABC 中，AB=AC,腰上的高BD=2，底边上的高AE=4，求tanC 的值.ABCDE图11-11B 级1.如图11-12，在△ABC 中，AB=AC ,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a ，则点N 到BC 的距离是_______.MNCBAABCD图11-12 图11-132.如图11-13，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°,AD 平分∠CAB ，则_______.AB ACCD CD-=3. △ABC 中，15,17,(a b A θθ==∠=为定值）若满足上述条件的三角形的∠C 唯一存在，则tanC=_______.4.已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是_______.5.设P 、Q 为线段BC 上两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当点A 运动到使∠BAP =∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？试证明你的结论.。

培优-解直角三角形

培优--解直角三角形一、知识要点1、解直角三角形：在直角三角形中由已知元素___________________ 叫做解直角三角形。

4．解直角三角形的类型：已知两边；；已知_______________________________。

5．解直角三角形依据（1）三边关系：__________________。

（2）角关系：∠A+∠B ＝_____。

（3）边角关系：sinA=____，sinB=____，cosA=____．cosB=____，tanA=____ ，tanB=____。

二、巩固提高1、．（2015•福州模拟）△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（）A ．bcosB=cB ． c sinA=aC ．atanA=bD ． 2、（2014•浙江杭州）在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A ．3sin40°B ． 3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°3、（2014•黑龙江龙东）△ABC 中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC 的面积为 .4、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， AM 是BC 边上的中线，53sin =∠CAM ，则B ∠tan 的值为 5、如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC =，则对角线AC 的长为 .6、在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知下列条件解三角形（1）已知a=4，c=8，（2）已知b=10，∠B=60°7、如图所示，已知:在△ABC 中，∠A=600,∠B=450,AB=8.求△ABC 的面积。

CB A αa b cB A C8、（2014•重庆A ,第20题7分）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC=14，AD=12，tan ∠BAD=，求sinC 的值．9. （2014•乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，∠B=30°，CE ⊥AB ，垂足为点E ．若AD=1，AB=2，求CE 的长．10 （2016·湖北襄阳）（本小题满分6分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，cosC=22，sinB=31，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．11、. （2016·江苏常熟·一模）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD 的长．。

专题03 7.5解直角三角形培优训练(解析版)九下数学专题培优训练

专题03 7.5解直角三角形培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是()A. 2√5B. 4√5C. 5√3D. 10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=√55BD，推出CD+√55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE=90°，∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2√5或−2√5(舍弃)，∴BE=2a=4√5，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等))∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55，∴DH=√55BD，∴CD+√55BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+√55BD≥4√5，∴CD+√55BD的最小值为4√5．故选：B．2.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值为()A. √3B. √3+1C. √3−1D. 2√3【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数，解直角三角形，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定难度．作AH⊥CB交CB的延长线于H，利用含45°的等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，解直角三角形，求出各边长，并证明AH//DC，推出∠ACD=∠CAH，由锐角三角函数定义即可解决问题．【解答】解：如图，△BCD是含45°的等腰直角三角形，△ABD是含30°角的直角三角形，∠ADB= 30°，作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABD=90°，∠DBC=45°，∴∠ABH=45°，∵∠AHB=90°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH=BH，设AH=BH=a，则AB=√2a，BD=√6a，BC=CD=√3a，CH=a+√3a，∵∠AHB=∠DCB=90°，∴AH//DC，∴∠ACD=∠CAH，∴tan∠ACD=tan∠CAH=CHAH=√3+1，故选B．3.如图，在正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE连接AE，DE，连接BD交CE于点F，有下列结论：①∠AED=150∘；②△DEF∽△BAE；③DFFB =√33；④S△BEC:S△BFC=(√3+2):3.其中正确结论的个数为()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF=∠ABE，即可判定③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出DFBF，再与tan∠ECD=tan30°作比较即可④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可【解答】解：∵△BEC为等边三角形∴∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°，AB=EB=EC=BC=DC ∵四边形ABCD为正方形∴∠ABE=∠ECD=90°−60°=30°∴在△ABE和△DCE中，AB=DC∠ABE=∠ECDBE=EC∴△ABE≌△DCE(SAS)∴∠AEB=∠DEC=180°−30°2=75°∴∠AED=360°−60°−75°×2=150°故①正确由①知AE=ED∴∠EAD=∠EDA=15°∴∠EDF=45°−15°=30°∴∠EDF=∠ABE由①知∠AEB=∠DEC，∴△DEF～△BAE故②正确过点F作FM⊥DC交于M，如图设DM=x，则FM=x，DF=√2x∵∠FCD=30°∴MC=√3x则在Rt△DBC中，BD=√2⋅(√3+1)x∴BF=BD−DF=√2⋅(√3+1)x−√2x则DFBF =√2x√2(√3+1−1)x=√33故③正确如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得由③知MC=√3x，MC=FG∴FG=√3x∵BC=DC=(√3+1)x∴BH=√3+12x∵∠EBC=60°∴EH=√3⋅√3+12x，∴S△BECS△BFC =12⋅EH⋅BC12⋅FG⋅BC=EHFG=√3⋅√3+12x√3x=√3+12故④错误，所以正确的有3个．故选：B．4.在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是()A. 2B. 12C. 23D. √55【答案】B【解析】如图，取格点K，连接AK，BK.观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，推出∠AED=∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，∴∠AED=∠ABK，∴tan∠AED=tan∠ABK=AKBK =12，故选：B．5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为()A. 4√2B. 4C. 7D. 3√2【答案】C【解析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：连接AE交CD于点F，∵AC=3，cos∠CAB=13，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=6√2，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12AB=92，S△ABC=12×3×6√2=9√2，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=9√22，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9√2，AE⊥CD，×CD×AE=9√2，则12解得，AE=4√2，∴AF=2√2，，由勾股定理得，DF=√AD2−AF2=72∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选C．6.在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是()A. √29B. 5.5C. √181D. 3√52【答案】A【解析】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、解直角三角形以及同角三角函数的关系．设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ 边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步利用同角三角函数的关系，求得结论即可．【解答】解：如图，作EF平行于长方形的长，GH平行于长方形的宽，交于O，设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ边成的角为θ，在Rt△AOH、Rt△COG中，GH=OG+OH=xcosθ+2xcosθ=3xcosθ=15，同理得出EF=EO+HA+AJ=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=3xcosθ+2xsinθ=19②解①得xcosθ=5将xcosθ=5代入②解②得xsinθ=2，两边平方相加得x2=29，所以正方形的边长x=√29．故选A．二、填空题7.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值______．【答案】15【解析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由tanB =53，即AD AB =53，设AD =5x ，则AB =3x ，然后可证明△CDE∽△BDA ，然后相似三角形的对应边成比例可得：CE AB =DE AD =CD BD =12，进而可得CE =32x ，DE =52x ，从而可求tan∠CAD =EC AE =15．本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．【解答】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵tanB =53，即AD AB =53， ∴设AD =5x ，则AB =3x ，∵∠CDE =∠BDA ，∠CED =∠BAD ，∴△CDE∽△BDA ，∴CE AB =DE AD =CD BD =12，∴CE =32x ，DE =52x ， ∴AE =152x ，∴tan∠CAD =EC AE =15，故答案为15．8. 已知在菱形ABCD 中，∠A =60°，DE//BF ，sinE =45，DE =6，EF =BF =5，则菱形ABCD 的边长=______．【答案】4√5【解析】连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD ，判断△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD 的长．本题考查了菱形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．【解答】解：连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，∵∠DEF =∠F ，∴EG//BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∵EF =BF ，∴四边形BFEG 是菱形，∴EG =BG =EF =BF =5，∴DG =6+5=11，∵EF//BG ，∴∠G =∠DEF ，过D 作DH ⊥GB 交GB 的延长线于H ，∴∠DHG =90°，∵sin∠DEF =sinG =DH DG =45， ∴DH =445， ∴GH =335，∴BH =GH −BG =85，∴BD =√BH 2+DH 2=√(85)2+(445)2=4√5，∵在菱形ABCD 中，∠A =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB =BD =4√5，故答案为：4√5．9. 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2,√5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为________【答案】(203,4√5 3)【解析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A(2,√5)，∴OC=2，AC=√5，由勾股定理得，OA=√OC2+AC2=√22+(√5)2=3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×√53=4√53，BD=4×23=83，∴OD=OB+BD=4+83=203，∴点O′的坐标为(203,4√53)，故答案为(203,4√5 3).10.三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是______．【答案】15−5√3【解析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10√3，∵AB//CF，=5√3，∴BM=BC×sin30°=10√3×12CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5√3，∴CD=CM−MD=15−5√3．故答案是：15−5√3．11.如下图，正方形ABCD中，AB=3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正CD连接GH，则GH的最小值为________．方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23【答案】√22【解析】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答.连接CG.证明△ADE≌△CDG(SAS)，推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．【解答】解：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA=DC=AB=3，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90∘，∠DAC=45∘，∴∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAE=45∘，∴点G的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD−DH=3−2=1，∴最小值=CH⋅sin45∘=1×√22=√22．故答案为：√2．212.如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，，则点F的坐标是_________．【答案】(8,12)【解析】本题考查坐标与图形性质，解直角三角形，勾股定理的运用，过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，易得∠AEF=∠HFG=∠FGO，然后利用勾股定理和解直角三角形分别求出AF和HG的长即可．【解答】解：过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，∴∠FGO=∠HFG，∠EAF=90°，∠AOG=90°=∠AHG，∴四边形AOGH为矩形，∴OG=AH=17，∵∠EFG=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°，∠HFG+∠AFE=90°，∴∠AEF=∠HFG=∠FGO，=6，在Rt△AEF中，EF=10，则AE=10·cos∠FEA=10×35∴AF=√EF2−AE2=8，FH=AH−AF=17−8=9，在Rt△FGH中，FG=FHcos∠HFG=935=15，∴HG=√FG2−FH2=12，∴点F的坐标为(8,12)．故答案为(8,12)．三、解答题13.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE=√34，5BF−5AD=4．(I)求AE的长；(2)求cos∠CAG的值及CG的长．【解析】(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H.首先证明四边形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可．(2)利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明∠CAG=∠CTG，求出cos∠CTG即可解决问题．本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【答案】解：(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．∵直线l是⊙O的切线，∴AE⊥OD，∵OC⊥AB，∴∠EAO=∠AOH=∠EHO=90°，∴四边形AEHO是矩形，∴EH=OA=3，AE=OH，∵CH=√EC2−EH2=√(√34)2−32=5，∴AE=OH=CH−CO=5−3=2．(2)∵AE//OC，∴AE OC =AD DO =23，∴AD =25OA =65， ∵5BF −5AD =4，∴BF =2，∴OF =OB −BF =1，AF =AO +OF =4，CF =√OC 2+OF 2=√32+12=√10， ∵∠FAC =∠FGB ，∠AFC =∠GFB ，∴△AFC∽△GFB ，∴AF FG =CF BF ，∴4FG =√102， ∴FG =4√105， ∴CG =FG +CF =9√105，∵CT 是直径，∴∠CGT =90°， ∴GT =√TC 2−CG 2=(9√105)=3√105， ∴cos∠CTG =TG TC =3√1056=√1010， ∵∠CAG =∠CTG ，∴cos∠CAG =√1010．14. 在矩形ABCD 中，AB =8，点H 是直线AB 边上的一个点，连接DH 交直线CB 的干点E ，交直线AC 于点F ，连接BF ．(1)如图①，点H 在AB 边上，若四边形ABCD 是正方形，求证：△ADF≌△ABF ；(2)在(1)的条件下，若△BHF 为等腰三角形，求HF 的长；(3)如图②，若tan∠ADH =43，是否存在点H ，使得△BHF 为等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．(2)想办法证明∠ADH=30°，求出AH即可解决问题．(3)如图②中，可以假设AH=4k，AD=3k，DH=5k，因为△BHF是等腰三角形，∠BHF 是钝角，推出HF=BH，设BH=HF=x，构建方程组解决问题即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．【答案】(1)证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠FAB=∠FAD=45°，∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF(SAS)．(2)解：如图①中，∵∠BHF>∠HAD，∴∠BHF是钝角，∵△BHF是等腰三角形，∴BH=FH，∴∠HBF=∠BFH，∵△ADF≌△ABF，∴∠ADF=∠ABF，∵∠AHD =∠HBF +∠BFH ，∴∠AHD =2∠ADH ，∵∠AHD +∠ADH =90°，∴∠ADH =30°，∴AH =AD ⋅tan30°=8√33， ∴BH =HF =8−8√33．(3)解：如图②中，存在．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，AB//CD ，∠DAH =90°，∵tan∠ADH =AHAD =43， ∴可以假设AH =4k ，AD =3k ，则DH =5k ，∵△BHF 是等腰三角形，∠BHF 是钝角，∴HF =BH ，设BH =HF =x ，∵AH//CD ，∴AH CD =HF DF ， ∴4k8=x 5k−x①， ∵AH +BH =8，∴4k +x =8 ②，由①②可得，x =83或403(舍弃)，∴存在，该三角形的腰长为83．15. 如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．(1)小明所求作的直线DE是线段AB的______；(2)联结AD，AD=7，sin∠DAC=17，BC=9，求AC的长．【答案】(1)线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=7∴CD=BC−BD=2，在Rt△ADF中，∵sin∠DAC=DFAD =17，∴DF=1，在Rt△ADF中，AF=√72−12=4√3，在Rt△CDF中，CF=√22−12=√3，∴AC=AF+CF=4√3+√3=5√3．【解析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了解直角三角形．【解答】】(1)利用基本作法进行判断；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD=7，则CD=2，在Rt△ADF中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，接着在Rt△CDF中利用勾股定理可计算出CF，然后计算AF+CF．解：(1)小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线(或中垂线)；故答案为线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)见答案．16.如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=16，点E在AB边上，与点A、B不重合，过点D作DE的垂线与BC的延长线相交于点F，连结EF，交CD于点G．(Ⅰ)当G为EF的中点时，求AE的长；(Ⅱ)当△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，求tan∠ADE．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．(Ⅰ)根据∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCF=90°证明△DAE∽△DCF，对应边成比例，再根据三角形中位线定理即可求解；(Ⅱ)①当DE=DG时，先证明△EDF≌△EBF得DE=BE，再根据勾股定理求得AE的长，即可求得结果；②当ED=EG时，证明△DAE∽△FBE得DAFB =AEBE，求得AE的长，即可求得结果．【答案】解：(Ⅰ)∵DF⊥DE ∴∠EDG+∠CDF=90°又∵∠EDG+∠ADE=90°∴∠ADE=∠CDF又∵∠A=∠DCF=90°∴△DAE∽△DCF∴ADCD =AECF∴CF=16×AE8=2AE又∵CD//AB，点G为EF的中点∴点C为BF的中点∴CF=BC=8∴2AE=8∴AE=4(Ⅱ)①当DE=DG时，则∠DEG=∠DGE 又∵CD//AB，∴∠DGE=∠BEG∴∠DEG=∠BEG又∵∠EDF=∠EBF=90°EF=EF∴△EDF≌△EBF(AAS)∴DE=BE设AE=x，则BE=16−x，在Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2∴82+x2=(16−x)2解得x=6，即AE=6∴tan∠ADE=AEAD =68=34②当ED=EG时，则∠EDG=∠EGD 又∵CD//AB∴∠EGD=∠BEG，∠EDG=∠AED ∴∠AED=∠BEG又∠A=∠B=90°∴△DAE∽△FBE∴DAFB =AEBE由(I)得：CF=2AE设AE=x，则CF=2x，BE=16−x，BF=8+2x，∴88+2x =x16−x解得：x1=4√5−4，x2=−4√5−4(舍去)∴AE=4√5−4∴tan∠ADE=AEAD =4√5−48=√5−12综上所述：tan∠ADE=34或tan∠ADE=√5−12．17.在△ABC中，∠ACB=90°．(1)如图①，若点E在AC的延长线上，ED⊥AB，垂足为D，MN//AB分别交AE、BE于点M、N.且BC=MN，cos∠ABC=35，AD=8，求AM的长；(2)如图②，若将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到△AEF，连接FC并延长交BE于点M，若CFBM =43，求tan∠ABC．【解析】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．(1)设BC=3x，AB=5x，根据勾股定理可求AC=4x，根据锐角三角函数可求AE=10，由题意可证△EMN∽△EAB，可得EMEA =MNAB，可求EM=6，即可求AM的长；(2)根据旋转的性质可得AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB，∠ACB=∠AFE=90°，即可得∠FAC=∠EAB，∠EFM=∠G=∠BCG，可得BC=BG=EF，根据“AAS”可证△EFM≌△BGM，可得BM=EM，通过证明△FAC∽△EAB，可得ACAB=CF BE =4a6a=23，设AC=2b，AB=3b，根据勾股定理求出AC，即可求tan∠ABC的值．【答案】解：(1)∵cos∠ABC=35=BCAB，∴设BC=3x，AB=5x.在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=4x．∵tan∠CAB=BCAC =DEAD=3x4x=34，∴DE=34AD，且AD=8，∴DE=6.在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=10．∵MN=BC，∴MN=3x．∵MN//AB，∴△EMN∽△EAB，∴EMEA =MNAB，∴EM10=3x5x，∴EM=6，∴AM=AE−ME=4．(2)过点B作BG//EF，交FM延长线于点G．∵CFBM =43，∴设CF=4a，BM=3a．∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角，得到△AEF，∴AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB．∵AF=AC，∴∠AFC=∠ACF.∵∠ACB=∠AFE=90°，∴∠AFC+∠EFM=90°，∠ACF+∠BCG=90°，∴∠BCG=∠EFM．∵EF//BG，∴∠EFM=∠G，∴∠BCG=∠G，∴BC=BG，∴BG=EF，且∠EFM=∠G，∠FME=∠BMG，∴△EFM≌△BGM，∴EM=BM=3a，∴BE=6a．∵∠FAE=∠CAB，∴∠FAC=∠EAB，且AFAE =ACAB，∴△FAC∽△EAB，∴ACAB =CFBE=4a6a=23，∴设AC=2b，AB=3b.在Rt△ACB中，BC=√AB2−BC2=√5b，∴tan∠ABC=ACBC =2√55．。

浙教版2022-2023学年九下数学第1章解直角三角形培优测试卷(解析版)

浙教版2022-2023学年九下数学第1章解直角三角形培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，各边都扩大5倍，则tanA 的值（） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定【答案】A【解析】∵三角函数值与对应边的比值有关， ∴各边都扩大5倍后，tanA 的值不变. 故答案为：A.2．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos20° B ．100cos20° C ．100sin20° D ．100sin20° 【答案】B【解析】∵△B=90°，△C=20°，∴cos∠C =BCAC，∴BC=AC·cos∠C =100cos20°. 故答案为：B. 3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（）米A ．4√3B ．6√5C ．12√5D ．24【答案】B【解析】如图,过B 作BE△AD 于点E ，∵斜面坡度为1：2，AE=12， ∴BE=6，在Rt△ABC 中， AB =√AE 2+BE 2=√122+62=6√5 ．故答案为：B ．4．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（）A ．12B ．√22C ．√32D ．1【答案】B【解析】如图，设AB 与CD 交于点E ，过点C 作CF△AB ，连接DF ，∵CF△AB ，∴∠C =∠AEC =α ，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得： CD 2=12+32=10 ， DF 2=12+22=5 ， CF 2=12+22=5 ，∴CF 2+DF 2=CD 2 ，DF=CF ， ∴△CDF 为等腰直角三角形， ∴△C=45°，∴sinC =√22，∴夹角α的正弦值为 √22.故答案为：B.5．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA 旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A 观察到瞰胜楼楼底点C 的仰角为12°，楼顶点D 的仰角为13°，测得斜坡BC 的坡面距离BC = 510米，斜坡BC 的坡度 i =8：15 .则瞰胜楼的高度CD 是（）米.（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A ．30B ．32C ．34D ．36 【答案】D【解析】由斜坡BC 的坡度i =8：15 ，设 CE =8x 、 BE =15x ，在 Rt △BCE 中，BC =√BE 2+CE 2=√(8x)2+(15x)2=17x ，由 BC =17x =510 求得 x =30 ， ∴CE =240 米、 BE =450 米，在 Rt △ACE 中，AE =CE tan∠CAE =240tan12°=1200 （米），在 Rt △ADE 中，DE =AEtan∠DAE =1200×tan13°=276 （米），则 DC =DE −CE =276−240=36 （米）. 故答案为：D.6．若规定 sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ ，则sin15°=（） A ．√2−12 B ．√2−√64 C ．√3−12 D ．√6−√24【答案】D【解析】由题意得，sin15°=sin （45°-30°） =sin45°cos30°-cos45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24故答案为：D7．如图，在菱形ABCD 中，DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，则tan△DBE 的值是（）A ．12B ．2C ．√52D ．√55【答案】B【解析】∵DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，∴AE AD =3AD =35，解得：AD ＝5. ∴DE ＝ √AD 2−AE 2=√52−32＝4， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=5， ∴BE ＝5﹣3＝2，∴tan△DBE ＝ DE BE =42＝2.故答案为：B.8．如图，在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3，DE△AC 于点E ，连接BE ，则tan△CBE 的值等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设AB=4a ，∵在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3， ∴BC=2a ，AC=2 √3 a ，AD ：AB=1：4， ∵△C=90°，DE△AC ， ∴△AED=90°， ∴△AED=△C ， ∴DE△BC ，∴△AED△△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴AE AC =14 ，∴AE= 14×2√3a =√32a ，∴EC=AC ﹣AE= 2√3a −√32a =3√32a ，∴tan△CBE= CE CB =3√32a 2a =3√34，故答案为：C ．9．如图，已知扇形OAB 的半径为r ，C 是弧AB 上的任一点（不与A ，B 重合），CM△OA ，垂足为M ，CN△OB ，垂足为N ，连接MN ，若△AOB ＝ α ，则MN 可用 α 表示为（）A ．rsinαB ．2rsin α2 C ．rcosα D ．2rcos α2【答案】A【解析】如图，连接OC 交MN ，延长OM 、ON 交于一点D ，∵∵△CMD=△DNO=90°， ∴△D=△D ，∴△CMD△△OND ，∴DM DN =DC DO ，即DM DC =DN DO , ∵△D=△D ，∴△DMN△△DCO ， ∴MN CO =DN OD， ∵sin△AON=DN OD ,∴sin△AON=MN CO, 即sin α=MN r,∴MN= rsinα ，故答案为：A.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12【答案】C【解析】过A 作AQ△BC 于Q ，过E 作EM△BC 于M ，连接DE ，∵BE 的垂直平分线交BC 于D ，BD=x ， ∴BD=DE=x ，∵AB=AC ，BC=8，tan△ACB=y ， ∴EM MC =AQCQ =y ，BQ=CQ=4， ∴AQ=4y ，∵AQ△BC ，EM△BC ， ∴AQ ∥EM ，∵E 为AC 中点，∴CM=QM=12CQ=2，∴EM=2y ，∴DM=8-2-x=6-x ，在Rt△EDM 中，由勾股定理得：x 2=（2y ）2+（6-x ）2，即3x -y 2=9. 故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，正方形网格中，点A ，O ，B ，E 均在格点上．△O 过点A ，E 且与AB 交于点C ，点D 是△O 上一点，则tan∠CDE = ．【答案】12【解析】由题意可得：△CDE ＝△EAC ，则tan△CDE ＝tan△EAC ＝BE AE =24=12．故答案为：12．12．如图，已知BD 是△ABC 的外接圆直径，且BD =13，tanA =512，则BC = ．【答案】5【解析】如图所示，连接C ，D ，由图可知 ∠A =∠D （同弧所对的圆周角相等），且 ∠BCD =90°（直径所对的圆周角等于90°），∵tanA =512，∴sinA =513，∴sinA =sinD =513，∴BC =BD ⋅sinD =13×513=5，故答案为：5．13．如图所示，在四边形 ABCD 中， ∠B =90° ， AB =2 ， CD =8 ， AC ⊥CD ，若 sin∠ACB =13，则 cos∠ADC = ．【答案】45【解析】∵∠B =90° ， sin∠ACB =13，∴AB AC =13 ，∵AB =2 ，∴AC =6 ，∵AC ⊥CD ，∴∠ACD =90° ，∴AD =√AC 2+CD 2=√62+82=10 ，∴cos∠ADC =DC AD =810=45． 14．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin△CAM ＝ 35，则tan△B ＝．【答案】23【解析】Rt△AMC 中，sin△CAM=MC AM =35，设MC=3x ，AM=5x ，则AC= √AM 2−MC 2 =4x ． ∵M 是BC 的中点，∴BC=2MC=6x ．在Rt△ABC 中，tan△B= AC BC =4x 6x =23．故答案为 23.15．如图，在5×5的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点O ，则tan△AOC ＝ .【答案】12【解析】如图：将线段AB 向右平移至FD 处，使得点B 与点D 重合，连接CF ，∴△AOC ＝△FDC ，设正方形网格的边长为单位1，根据勾股定理可得：CF =√22+12=√5，CD =√42+22=2√5， DF =√32+42=5，∵(√5)2+(2√5)2=52， ∴CF 2+CD 2＝DF 2， ∴△FCD ＝90°，∴tan∠AOC =tan∠FDC =CF CD =√52√5=12.故答案为：12.16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图.经测量，车轮的直径为 66cm ，中轴轴心 C 到地面的距离 CF 为 33cm ，后轮中心 A 与中轴轴心 C 连线与车架中立管 BC 所成夹角 ∠ACB =72° ，后轮切地面 l 于点 D .为了使得车座 B 到地面的距离 BE 为 90cm ，应当将车架中立管 BC 的长设置为 cm .（参考数据: sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.1)【答案】60【解析】∵车轮的直径为 66cm ∴AD=33cm ∵CF=33cm ∴AC△DF∴EH=AD=33cm ∵BE△ED ∴BE△AC∵BH=BE -EH=90-33=57cm∴△sinACB=sin72°= BH BC =57BC=0.95∴BC=57÷0.95=60cm 故答案为60.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．求下列各式的值（1）sin45°cos45°+4tan30°sin60° ；（2）cos60°−2sin 245°+23tan60°−sin30° .【答案】（1）解： sin45°cos45°+4tan30°sin60°=√22×√22+4×√33×√32=12+2 =52. （2）解：cos60°−2sin 245°+23tan 260°−sin30° .=12 -2×(√22)2+23×(√3)2-12 =12-1+2-12 =1. 18．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度.如图所示，测得斜坡BE 的坡度i ＝1：4（即AB ：AE ＝1：4），坡底AE 的长为8米，在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°，在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60°.（1）求AB的高；（2）求树高CD.（结果保留根号）【答案】（1）解：作BF△CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，∴CF=AB，∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，∴AB=2（米），（2）解：∵AB=2，∴CF=2，设DF=x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF=DF BF，则BF=DFtan30∘=√3x（米），在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC=DC EC∴EC=√33(x+2)米.∵BF-CE=AE，即√3x−√33(x+2)=8.解得：x=4√3+1，则CD=4√3+1+2=(4√3+3)米.答：CD的高度是（(4√3+3)）米.19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米.（1）求BH的长；（2）木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=10°，tan∠ABC=AC BC，则BC=ACtan∠ABC≈1.80.18=10(cm)，∴BH=BC−HC=7(cm)，（2）解：在 Rt △BPH 中， ∠ABC =10° ， tan∠ABC =PHBH，则 PH =BH ⋅tan∠ABC ≈7×0.18≈1.3(cm) ，答：木桩上升了大约 1.3 厘米.20．图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与地面垂直的OM 位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（1）求AB 的长（精确到0.01米）；（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N 点运动到M 点的路径MN ⌢的长度．（结果保留π）【答案】（1）解：过B 作BE△AC 于E ，则AE=AC ﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，△AEB=90°，∴AB =AE sin∠ABE =0.4sin20°≈1.17（米）.（2）解：△MON=90°+20°=110°，∴弧MN 的长度是110π×0.8180=2245π米. 21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 DE 、箱长 BC 、拉杆 AB 的长度都相等，即 DE =BC =AB ，点 B ， F 在线段 AC 上，点 C 在 DE 上，支撑点 F 到箱底 C 的距离 FC =32cm ，CE ： CD =1 ： 5 ， DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，请根据以上信息，解决下列问题：（1）求水平滑杆 DE 的长度；（2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 DE 的距离 ℎ 的值 ( 结果保留到 1cm).( 参考数据：sin50°≈0.77 ， cos50°≈0.64 ， tan50°≈1.19) . 【答案】（1）解： ∵DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，在 Rt △CDF 中， cos50°=CFCD，∴CD =CF cos50∘=320.64≈50(cm) ，∵CE ： CD =1 ： 5 ， ∴DE =60cm ；（2）解：如图，过A 作 AG ⊥ED ，交 ED 的延长线于G ，∵DE =BC =AB ， DE =60cm ， ∴AC =120cm ，在 Rt △ACG 中， sin∠DCF =AGAC，∴ℎ=AG =AC ⋅sin50°=120×0.77=92.4≈92(cm) .22．如图，在等腰三角形ABC 中，△ABC ＝90°，点D 为AC 边上的中点，过点D 作DE△DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F.（1）求证：DE ＝DF（2）若AE ＝4，FC ＝3，求cos△BEF 的值. 【答案】（1）证明：连接BD ，∵ △ABC=90°，D 为AC 边上的中点，∴AD=BD=CD ，△C=△A=△EBD=△FBD=45°，BD△AC ，∵DE△DF ，∴△EDF=△BDC=90°，∴△EDB=△CDF=90°-△BDF ， ∴△EDB△△FDC （ASA ）， ∴ DE=DF（2）解：∵ △EDB△△FDC ，CF =3， ∴ CF=BE=3，同理AE=BF=4，在Rt△EBF 中，由勾股定理得：EF=√32+42=5，∴ cos△BEF ＝BF EF =35.23．如图，AB 是△O 的直径，弦CD△AB 于点E ，点P 在△O 上，△1=△BCD ．（1）求证：CB△PD ；（2）若BC=3，sin△BPD= 35，求△O 的直径．【答案】（1）证明：∵△D=△1，△1=△BCD，∴△D=△BCD，∴CB△PD；（2）解：连接AC，∵AB是△O的直径，∴△ACB=90°，∵CD△AB，∴BD⌢= BC⌢，∴△BPD=△CAB，∴sin△CAB=sin△BPD= 3 5，即BCAB=35，∵BC=3，∴AB=5，即△O的直径是5．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC△AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作△Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF.（1）求线段AE的长；（2）若△ABE＝△FDE，求EF的值.（3）若AB﹣BO＝4，求tan△AFC的值.【答案】（1）解：∵点A（0，8），∴AO=8，∵点D是点C关于点A的对称点，∴AC=AD，∵AC△AB，∴BC=BD，∴∠C=∠ADB，∵以AD为直径作△Q交BD于点E，∴∠AED=90°，∴在△CAO和△DAE中，{∠COA=∠AED=90°∠C=∠ADBAC=AD∴△CAO≌△DAE(AAS)，∴AE=AO=8；（2）解：∵△ABE＝△FDE，∴AB ∥DF ，∴∠CAB =∠CDF ，又∵∠C =∠C ，∴△CAB ∽△CDF ，∴AB DF =AC CD =12， ∵△ABE ＝△FDE ，∠AEB =∠FED ， ∴△ABE ∽△FDE ，∴AE FE =AB DF =12，即8FE =12，解得△FE =16；（3）解：∵AB ﹣BO ＝4，即AB =BO +4， ∵∠AOB =90°，∴在RtΔABO 中，AO 2+OB 2=AB 2，即82+OB 2=(OB +4)2，解得△OB =6，AB =10，∵∠BEF =90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6， ∵∠AOB =∠BEF =90°，∠AFO =∠BFE ， ∴△AFO ∽△BFE ，∴AO BE =FO EF =86=43， ∴设EF =3x ，OF =4x ，∴BF =4x −6，∴在RtΔBEF 中，BE 2+EF 2=BF 2，即62+(3x)2=(4x −6)2，解得△x =487， ∴EF =3x =1447， ∴tan∠AFC =tan∠EFB =BE EF =61447=724.。

第一章：解直角三角形培优训练试题

第一章：解直角三角形培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5m ，坡面AB 的坡度为1：3，则AB 的长度为（） A ．10mB ．103mC ．5mD ．53m2.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为045，在点B 处测得树顶C 的仰角为060，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若m AB 16=，则这棵树CD 的高度是（） A ．()m 338-B ．()m 338+C ．()m 336-D ．()m 336+3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（）A ．13132 B ．13133 C ．32 D ．35 4.如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为( ) A ．cos θ(1+cos θ) B ．cos θ(1+sin θ) C ．sin θ(1+sin θ) D ．sin θ(1+cos θ)5.在中，、均为锐角，且，则是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（）（精确到1m ．参考数据：，，，）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m7．如图，AB 是半圆的直径，ABC ∠的平分线分别交弦AC 和半圆于E 和D ，若2BE DE =，4AB =，则AE 长为（） A ．2B ．21+C ．6D ．4338．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A ．5250600-B ．2503600-C ．3350350+D ．35009.如图，等腰△ABC 的面积为2，AB=AC ，BC=2.作AE ∥BC 且AE=BC.点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点.那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（） A ．3B ．3C ．32D ．410．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：①∠BAE ＝∠EAF ；②射线FE 是∠AFC 的角平分线；③CF ＝14CD ；④AF ＝AB +CF ．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，在矩形ABCD 中，22==BC AB ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转，使得点B 落在边CD 上的点B '处，线段AB 扫过的面积为12．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m ，当无人机飞行至A 处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m 到达B 处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m ．（参考数据：732.13≈，结果按四舍五八保留一位小数）13.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行m 30到达斜坡的底部点C 处，然后沿斜坡前行m 20到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为030，已知斜坡的斜面坡度3:1=i ，且点A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是．14．如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别在AC 、BC 上，点F 在△ABC 内．若四边形CDFE 是边长为2的正方形，则cos ∠ABF ＝15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA=16.如图．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，2BE=3CE ，过点D 作AE 的垂线交AB 于F ，点G 为垂足，若FG=3，则EG 的长为三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17．（本题6分）计算下列各式：（1）000030cos 45cos 60tan 30cos ⋅- （2）0002030sin 30tan 2345sin 260cos -+-18．（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连结EF ．（1）求证：∠1=∠F ．（2）若55sin =B ，52=EF ，求CD 的长．19（本题8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D 在边AC 上，且AD=2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）求ECB ∠tan20.（本题10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i ＝1：3，AB ＝10米，AE ＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin53°≈54，cos53°≈53，tan53°≈34）（1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．（结果精确到0.1米）21．（本题10分）如图，“中国海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B 、C 两地相距120海里．（1）求出此时点A 到岛礁C 的距离；（2）若“中海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A ′时，测得点B 在A ′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）22．（本题12分）如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且OC EF //，连接OE ，CF 得四边形OCFE ．（1）求B 点坐标；（2）当tan ∠EOC=34时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F 的坐标；（3）当0＜tan ∠EOC ＜3时，对于每一个确定的tan ∠EOC 值，满足条件的四边形OCFE 有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan ∠EOC ．23（本题12分）．在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：△ABM ∽△BCN ；（2）如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP=∠C ，tan ∠PAC =552 ，求C tan 的值；（3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB ，∠DEB=90°，sin ∠BAC =53，52AC AD ，直接写出tan ∠CEB 的值．。

解直角三角形培优练习题(含答案)

l1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，那么AB的长为（）A．3sinαB．3cosαC．D．2．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD等于（）A．asin2αB．acos2αC．asinαcosαD．asinαtanα3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC边上一点，若tan∠DBA=，则tan∠CBD的值为（）A．B．C．1 D．（第3题）（第4题）（第8题）4．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，∠C=90°，点C的坐标为（，﹣），则点B 的坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0）5．等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰长为（）A．4 B．2C．2 D．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=c，那么BC等于（）A．c•sinαB．c•cosαC．c•tanαD．c•cotα7．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b8．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为（）A．90m B．60m C．45m D．30m9．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若AC=6米，则树高BC为（）A．6sinα米B．6tanα米C．米D．米10．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A．2 B．C．D．（第9题）（第10题）（第11题）11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD：AD的值为（）A．B．C．D．12．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD 的余弦值是（）A．B．C．D．（第12题）（第13题）（第14题）13．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上，若sin∠DFE=，则tan∠EBF的值为（）A．B．C．D．14．如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径是OA，点P是优弧上的一点，则tan∠APB的值是（）A．1 B．C．D．15．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）．（第15题）（第17题）（第19题）16．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，如果BC=3，CD=2，那么cos∠DCB=．17．如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=．18．△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，若a：c=，c=，则b=．19．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为．20．在Rt△ABC中，∠C=90°，在下列叙述中：①sinA+sinB＞1；②sin=；③=tanA，其中正确的结论是．（填序号）．21．在Rt△ABC中，∠c=90°．（1）已知∠a=60°，b=，求a、c；（2）已知c=，b=3，求a、A．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°，求AB的长．（结果保留根号）24．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．25．如图，在△ABC中，sinB=，cosC=，AB=5，求△ABC的面积．26．阅读下列材料：题目：如图，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．27．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．28．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD 的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）29．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF=，求BE的长．30．如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．31．已知钝角三角形ABC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠DAB=90°，∠ACB=2∠D，AD=2，AC=，根据题意画出示意图，并求tanD的值．32．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD=5，sin∠ADC=．（1）求cos∠ABC的值；（2）如果边AB的中点为M，联结CM，交AD于点E，求线段AE的长．参考答案一．选择题（共11小题）1．D；2．C；3．B；4．D；5．C；6．A；7．A；8．B；9．B；10．D；11．C；二．填空题（共3小题）12．；13．2；14．6；。

解直角三角形(培优)

解直角三角形1．(2015·湖南省衡阳市,第1２题3分）如图,为了测得电视塔的高度AB，在Ｄ处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔ﻩﻩ顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进1０0米到达Ｆ处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位:米）为( ）.ﻩﻩﻩA． B.51 C.D．１012．（2０15•浙江滨州，第12题3分）如图,在x轴的上方,直角∠ＢOA绕原点Ｏ按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于Ｂ、A两点,则∠OＡB大小的变化趋势为( ）ﻩﻩA.逐渐变小ﻩB.逐渐变大C.时大时小ﻩD.保持不变3．如图，要在宽为2２米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角,路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DＯ与灯臂CＤ垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BＣ高度应该设计为( ）ﻩﻩ(3题) (4题)A．（11﹣2)米Ｂ.(11﹣2）米 C.(1１﹣２)米ﻩD．（1１﹣4)米4．（2０1５•山东日照 ,第１0题4分)如图,在直角ﻩＢAD 中,延长斜边BD 到点Ｃ，使ＤC ＝ＢD ，连接A Ｃ,若tanB =，则t ａｎﻩCA Ｄ的值（）ﻩﻩﻩA.ﻩ Ｂ.ﻩ C ．ﻩﻩD ．5.湖南路大桥于今年５月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔ＡB 底部50米的Ｃ处,测得桥塔顶部Ａ的仰角为41．5°(如图).已知测量仪器CD 的高度为1米,则桥塔AB 的高度约为（）ﻩﻩ(6题)Ａ.３4米ﻩB.ﻩ38米ﻩC ． 45米ﻩD ．ﻩ5０米6.如图，斜面ＡＣ的坡度（ＣD 与ＡD 的比)为１：２，A Ｃ＝米,坡顶有一旗杆BC ,旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连,若AB ＝10米，则旗杆ＢC 的高度为( )ﻩﻩ A ．５米Ｂ.６米 C . ８米 D .米ﻩ二.填空题ﻩ 1. 如图，菱形ABCD 的边长为15，si ｎﻩBAC =,则对角线AC 的长为 . ﻩ(１题） (2题) (3题）（5题)2.如图,在等边ﻩＡBＣ内有一点D,AＤ=5，BＤ＝6，CD=4，将ﻩＡBＤ绕A点逆时针旋转,使AB与ＡC重合，点D旋转至点E,则ﻩＣDE的正切值为．ﻩﻩ3.（2015•广东广州,第15题３分)如图，ﻩABC中,ＤＥ是BC的垂直平分线,DE交AC于点E，连接BE.若BE＝9，ＢC=12，则ｃosC= .ﻩ4．在ﻩABC中，ﻩB＝30°,AB=１2,ＡC=6,则BC=.5．(2015•山东东营，第1４题３分)4月26日,2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道Ａ处的俯角为，B处的俯角为.如果此时直升机镜头C处的高度ＣD为２00米，点Ａ、D、Ｂ在同一直线上,则AB两点的距离是米．ﻩ6.（20１5湖北荆州第15题3分)15．如图，小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A 的仰角为3０°,然后向山脚直行１00米到达C处，再测得山顶A的仰角为4５°,那么山高A Ｄ为米(结果保留整数，测角仪忽略不计，≈１．414,,1.73２)ﻩ(6题)（7题）7．(201５•浙江宁波，第１6题4分)如图,在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的Ｃ处测得旗杆底端B的俯角为4５°,测得旗杆顶端A的仰角为3０°,若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆ＡB的高度是m（结果保留根号）三解答题1．如图,热气球的探测器显示,从热气球Ａ处看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离ＡD为1２0m.求这栋高楼的高度.（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆ＡB的高度,如图,老师测得升旗台前斜坡FＣ的坡比为ｉFC＝１：10（即EF:CＥ=1:10)，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即ＣE＝３5m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知taｎα=,升旗台高AF ＝１ｍ,小明身高CD=1.6m,请帮小明计算出旗杆AB的高度．ﻩﻩﻩ3．(2015·河南,第20题9分)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BＣ的高度，他们在斜坡上Ｄ出测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角ﻩFAE＝30°,求大树的高度. (结果保留整数,参考数据:siｎ4８°≈０.７4，coｓ48°≈0.67，tan48°≈１.11，3≈１.73)ﻩ4. 如图，海中一小岛上有一个观测点A,某天上午９:0０观测到某渔船在观测点A的西南方向上的Ｂ处跟踪鱼群由南向北匀速航行。

培优解直角三角形

1如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里／时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行．上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处的北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里／时，参考数据2≈1.41，3≈1.73）【答案】过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点F，过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点E．（如图）在Rt△CDF中，∠CDF＝30°∴CF＝1CD＝50海里2DF＝CD·cos∠CDF＝503海里∵CF⊥AF，EA⊥AF，BE⊥AE∴∠CEA＝∠EAF＝∠AFC＝90°∴四边形AECF是矩形∴AE＝CF＝50海里在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠EAB＝990°－45°＝45°∴BE＝AE＝50海里在矩形AECF中，CE＝AF，即CB＋BE＝AD＋DF∴CB＝AD＋DF－BE＝15×2＋503－50＝（50203-）海里（50203-）÷2＝253－10≈25×1.73－10≈33.3（海里／时）2 2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=4米.23题图23°60°38°AG FEDC B（1）求∠DAC 的度数；（2）求这棵大树折断前高是多少米？（注：结果精确到个位）（参考数据：2.4≈≈≈）【答案】解：（1）∠DAC=180°- ∠BAC - ∠GAE=180°-38°-（90°-23°）=75°；（2）过点A 作CD 的垂线，设垂足为H ，则Rt △ADH 中，DH=2，AH=Rt △ACH 中，∠C=45°，故CH=AH=AC=.故树高米.3 如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB 的坡比i （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结1.732）.C第21题图【答案】如图：延长MA交CB于点 E. CD=DN+CN=DN+ME.在ABERt∆中，背水坡AB的坡比i=可知tan tan303ABE∠==，得030ABE∠=。

培优专题26 解直角三角形模型-解析版

培优专题26 解直角三角形模型类型一：背靠背型1．（2022·山东聊城·二模）从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进一步加强疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只要用红外体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出来，从而有效地避免了其他常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角∠PAO＝75°，最小探测角∠PBO＝30°． 1.414 1.732 2.236）(1)若该设备安装在离水平地面距离为2.2m的P处，即OP＝2.2m，请求出图中OB的长度；（结果精确到0.1m）(2)若该公司要求测温区域AB的长度为4 m，请求出该设备的安装高度OP的高度．（结果精确到0.1 m）2．（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：sin sin sin a b c A B C==．（1）如图1，若6,45,75a B C =Ð=Ð=°°，求b 的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD （如图2所示），若,14CD AB AC ^=米，10AB =米，sin ACB Ð=CD 的长度．（2）sin AB ACB ÐQ sin sin AC B AB ´Ð\=3．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD 垂直于地面，在地面上选取,A B 两处分别测得CAD Ð和CBD Ð的度数（,,A D B 在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上,A B 两点的距离为58m,42,58CAD CBD Ð=°Ð=°．问题解决：求宝塔CD 的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90°»°=°»，sin 580.85,cos580.53,tan 58 1.60°=°=°=．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．1254176,\=xx»．解得，33.4答：宝塔的高度约为33.4m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键．4．（2021·云南·模拟预测）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东30°方向与包装公司北偏西60°方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：»）1.414» 1.732答：这条公路不会穿越这个住宅小区．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2021·湖北武汉·一模）【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB 的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若728,927AH ADAD AC==，请直接写出ADAB的值________．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是能通过作合适的辅助线构造相似三角形并最终求得结果．类型二：子母型6．（2022·辽宁鞍山·二模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）解得：x≈269.0，∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的总高度约为389m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．7．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）8．（2021·北京市第十二中学八年级阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．9．（2020·山东青岛·九年级期末）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45°，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31°，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52°≈，cos310.86°≈，tan 310.6)°»10．（2020·四川凉山·九年级阶段练习）四川省委书记杜青林、国家旅游局副局长张希钦2006年12月16日向获得“中国优秀旅游城市”称号的西昌市授牌，并修建了标志性建筑——马踏飞燕，如图．某学习小组把测量“马踏飞燕”雕塑的最高点离地面的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B 到地面的高度为BA ，在测点C 用仪器测得点B 的仰角为α，前进一段距离到达测点E ，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一竖直平面内，点A ，C ，E 在同一条直线上．a 的度数b 的度数CE 的长度仪器CD （EF ）的高测量数据31°42°3米1.65米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留到十分位）．（参考数据：sin 310.52°≈，cos310.86°=，tan 310.60°»，sin 420.67=°，cos420.74=°，tan 420.90=°）【答案】7.1AB =米【分析】在两个直角三角形中，用BG 表示DG 、FG ，进而用 DG−FG ＝DF ＝3列方程求出BG 即可．【详解】如图，延长DF 与AB 交于点G ，类型三：拥抱型11．（2020·四川眉山·中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．12．（2020·山西太原·模拟预测）山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表．课题成员测量工具测量毛主席塑像的高度组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX测倾器，皮尺等测量示意图说明：线段AB 的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，C 为测点，线段CE ，CD 表示测倾器（点D 在CE 上），点A ，B ，C ，D ，E 都在同一竖直平面内，且AB BC ^，CE BC ^；ADF Ð、AEG Ð表示两次测量的仰角，点G ，F 在AB 上．测量项目第一次第二次平均值ADF Ð的度数35.1°34.9°35.0°AEG Ð的度数33.4°33.6°33.5°测倾器CE 的高 1.68m1.72m1.70m 测量数据测倾器CD 的高1.07m 1.05m1.06m任务：（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：sin 35.00.57°»，cos35.00.82°»，tan 35.00.70°»，sin33.50.55°»，cos33.50.83°»，tan 33.50.66°»）（2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器CD 测出仰角ADF Ð，再测出BC 的长来计算塑像高度AB ”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】（1）毛主席塑像的高度为12.26m ；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC ．【分析】（1）根据题意AB ^BC ，CE ^BC ，AB ^EG ，AB ^DF ，可推得四边形BCEG 与四边形DEGF 都是矩形，其中BG=CE=1.70m ，FG=DE=CE-CD=1.70-1.06=0.64m ，EG=DF ，在Rt △AEG 和Rt △ADF 分别用正切函数写出对应边的式子，即可求得AG 的长度，则AB 的长度可求；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC ．【详解】解：（1）由题意，得AB ^BC ，CE ^BC ，AB ^EG ，AB ^DF ，13．（2021·河南·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）14．（2018·北京四中九年级期中）如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在条直线上的三点(A A 为楼底)，,D E ，她在D 处测得广告牌顶端C 的仰角为60°，在E 处测得商场大楼楼顶B 的仰角为45°,5DE =米.已知广告牌的高度 2.35BC =米，求这座商场大楼的高度AB1.41»»，小红的身高不计，结果保留整数)．15．（2018·四川眉山·九年级期末）在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB ）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D 处，用高度为1 m 的测角仪CD ，从点C 测得宣传牌的底部B 的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4 m 到达点F 处，又从点E 测得宣传牌顶部A 的仰角为45°．已知教学楼高19m BM =，且点A 、B 、M 在同一直线上，求宣传牌AB 的高度．（参考数据：1.73»，sin 370.60°»，cos370.81°»，tan 370.75°»）【答案】宣传牌AB 的高度为2米【分析】过点C 作CG AM ^于G ，设AB 为x ，根据45AEG °Ð=可得18EG AG x ==+，然后在Rt CBG V 中解直角三角形即可.类型四：12345型16．（2018·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1-，0），B（0，2），点C在第一象限，∠ABC=135°，AC交y轴于D，CD=3AD，反比例函数kyx=的图象经过点C，则k的值为_______．【答案】9∵∠ABC=135°，17．（2018·江苏无锡·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF=_____．【答案】6．【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△AMD≌△DFC，则DM=FC=2，由折叠和正形的边长相等得：AE=AD，根据等腰三角形三线合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，设∠MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，则△PAH是等腰直角三角形，证明△PGE∽△AMD，列比例式得：GE=1，AM=2PG，设PG=x，则AM=2x，根据AH=PH，得2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解决问题；【详解】过A作AM⊥DF于M，∵四边形ABCD是正方形，∵AH=PH，∴2x﹣1=2+x，x=3，∴PG=3，AM=6，∵△DAM≌△CDF，∴DF=AM=6．故答案为6.【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定等知识，有难度，证明∠PAM=45°是关键，设未知数，并确定其等量关系列方程解决问题．18．（2018·山东滨州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE∠EAF=45°，则AF的长为_____．19．（2018·山东泰安·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在'A 处，若'EA 的延长线恰好过点C ，则sin ABE Ð的值为__________．20．（2017·浙江丽水·中考真题）（2017丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x 轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是____；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是________．。

著名机构初中数学培优讲义解直角三角形.第04讲.教师版

内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理已知直角三角形两边长，求第三条边会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形会运用勾股定理解决有关的实际问题。

解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题模块一、勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

知识点睛中考要求解直角三角形CAB cba如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

模块二、解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cb aCBA（1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =；（2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；（3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=；（4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠．具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A=等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．模块三、三角函数一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．a A（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=．（2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =．（3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=．注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <板块一、勾股定理【例1】如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【解析】由勾股定理可知：大于【答案】大于【例2】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【解析】由题意得，10cm AF AD ==. 在ABF ∆中，应用勾股定理得， 6cm BF =.所以1064FC BC BF =-=-=.在CEF ∆中，应用勾股定理，设cm EC x =，得 ()22284x x -=+. 解得3x = 即3cm EC =.【答案】3cm【例3】如图，M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，P ，Q 分别在AC ，BC 上，PM MQ ⊥，判断PQ ，AP 与BQ 的数量关系并证明你的结论．例题精讲QPMCBA【解析】222PQ AP BQ =+．延长QM 到N ，使MN QM =，连结AN 、PN ．显然PMQ PMN ∆∆≌，AMN BMQ ∆∆≌ ∴PN PQ =，AN BQ =，MBQ MAN ∠=∠ ∵90CAB ABC ∠+∠=︒∴90PAN PAM MAN ∠=∠+∠=︒ ∴APN ∆为直角三角形． ∴222PQ AP BQ =+．NABCMPQ【答案】见解析【例4】如图，已知ABC ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE D ∠=∠=︒，为AD 边上一点，求证： 222AD AE DE +=EDCBA【解析】因为EC DC =，AC BC ACE BCD =∠=∠，，所以可知ACE BCD ∆∆≌,所以90EAD ∠=︒，得证【答案】见解析【例5】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆= . 【解析】在Rt ABC ∆中,由勾股定理得，222a b c +=. 又有()2222a b a b ab +=++, 所以 ()222a b c ab +-=所以1924ABC S ab ∆==.【答案】94ABC S ∆=板块二、解直角三角形【例6】如图是教学用直角三角板，边3090tanAC cm C BAC =∠=︒∠，，则边BC 的长为（）连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为．（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，CMP ∠的大小是否会发生【例】如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点，若、两点间的地面距离QAPα∠=，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P Q【例9】在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为，OP 与轴正方向的夹角为，则用表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为45⎤︒．若点Q 的极坐标为[]460︒，，则点Q 的坐标为（）【例11】周末，身高都为1．6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角α为45︒，小丽站在B 处（A B 、与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30︒．她们又测出A B 、两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm ，则可计算出塔高约为（结果精确到0．01 1.414 1.732≈）（）【答案】A板块三、锐角三角函数【例13】如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB △绕着点A 逆时针旋转得到''AC B △，则'tan B 的值为（）A ．12 B ．13C ．14D【解析】过点C 作CD AB ⊥于D ,由题意得：'B B ∠=∠ 在Rt CDB △中，1tan 3CD B BD == 即1tan '3B =【答案】B【例14】如果ABC △中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是（） A ．ABC △是直角三角形 B ．ABC △是等腰三角形C ．ABC △是等腰直角三角形D ．ABC △是锐角三角形【解析】由特殊三角函数值易知：45A B ∠=∠=︒ 【答案】C【例15】如图，已知：4590A ︒<<︒，则下列各式成立的是（）A ．sin cos A A =B ．sin cos A A >C ．sin tan A A >D ．sin cos A A <CBA【解析】解法一：利用锐角三角函数的性质解法二：代入特殊值法【答案】B【例16】如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos AOB ∠的值等于_________．O【解析】根据圆的性质可知：OAB △是等边三角形，即60OAB ∠=o ，所以1cos 2AOB ∠=．【答案】12【例17】如图，点(0,4),(0,0),(5,0)E O C 在A e 上，BE 是A e 上的一条弦，则tan OBE ∠= ．【解析】根据圆的性质OBE ECB ∠=∠，所以tan tan OEOBE ECB OC∠=∠=又已知4,5OE OC ==，即tan tan OE OBE ECB OC∠=∠=又4,5OE OC ==，所以4tan 5OBE ∠=x【答案】 45【例18】（1）计算：11()12sin 60tan 602--︒⋅︒（204sin 45(3)4π︒+-+-【解析】（1）原式212=+-=（2）原式414=++ 5= 【答案】见解析【例19】计算： 2011315(1)()(cos68)8sin 602π---+︒+︒+︒【解析】原式=181--++8-【答案】8-【例20】已知α是锐角，且sin(15)α+︒=0114cos ( 3.14)tan ()3απα---++的值．【解析】由sin(15)α+︒45α=︒，原式411332=⨯-++=【答案】3板块四、三角函数与几何综合【例21】如图，直径为10的A e 经过点(0,5)C 和点(0,0)O ，B 是y 轴右侧A e 优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为( )．A ．12 B ．34 CD ．45x【解析】由题意很容易推断出：AC =OC =OA =5，所以60CAO ∠=︒．由圆的性质可知：2OBC CAO ∠=∠，即30OBC ∠=︒【答案】C【例22】如图，在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=︒∠=︒将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转15︒后得到1111,AB C BC △交AC 于点D ，如果AD =ABC △的周长等于（）．21DC1B1C BA【解析】在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=∠=o o 所以60BAC ∠=o 因为115∠=o ，所以2145BAC ∠=∠-∠=o又在1Rt AB D △中，AD =所以12AB AB ==，所以4BC AC ==即ABC △的周长：6AB BC AC++=+【答案】6+【例23】如图，ABC △中，3cos 5B C =，5AC =，则ABC△的面积是（） AB CA．21 2B．12C．14D.21【解析】过点A作AD BC⊥于D.由题意得：45B∠=o，所以AD BD=又在ADC△中，3sin5ADCAC==，5AC=，所以4,3CD AD BD===所以ABC△的面积：11121()732222BC AD BD CD AD⋅=+⋅=⨯⨯=CBAD【答案】A【例24】如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE∠=，求CF的长．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D.又Q AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD.∴∠BAE=∠DAF.（2）在Rt△ABE中，sin∠BAE=53，AE=4,可求AB=5又∵∠BAE=∠DAF，∴sin∠DAF=sin∠BAE=53.在Rt△ADF中，AF=524, sin∠DAF =53,可求DF=518∵CD=AB=5.∴CF=5-518=57．【例25】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ．（1）求tan ABD ∠的值；（2）求AF 的长．FED CBA【解析】（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ，∴ ∠DMN=∠CNM=∠MDC=90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4CD =，∴ MN=CD= 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==， ∴ ∠DAB=∠CBA ，DM=CN ． ∴ △ADM ≌△BCN ．又∵10AB =，∴ AM=BN=()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB=BN+MN=7．∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD=90︒，AD=5，AM=3，∴4DM =．∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==（2）∵ EF AB ⊥，∴ ∠F=90︒．∵∠DMN=90︒， ∴ ∠F=∠DMN.∴ DM ∥EF ． ∴ △BDM ∽△BEF ． ∵ DE BD =，∴12BM BD BF BE ==． ∴ BF=2BM=14．∴ AF=BF -AB=14-10=4．NM FED CBA【习题1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【解析】直接计算,只有AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为2.选C. 【答案】C【习题2】如图，在ABC △中，9060C B D ∠=︒∠=︒，，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，A ．2 B ．433C ．23D ．43 EDCBA课后作业【习题3】如图，某游乐场一山顶滑梯的高为，滑梯的坡角为α，那么滑梯长为（）【习题4】如图，ABC△的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=______．C 【解析】正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的．过点C作CD AD⊥交AB的延长线于D。

解直角三角形培优练习

解直角三角形例1.如图，在△ABC 中，∠B=45°，AD=5，AC=7，DC=3，求∠ADC 及AB 的长练一练：1．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ， cos ∠DCA=54，BC ＝10，则AB 的值是（） (A)3 (B)6 (C)8 (D)92．如图，在Rt △ABC 中，∠A = 900，A C = 6cm ，AB= 8cm ，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin ∠DBE 的值为( D ) (A)13 (B)3103.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点，且AE ：EB=4：1，EF ⊥AC ，F 为垂足，连结FB ，则tan ∠CFB 的值等于( ) （桂林市2008年中考题）4.如图，将较短边长AD=6cm 的矩形纸片折叠，使顶点C 恰好落在长边AB 上，则折痕L 的长度为（）5.如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DE ⊥AB ，DC=2，AC= ，∠DAE=60°，则DE=6.矩形ABCD 位于平面直角坐标系中，点A 与坐标系原点重合，边AB 与x 轴夹角为30°，AB=4，BC=3，则点B 坐标为，点C 坐标为BDCAA EB CD 19 ABDED C B()()()()3533533233D C B A A FE CB ()()()()ααααααα2sin cos 6tan 6cos sin 3sin cos 62∙∙∙DC B A A C例2.如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB ，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角 ∠ADC=60°，AD=4m （1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？例3.已知：如图，在山脚的A 处测得山顶D 的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到B 处（即∠BAC=30°，AB=400米），测得D 的仰角为60°，求山的高度CD ．练一练:1．如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上. （1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 的长度。

初三上培优辅导资料5(解直角三角形)学生

初三上培优辅导资料5解直角三角形知识点巩固：1.锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们称为∠A的锐角三角函数提醒：1）sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2）取值范围<sinA< ，<cosA< ，tanA>2. 当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3.几个特殊关系：⑴sin2A+cos2A= ,tanA∙tanB =⑵若∠A+∠B=900，则sinA= ，cosA= ，tanB=4. 坡面的__ _的比叫坡度i（也叫坡比），坡度越大，坡面越陡；坡面与___ _的夹角，用α表示，tan α=i=hl．度i=1：2，则坝底AD的长为（A. 13mB. 34mC. (6m+ D. 40m练习：小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A. (6mB. 12mC. (4m- D. 10m例3 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D 。

若AB ＝12，CD ＝6，3tan 2A =，求s i n c o s B B+的值.D C B A练习：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）练习:一、选择题1. a、b 、c 是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ：b ：c=1则cosB 的值为（）A. 3B.3C. 3D. 42. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=513, 则tanB 的值为（） A. 1213 B. 512 C. 1312 D. 1253. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=35,则cosB 的值是（） A. 45 B. 35 C.34 D. 43 4. 拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡比是BC=10m ，则坡面AB 的长度是（）A. 15mB.C.D. 20m5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点，并且AE：EB=4：1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan∠CFB 的值等于（）A. B.C. D.6. 如图，A 点的坐标为（-4，0），直线y=n +与坐标轴交于点B ，C ，连接AC ，如果∠ACD=90°，则n 的值为（）A. 2-B. 3-C.D. 7. 如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长BC 到点F ，使CF ：BC=1：2，连接DF ，EC ．若AB=5，AD=8，sinB=45, 则DF 的长等于（）A. B. C. D. 8. 如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为1S 、2S ，则（）A. 12S S =B. 1212S S =C. 1285S S =D. 1272S S = 9．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8cm ，BD=6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC交于G ，则GH=（）A. 2825cmB. 2120cmC. 2815cmD. 2521cm 二、解答题：1. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC=14，AD=12，tan ∠BAD=34，求sinC 的值．。

第十讲--- 解直角三角形及其应用培优

仰角俯角α h li 第十讲解直角三角形及其应用一、解直角三角形定义：定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三边和两个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。

三种基本关系：1、边边关系：222a b c +=2、角角关系：∠A+∠B=90°3、边角关系：即四种锐角三角函数类型已知条件解法两边两直角边a 、b22c a b =+，tan aA b =，90B A ∠=︒-∠直角边a ，斜边c 22b c a =-，sin aA c=，90B A ∠=︒-∠一边一锐角直角边b ，锐角A ∠B ＝；a ＝b •tanA ； c= ；斜边c ，锐角A90B A ∠=︒-∠，sin a c A =g ； b ＝；三、解直角三角形的基本思路：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中（取原始值避免用中间量）。

” 四、解直角三角形中的实际问题有：（1）方位角、象限角.（2）俯角、仰角.（3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 五、有关公式（1）1sin 2S ab C ∆==1sin 2bc A =1sin 2ac B（2）Rt △面1122S ab ch ==V（3）结论：直角三角形斜边上的高abh c=六、基本图形（组合型）翻折平移七、解题思路与数学思想方法αtan lh i ==仰角铅垂线水平线视线视线俯角单个直角三角形直接求解实际问题数学问题抽象转化不是直角三角形直角三角形求解八九、经典例题（一）利用直角三角形解决俯角仰角问题仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

例1、天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A 处测得天塔最高点C 的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B 处测得最高点C 的仰角为54°，AB=112m ，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD （tan36°≈0.73，结果保留整数）．小小收获：测底部不可到达物体的高度已知：如图下，在Rt △ADC 中，∠D ＝90°，∠A ＝α ，∠CBD ＝β ，AB ＝a ．用含a 及α 、β 的三角函数的式子表示CD 的长为；例2、在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌（如图所示）.已知标语牌的高.在地面的点处，测得标语牌点的仰角为30°，在地面的点处，测得标语牌点的仰角为75°，且点的同一直线上，求点与点之间的距离.（计算结果精确到0.1米，参考数据：）辅助线构造:ih l=hlα巩固 1、如图，两建筑物的水平距离BC 为18m ，从A 点测得D 点的俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°．则建筑物CD 的高度为 m （结果不作近似计算）．2、国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A 处的俯角为，B 处的俯角为．如果此时直升机镜头C 处的高度CD为200米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是米．3、如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为米．（二）利用直角三角形解决坡度坡角问题斜坡坡度i =斜坡的垂直高度斜坡的水平距离注意：通常我们将坡度i 写成1:m 的形式，坡度i 与坡角α之间的关系为tan i α=。

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