初升高数学衔接教材(完整)(2020年8月整理).pdf

第一讲数与式

1、绝对值

（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪−<⎩

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a −表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式

①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a −<<。 ②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><−或。 ③2

2

()()()()f x g x f x g x >⇔>。 （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：

①找到使多个绝对值等于零的点．

②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1.求不等式354x −<的解集

例2.求不等式215x +>的解集

例3.求不等式32x x −>+的解集

例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．

例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．

例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习

解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x −+−＞4+x （2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x −< (5)578x +>

3、因式分解 乘法公式

（1）平方差公式2

2

()()a b a b a b +−=− （2）完全平方公式2

2

2

()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式2

2

3

3

()()a b a ab b a b +−+=+ （4）立方差公式2

2

3

3

()()a b a ab b a b −++=−

（5）三数和平方公式2

2

2

2

()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++

（7）两数差立方公式33223

()33a b a a b ab b −=−+−

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法 例1分解因式：

（1）x 2

－3x ＋2；（2）2672x x ++

（3）22

()x a b xy aby −++；（4）1xy x y −+−．

2．提取公因式法

例2.分解因式： （1）()()b a b a −+−552

（2）32933x x x +++

3．公式法

例3.分解因式： （1）164+−a （2）()()2

2

23y x y x −−+

4．分组分解法

例4.（1）x y xy x 332−+−（2）22

2456x xy y x y +−−+− 5．关于x 的二次三项式ax 2

+bx +c (a ≠0)的因式分解．

若关于x 的方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2

(0)ax bx c a ++≠就可分

解为12()()a x x x x −−.

例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +−；（2）2

2

44x xy y +−．

练习

（1）256x x −−（2）()2

1x a x a −++（3）21118x x −+

（4）24129m m −+（5）2576x x +−（6）22

126x xy y +−

（7）()()3211262

+−−−p q q p （8）22365ab b a a +−（9）()

2

2244+−−x x （10）1224+−x x （11）

by ax b a y x 222222++−+−

（12）91264422++−+−b a b ab a (13)x 2

－2x －1

（14）31a +；（15）424139x x −+；

（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）22

35294x xy y x y +−++−

第二讲一元二次方程与二次函数的关系

1、一元二次方程 (1)根的判别式

对于一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a

； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）

如果ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a −

，x 1·x 2＝c

a

．这一关系也被称为韦达定理．

2、二次函数2y ax bx c =++的性质

1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭

，。

当2b x a <−时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >−时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=−时，y 有最小值244ac b a −。