由中点我们能联想到什么？——以一道中考压轴题为例课件

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关于中点的联想

三角形的中位线在数量上是第三边的一半在位置上涉及到平行它起着传递角的位置关系和线段长度的功能
关于中点的联想
线段的中点把线段分成相等的两部分，是几何图形中的一个特殊的点，图形中出现的中点，可以引发我们丰富的联想。
例1、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度。
练习：在Rt △ABC中， ∠ACB=90 °，点E是AC的中点，延长BC到点F，使BC=2CF，若AB=10，求EF的长。
B
D
B
D
C
C
A
E
A
E
F
F
EF=5
熟悉一下基本图形：
1、等腰三角形三线合一 2、中线倍长 3、直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线
练习：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，求DE：EA的值。
A E
B
D
C
DE : EA 3
例2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=26，BC边上的中线
AD=12，求BC的长。
A
10
26
解：延长AD到E，使得DE AD
12
AD是BC边上的中线， BD CD
AB 10，AD 12， BD 102 122 2 61
BC 4 61
中线与中点联系紧密，中线倍长是处理中线的常用手段。
例2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=26，BC边上的中线 AD=12，求BC的长。
A
E
B
D
C
构造中点，中位线是解题的常用技巧。
练习：如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，BC边上的中线AD=A2，求△ABC的面积。

中点联想

中点联想线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．基本图形：解读：（一）遇到中点时常见的五种思路：1.遇到等腰三角形底边的中点时考虑：三线合一2.遇到直角三角形斜边的中点时考虑：斜边的中线等于斜边的一半。

3.遇到三角形一边上的中线时考虑：倍长中线4.遇到平行线所截线段的中点时考虑：类倍长中线5.多个中点考虑（或构造）：中位线（二）例题：1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A． B． C． D．2.如图, 在△ABC中,BE,CF分别为边AC，AB的高，D为BC的中点，M为EF的中点。

求证：D M⊥EF3.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．（三）练习1.已知，如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A 的直线MN//BC，在直线MN上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF。

求证：DE=DF2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF，求证：∠EDB=FDC．3.如图, 在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°，O为BC的中点。

如果点M,N分别在线段AB，AC上移动，在移动中保证AN=AM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

4.如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，求FG的长．5. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，点E为DC的中点，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.6. 如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AB、AC的中点，求证：AD与EF互相平分.7.如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE 的中点.（1）求证BF⊥DF(用两种方法正明)（2）若AB=8,AD=6,求DF的长.8．如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE ⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）（1）∠DCF= ∠BCD，（2）EF=CF；（3）S ΔBEC =2S ΔCEF ；（4）∠DFE=3∠AEF ∙∙（四）中考重现1.如图，已知：在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线l经过点B，且直线l绕着点B旋转，AM⊥l于点M，CN⊥l于点N，连接OM，ON（1）当直线l经过点D时，如图1，则OM、ON的数量关系为；（2）当直线l与线段CD交于点F时，如图2（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）当直线l与线段DC的延长线交于点P时，请在图3中做出符合条件的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立？不必说明理由．2.如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点．（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D，C，G 三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．3.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）4..如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转，得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=AC，CD=CE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明.5.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．。

提分微课01 关于中点的联想教学课件

∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=72°-36°=36°,
∴∠BEC=180°-∠B-∠BCE=180°-72°-36°=72°,
A.1
B. 2
C.
3
2

D.2
)
∵P 是 Rt△ABC 的重心,
1
∴CD 是△ABC 的中线,PD= CD.
3
又∵AC=BC,∴CD⊥AB.
1
∵∠ACB=90°,∴CD= AB=3.
2
∴PD=1,即点 P 到 AB
图W1-1
所在直线的距离等于 1.
故选 A.
2.如图W1-2,在△ABC中,AB=12,
2
图W1-11
∴△APB 是直角三角形,

∴tan∠HAP= =

2 - 2
=
12
5
12
5
32 -( )
12
5
9
5
4
= = .
2
3
12.[2019·苏州模拟]如图W1-12,在Rt△ABC
中,∠ACB=90°,AC=10,BC=5,将直角三角板
的直角顶点与AC边的中点P重合,直角三角

∴ =
3
3 2
4
4
= ,∵AP= 2,∴CF=
.
14.[2018·滨州]在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图W1-14①,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF.
(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图
又∵D为BC的中点,△ABC是等腰直角三角形,
∴BD=AD,∠ABC=∠DAC=45°.

第新课标八年级数学竞赛辅导讲座-十八讲-由中点想到什么

第十八讲由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点， AB=10cm ，则MD 的长为．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨取AB 中点N ，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件．注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：(1)利用直角三角斜边中线定理；(2)运用中位线定理；(3)倍长(或折半)法．【例2】如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD ，另一组对边AD ≠BC ，分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连结MN ．则AB 与MN 的关系是( )A ．AB=MNB ．AB>MNC ．AB<MND ．上述三种情况均可能出现(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点．【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：CD=2EC ．(浙江省宁波市中考题)思路点拨联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线．【例4】已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)．若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．(2003年黑龙江省中考题)思路点拨图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础．注三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．【例5】如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ． (2001年天津赛区试题)思路点拨通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的利用创造条件，这是解本例的突破口．注需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思考方法之一．学历训练1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ．(2003年广西中考题)2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).(200l 年山东省济南市中考题)3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ．(2002年天津市中考题)5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )A ．40B ．48C 50D ．566．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，若AD=6cm ，BC=18㎝，则EF 的长为( )A ．8cm D ．7cm C ． 6cm D ．5cm7．如图，矩形纸片ABCD 沿DF 折叠后，点C 落在AB 上的E 点，DE 、DF 三等分∠ADC ，AB 的长为6，则梯形ABCD 的中位线长为( ) A ．不能确定 B ．23 C ．3 D ．3+1(2001年浙江省宁波市中考题)8．已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD ，顺次连结各边中点得四边形MNPQ ，给出以下6个命题： ①若所得四边形MNPQ 为矩形，则原四边形ABCD 为菱形；②若所得四边形MNPQ 为菱形，则原四边形ABCD 为矩形；③若所得四边形MNPQ 为矩形，则AC ⊥BD ；④若所得四边形MNPQ 为菱形，则AC=BD ；⑤若所得四边形MNPQ 为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ 为菱形，则AB=AD ．以上命题中，正确的是( )A ．①②B ．③④C ．③④⑤⑥D ．①②③④(2001年江苏省苏州市中考题)9．如图，已知△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足．求证：(1)G 是CE 的中点；(2)∠B=2∠BCE ．(2003年上海市中考题)10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系． 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．(2002年四川省竞赛题)13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．(重庆市竞赛题)14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255C ．32D ．273 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( )A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -= 18．如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．(2003年全国初中数学联赛试题)19．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，试判断AB+CD 与AD+BC 的大小，并证明你的结论． (山东省竞赛题)20．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE ，设M 为D 正的中点．(1)求证：MB=MC ；(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB ；MC 是否还能成立?并证明其结论．(江苏省竞赛题)21．如图甲，平行四边形ABCD 外有一条直线MN ，过A 、B 、C 、D4个顶点分别作MN 的垂线AA 1、BB 1、CC l 、DD l ，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1．(1)求证AA 1+ CC l = BB 1 +DD l ；(2)如图乙，直线MN 向上移动，使点A 与点B 、C 、D 位于直线MN 两侧，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，那么AA 1、BB 1、CC l 、DD l 之间存在什么关系?(3)如图丙，如果将MN 再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，那么AA 1、BB 1、CC l 、DD 1之间又存在什么关系?。

专讲6：由中点想到什么

第6讲由中点想到什么【知识归纳】线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．5【典例剖析】【例1】已知AD 为△ABC 的角平分线，AB<AC ，在AC 上截取CE=AB ，M 、N ，分别为BC 、AE 的中点。

求证：MN//AD【例2】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，试判断AB+CD 与AD+BC的大小，并证明你的结论．【例3】如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ．A B C D N ME【例4】如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．【例5】如图3，四边形ABCD 中，AC ＝6，BD ＝8，且AC ⊥BD 。

顺次连结四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ；再顺次连结四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222D C B A ……如此进行下去得到四边形n n n n D C B A（1）证明：四边形1111D C B A 是矩形；（2）写出四边形n n n n D C B A 的面积和周长；【例6】在四边形ABCD 中，E 为边AB 上一点，△ADE 和△BCE 是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，求证：四边形PQMN 为菱形。

【过关训练】1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ．2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )A ．40B ．48C 50D ．566．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，若AD=6cm ，BC=18㎝，则EF 的长为( )A ．8cm D ．7cm C ． 6cm D ．5cm7．如图，矩形纸片ABCD 沿DF 折叠后，点C 落在AB 上的E 点，DE 、DF 三等分∠ADC ，AB 的长为6，则梯形ABCD 的中位线长为( )A ．不能确定B ．23C ．3D ．3+18．已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD ，顺次连结各边中点得四边形MNPQ ，给出以下6个命题：①若所得四边形MNPQ 为矩形，则原四边形ABCD 为菱形；②若所得四边形MNPQ 为菱形，则原四边形ABCD 为矩形；③若所得四边形MNPQ 为矩形，则AC ⊥BD ；④若所得四边形MNPQ 为菱形，则AC=BD ；⑤若所得四边形MNPQ 为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ 为菱形，则AB=AD ．以上命题中，正确的是( )A ．①②B ．③④C ．③④⑤⑥D ．①②③④9．如图，已知△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足．求证：(1)G 是CE 的中点；(2)∠B=2∠BCE ．10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系．12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255C ．32D ．273 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( ) A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -= 18．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE ，设M 为D 正的中点．(1)求证：MB=MC ；(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB ；MC 是否还能成立?并证明其结论．19、以△BC 的AB 、AC 边为斜边向形外作Rt △ABD 和Rt △ACE ，且使∠ABD=∠ACE ，M 是BC 的中点，求证：DM=DN20 已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)． (1) 若BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2) 若BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．A BC M DE。

2020年中考数学专题突破2 关于中点的联想

6、圆＋弦或弧的中点联想垂径定理或圆周角定理．
微专题中点问题六大模型
专题一
关于中点的联想
模型一遇到三角形一边的中点，考虑构造中位线
例 1 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3.则AC的长为( D ) A. 3
B. 7
C. 8 D．14
2
第5题解图
微专题中点问题六大模型
专题一
关于中点的联想
(2)解：∵AM⊥CD，AN⊥BC，∠MAN＝70°，
∴∠BCD＝360°－90°－90°－70°＝110°. ∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠BCD＝30°， ∠BAD＝2∠MAN＝140°. ∵AB＝AC，AD＝AC， ∴AB＝AD. ∴∠ADB＝∠ABD＝20°. ∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝50°.
微专题中点问题六大模型
专题一
关于中点的联想
如图，连接AM．
∵AB=AC=5，点M为BC的中点，
∴AM⊥CM，
∴AM=
，
∵ AM*MC= AC*MN，
∴MN=
．
微专题中点问题六大模型
专题一
关于中点的联想
基本模型
模型分析
如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形 “三线合一”的性质得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD，解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题．
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中
点，过点D作DE ⊥AB交BC的延长线于点E，则CE 的长为___7_____． 6
例4题图【思考】点D是AB的中点且DE ⊥AB，你想到了哪些学过的知识： ___D_E_是__线__段___A_B_的__垂__直__平__分__线__，__垂__直__平__分__线__上__的__点__到__线__段__两__端__点__的__距__离__相___等__．

浙江省20xx年中考数学复习题方法技巧专题六中点联想训练.doc

方法技巧专题 ( 六) 中点联想训练【方法解读】1 . 与中点有关的定理:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (2)等腰三角形“三线合一”的性质 . (3)三角形的中位线定理. (4)垂径定理及其推论.2.与中点有关的辅助线 :(1) 构造三角形的中位线 , 如连结三角形两边的中点; 取一边的中点 , 然后与另一边的中点相连结 ; 过三角形一边的中点作另一边的平行线等等. (2)延长角平分线的垂线,构造等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一”. (3)把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形.1. [2018 ·南充]如图 F6- 1, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°,D, E, F分别为AB, AC, AD的中点 , 若BC=2, 则EF的长度为()图 F6-1A.B.1C.D.2 . [2017 ·株洲]如图 F6 2, 点, , , 分别为四边形四条边, , , 的中点 , 则下列关于四边形EFGH - EFGH ABCD AB BC CD DA的说法正确的是()图 F6-2A.一定不是平行四边形B.一定不会是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时, 它为矩形3 . [2018 ·荆门] 如图 F6 - 3, 等腰直角三角形中, 斜边 AB 的长为 2, 为的中点, 为边上的动点, OQABC O AB P AC ⊥ OP 交 BC 于点 Q , M 为 PQ 的中点 , 当点 P 从点 A 运动到点 C 时, 点 M 所经过的路线长为 ( )图 F6-3A . πB . πC . 1D . 24. 如图 F6- 4, 在正方形ABCD 和正方形 CEFG 中, 点 D 在 CG 上,BC=1, CE=3, H 是 AF 的中点 , 那么 CH 的长是( )图 F6-4A 2 . 5BCD 2.. . .5. [2018 ·眉山] 如图 F6- 5, 在 ? ABCD 中,CD=2AD , BE ⊥ AD 于点 E , F 为 DC 的中点 , 连结 EF , BF , 下列结论 : ①∠ ABC=2∠ ABF ; ② EF=BF ;③S 四边形 DEBC =2S △ EFB ; ④∠ CFE=3∠DEF.其中正确的结论有 ()图 F6-5A .1个B .2个C .3个D .4个6.[2018 ·苏州] 如图 F6 6, 在△ 中, 延长至点 , 使得过的中点E 作 ∥ ( 点F 位于点E- ABC BC D CD=BC. ACEF CD右侧 ), 且 EF=2CD.连结 DF , 若 AB=8, 则 DF 的长为.2图 F6-67. [2018 ·天津] 如图 F6- 7, 在边长为4 的等边三角形 ABC 中,D , E 分别为 AB , BC 的中点,EF ⊥AC 于点 F , G 为 EF的中点 , 连结 DG ,则 DG 的长为.图 F6-78 .[2018 ·哈尔滨] 如图 F6 8, 在平行四边形中, 对角线 , 相交于点 , , 点 , 分别是 , 的- ABCD AC BD O AB=OB E F OA OD中点 , 连结 EF , ∠CEF=45°,EM ⊥ BC 于点 M , EM 交 BD 于点 N , FN= , 则线段 BC 的长为 .图 F6-89. [2018 ·德阳] 如图 F6- 9, 点 D 为△ ABC 的 AB 边上的中点 , 点 E 为 AD 的中点 , △ ADC 为正三角形 , 给出下列结论, ①2 , ②tanB= , ③∠ ∠,④若 2, 点 P 是上一动点 , 点 P 到 , 边的距离分别为d 1, 2,CB= CE ECD= DCB AC= ABAC BC d则+ 的最小值是 3. 其中正确的结论是 ( 填写正确结论的序号).图 F6-910. [2017 ·徐州] 如图 F6- 10, 在平行四边形ABCD 中, 点 O 是边 BC 的中点 , 连结 DO 并延长 , 交 AB 的延长线于点E. 连结 BD , EC.(1) 求证 : 四边形 BECD 是平行四边形;(2) 若∠50°, 则当∠BOD= °时 , 四边形是矩形A= BECD.图 F6- 1011. [2017 ·成都]如图 F6- 11, 在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交 BC于点 D,交 CA的延长线于点E, 过点 D作 DH⊥ AC于点 H,连结 DE交线段 OA于点 F.(1)求证:DH是☉ O的切线;(2)若 A为 EH的中点,求的值;(3)若 EA=EF=1,求☉ O的半径 .图 F6- 1112. [2018 ·淄博] (1) 操作发现:如图 F6- 12①, 小明画了一个等腰三角形ABC,其中 AB=AC,在△ ABC的外侧分别以AB, AC为腰作了两个等腰直角三角形 ABD,ACE,分别取 BD, CE, BC的中点 M, N, G,连结 GM,GN,小明发现:线段GM与 GN的数量关系是; 位置关系是.(2)类比思考:如图② , 小明在此基础上进行了深入思考, 把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变, 小明发现上述的结论还成立吗?请说明理由.(3)深入探究:如图③ , 小明在 (2) 的基础上 , 又作了进一步的探究 , 向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变 , 试判断△GMN的形状 , 并给予证明.图 F6- 12参考答案1. B[ 解析] 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°,BC=2, ∴AB=4, CD=AB, ∴CD=×4=2.∵E, F分别为AC, AD的中点 , ∴EF= CD=×2=1.故选 B.2. C3. C[ 解析] 如图 , 连结OM,CM,OC.∵OQ⊥ OP,且 M是 PQ的中点,∴ OM=PQ.∵△ ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴ CM=PQ,∴ OM=CM,∴△ OCM是等腰三角形,∴ M在 OC的垂直平分线上.∵当点 P 在 A 点时,点 M为 AC的中点,当点 P在 C点时,点 M为 BC的中点,∴点 M所经过的路线长为AB=1. 故选C.4. B5. D [ 解析] 如图① , 连结AF并延长与BC的延长线相交于点M,易证△ ADF≌△ MCF,∴ AF=MF,AD=MC又.∵AD=BC,DC=AB=2AD,∴ AB=BM,∴∠ ABC=2∠ ABF,故①正确 .如图② , 延长EF, BC相交于点 G.易得△ DEF≌△ CGF,∴FE=FG∵. BE⊥AD, AD∥ BC,∴∠ EBG=90° .根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 得EF=BF,故②正确 .如图② , 由于BF是△ BEG的中线,∴ S△BEG=2S△BEF,而 S△BEG=S四边形DEBC,∴ S 四边形DEBC=2S△EFB,故③正确 .如图② , 设∠DEF=x,∵AD∥BC, ∴∠DEF=∠G=x,又∵ FG=FB,∴∠ G=∠ FBG=x,∴∠ EFB=2x.∵CD=2AD, F 为 CD的中点,BC=AD,∴ CF=CB,∴∠ CFB=∠ CBF=x,∴∠ CFE=∠ CFB+∠ BFE=x+2x=3x=3∠ DEF,故④正确 . 故选D.6. 4 [ 解析] 解此题时可取AB的中点,然后再利用三角形的中位线和平行四边形的判定和性质. 取 AB的中点 M,连结 ME,则 ME∥ BC, ME=BC.∵EF∥ CD,∴ M, E, F 三点共线,∵EF=2CD, CD=BC,∴MF=BD,∴四边形 MBDF是平行四边形,∴DF=BM=AB=×8=4.7.[ 解析] 如图 , 连结DE.∵ D, E 分别为 AB, BC的中点,∴DE∥ AC, DE=AC=2, EC=2.∵EF⊥ AC,∴ DE⊥EF,∴△ DEG为直角三角形 .在 Rt△中, 2,∠60°, ∴EF= .EFC EC= C=∵G为 EF的中点,∴ EG= .在 Rt△DEG中,DE=2, EG= ,由勾股定理 , 得DG==.故答案为.8 . 4 [ 解析] 如图, 连结, 由, 分别为, 的中点可知, ∥, 易证△是等腰直角三角BE E F OA OD EF= AD EF AD BEC形,EM三线合一,可证得△ EFN≌△ MBN,可得到 BN=FN=,tan ∠NBM=, 就能求出BM=2, 所以BC=4.9.①③④[ 解析] 由题意得,AE=DE,AD=BD=CD.∵△ ACD是正三角形,∴∠ CDA=60°,CE⊥ AD,∴∠ B=∠DCB=30° .在 Rt△BCE中, ∠B=30°, ∴CB=2CE, 故①正确;∵∠ B=30°,∴tan B= ,故②错误;在正△ ACD中,CE是△ ACD的中线,∴∠ ECD=∠ ACD=30°,∴∠ ECD=∠ DCB,故③正确;2如题图,PM=d1, PN=d2. 在Rt△ MPN中, +=MN. ∵∠ ACB=∠ CMP=∠ CNP=90°,∴四边形 MPNC为矩形,∴ MN=CP.要使+最小,只需MN最小,即PC最小,当CP⊥AB时,即P与E重合时,+最小. 在 Rt△ACE中, ∵AC=2, ∠ACE=30°,∴ CE=AC·cos30° =2 , 则CE=3,∴+ 的最小值为3,故④正确 .故正确的有①③④.10.解:(1) 证明 : ∵平行四边形ABCD,∴ AE∥ DC,∴∠ EBO=∠ DCO,∠BEO=∠CDO.∵点 O是边 BC的中点,∴ BO=CO,∴△ EBO≌△ DCO(AAS),∴ EO=DO,∴四边形 BECD是平行四边形 .(2)100 °提示:若四边形BECD为矩形,则 BC=DE,BD⊥AE,又 AD=BC,∴ AD=DE.∵∠ A=50°,根据等腰三角形的性质,可知∠ADB=∠ EDB=40°,∴∠ BOD=180° - ∠ ADE=100° .11.解:(1) 证明 : 连结OD,如图 .∵OB=OD,∴∠ OBD=∠ ODB.又∵ AB=AC,∴∠ ABC=∠ ACB,∴∠ ODB=∠ ACB,∴OD∥ AC.∵DH⊥ AC,∴ DH⊥OD,∴ DH是☉ O的切线 .(2)∵∠ E=∠ B,∠ B=∠ C,∴∠ E=∠ C,∴△ EDC是等腰三角形 .又∵ DH⊥ AC,点 A是 EH中点,∴设 AE=x,则 EC=4x, AC=3x.连结 AD,∵ AB为☉ O的直径,∴∠ ADB=90°,即 AD⊥ BD.又∵△ ABC是等腰三角形,∴ D是 BC的中点, ∴OD是△ ABC的中位线,∴OD∥ AC, OD=AC=x,∴∠ E=∠ODF.在△ AEF和△ ODF中,∴△ AEF∽△ ODF,∴ =,∵= =,∴ =.(3)设☉ O的半径为 r ,即 OD=OB=r.∵EF=EA,∴∠ EFA=∠ EAF.又∵ OD∥ EC,∴∠ FOD=∠ EAF,∴ DF=OD=r ,∴ DE=DF+EF=r+1,∴ BD=CD=DE=r+1.∵∠ BDE=∠ EAB ,∴∠ BFD=∠ EFA=∠ EAB=∠BDE ,∴ BF=BD=1+r ,∴ AF=AB-BF=2OB-BF=2r- (1 +r ) =r- 1.在△ BFD 与△ EFA 中,∴△ BFD ∽△ EFA ,∴ = ,∴ = ,解得 r 1=, r 2 = ( 舍去).∴☉ O 的半径为.12 . [ 解析] (1) 通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等;(2) 连结 , ,可得△ ≌△ , 从而得 ⊥ BE CD ACD AEB DC BE , DC=BE ,利用中位线得 GM ∥ CD 且等于 CD 的一半,GN ∥ BE 且等于 BE 的一半 , 从而得到 MG 和 GN 的关系;(3) 连结 BE , CD , 仿照 (2) 依然可得相同的结论 .解:(1) 操作发现 : 线段 GM 与 GN 的数量关系为 GM=GN ;位置关系为 G M ⊥ GN.(2) 类比思考 : 上述结论仍然成立 .理由如下 : 如图① , 连结 CD , BE 相交于点 O , BE 交 AC 于点 F.①∵点 M, G分别是 BD, BC的中点,∴MG∥ CD, MG=CD.同理可得 NG∥ BE, NG=BE.∵∠ DAB=∠ EAC,∴∠ DAC=∠ BAE.又∵ AD=AB,AC=AE,∴△ ADC≌△ ABE,∴∠ AEB=∠ ACD,DC=BE,∴ GM=GN.∵∠ AEB+∠ AFE=90°,∴∠ OFC+∠ ACD=90°,∴∠ FOC=90°,易得∠ MGN=90°,∴ GM⊥ GN.(3)深入探究 : △GMN是等腰直角三角形.证明如下 : 如图② , 连结BE, CD, CE与 GM相交于点 H.②∵点 M, G分别是 BD, BC的中点,∴MG∥ CD, MG=CD.同理 NG∥ BE, NG=BE.∵∠ DAB=∠ EAC,∴∠ DAC=∠ BAE.又∵ AD=AB,AC=AE,∴△ ADC≌△ ABE,∴∠ AEB=∠ ACD,DC=BE,∴ GM=GN.∵GM∥ CD,∴∠ MHC+∠ HCD=180°,∴∠ MHC+(45° +∠ ACD)=180°,∴∠MHC+45° +∠AEB=180°,∴∠ MHC+45° +(45° +∠ CEB)=180°,∴∠ MHC+∠ CEB=90°,∴∠ GNH+∠GHN=90°,∴∠ NGM=90°,即 GM⊥ GN, ∴△ GNM是等腰直角三角形.。

由中点想到什么

初三数学培优之：由中点想到什么由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．5.三角形等积熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点， AB=10cm ，则MD 的长为．【例2】如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD ，另一组对边AD ≠BC ，分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连结MN ．则AB 与MN 的关系是( )A ．AB=MNB ．AB>MNC ．AB<MND ．上述三种情况均可能出现【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：CD=2EC ．【例4】已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)．若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．【例5】如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ．学历训练1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ． 2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )A ．40B ．48C 50D ．566．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，若AD=6cm ，BC=18㎝，则EF 的长为( )A ．8cm D ．7cm C ． 6cm D ．5cm7．如图，矩形纸片ABCD 沿DF 折叠后，点C 落在AB 上的E 点，DE 、DF 三等分∠ADC ，AB 的长为6，则梯形ABCD 的中位线长为( )A ．不能确定B ．23C ．3D ．3+18．已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD ，顺次连结各边中点得四边形MNPQ ，给出以下6个命题：①若所得四边形MNPQ 为矩形，则原四边形ABCD 为菱形；②若所得四边形MNPQ 为菱形，则原四边形ABCD 为矩形；③若所得四边形MNPQ 为矩形，则AC ⊥BD ；④若所得四边形MNPQ 为菱形，则AC=BD ；⑤若所得四边形MNPQ 为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ 为菱形，则AB=AD ．以上命题中，正确的是( )A ．①②B ．③④C ．③④⑤⑥D ．①②③④9．如图，已知△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足．求证：(1)G 是CE 的中点；(2)∠B=2∠BCE ．10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系． 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255C ．32D ．273 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( ) A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -=18．如图，已知在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于点P．求证：∠PAE=∠PBF．19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，试判断AB+CD与AD+BC的大小，并证明你的结论．20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE，设M为D正的中点．(1)求证：MB=MC；(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB；MC是否还能成立?并证明其结论．21．如图甲，平行四边形ABCD外有一条直线MN，过A、B、C、D4个顶点分别作MN的垂线AA1、BB1、CC l、DD l，垂足分别为A l、B1、C l、D1．(1)求证AA1+ CC l = BB1 +DD l；(2)如图乙，直线MN向上移动，使点A与点B、C、D位于直线MN两侧，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD l之间存在什么关系?(3)如图丙，如果将MN再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD1之间又存在什么关系?。

中考数学一轮复习关于中点的联想课件

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中点引发七联想
1.联想等腰三角形“三线合一”的性质 2.联想“三角形的中位线定理” 3.联想“斜边上的中线，等于斜边的一半” 4.联想“垂径定理” 5.构造全等三角形 6.中线倍长 7.三角形中线所分的两三角形面积相等
求证：S△ABE=
1 2
S四边形ABCD。
A
D
构造全等三角形
B
E
CF
1
2
3
4
5
6
7
例6：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=4，AC=3，求AD的取值范围
A
中线倍长，构造全等三角形
4-3＜2AD＜4+3
B
C D
E1234567
例7：如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则
B
M
C
1
2
3
4
5
6
7
例2：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
中点四边形
A E
H
D
B
根据三角形中位线定理
G F
C
1
2
3
4
5
6
7
例3：在⊿ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、 AC的中点，求证：EF=DG
D S四边形AGCD 等于（

2020中考专题12——方法技巧之中点联想

2020中考专题12——方法技巧之中点联想班级姓名.【方法解读】1.与中点有关的定理:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)等腰三角形“三线合一”的性质.(3)三角形的中位线定理.(4)垂径定理及其推论.2.与中点有关的辅助线:(1)构造三角形的中位线,如连结三角形两边的中点;取一边的中点,然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等.(2)延长角平分线的垂线,构造等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一”.(3)把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形.【例题分析】例1.在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP 的中点，连接MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，QPM∆的形状是；（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．①依题意补全图2；②判断QPM∆的形状并加以证明；（3）点P'于点P关于直线AB对称，且点P'在线段BC上，连接AP'，若点Q恰好在直线AP'上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．例2．在ABCD中，点B关于AD的对称点为B'，连接AB'，CB'，CB'交AD于F点．（1）如图1，90ABC∠=︒，求证：F为CB'的中点；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB'的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过点B'作//B G CD'交AD于G点，只需证三角形全等；想法2：连接BB'交AD于H点，只需证H为BB'的中点；想法3：连接BB'，BF，只需证90B BC∠'=︒．⋯请你参考上面的想法，证明F为CB'的中点．（一种方法即可）（3）如图3，当135ABC∠=︒时，AB'，CD的延长线相交于点E，求CEAF的值．例3．在ABC ∆中，AB BC =，BD AC ⊥于点D ．（1）如图1，当90ABC ∠=︒时，若CE 平分ACB ∠，交AB 于点E ，交BD 于点F ．①求证：BEF ∆是等腰三角形；②求证：1()2BD BC BF =+；（2）点E 在AB 边上，连接CE ．若1()2BD BC BE =+，在图2中补全图形，判断ACE ∠与ABC∠之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解ACE ∠与ABC ∠关系的思路．【巩固训练】1.[2018·南充]如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,D ,E ,F 分别为AB ,AC ,AD 的中点,若BC=2,则EF 的长度为()A .21B .1C .23D .3图1图22.[2017·株洲]如图F6-2,点E ,F ,G ,H 分别为四边形ABCD 四条边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,则下列关于四边形EFGH 的说法正确的是()A .一定不是平行四边形B .一定不会是中心对称图形C .可能是轴对称图形D .当AC=BD 时,它为矩形3.如图3,在正方形ABCD 和正方形CEFG 中,点D 在CG 上,BC=1,CE=3,H 是AF 的中点,那么CH 的长是()A .2.5B .5C .223D .2图3图4图54.[2019·海南]如图4,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=4,点P 是边AC 上一动点,过点P 作PQ ∥AB 交BC 于点Q ,D 为线段PQ 的中点,当BD 平分∠ABC 时,AP 的长度为()A .138B .1315C .1325D .13325.[2018·眉山]如图5,在▱ABCD 中,CD=2AD ,BE ⊥AD 于点E ,F 为DC 的中点,连结EF ,BF ,下列结论:①∠ABC=2∠ABF ;②EF=BF ;③S 四边形DEBC =2S △EFB ;④∠CFE=3∠DEF.其中正确的结论有()A .1个B .2个C .3个D .4个6.[2018·苏州]如图6,在△ABC 中,延长BC 至点D ,使得CD=21BC.过AC 的中点E 作EF ∥CD (点F 位于点E 右侧),且EF=2CD.连结DF ,若AB=8,则DF 的长为.图6图7图87.[2018·天津]如图7,在边长为4的等边三角形ABC 中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,EF ⊥AC 于点F ,G 为EF 的中点,连结DG ,则DG 的长为.8.[2018·哈尔滨]如图8,在平行四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,AB=OB ,点E ,F 分别是OA ,OD 的中点,连结EF ,∠CEF=45°,EM ⊥BC 于点M ,EM 交BD 于点N ,FN=10,则线段BC 的长为.9.[2019·泰安改编]如图9,矩形ABCD 中,AB=4,AD=2,E 为AB 的中点,F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,连结PB ,则PB 的最小值是.图9图1010.[2019·桂林]如图10,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=3,点P 是边AD 上的一个动点,连结BP ,作点A 关于直线BP 的对称点A 1,连结A 1C ,设A 1C 的中点为Q ,当点P 从点A 出发,沿边AD 运动到点D 时停止运动,点Q 的运动路径长为.11.[2019·广元]如图11,已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,延长BA 到点D ,使AD=21AB ,点E ,F 分别是边BC ,AC 的中点.求证:DF=BE.图1112.[2019·泰安]如图12,四边形ABCD 是正方形,△EFC 是等腰直角三角形,点E 在AB 上,且∠CEF=90°,FG ⊥AD ,垂足为点G.(1)试判断AG 与FG 是否相等?并给出证明.(2)若点H 为CF 的中点,GH 与DH 垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.图1213.[2018·淄博](1)操作发现:如图F6-13①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连结GM,GN,小明发现:线段GM与GN的数量关系是;位置关系是.(2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现的上述的结论还成立吗?请说明理由.(3)深入探究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.图13【参考答案】例1.解：（1）如图1，连接AC ，四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，45DBC ∠=︒，点M 、N 分别为BC 、AP 的中点，//MN AC ∴，90BQM BOC ∴∠=∠=︒，45QMB ∴∠=︒，QPM ∴∆是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．（2）①如图2，②QPM ∆的形状是等腰三角形，如图3，延长BC 至E ，使CE BP =，连接AE ，PB CE = ，PB BC CE BC ∴+=+，即CP BE =，四边形ABCD 是正方形，AB DC ∴=，90ABC DCB ∠=∠=︒，在DCP ∆和ABE ∆中，DC AB DCP ABE CP BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩DCP ABE ∴∆≅∆，DPC E ∴∠=∠，M 为BC 的中点，MB MC ∴=，MB BP MC CE ∴+=+，即MP ME =，M ∴为PE 的中点，N 为AP 的中点，//MN AE ∴，NMP E ∴∠=∠，DPC NMP ∴∠=∠，QM QP ∴=，QPM ∴∆是等腰三角形．（3）求解思路如下：a ，由题意画出图形，并延长BC 至E ，使CE BP =，连接AE ，如图4．b ，由（2）可得//QM AE ，可证P Q P MQA ME ''=．c ，由//PP AD '，可证△P PQ ADQ '∆∽，从而P Q P PQA AD''=．d ，可得P M P PME AD''=．e ，由点P '与点P 关于直线AB 对称，得到BP BP CE '==，设BP BP CE x '===，由2AD BC ==，可分别表示P M '，ME ，P P '，可求BP 的长．例2.（1）证明：四边形ABCD 为平行四边形，90ABC ∠=︒，ABCD ∴ 为矩形，AB CD =，90D BAD ∴∠=∠=︒，B ，B '关于AD 对称，90B AD BAD ∴∠'=∠=︒，AB AB ='，B AD D ∴∠'=∠，AFB CFD ∠'=∠，在AFB ∆'与CFD ∆中，B AD D AFB CFD AB CD ∠'=∠⎧⎪∠'=∠⎨⎪'=⎩，()AFB CFD AAS ∴∆'≅∆，FB FC ∴'=，F ∴是CB '的中点；（2）证明：方法1：如图2，过点B '作//B G CD '交AD 于点G ，B ，B '关于AD 对称，12∴∠=∠，AB AB ='，//B G CD ' ，//AB CD ，//B G AB ∴'．23∴∠=∠，13∴∠=∠，B A B G ∴'='，AB CD = ，AB AB ='，B G CD ∴'=，//B G CD ' ，4D ∴∠=∠，B FG CFD ∠'=∠ ，在△B FG '与CFD ∆中4D B FG DFC B G CD ∠=∠⎧⎪∠'=∠⎨⎪'=⎩，∴△()B FG CFD AAS '≅∆，FB FC ∴'=，F ∴是CB '的中点；方法2：连接BB '交直线AD 于H 点，B ，B '关于AD 对称，AD ∴是线段B B '的垂直平分线，B H HB ∴'=，//AD BC ，∴1B F B HFC HB''==，FB FC ∴'=．F ∴是CB '的中点；方法3：连接BB '，BF ，B ，B '关于AD 对称，AD ∴是线段B B '的垂直平分线，B F FB ∴'=，12∴∠=∠，//AD BC ，B B BC ∴'⊥，90B BC ∴∠'=︒，1390∴∠+∠=︒，2490∠+∠=︒，34∴∠=∠，FB FC ∴=，B F FB FC ∴'==，F ∴是CB '的中点；（3）解：取B E '的中点G ，连结GF ，由（2）得，F 为CB '的中点，//FG CE ∴，12FG CE =，135ABC ∠=︒ ，ABCD 中，//AD BC ，18045BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒，∴由对称性，45EAD BAD ∠=∠=︒，//FG CE ，//AB CD ，//FG AB ∴，45GFA FAB ∴∠=∠=︒，90FGA ∴∠=︒，GA GF =，sin 2FG EAD AF AF ∴=∠= ，∴由①，②可得CEAF=．例3.解：（1）①在ABC ∆中，AB BC =，BD AC ⊥于点D ，ABD CBD ∴∠=∠，AD CD =，90ABC ∠=︒ ，45ACB ∴∠=︒，CE 平分ACB ∠，22.5ECB ACE ∴∠=∠=︒，67.5BEF CFD BFE ∴∠=∠=∠=︒，BE BF ∴=，BEF ∴∆是等腰三角形；②如图，延长AB 至M ，使得BM AB =，连接CM ，//BD CM ∴，12BD CM =，45BCM DBC ABD BMC ∴∠=∠=∠=∠=︒，BFE MCE ∠=∠，BC BM ∴=，由①得，BEF BFE ∠=∠，BE BF =，BFE MCE BEF ∴∠=∠=∠，EM MC ∴=，11()22BD EM BC BF ∴==+；（2）14ACE ABC ∠=∠．求解ACE ∠与ABC ∠关系的思路：a ，延长AB 至P ，使得BP AB =，连接CP ，与（1）②同理可得//BD PC ，12BD PC =，BP BC =；b ，由1()2BD BC BE =+，可证明PEC ∆和BEF ∆分别是等腰三角形；c ，由180BEF BFE EBF ∠+∠+∠=︒以及90FCD DFC ∠+∠=︒，可得180902EBFDCF ︒-∠=︒-∠，即可证明14ACE ABC ∠=∠．巩固训练答案1.B[解析]在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴AB=4,CD=21AB ,∴CD=21×4=2.∵E ,F 分别为AC ,AD 的中点,∴EF=21CD=21×2=1.故选B .2.C 3.B[解析]如图,连结AC ,CF ,∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中,BC=1,CE=3,∴AC=2,CF=32,∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,由勾股定理得,AF===25,∵H 是AF 的中点,∴CH=21AF=21×25=5.故选B .4.B [解析]在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=4,∴AC=3,过点D 作DE ⊥BC 于点E ,易证△ABC ∽△DQE ,∵BD 平分∠ABC ,PQ ∥AB ,∴BQ=QD ,设QD=BQ=4x ,则AP=3x ,DP=4x ,∴PQ=8x ,CP=524x ,∴AC=539x=3,∴x=135,AP=3x=1315.故选B .5.D[解析]如图①,连结AF 并延长与BC 的延长线相交于点M ,易证△ADF ≌△MCF ,∴AF=MF ,AD=MC.又∵AD=BC ,DC=AB=2AD ,∴AB=BM ,∴∠ABC=2∠ABF ,故①正确.如图②,延长EF ,BC 相交于点G.易得△DEF ≌△CGF ,∴FE=FG.∵BE ⊥AD ,AD ∥BC ,∴∠EBG=90°.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得EF=BF ,故②正确.如图②,由于BF 是△BEG 的中线,∴S △BEG =2S △BEF ,而S △BEG =S 四边形DEBC ,∴S 四边形DEBC =2S △EFB ,故③正确.如图②,设∠DEF=x ,∵AD ∥BC ,∴∠DEF=∠G=x ,又∵FG=FB ,∴∠G=∠FBG=x ,∴∠EFB=2x.∵CD=2AD ,F 为CD 的中点,BC=AD ,∴CF=CB ,∴∠CFB=∠CBF=x ,∴∠CFE=∠CFB+∠BFE=x+2x=3x=3∠DEF ,故④正确.故选D .6.4[解析]解此题时可取AB 的中点,然后再利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定和性质.取AB 的中点M ,连结ME ,则ME ∥BC ,ME=21BC.∵EF ∥CD ,∴M ,E ,F 三点共线,∵EF=2CD ,CD=21BC ,∴MF=BD ,∴四边形MBDF 是平行四边形,∴DF=BM=21AB=21×8=4.7.219[解析]如图,连结DE.∵D ,E 分别为AB ,BC 的中点,∴DE ∥AC ,DE=21AC=2,EC=2.∵EF ⊥AC ,∴DE ⊥EF ,∴△DEG 为直角三角形.在Rt △EFC 中,EC=2,∠C=60°,∴EF=3.∵G 为EF 的中点,∴EG=23.在Rt △DEG 中,DE=2,EG=23,由勾股定理,得DG=219.故答案为219.8.42[解析]如图,连结BE ,由E ,F 分别为OA ,OD 的中点可知EF=21AD ,EF ∥AD ,易证△BEC 是等腰直角三角形,EM 三线合一,可证得△EFN ≌△MBN ,可得到BN=FN=10,tan ∠NBM=21,就能求出BM=22,所以BC=42.9.22[解析]如图①,∵F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,∴点P 的运动轨迹为△DEC 的中位线MN ,∴MN ∥EC.如图②,连结ME ,则四边形EBCM 为正方形,连结BM ,则BM ⊥CE ,易证BM ⊥MN ,故此时点P 与点M 重合,点F 与点C 重合,BP 取到最小值,在Rt △BCP 中,BP=22.10.33π[解析]如图,连结BA 1,取BC 的中点O ,连结OQ ,BD.∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,∴tan ∠ABD=AB AD =3,∴∠ABD=60°,∵A 1Q=QC ,BO=OC ,∴OQ=21BA 1=21AB=23,∴点Q 的运动轨迹是以O 为圆心,OQ 为半径的圆弧,圆心角为120°,∴点Q 的运动路径长==33π.故答案为33π.11.证明:连结AE ,∵点E ,F 分别是边BC ,AC 的中点,∴EF 是△ABC 的中位线,∴EF ∥AB ,即EF ∥AD ,且EF=21AB ,又∵AD=21AB ,∴AD=EF ,∴四边形ADFE 是平行四边形,∴DF=AE.∵在Rt △ABC 中,点E 是BC 的中点,∴AE=21BC=BE=CE ,∴BE=DF.12.解:(1)AG=FG.证明如下:在BC 边上取一点M ,使BM=BE ,连结EM ,AF.∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∴AE=CM.∵∠CEF=90°,∴∠AEF+∠BEC=90°.∵∠BEC+∠BCE=90°,∴∠AEF=∠BCE.又∵CE=EF ,∴△AEF ≌△MCE ,∴∠EAF=∠EMC=135°.又∵∠BAD=90°,∴∠DAF=45°.又∵FG ⊥AD ,∴∠AFG=∠DAF=45°,∴AG=FG.(2)DH ⊥GH.证明如下:延长GH 交CD 于点Q.∵H 为CF 的中点,∴FH=CH.∵四边形ABCD 是正方形,∴AD ⊥CD.∵FG ⊥AD ,∴FG ∥CD ,∴∠GFH=∠DCH.又∵∠GHF=∠CHQ ,FH=CH ,∴△FGH ≌△CQH ,∴GH=HQ ,FG=CQ ,∴AG=CQ ,∴DG=DQ ,∴△DGQ 是等腰三角形,∴DH ⊥GH.13.解:(1)操作发现:线段GM 与GN 的数量关系为GM=GN ;位置关系为GM ⊥GN.(2)类比思考:上述结论仍然成立.理由如下:如图①,连结CD ,BE 相交于点O ,BE 交AC 于点F.①②∵点M ,G 分别是BD ,BC 的中点,∴MG ∥CD ,MG=21CD.同理可得GN ∥BE ,GN=21BE.∵∠DAB=∠EAC ,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB ,AC=AE ,∴△ADC ≌△ABE ,∴∠AEB=∠ACD ,DC=BE ,∴GM=GN.∵∠AEB+∠AFE=90°,∴∠OFC+∠ACD=90°,∴∠FOC=90°,易得∠MGN=90°,∴GM ⊥GN.(3)深入探究:△GMN 是等腰直角三角形.证明如下:如图②,连结BE ,CD ,CE 与GM 相交于点H.∵点M ,G 分别是BD ,BC 的中点,∴MG ∥CD ,MG=21CD.同理GN ∥BE ,GN=21BE.∵∠DAB=∠EAC ,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB ,AC=AE ,∴△ADC ≌△ABE ,∴∠AEB=∠ACD ,DC=BE ,∴GM=GN.∵GM ∥CD ,∴∠MHC+∠HCD=180°,∴∠MHC+(45°+∠ACD )=180°,∴∠MHC+45°+∠AEB=180°,∴∠MHC+45°+(45°+∠CEB )=180°,∴∠MHC+∠CEB=90°,∴∠GNH+∠GHN=90°,∴∠NGM=90°,即GM ⊥GN ,∴△GNM 是等腰直角三角形.。

中考数学专题复习中点的联想-构造法公开课精品课件

间的数量关系
；
在（1）的条件下，过点O作OG∥AB，交AD于 G，且OE＝GF＝3时（如图），求BE的值.
谢谢大家
2.为BC的中点，连结DF，
AB = 5，AC = 2，则 DF 的长为 __1__.5______
3.如图，在 △ABC 中，D 是 AB 的中点，AC⊥
CD，tan∠BCD
=
1 3
，求
∠A 的正切值．
探究：如图①，点A在直线MN上，点B在直线MN外，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥MN，交∠MAB的平分线AD于点C，连结BC，求证：BC⊥AD．
遇到中点作特殊三角形的中线遇到中线要倍长中线构造全等遇到中点结论为比例式作平行线
…………
如图，在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝α，点O为BD边的中点，BF⊥AD于F，OE⊥AB于E. （1）当0 ＜α＜90 ，（如图），求证：AF＋2BE＝AB；
（2）当90 ＜α＜180 ，（如图），则AE、BF、AB之
初三数学专题复习--
中点的联想—构造法
线段中点的定义
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点.
BD CD 1 BC 2
你能回忆一下我们学过哪些结论与中点有关？
1.如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， M 是 AD 的中点，若 AB = 5，AD = 12，则四边
形 ABOM 的周长为 ___2_0______
应用：如图②，点B在∠MAN内部，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥AM，
交∠MAB的平分线AD于点C；作PE∥AN，交∠NAB的平分线AF于点E，连结
BC、BE．若∠MAN＝150°，则∠CBE的大小为
度．

2024中考数学试题研究《妙用中点》课件

(1)依题意,补全图形,并证明:AQ=BP;
(2)求∠QAP的度数;
(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,
并证明.
典例分析
【北京西城2023.1期末T27】
如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°, ∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C
顺时针旋转90° 得到线段CQ,连接AQ.
∵ N为线段AB的中点，
∴
∴ AN＝BN．
∵
∴ 四边形MAPB是平行四边形 ∴
∴ MA=PB，MA//PB．
∵
∴ ∠MAP＋∠APB＝180°． ∴
∵ ∠APB＝45°，
∴
∴ ∠MAP＝135°．
∴
∵ ∠QAP＝135°，
M
C
B
A
Q
N
∠MAP＝∠QAP．
AQ=PB，
AQ=MA．
AP＝AP，
△MAP≌△QAP．
“ 2倍”
作平行(类倍长中线）
实施：加倍延(倍长中线）
基本图
C
辅助线： ①延长PN至点M，使得
NM=PN,连接MA,MB
构造全等
③过点A作AM//PB,交PN
加倍延
(倍长中线) 延长线于点M,连接MB
SAS
④过点B作BM//PA,交PN
MP＝QP．
QP＝2NP
N
P
Q
∵
∴
∵
∴
在等腰直角△PCQ中，CP＝CQ，
MP＝QP＝ 2CP．
MP＝2NP，
CP＝ 2NP
典例分析
【北京西城2023.1期末T27】
如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°, ∠APB=45°,连接CP,将线段CP绕点C

2020年中考数学专题突破2 关于中点的联想

例5题解图②
微专题中点问题六大模型
专题一
关于中点的联想
基本模型
模型分析 1．倍长中线构造全等三角形：当已知条件中出现中线时，常利用倍长中线构造全等三角形解决问题； 2．倍长类中线构造全等三角形：当已知条件中出现类中线(中点有关的线段)时，常利用倍长类中线构造全等三角形解决问题．
微专题中点问题六大模型
微专题中点问题六大模型
专题一
关于中点的联想
4. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE平分∠CAD，交 CD于点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为___8_____．
第4题图
微专题中点问题六大模型
专题一
关于中点的联想
模型四遇到三角形一边垂线过这边中点，考虑垂直平分线的性质
微专题中点问题六大模型
专题一
关于中点的联想
设CE=x，连接AE， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE=BC+CE=3+x， ∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x= 7/6 ．故答案为：7/6．
微专题中点问题六大模型
专题一
关于中点的联想
虑构造中位线；或出现一个中点，要证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线．利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且DE＝12 BC ， △ADE∽△ABC，则可得线段之间的相等或比例关系及平行关系．
微专题中点问题六大模型
专题一
关于中点的联想
模型二遇到直角三角形斜边上的中点，考虑构造斜边上的中线
专题一
关于中点的联想
针对训练
6. 如图，已知AB＝24，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD＝10，BC＝ 20.若点E是CD的中点，则AE的长是___1_3____．

全国初中数学联赛金牌教练讲座：第十八讲由中点想到什么(最新整理)

兰州第十中学数学组2013年最新八年级数学竞赛讲座第十八讲由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点， AB=10cm，则MD的长为．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨取AB中点N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件．注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：(1)利用直角三角斜边中线定理；(2)运用中位线定理；(3)倍长(或折半)法．【例2】如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连结MN ．则AB 与MN 的关系是( )A ．AB=MNB ．AB>MNC ．AB<MND ．上述三种情况均可能出现(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点．【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：C D=2EC ．(浙江省宁波市中考题)思路点拨联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线．【例4】已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)．若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．(2003年黑龙江省中考题)思路点拨图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础．注三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．【例5】如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ．(2001年天津赛区试题) 思路点拨通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的利用创造条件，这是解本例的突破口．注需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思考方法之一．学历训练1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ．(2003年广西中考题)2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).(200l 年山东省济南市中考题)3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于(2002年天津市中考题)5．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )A．40 B．48 C 50 D．566．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若AD=6cm，BC=18㎝，则EF的长为( )A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm7．如图，矩形纸片ABCD沿DF折叠后，点C落在AB上的E点，DE、DF三等分∠ADC，AB的长为6，则梯形ABCD的中位线长为( )A．不能确定 B．23 C．3 D．3+1(2001年浙江省宁波市中考题)8．已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连结各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．以上命题中，正确的是( )A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④(2001年江苏省苏州市中考题)9．如图，已知△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．求证：(1)G是CE的中点；(2)∠B=2∠BCE．(2003年上海市中考题)10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系．12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．(2002年四川省竞赛题)13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．(重庆市竞赛题)14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255C ．32D ．27316．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( )A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -=18．如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．(2003年全国初中数学联赛试题)19．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，试判断AB+CD 与AD+BC 的大小，并证明你的结论． (山东省竞赛题)20．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE ，设M 为D 正的中点．(1)求证：MB=MC ；(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB ；MC 是否还能成立?并证明其结论．(江苏省竞赛题)21．如图甲，平行四边形ABCD外有一条直线MN，过A、B、C、D4个顶点分别作MN的垂线AA1、BB1、CC l、DD l，垂足分别为A l、B1、C l、D1．(1)求证AA1+ CC l = BB1 +DD l；(2)如图乙，直线MN向上移动，使点A与点B、C、D位于直线MN两侧，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD l之间存在什么关系?(3)如图丙，如果将MN再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD1之间又存在什么关系?。

全国初中数学联赛金牌教练讲座第十八讲由中点想到什么

兰州第十中学数学组2013年最新八年级数学竞赛讲座第十八讲由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点， AB=10cm，则MD的长为．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨取AB中点N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件．注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：(1)利用直角三角斜边中线定理；(2)运用中位线定理；(3)倍长(或折半)法．【例2】如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、A ．AB=MNB ．AB>MNC ．AB<MND ．上述三种情况均可能出现(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点．【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：C D=2EC ．(浙江省宁波市中考题)思路点拨联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线．【例4】已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)．若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．(2003年黑龙江省中考题)△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础．注三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．【例5】如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ．(2001年天津赛区试题)思路点拨通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的利用创造条件，这是解本例的突破口．注需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思考方法之一．学历训练1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ．(2003年广西中考题)2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).(200l 年山东省济南市中考题)3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ．(2002年天津市中考题)A．40 B．48 C 50 D．566．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若AD=6cm，BC=18㎝，则EF的长为( )A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm7．如图，矩形纸片ABCD沿DF折叠后，点C落在AB上的E点，DE、DF三等分∠ADC，AB的长为6，则梯形ABCD的中位线长为( )A．不能确定 B．23 C．3 D．3+1(2001年浙江省宁波市中考题)8．已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连结各边中点得四边形MNPQ，给出以下6个命题：①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD为菱形；②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD为矩形；③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．以上命题中，正确的是( )A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④(2001年江苏省苏州市中考题)9．如图，已知△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．求证：(1)G是CE的中点；(2)∠B=2∠BCE．(2003年上海市中考题)10．如图，已知在正方形ABCD中，E为DC上一点，连结BE，作CF⊥BE于P，交AD于F点，若恰好使得AP=AB，求证：E是DC的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系． 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．(2002年四川省竞赛题)13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．(重庆市竞赛题) 14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255C ．32D ．273 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( )A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -= 18．如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．(2003年全国初中数学联赛试题)19．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，试判断AB+CD 与AD+BC 的大小，并证明你的结论． (山东省竞赛题)20．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE ，设M 为D 正的中点．(1)求证：MB=MC ；(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB ；MC 是否还能成立?并证明其结论．(江苏省竞赛题)21．如图甲，平行四边形ABCD 外有一条直线MN ，过A 、B 、C 、D4个顶点分别作MN 的垂线AA 1、BB 1、CC l 、DD l ，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1．(1)求证AA 1+ CC l = BB 1 +DD l ；(2)如图乙，直线MN 向上移动，使点A 与点B 、C 、D 位于直线MN 两侧，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，那么AA 1、BB 1、CC l 、DD l 之间存在什么关系?足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD1之间又存在什么关系?。

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