微积分第4节幂级数

1
x
1
dt
x 0 1t
1 ln x 1 x
1 ln 1 x .
x
x 0 xn 1.
n0 n 1
S(x)
1 x
ln(1
x)
,
1 x 0或0 x1
1 ,
x0
13
例9.
n2xn ?.
n0
解 由公式得：R 1,记和函数为S x，则
S x n[(n 1) 1] xn x n(n 1)xn1 x nx n1
10
例6
由 xn
1
x 1
n0
1 x
1 推出的结论.
（1）两端求导：
n1
nx n1
1 (1 x)2
x 1
2
（2）两端求导：
n(n 1) xn2
n2
2 (1 x)3
x 1
3
（1）两端积分：
1 xn1 n0 n 1
ln(1 x)
1 x 1
4
（1）中x 换- x：
(1)n ,
收敛
n1 n
故收敛域为 (0,1].
7
例5.
求
n1
x22nn1的收敛域.
解
n1
x 2n1 2n
x 2
x3 22
x5 23
缺少偶数幂项,
直接应用达朗贝尔判别法，
lim
n
un1( x) un ( x)
lim
n
x 2n1 2n1
x 2n1 2n
1 2
x 2,
当 1 x2 1 ,即 | x | 2 时, 2
R为收敛半径： an xn | x | R收敛， an xn | x | R发散
n1
n1
定理2（d‘Alembert或Cauchy判别法）.
收敛半径 R lim
an
或 lim
1
.
n an+1 n n an
请自己查阅证明
3
证明
lim
n
an1 x n1 an xn
lim n
an1 an
x
1 |x|, R
n1 3
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15
例11.
(1)n =？ n1 (2n 1)3n
解
Sx
n1
(1)n x2n (2n 1)
原式=S
1 3
S( x) x (1)n x2n1
x
(1)n
x t 2n2dt
n1
2n 1
n1
0
x 1
x
x 0
1
1 t
2
dt
xarctan x
若0 p 1 , 收敛域为[1, 1) ； 若 p 0 , 收敛域为(1, 1) .
5
xn
例2 n0 n !
1 解 lim
n (n 1) !
1 n!
lim 1 0， n n 1
R , 即收敛域为(,) .
例3
n! xn
n0
解 R lim n! 0 , 仅在 x 0 处收敛. n (n 1)!
级数收敛；
8
当 1 x2 1,即 | x | 2
2 时,
级数
n1
x22nn1收敛.
当 1 x2 1 ,即 | x | 2 时, 2
级数发散；
当x
2 时, 级数为
1
,
n1 2
级数发散,
所以原级数的收敛域为 ( 2, 2).
注： an xn的收敛半径为R an x2n， an x2n+1的收敛半径为 R .
n0
n0
n0
9
二、和函数的性质(证略）
定理3. 在以R为收敛半径的收敛域内，
S x an xn可逐项微积分，具体有： n0
S( x) ( an x n )
n0
(an x n )
n0
nan x n1 ，
n1
x S(x)dx
0
n0
x 0
an
x
n
dx
an xn1 ，
n0 n 1
由d‘Alembert判别法
x R an x n收敛，x R an xn发散，
n0
n0
收敛半径R lim an a n
n1
注：1
,
1
0
0
4
求下列幂级数的收敛半径和收敛域.
例1
x n
np
n0
,
R lim an n an1
(n 1) p
lim
n
np
1，
若 p 1 , 收敛域为[1, 1] ；
6
例4
(1)n 2n ( x 1 )n .
n1
n2
解 R lim an lim 2n n an1 n n
2n1 lim n 1 1 ， n 1 n 2 n 2
即 x 1 1 收敛, x (0,1) 收敛, 22
当 x 0时, 级数为
1 , 发散
n1 n
当 x 1时,
级数为
( x)n 1 x 1
n0
1 x
5
（5）中x 换 x2：
(1)n x 2n
n0
1 1 x2
x 1
6 ,
（6）两端积分： (1)n x2n1 arctan x x 1 n0 2n 1
7 .
11
例7.
n0
(1)n 3n
xn
解
(1)n 3n
n0
xn
(
n0
x )n 3
n1
n1
n1
x
n2
xn x
n1
xn
x
xn
x
x
n
n2
n1
2x (1 x)3
x (1 x)2
x 1
14
例10.
n0
n
2 3
n
?.
解
S( x) nxn
n1
x nx n1
n1
x
xn
n1
x x
1 x
x (1 x)2
,
|
x|1
n( 2 )n S( 2 ) 6 .
an
x1n
M
x
x1
x x1
q 1，
n
an xn Mqn，正项级数 Mqn收敛
n1
n
an xn绝对收敛. n1
后半句应当是逆否命题，无需证明。 证毕
o
• •• • •
x x2 x1 x
• • ••
x
x1 x2 x
x
2
几何说明 发散区域
收敛区域
R
R 发散区域 x
o
• • •• • • ••• • •
n0
1 x
1
定理1 (Abel定理)
证明
an x1n收敛 x : x x1 , an xn绝对收敛；
n0
n0
an x2n发散 x : x2 x , an xn发散.
n0
an xn
an x1n
xn x1n
n0
n
an x1n
x x1
an x1n
n0
收敛
lim
n
an x1n
0
M
0, n充分大时,
第四节 幂级数（三个定理）
一、幂级数的敛散性
幂级数： an( x x0 )n， 特例： an xn
n0
n0
an xn在x0收敛： an x0n收敛.
n0
n0
名词补充：幂级数系数，收敛点与发散点, 收敛域与发散域
和函数S x : an x0n S( x)
n0
例： xn
1
| x | 1 .
1
1 (
x
)
3 3 x
,
| x| 3
3
xn
1
,| x | 1
n0
1 x
| x |1 3
12
例8. xn 1 x x2 =？
n0 n 1
23
解
xn
x0
1
x n1
n0 n 1
x n0 n 1
= 1 x tndt 1 x t ndt,
x0 n0
x0 n0
x 1