简单的线性规划常见题型总结

简单的线性规划常见题型
第Ⅰ类 求线性目标函数的最值(z ax by =+截距型)
例1.设x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求52z x y =+的最值
解：可行域是如图所示中ABC ∆的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1,5
22) 作出直线L 0：5x+10y=0，再将直线L 0平移, 当L 经过点B 时，y 轴截距最小，即z 达到最小值，得min 7z =.
当L 经过点A 时，y 轴截距最大，即z 达到最大值，得max 29z =,所以最大值是29，最小值是7
小试牛刀:1、若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩
，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为
2、设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值
3、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为
4、设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩
则z x y =+的最值为________
第Ⅱ类 求可行域的面积
关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面
积，或切割为三角形
例2.不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是 ( ) 2 (B)4 2 (D)2
解：可行域是A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4
小试牛刀:1、不等式组236,
-0,
0x y x y y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ .表示的平面区域的面积为 。

2、若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是
3、在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩
（α为常数）所表示的平面区域内 的面积等于2，
则a 的值为
第Ⅲ类 距离型目标函数
目标函数形式为“22z x y =+，22z x y =+，22()()z x a y b =-+-”。

例3.已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件4,1,x y y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________,
最大值等于________.
小试牛刀:1、设x 、y 满足条件3
10x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩
≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ． 2.设D 是不等式组2102304
1
x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值_.
3、若,M N 是1110
6
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩表示的区域内的不同．．两点，则||MN 的最大值是 。

4、如果点P 在平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上，点Q 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为
5、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩
则22x y +的最小值是 .
第Ⅳ类 斜率型目标函数:
目标函数为11
,y y y x x x --型的，几何意义是可行域内的点与定点（0，
0）,(11,x y )连线的斜率
例4.设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩
⎪⎨⎧≤->-+≤-- . 小试牛刀:1、 设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是 2、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则1y x +最小值为 第Ⅴ类 参数问题
例5.设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，
，
≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x
y a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ） A ．[13]， B
．[2 C ．[29]， D
． 1.已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩
≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于
2、若不等式组220x y x y y x y a
-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，
≤，≥，
≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 3、如果实数,x y 满足430
352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，目标函数z kx y =+的最大值为12，最小值为3，那么实数k 为__ 4、使函数()34y x
f x y x x y ≤⎧⎪=≥⎨⎪+≤⎩
的目标函数(0)z ax by ab =+≠,在2,2x y ==取得最大值的充要条件是
A ||a b ≤
B ||||a b ≤
C ||a b ≥
D ||||a b ≥
5、在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
200x y s
y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是
6、已知变量,x y 满足约束条件14,22x y x y ≤+≤-≤-≤，若目标函数z ax y =+(其中a ＞0)仅在点
(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为__________
第Ⅵ类 隐形线性规划问题
例 6.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域
{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．14
解析：令12,002
u v u x u x y u v v x y u v y u v +⎧≤⎧=⎪=+⎧⎪⎪⇒∴+≥⎨⎨⎨=--⎩⎪⎪=-≥⎩⎪⎩，作出区域是等腰直角三角形，可求出面积11221=⨯⨯=s 小试牛刀:若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,
0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，b ）所形
成的平面区域的面积等于____________。

第Ⅶ类 知识点交汇问题:与不等式，函数，向量等知识进行综合命题
例7.已知：点P 的坐标（x ，y ）满足：430,3525,10.x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩
及A （2，0），则|OP |·cos ∠AOP （O 为坐标原
点）的最大值是 .
解：||cos OP AOP ∠即为OP 在OA 上的投影长，由，，M y x y x )25(2553,034⇒⎩
⎨⎧=+=+-故所求最大值为5 小试牛刀:1、 ,x y 满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
，那么y x x y +的最大值等于_______,最小值等于____________. 2. 已知A （3，3），O 为原点，点||,002303),(OA y y x y x y x P ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-的坐标满足的最大值是 ，此时点P 的坐标是
3、x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为12，则23a b +的最小值为。