简单的线性规划常见题型总结

简单的线性规划常见题型

第Ⅰ类 求线性目标函数的最值(z ax by =+截距型)

例1.设x,y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求52z x y =+的最值

解：可行域是如图所示中ABC ∆的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1,5

22) 作出直线L 0：5x+10y=0，再将直线L 0平移, 当L 经过点B 时，y 轴截距最小，即z 达到最小值，得min 7z =.

当L 经过点A 时，y 轴截距最大，即z 达到最大值，得max 29z =,所以最大值是29，最小值是7

小试牛刀:1、若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩

，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为

2、设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值

3、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为

4、设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩

则z x y =+的最值为________

第Ⅱ类 求可行域的面积

关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面

积，或切割为三角形

例2.不等式组⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是 ( ) 2 (B)4 2 (D)2

解：可行域是A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4

小试牛刀:1、不等式组236,

-0,

0x y x y y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ .表示的平面区域的面积为 。

2、若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是

3、在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩

（α为常数）所表示的平面区域内 的面积等于2，

则a 的值为

第Ⅲ类 距离型目标函数

目标函数形式为“22z x y =+，22z x y =+，22()()z x a y b =-+-”。

例3.已知点 P （x ，y ）的坐标满足条件4,1,x y y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩

点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________,

最大值等于________.

小试牛刀:1、设x 、y 满足条件3

10x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩

≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ． 2.设D 是不等式组2102304

1

x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值_.

3、若,M N 是1110

6

x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩表示的区域内的不同．．两点，则||MN 的最大值是 。 4、如果点P 在平面区域⎪⎩

⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上，点Q 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为

5、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩

则22x y +的最小值是 .

第Ⅳ类 斜率型目标函数:

目标函数为11

,y y y x x x --型的，几何意义是可行域内的点与定点（0，

0）,(11,x y )连线的斜率

例4.设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩

⎪⎨⎧≤->-+≤-- . 小试牛刀:1、 设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是 2、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则1y x +最小值为 第Ⅴ类 参数问题

例5.设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，

，

≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x

y a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ） A ．[13]， B

．[2 C ．[29]， D

． 1.已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩

≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于

2、若不等式组220x y x y y x y a

-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，

≤，≥，

≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 3、如果实数,x y 满足430

352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩

，目标函数z kx y =+的最大值为12，最小值为3，那么实数k 为__ 4、使函数()34y x

f x y x x y ≤⎧⎪=≥⎨⎪+≤⎩

的目标函数(0)z ax by ab =+≠,在2,2x y ==取得最大值的充要条件是

A ||a b ≤

B ||||a b ≤

C ||a b ≥

D ||||a b ≥

5、在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4

200x y s

y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是

6、已知变量,x y 满足约束条件14,22x y x y ≤+≤-≤-≤，若目标函数z ax y =+(其中a ＞0)仅在点

(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为__________

第Ⅵ类 隐形线性规划问题