数列中的数学思想和方法

数列中的数学思想和方

法

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数列中的数学思想和方法

数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志．数列中蕴涵了许多重要的数学思想，下面我们一起来看一看吧！ 一、方程思想

方程思想就是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法.

例1 已知等差数列{}n a 的公差d 是正数，且3712,a a =-

464a a +=-，求其前n 项和n S 。

解：由等差数列{}n a 知：3746a a a a +=+，从而373712,4a a a a =-+=-，

故37,a a 是方程24120x x +-=的两根，又0d >，解之，得：376,2a a =-=。 再解方程组：112662

a d a d +=-⎧⎨

+=⎩110

2a d =-⎧⇒⎨

=⎩， 所以10(1)n S n n n =-+-。

<法一>

法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程 知三求二

点评：本题利用了3746a a a a +=+这一性质构造了二次方程巧妙的解出了

376,2a a =-=，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与n m p q a a a a +=+（或n m p q a a a a ⋅=⋅）找出解题的捷径。关注未知数的个数，关注独立方程的个数。 点评基本量法：性质法 技巧

备用：设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．

已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；

(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解

(1)由已知得⎩

⎨⎧

a 1

＋a 2

＋a 3

＝7，

?a 1

＋3?＋?a 3

＋4?

2＝3a 2

，

解得a 2＝2.

设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2

q

，a 3＝2q ， 又S 3＝7，可知2

q

＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.

解得q 1＝2，q 2＝1

2

.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1.

故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.

(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，

由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列，

∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n ?b 1＋b n ?2＝3n ?n ＋1?

2

·ln 2.

故T n ＝3n ?n ＋1?

2

ln 2.

小结：方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在数列间题中的应用.常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题。在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．

二、函数思想

函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象.数列是一类特殊的函数,以函数的观点认识理解数列，是解决数列问题的有效方法.

例2、已知等差数列{}n a 中，129a =，1020S S =，则该数列前多少项的和最大 寻求通项 ，借助数列的单调性解决 解：1020111092019

,102022

S S a d a d ⨯⨯=∴+

=+， 又129a =，2d ∴=-

29(1)(2)231n a n n ∴=+-⨯-=-+

令0,15,n a n n N *>≤∈，所以数列首项为正，公差为负， 前15项为正，从第16项开始为负，所以前15项的和最大，

1511514

152252

S a d ⨯=+

=。 巧用等差数列下标的性质，关注数列的单调性 解：10201112131920,0S S a a a a a =∴++++=， 由等差数列下标的性质可得：

111213192015165()0a a a a a a a ++++=+=， 又1290a =>，15160,0a a ∴>< ∴ 当15n =时，n S 取得最大值。

又129a =，2d ∴=-

29(1)(2)231n a n n ∴=+-⨯-=-+

令0,15,n a n n N *>≤∈，所以数列首项为正，公差为负，前15项为正，从第16项开始为负，

所以前15项的和最大，且1511514

152252

S a d ⨯=+

=。

思路2：从函数的代数角度来分析数列问题

解：1020111092019

,102022

S S a d a d ⨯⨯=∴+

=+， 又129a =，2d ∴=-

21(1)

302

n n n S na d n n ⨯-∴=+=-+

2(15)225n =--+

∴ 当15n =时，n S 取得最大值225。

思路3：从函数图象入手，数形结合

解：设2n S An Bn =+，数列对应的图象是过原点的

抛物线上孤立的点，又1290a =>，1020S S =，

∴对称轴为1020

152

n +=

=且开口向下， ∴ 当15n =时，n S 取得最大值。

四种方法的比较

设数列{a n }的公差为d ， ∵S 10＝S 20，

∴10×29＋10×92d ＝20×29＋20×19

2

d ，

解得d ＝－2， ∴a n ＝－2n ＋31，

设这个数列的前n 项和最大，

则需⎩⎨

⎧

a n ≥0，a n ＋1≤0，

即⎩⎨

⎧

－2n ＋31≥0，－2?n ＋1?＋31≤0，

∴≤n ≤，

∵n ∈N *，∴n ＝15.

方法二 设数列{a n }的公差为d ， ∵S 10＝S 20，

∴10×29＋10×92d ＝20×29＋20×19

2

d ，

解得d ＝－2.

等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d 2n 2＋(a 1－d

2

)n 是关于n 的不含常数项的二次函

数，根据其图象的对称性，由S 10＝S 20，知x ＝10＋20

2

＝15是其对称轴，

由d ＝－2知二次函数的图象开口向下，